2025年北师大版九年级下册数学期末压轴题专项复习：切线的综合

专题3.5切线的综合

典例精析

【典例1］如图，延长。。的直径4B,交直线DG于点。，SLBD=^AB=10,^ADG=60°.射线。M从DG

出发绕点。逆时针旋转，旋转角为a；同时，线段OC从OB出发绕点。逆时针旋转，旋转角为2a,直线4c与

射线DM相交于点H,与直线DG相交于点F,其中0。<&<180。，且aH90。.

(1)当a=20。时，弧BC的长为；

(2)当a=120。时，判断△4D”的形状，并求它的周长；

(3)AaDH的外心能否在边。H上，如果能，求出a的度数；如果不能，请说明理由;

(4)若射线DM与。。有公共点，直接写出a的取值范围；

(5)当tanN艮4C=g时，求线段HF的长度.

【思路点拨】

(1)根据弧长公式可得答案；

(2)首先证明出AAOC为等边三角形，进而得到NOAC=60°,可证明出△40”为等边三角形，然后根据三

角形周长公式求解即可；

(3)若△的外心在边上，则边应为直角三角形的斜边，即转化为判断ND4H是否可以为90。的问

题；

(4)设射线DM与。。相切于点。，连接。Q,首先根据题意得到NOQD=90。，OB=OQ,进而得到。=

^ADG-^ODQ=30°,然后当射线DM旋转到再次与。。相切时，如解图②所示，此时a=90。，进而得到

a的取值范围；

(5)分类讨论，当点”在4D右侧时，当点”在AD左侧时，利用锐角三角函数表示出47、4F计算出DF.再

利用角角相似得△DHF八ADF得出HF的长.

【解题过程】

⑴解：•••a=20°,Z.BOC=2a,

1

••・乙BOC=40°,r=-AB=10,

2

407TX10207r

•••阮=-----=——，

1809

故答案为：~

(2)如解图①，

当a=120。时，^AOC=2a-180°=60°,

VOA=OC,

.♦.△HOC为等边三角形，

：.AOAC=60°.

；"DH=4MDG-^ADG=120°-60°=60°,

；.△?!£>//为等边三角形.

'：BD=-AB=10,

2

：.AD=3BD=30,

•••△ZD”的周长为34。=90；

(3)不能.理由如下：

若的外心在边上，贝!UEM”=90。，如解图②所示.

"：^DAH=90°,

?与。。相切于点A.

••,点C是直线HF与。。的交点，

.•.点C为切点，点A与点C重合.

.,.Z.BOC=180°,即2a=180°,

解得a=90。，不合题意(aH90。)，舍去.

符合条件的△不存在，即△的外心不能在边DH上;

(4)300<a<90。；

根据射线DM与。。有公共点，可判断有两个临界点即与圆的切点.

如解图③，设射线DM与O。相切于点°,连接OQ,

贝此。<2。=90。，OB=OQ,

,:BD=AB=10,

：.BD=OB=OQ,

J./-ODQ=30°,

=4ADG—乙ODQ=30°.

射线DM继续绕点。逆时针旋转，与O。有两个公共点，当射线DM旋转到再次与。。相切时，如解图②所

示，此时a=90°.

综上所述，a的取值范围为30。Wa<90°.

(5)情况1：当点H在4D右侧时，

如解图④，过点尸作FT14。于点T,

设77)=t,由N4DG=60°可得，FT=TD•tan60°=V3t,

又；tanNB4C=更，即先=二,

5AT5

：.AT=5t,

••AD—AT+TD=5t+t=30,

：.TD=5,FT=5®AT=25.

：.AF=VXT2+FT2=10V7,

在RtADTF中，DF=yjTD2+FT2=10,

'：ADHF=AADM+^BAC=(60°-a)+a=60。=AADF,乙DFHAAFD,

:.XDHF八ADF,

.DF_HF

**AF-DFf

：.DF2=AF-HF,§P102=10V7-HF,

,口厂10V7

..HF=-----；

7

情况2：当点”在AD左侧时，

如解图⑤，过点尸作FK14D,交4D的延长线于点K,

设DK=t,由NFDK=AADG=60°,

同理可得FK=gt,4K=5t,

：.AD=AK-DK=5t-t=30,

••--T

15V3/〃75

：.FK，JAK=.

22

FK

..必=,=15'

在Rt△力FK中，由勾股定理得F4=7FK2+AK2=15五,

VzFDH=180°-a,^AOC=2a-180°,OA=OC,

1

：.Z,OAC=jx[180°-(2a-180°)]=180°-a,

：.^FDH=/-OAC,

■:乙HFD=乙DFA,

:.XHFD〜XDFA,

.DFHF

••—,

AFDF

：.FD2=AF-HF,即152=15"HF,

,口厂15a

..HF=---.

7

综上所述，当tanZ_BAC=?时，"F的值为或若

学霸必刷

1.（2023・全国•九年级专题练习）如图，在矩形4BCD中，AB=6,BC=8,点力在直线/上，4。与直线/相

交所得的锐角为60。.点F在直线I上，AF=8,直线/,垂足为点尸且EF=6,以EF为直径，在EF的左

侧作半圆。，点M是半圆。上任一点.

发现：4M的最小值为,AM的最大值为,OB与直线/的位置关系是—.

思考：矩形4BCD保持不动，半圆。沿直线2向左平移，当点E落在2。边上时，求半圆与矩形重合部分的周长

和面积.

【思路点拨】

发现：先利用勾股定理求出。4的长，根据圆的性质得到。河=3,当点M在线段04上时，4M有最小值，当

点M与点E重合时，4M有最大值，然后过点B作BG1E,垂足为G,求得BG的长，进而证明四边形。BGF为

平行四边形，即可得到。B与直线/的位置关系；

思考：连接0G,过点。作OHLEG,根据垂径定理得到GE=2HE,然后在△E0H中求得EH的长，接下来求

得4E0G的度数，根据扇形的面积公式即可得到结论.

【解题过程】

发现：由题意可知。M=。尸=3,AF=8,EF1I,

.\AF2+OF2=0A2,

：.0A=>JAF2+OF2=V82+32=V73,

当点M在线段。4上时，AM有最小值，最小值为闻-3,

当点M与点E重合时，4M有最大值，最大值=VAF2+EF2=10,

如图1所示：过点8作BG1I,垂足为G,

图I

,.VDXF=60°,/.BAD=90°,

/.^.BAG=30°,

AGB=-AB=3,

2

：.OF=BG=3,

XVGB||OF,

...四边形OBGF为平行四边形，

：.OB||FG,即。B||Z,

故答案为：V73-3；10；平行.

思考：如图2所示：连接0G,过点。作。HlEG.

D

HL八

B7^0

C

图2

*：Z-DAF=60°,EFLAF,

：.^AEF=30°,

:.乙GOE=120°,

工人GOH=60°,

9：OHLEG.

，乙OGH=30°,

'：EF=6,

：.GO=OE=OF=3f

11Q

：.OH=-GO=-x3=-

222f

GH=70G2-OH?=J32_(|)2=学,

GE=2EH=2Xyx3=31

...半圆与矩形重合部分的周长=用答+3我=2兀+3日；

180

1207TX32

S重合部分=S扇形G0E一SAGOE=-3bx|x[=3"W

360

2.(2023上•广东广州•九年级统考期末)如图，已知正方形4BCD边长为2.点。是BC边的中点，点E是

正方形内一个动点，且E。=1.

(1)连接BE,CE,求NBEC的度数；

(2)连接DE,若NDEO=90。，求BE的长度;

(3)将线段0E绕点。逆时针旋转90。后，得到线段DF,连接CF,线段CF长是否存在最小值，若无，说明

理由；若有，求出这个最小值.

【思路点拨】

(1)判断出点E在以BC为直径，且在正方形4BCD内部的半圆上，根据直径所对的圆周角是直角可得结论;

(2)由4DE。=90°可知DE是半圆的切线，连接BE,EC,。。.利用切线的性质进一步得出CE=2BE,再运用

勾股定理可得结论；

(3)根据SAS证明AADESACDF得到AE=CF,求得4E的最小值即可

【解题过程】

(1);点。为BC的中点，BC=2,E0=1,

...点E在以。为圆心，以1为半径的圆上，且位于正方形2BCC内部的半圆上，

/.Z.BEC=90°；

(2)当4DEO=90°时，DE切。。于点E,连接BE,EC,0D,如图1,

A,----------------,£)

图I

•.,四边形4BCD是正方形,

：.CD=BC=2,/.BCD=/.ADC=90°,即CD是。。的切线,

：.ED=DC=2,

"：E0=OC

:.乙EDO=4CDO,

：.OD1EC,且OD平分CE,

：.BE\\OD,

：.^ECO+^DOC=90°,NODC+NDOC=90°

:.乙ECO=乙ODC

tanZ-ECO=tanZ.O£)f

.BE_OC

'9CE~CD

•••CE=2BE

在RtZiBCE中，BC2=BE2+EC2,

：.BE2+4BF2=22,

・•.八,

(3)VzADC=Z.EDF=90°,即N4DE+乙EDC=Z.CDE+/.FDC

J./-ADE=4FDC

在△力。后和4CD尸中，

-ADCD

^ADE=/.CDF

.DE=DF

：.LADE三XCDF(SAS)

•••CF=AE

；.CF最小时，2E最小，

如图2,连接2。交O。于点O,

图2

在Rt△ABO中，。a=7AB2+0B2=V22+l2=VS,

AE'=0A-OE'=V5-1.

CF存在最小值为强-1

3.（2022上•江苏南京•九年级统考期中）如图，在。。中，4B为。。的直径，必与。。相切于点4点C

(1)求证：PC与。。相切；

(2)过点C作CD14B,交。。于点。，若CD=PA=2百，则图中阴影部分的面积为一.

【思路点拨】

(1)连接。C、0P,只要证得△0P4三△OPC(SSS),利用全等三角形的性质即可证得。B1PB即可；

(2)连接。酊OD,AD,设与CD的交点为凡如图所示，只要证得四边形P4DC是菱形，由菱形的性质

得到CD=AD=2V3,进而利用直角三角形中一条直角边等于斜边的一半就可得到NZM8=30。，接着利用

锐角三角函数求得0E、。。的长，最后根据S阴影=S扇形co。-SACOD即可求解.

【解题过程】

(1)证明：连接OC、0P.

与。。相切于点A,

A0A1PA.

：.Z.PAO=90°.

^.^OPA^^OPC^

0A=0C

PA^PC,

OP=OP

：.AOPA=△OPC(SSS).

；.NPC。=NPH。=90°,gpoc1PC.

又：点c在。。上，

...PC与。。相切.

(2)解：连接。C、OD、AD,设4B与CD的交点为E,如图所示,

cB

为O。的直径，CD1AB,CD=PA=2A/3,

:.CE=DE=押口=,,胱=孙

:.乙COB=4DOB.

VCD1AB,PALAB,

：.PA||CD,

又,：CD=PA=2V3,PA=PC,

.••四边形PADC是菱形，

CDAD2V3,

：.DE=-AD,

2

・••在RtZkADE中,Z-DAB=30°,

SB=乙DOB=2乙DAB=60°,

A/-COD=2乙DOB=120°,

...在RtADOE中,tan6(T=*奈sin60。啮喑

解得OE=1,OD=2,

；・S阴影=S扇形coo_S^COD

120OTTxOD21

--CD-OE

360°2

2

120°TTx21「

------------crcc----三X2v3X1

36002

=-V3»

・•・阴影部分的面积为^兀-g,

故答案为：，兀—V3

4.(2022上•广西南宁•九年级广西大学附属中学校考期中)如图，以RtABCE的直角边BC为直径作。O,

交斜边EC于点A,4D1BC于点。，点尸是BE的中点，连接CF与4。相交于点G,延长4F与CB的延长线相

交于点P.

(2)求证：点G为4。的中点；

(3)若2FG=EB,且。。的半径长为3,求8。的长度.

【思路点拨】

(1)要证PA是。。的切线，就要证明NP4。=90。，连接4。，48,根据NEB。=90。，和直角三角形的等

量代换，就可得出结论；

(2)根据切线判定知道EB1BC,而4D1BC,从而可以确定-ADGC,又点F是EB

的中点，就可得出结论；

(3)过点产作F”14D于点H,根据前两问的结论，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD的长度.

【解题过程】

(1)证明：如图，连接40,AB,

E

P

：BC是。。的直径,

：./-BAC=90°,

在RtAB/lE中，/是斜边BE的中点,

：.AF=FB=EF,

：.^FBA=/.FAB,

XVOA=OB,

,•Z-ABO=Z.BAO,

•：(EBO=90°,

■:(EBO=Z.FBA+/.ABO=乙FAB+Z.BAO=^FAO=90°,

;.pa是。。的切线；

(2)证明：是。。的直径，Z-EBO=90°,

：.EB1BC,BE是。O的切线

又1BC,

J.AD||BE,

ABFCDGC,AFECGAC,,

.BF_CFEF_CF

"DG~CG9AG~CG9

,BF_EF

**DG~AG"

•・,尸是斜边BE的中点，

：.BF=EF,

：.DG=AG,

・••点G为40的中点；

(3)解：过点尸作F”于点”，如图，

：.FH||BC,

由(2)知，Z.FBA=4BAF,

:.BF=AF,

由已知，有2FG=EB,点尸是5石的中点,

：.BF=FG,

：.AF=FG,即△ZFG是等腰三角形.

'：FHLAD,

：.AH=GH,

\9DG=AG,

：.DG=2HG,

HG1

即nn一=一，

DG2

*：FH||BDfBF||AD,Z.FBD=90°,

J四边形是矩形，BD=FH,,

'：FH||BC,

：.△HFG〜△OCG,

,FH_FG_HG_1

・.CD-CG一DG-2’

・・・。0的半径长为3,

：.BC=6.

.BD_BD_BD_1

**CD-BC-BD-6-BD-2'

解得BD=2；

：.BD=2.

5.(2023上•河北石家庄•九年级校考期末)如图，在直角坐标系中，矩形。的顶点。与坐标原点重合，

G为两条对角线的交点，顶点4在x轴上，顶点C的坐标为(0,6),NC0B=30。.以。C上一点P为圆心、|为半径

(2)判断4C和OP的位置关系，并说明理由;

(3)已知E为OP与PC的交点，求DE的长.

【思路点拨】

(1)连接PD,在RtAPD。中，知道一边、一锐角可以求出。P长，从而求出点尸的坐标.

(2)过点尸作PH14C,垂足为“，只需求出PH长，然后比较PH与半径PC大小关系，就可得到4C和OP的

位置关系.

(3)过点。作DF10C,垂足为R只需求出。尸、EF的长，就可以求出DE的长.

【解题过程】

•••。8于OP相切于点。，

PD10B,

•••乙PDO=90°

又乙COB=30°,PD=

•••OP=2PD=3

•・•点P的坐标为(0,3).

(2)47与OP相切

证明：过点P作PH14C于点H.

•••C(0,6),

・•・OC=6

vPO=3,OC=6,

・•.PC=OC-PO=3

•・•四边形。4BC是矩形，

•••CG—OG,

・•.Z.GCO=Z.COB=30°

•・•PHVAC,

・・・乙PHC=90°,

13

・•・PH=-PC=-,

22

又・・・OP的半径是I，

・•・4c与OP相切.

(3)过点。作DF1OC与点F.

•・•^PDO=90°,乙POB=30°,

・•.Z,OPD=60°

在RtZkPFO中，有OF=PO-sin60o=?x^=2

224

vPD=PE,

•••乙PED=乙PDE,

又•・•乙OPD=乙PED+乙PDE,

1

・•・乙PED=-Z.OPD=30°

2

在RtAEFD中，ED=

6.(2022上.北京.九年级校考期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，存在半径为2,圆心为(0,2)的OW,

点P为。勿上的任意一点，线段P。绕点P逆时针旋转90。得到线段P0',如果点M在线段P。'上，那么称

(1)在点4(4,0),C(0,4)中，OW的“限距点”为；

(2)如果过点N(0,a)且平行于x轴的直线/上始终存在的“限距点”，求“的取值范围；

(3)OG的圆心为(6,2),半径为1,如果OG上始终存在OW的“限距点”，请直接写出》的取值范围.

【思路点拨】

(1)分两种情况：当轴时，P。'相切于OW轴时，分别作出相应图形即可判断；

(2)以/为圆心，J。为半径作圆，根据题意证明出△WOPsA/。。，，得到点。'的轨迹是以1/为圆心，以/。为

半径的圆，如果过点N(0,a)且平行于x轴的直线/上始终存在OW的“限距点”,则N在平行于久轴并相切于OP

的范围内，据此求解即可；

(3)如果。G上始终存在。勿的“限距点”，则OG相切于OP和。W,据此求解即可.

【解题过程】

(1)解：如图所示,

当"Ply轴时，。'点的坐标为(4,0),

当PO'相切于OW轴时，P点的坐标为(0,4),

...在点4(4,0),8(1,2),C(0,4)中，OW的“限距点”为4(4,0),C(0,4),

故答案为：4(4,0),C(0,4)

(2)如图2中，

VWO=WP,OP=O'P

...△卬0/和乙PO。都是等腰直角三角形，

,WO_PO_y/2

**JO-00，一2

又=NP。。'=45°

/.WOJ-乙POJ=NP。。'-乙POJ,即N/。P=400'

：.△WOPJOO'

WO=WP

：.JO=JO'

.•.点。'的轨迹是以•/为圆心，以/。为半径的圆，

:点P在。w上运动，

.♦・P。'扫过的区域为图上阴影部分，

当直线y=a与阴影部分有公共点时，满足条件.

当直线y=a与O/相切时，

"：］0=V22+22=2V2,

；.a的取值范围是：2—2/WaW2+2a；

(3)如图3中，由题意当OG与阴影部分有公共点时，OG上始终存在OW的“限距点”,

当OG1与ow外切时，G1点坐标为：（—3,2）,

当OG?与。/内切时，G2点坐标为：（3-272,2）,

当。G3与。勿内切时，G3点坐标为：（1,2）,

当OG4与O/外切时，点坐标为：（3+2V2,2）,

,观察图象可知，满足条件b的取值范围是：一3W匕W3-2&或1WbW3+2VL

7.（2022上.北京东城•九年级东直门中学校考期中）对于OC与OC上一点A,若平面内的点P满足：射线

AP与OC交于点。，且P4=2Q4则称点尸为点A关于OC的“倍距点”.已知平面直角坐标系万。了中，点

（1）如图1,点。是坐标原点，。。的半径是2,点尸是点A关于。。的“倍距点”

①若点P在x轴的负半轴上，直接写出点P的坐标；

②若点P在第二象限，且NP4。=45°,求点P的坐标；

（2）设点T（t,O）,以T为圆心，Z4长为半径作OT,直线y=—x+4分别与x轴、y轴交于点。、E,若直

线y=-x+4上存在点P,使得P是点A关于07的“倍距点”，求f的取值范围.

【思路点拨】

（1）①②根据点尸为点A关于OC的“倍距点”的定义，画出图形解决问题即可；

（2）取4。的中点N（3,0）,过点N作NKIIDE交y轴于点K.当点T在点A的左侧与直线NK相切于点M

时，作射线4M交直线CE于点尸，此时P4=24M,存在点尸，使得P是点A关于OT的“倍距点”，再结合

图形，可得结论.当点T在点A的右侧与直线NK相切于点M时,作射线4M交直线DE于点尸，此时P4=2AM,

存在点P,使得尸是点A关于OT的“倍距点”，同法可得结论.

【解题过程】

（1）解：①如图1中，当点P在无轴的负半轴上时，QP=AQ=4,

VA（2,0）,

AOA=0Q=2,

；.PQ=AQ=4,

：.0P=6,

；.P（—6,0）.

故答案为：（―6,。）；

②当点P'在第二象限，且NPZ0=45。，观察图象可知，点尸的坐标（-2,4）；

（2）解：如图2中，

图2

•.•直线y=-x+4分别与x轴、y轴交于点。、E,

，。（4,0）,E（0,4）,

：.OE=。£）=4,

VA（2,0）,

AOA=2,

取4。的中点N（3,0）,过点N作NKIIOE交y轴于点K.

当点T在点A的左侧与直线NK相切于点M时，作射线4M交直线DE于点P,止匕时PA=24M,

存在点P,使得尸是点A关于OT的“倍距点”，

"：OE=OD,4DOE=90°,

:.乙ODE=45°,

\'NK\\DE,

"TNM=乙ODE=45°,

\'TM1MN,

：.TM=MN=TA,

22

设7\4=则有62+m=（m+I）,

解得m=1+近或1—A/2（舍去），

.,.T（l-V2,0）,

观察图象可知，当tWl-四时，满足条件.

当点T在点A的右侧与直线NK相切于点M时，作射线4M交直线DE于点P,此时PA=2AM,

/.存在点P,使得P是点A关于OT的“倍距点”，

同法可证TA=TM=MN,设兀4=TM=MN=n,则有n+V2n=1,

n-V2—1,

.,.T(A/2+1,0),

观察图象可知，当夜+1时，满足条件.

图3

综上所述，满足条件的t的值为t<1-&或t>V2+1.

8.(2023下•湖北黄石•九年级校考阶段练习)已知力B是O。的直径，4C是弦，ABAC的角平分线交。。于

点D,DE12C于

(1)如图1,求证：DE是。。的切线；

(2)如图1,若4B=13,AC=5,求ED的长；

(3)如图2,过点B作。。的切线，交4。的延长线于R若ED=DF=x,AD^y,求?的值.

【思路点拨】

(1)连接。。，则利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可以推出乙4DO=NE4D,从而证明。DII4E,

则NE+乙ODE=180°,再由DE1AC,得到NE=90°,贝IJNODE=90°,由此即可证明结论；

(2)连接0D,BC交于F,先利用勾股定理求出BC=12,然后整理四边形ECFD是矩形，得到DE=

CF,Z.CFD=90°,再由垂径定理求得CF=BF=|8C=6,由此即可得到答案；

(3)连接BD,先证明△4ED=ABDF,得至!=BF,再由勾股定理得至1]8。2=AB?—=吕尸2一。尸2,

2

AB2^AF2-BF2,从而可以推出OF?+ao•。尸一4。2=。，即。£■2+40•OE—=。，贝!|(案)+案一

1=0,

设案=3则产+t—i=o,解方程即可.

【解题过程】

(1)证明：如图所示，连接。。，

V0A=0D,

Z-0AD=Z.0DA,

・.・。/平分乙

^EAD=4BAD,

Z.AD0=/LEAD,

：.0D||AE,

：.AE+Z.0DE=180°,

9：DE1AC,

:,乙E=90°,

LODE=90°,

又是o。的半径，

是。。的切线；

(2)解：如图所示，连接。D,BC交于F,

:48是直径，

J./-ACB=乙BCE=90°,

：.BC=s/AB2-AC2=12,

又,：LE=4FDE=90°,

四边形ECFD是矩形，

：.DE=CF,4CFD=90。,

：.CF=BF=-BC=6,

2

：.DE=CF=6；

（3）解：如图所示，连接BD,

是直径，

：.^BDA=Z.BDF=90°,

：.AF+Z,FBD=90°,

•・・。4平分484。，

：.Z.EAD=4BAD,

•・,BF是。。的切线，

：./-ABF=90°,

：./.F+^.FAB=90°,

：.Z.EAD=乙BAD=乙FBD,

VzE=^BDF=90°,ED=FD,

：.△AED三△BDF(AAS),

：.AD=BF,

"：BD2=AB2-AD2=BF2-DF2,AB2=AF2-BF2,

：.AF2-BF2-AD2=BF2-DF2,

(AD+DF)2-AD2-AD2=AD2-DF2,

：.DF2+AD-DF-AD2=0,^DE2+AD-DE-AD2=0

设X

**•+t—1=0,

解得「=寺1或1=—等(舍去)，

.DEV5-1

••—,

AD2

•：ED=DF=x,AD=y,

.y_AD_2_Vs+i

**x~DE~Vs-l-2.

9.(2023•陕西西安・统考二模)问题提出

(1)如图1,。。是AABC的内接圆，乙4=60。，BC=4,则。。半径长等于

图1图2图3

问题探究

(2)如图2,在矩形ABCD中，AB=4,若在边CD上存在一点P,使得乙4PB=90。，求矩形4BCD面积的

最大值；

问题解决

(3)如图3,是一个矩形广场，其中4B=60m,BE足够长.为了方便居民生活，促进经济发展，街道计

划在矩形内部修建一个面积尽量大的交易市场4BCD,其中C,。分别在边BE,AF±,且ABC。=45。.在

具体施工中安全联防小组要求在CD上找到一点°,使得乙4QB=45。，以便安装摄像头对市场进行安全监

管.请问满足上面要求的市场4BCD是否存在，若存在，请求出市场力BCD面积的最大值；若不存在，请说

明理由.

【思路点拨】

(1)连接。8,。。，过点。作OCBC,垂足为。，根据圆周角定理得到NBOC=120。，根据三线合一得到

BD=|BC=2,根据等腰三角形的性质得到4OBC=乙OCB=30°,利用直角三角函数即可求出OB；

(2)设4B的中点为。，以点O为圆心，40为半径作圆，。。与DC的交点可以满足42PB=90。，当当DC

与。。相切时，矩形4BCD面积的最大值，根据圆的性质即可求得矩形的最大面积；

(3)结合(1)和(2)的思路，先作的垂直平分线MN,交力B点交EF与点N,以点M为圆心，以4M为

半径作圆，交MN于点O,再以点。为圆心，4。为半径作O。，O。与直线DC的交点为Q,根据圆周角定

理得N4QB=45。，当DC与O。相切时，AD最大,根据正方形和圆的性质即可求得最大面积.

【解题过程】

解：(1)如下图所示，连接。B,0C,过点。作。OLBC,垂足为£),

：乙4=60°,

:.乙0BC=Z0CB=30°,

"：OD1BC,BC=4

1

：.BD=-BC=2,

2

on

coszOBD=cos30°=—,

OB

：.OB=

3

故答案为：手;

(2)如下图所示，设48的中点为O,以点。为圆心，4。为半径作圆，连接P。,

O。与DC的交点可以满足乙4PB=90°,

矩形4BCD=4Bx2。'

.•.当DC与。。相切时，2D最大，

是。。的切线，

：.P01DC,

/.四边形DP0A是矩形，

：.AD=P0=2,

'S矩形4BCD="BX"0=4X2=8,

故矩形力BCD面积的最大值为8；

(2)如下图所示，作力8的垂直平分线MN,交点M,交EF与点、N,

以点M为圆心，以4M为半径作圆，交MN于点O,再以点。为圆心，4。为半径作。。，过点。作。PlBE,

垂足为P,

•.Z0B=90°,

.••O。与直线0C的交点为Q,根据圆周角定理得乙4QB=45°,

当直线DC与。。相交时，存在点Q,

当直线DC与。。相离时，不存在点Q,

当直线DC与O。相切时，四边形2BCD面积的最大值，

：乙48。=45。"4。=45。，AABP=90°,ABAD=90°

A.ADB=45°,ZOX£)=45°,

：.A0=OD=OQ,AB=AD,

•••点。与点。重合,

■:乙BCD=45°,

，DP=PC=4B=60,

，S四边形ABC。=^UABPD+SRDPC=60x60+-x60x60=5400m2,

故市场2BCD面积的最大值为5400m2.

10.(2023•河北衡水•校联考模拟预测)在一平面内，点D是。力上的点，连接力D,AB.BC、CD是三条定

长线段，将四条线段按如图1顺次首尾相接，把4B固定，让4D绕点4从4B开始逆时针旋转角a(0。<a<360°)

到某一位置时，BC,CD将会跟随到相应的位置，且点C始终保持在4B上方.

(1)若点D在4B上方且A0IBC时，求乙4BC的度数(用含a的式子表示)；

(2)当4D旋转到如图2位置时，连接AC,AC与04交于点P,连接PD,若乙4CD+24CDP=90。，请判断CD

与。4的位置关系，并说明理由；

(3)若02的半径为1,BC=3,AB=CD5,连接4C.

①当点。落在C力的延长线上时，求线段4。扫过的面积(参考数据：tan37°«-)；

4

②当点力与点C的距离最大时，求点。到ZB的距离；

③当点。在48上方，且BC1CD时，直接写出sin/ABC的值.

【思路点拨】

(1)利用平行线的性质求解；

(2)结论：CD是02的切线.如图2中，延长C2交04于点T,连接DT.证明ACLCD即可；

(3)①求出圆心角，利用弧长公式求解；

②如图3—2中，过点。作DH于点H,过点C作C/14B于点/.当4D,C共线时，A,C两点之间距离

2

最大.设刃=y,则有62-(5+y)=32-y2,求出C/,再利用平行线分线段成比例定理求解；

③如图3-3中，过点4作4T1CD于点7,过点4作4R1BC于点R,则四边形4RCT是矩形，设DT=x,AT=

y.构建方程组求解即可.

【解题过程】

(1)解:如图1中，当4DIIBC时,

乙4+=180°,

••・乙B=180°—a；

(2)解：结论：CD是。4的切线.

理由：如图2中，延长C4交。＞1于点T,连接OT.

•••PT是直径，

••・乙TDP=90°,

・•・乙T+乙DPT=90°,

•••乙DPT=乙ACD+乙CDP,

・•・/,ACD+Z.CDP+47=90°

•・•乙ACD+2乙CDP=90°,

・..Z.T=乙CDP,

vAT=AD,

・•・(T=Z.ADT,

・•・乙CAD=ZT+^LADT=2zT=2乙CDP,

・•・乙ACD+Z.CAD=90°,

・•・乙ADC=90°,

ADA.CD,

・・•ZD是半径，

・•・CD是。/的切线；

(3)①如图3—1中

C

B

D

图3/

•••CD=AB=5,AD=1,

AC=CD-4。=5—1=4,

•••BC=3,

•••AC24-BC2=AB2,

•••zC=90°,

.,BC3

tSLYiZ-CANT=—=一,

AC4

・•.Z.CAB为37。,

(180+37)-7TX12

・•・线段/O扫过的面积=2177T

360360

②如图3-2中，过点。作DH于点H,过点C作C/_L4B于点/.

当A,D,C共线时，A,C两点之间距离最大.

2

设B/=y,则有62-（5+y）=32-y2,

解得y=|，

•••DH||CJ,

,.,DH=_AD，

CJAC

DH_1

4VH-6,

5

••・点口到A'的距离为噜

③如图3-3中，过点力作AT1CD于点T,过点2作力R1BC于点R,则四边形4RCT是矩形，设C7=x,AT=

y-

c

x=一

解得（15，

9=不

4R=CT=5-2=4

1717

77

.AAR行77

•••sm乙4BC=—=—=—

AB585

11.（2023•河北石家庄•校考二模）如图，在RtaABC中，NC=90。，^BAC=60°,AB=8,半径为百的OM

与射线BA相切，切点为N,且AN=3,将Rt△ABC绕点4顺时针旋转，设旋转角为a（0。Wa<180。）

（1）AC的长为；

（2）求当旋转角a为多少时，4c与OM相切；

（3）当47落在力N上时，设点B,C的对应点分别是点D,E.

①画出旋转后力C落在射线2N上时的RtAADE（草图即可），此时RtZkADE的斜边力。所在的直线与OM的

位置关系是

②求出Rt△4DE的直角边DE被。M截得的弦PQ的长.

【思路点拨】

(1)根据直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半计算即可.

(2)分4c与OM在上方相切和下方相切两种情形计算即可.

(3)①根据切线的判定定理证明即可.

②求出RtA4DE的.

【解题过程】

(1)=90°,Z.BAC=60°,

:.4B=30°,

：

.AC=-2AB,

\9AB=8,

：.AC=-AB^4,

2

故答案为:4.

(2)如图，

旋转到如图所示的位置时，4C'与OM相切于G,

连接MG,：.^AGM=90°,

与OM相切于N,

J./.ANM=90°,连接AM,

:.乙GAN=2乙MAN,在RtAdMN中，MN=V3,AN=3,

・一〃4MNV3

・・AN=—=—

AN3

：.^MAN=30°,

：ZGAN=60°,

VZ.BAC=60°,

：.a=ACAC=180°-60°-60°=60°；

•.•川7于。”相切，

.♦.AC旋转到AN上时，也满足题意，

：.a=180°-/.BAC=120°

答：当旋转角a为60。或120。时，4C和OM相切.

(3)①如图RtAADE就是要画的图形，

图2

过点M作MH于点

♦.NN与OM相切于N,

Z.ANM=90°,

连接力M,

.,.在RtAAMN中，MN=V3,AN=3,

....MNV3

・・tLanZ-M/lN=—=—

AN3

AAMAN=30°,

■:乙DAN=60°,

：.Z.MAH=30°,

：.Z.MAH=乙MAN,

/-MHA=4MM4

v|z.MXH=4MZN,

、AM=AM

：.△MAH=△4M/N(AAS),

：.AH=ANf

.MH是(DM的切线,

故答案为：相切.

②连接MQ,过“点作时尸1£^,垂足为F,由RtzkABC可知，

AC=-2AB,

根据翻折变换的知识得到AC=AE=4,NE=AE-4N=4-3=1,

■:4MNE=90°,/.NEF=90°,Z.EFM=90°,

四边形MNEF是矩形，

：.NE=MF=1

在RtAMFQ中，

FQ-J(V3)2-l2--V2,

'：MF1DE,M是圆的圆心，PQ是0M的弦，

：.PQ=2FQ=2V2,

故弦PQ的长度2金.

12.(2023•广西梧州•统考二模)如图，在平面直角坐标系中，。是坐标原点，抛物线y=a/+。久一3与x

轴交于4(—1,0)、5(3,0),与y轴交于点C,其顶点为。点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)连结BD、CD,动点。的坐标为(m,1).尸为抛物线上的一点，是否存在以2,D,Q,P为顶点的四

边形是平行四边形？若存在，求出点尸，。的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)连结OQ、CQ,当NCQ。最大时，求出点。的坐标.

【思路点拨】

(1)利用待定系数法即可求解；

(2)求得顶点。(1,-4),分两种情况讨论，当DQ为对角线时，当DP为对角线时，根据平行四边形的性

质以及平移的性质即可求解；

(3)记AOQC的外心为M,则Af在OC的垂直平分线MALE(设MN与y轴交于点N),连接。M、CM.由

圆周角定理和三角函数的定义可表示出sin/CQ。，可得出sin/CQ。的值随着。M的增大而减小，则可得OM

与直线y=1相切，再结合勾股定理可求得。点的坐标.

【解题过程】

(1)解：：抛物线y=a/+"—3与x轴交于4(一1,0)、B(3,0),

・m。解得｛：=；,

(9a+3o-3=03=-2

二抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

(2)解:y=x2—2x-3=(x—I)2—4,

：.D(1,-4),

当DQ为对角线时，根据平行四边形的性质，相当于BD向上平移1个单位，

VD(1,-4),B(3,0),

点B向上平移1个单位为点Q,

/.点D向上平移1个单位为点P,则点P的纵坐标为-3,

解方程/—2x—3=-3,得，x=。或x=2；

当％=0时，P(0,-3),即点D(l,—4)向上平移1个单位，向左平移1个单位，

...点B(3,0)向上平移1个单位，向左平移1个单位，得到点Q(2,1),

当x=2时，同理P(2,-3),Q(4,1)；

即P(0,-3),Q(2,1)或P(2,-3),(2(4,1)；

当DP为对角线时，根据平行四边形的性质，相当于8D向上平移5个单位，

VB(3,0),

二点尸的纵坐标为5,

解方程,—2x—3=5,得，x=—2或x=4；

同理得P(—2,5),<2(-4,1)或P(4,5),(?(2,1)；

综上，P(0,-3),<2(2,1)或P(2,-3),<2(4,1)或P(—2,5),Q(—4,1)或P(4,5),Q(2,1)；

(3)解：如图，记aOQ。的外心为则M在。C的垂直平分线MN上(设MN与y轴交于点N).

y.

连接OM、CM,贝IJNCQ。=[NCM。=NOMN,MC=MO=MQ,

：.sm/-CQO=sinzOMW=就,

.••sin/CQ。的值随着。”的增大而减小.

又：MO=MQ,

当MQ取最小值时sin/CQ。最大，

即MQ垂直直线y=1时，NCQ。最大，

此时，0"与直线丫=1相切.

：.MQ=NF=2.5,MN=VOM2-ON2=2,

；.Q坐标为（2,1）.

根据对称性，另一点（-2,1）也符合题意.

综上可知，。点坐标为（2,1）或（一2,1）.

13.（2023・湖北襄阳•模拟预测）如图，48为。。的直径，C是O。上一点，。。148于点0,弦CD与AB交

于点尸，过点。作NCDE,使NCDE=ADFE,DE交AB的延长线于点E,过点4作。。的切线交ED的延长线于

点G.

（1）求证：GE是。。的切线；

（2）若。。的半径为3,ZG=30°,求图中阴影部分面积.

【思路点拨】

（1）连接。。，根据等边对等角和直角三角形的两锐角互余求得/。。。+4。/。=90。，而乙EFD=4FDE,

则乙CDO+4CDE=90。，从而证得GE是。。的切线；

(2)过点。作DH1AE^H,先根据三角形的内角和定理可得NE=60°=乙CDE,接着得/CD。=Z.C=30°,

根据含30。角的直角三角形的性质可得。尸和。”的长，最后根据面积差可得结论.

【解题过程】

(1)证明：连接。。，

•••OC=OD,

••・Z.C=Z,ODC,

OC1AB,

・•.Z,COF=90°,

・•.AOCD+乙CFO=90°,

・•.Z.ODC+乙CFO=90°,

Z-EFD=Z.FDE,乙CFO=乙EFD,

・•・乙CDO+乙CDE=90°,

•••。。是O。的半径，

GE为