2025北京重点校初二（上）期末数学汇编：轴对称章节综合（填空题）

2025北京重点校初二（上）期末数学汇编

轴对称章节综合（填空题）

一、填空题

1.（2025北京平谷初二上期末）如图，在等边AABC中，BC=8,点。在A8上，点产在2C上，且

BD=3,DE=DF,NEDF=60°,则CE的长为

2.（2025北京怀柔初二上期末）已知等腰三角形的周长为21,其中一边的长为5,则底边的长为.

3.（2025北京门头沟初二上期末）如图，在等边△ABC中，AD是3c边上的高线，且AD=6,E是AB

的中点，如果点P在AD上运动，那么3P+EP的最小值是.

4.（2025北京门头沟初二上期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分垂足为，交BC于点E,连接

AE.如果AE=AC,ZB=25°,那么NC的度数是.

5.（2025北京平谷初二上期末）如图，在AABC中，NB=40。,NZME=25。.通过观察尺规作图的痕迹，可

以求得/C=度.

6.（2025北京延庆初二上期末）如图，AABC是等边三角形，AD是AABC的中线，点。关于直线AC的

对称点为E.连接BE,交AC于点F,交AD于点G,连接AE,DE.

有下面四个结论：

①点A在线段OE的垂直平分线上；

②△ADE是等边三角形；

③△ABG四△相1/；

④点P是线段AE上的一个动点，尸尸+PC的最小值等于8尸.

其中所有正确结论的序号是.

7.（2025北京二中初二上期末）如图，在RtZ\ABC中，ZB=90°,AC的垂直平分线DE分别交AB,

AC于点。和E,CD平分NACB,AT>=5,BD=.

8.（2025北京西城初二上期末）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=30°.D为边BC上一动点,连接

皿当如取最小值时，桀的值为一.

9.（2025北京西城初二上期末）如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条。尸，组成，两根木条在点

。处相连并可绕点。转动.另有长度与QS相等的两根木条MS,MT,其中木条MS的一端S固定在木条

0P上的相应位置，木条MS可绕点S转动，分别调整点M和点T在相应轨道槽中的位置可改变ZPQR的

大小.若小华同学在某次借助“画图仪”画图时，摆出的位置恰好满足：ST=SM,则此时/刖=

p

Q»R

10.（2025北京海淀初二上期末）如图，在锐角AABC中，ZACB=30°,COLAB于点0,CB=a,

CA=b,CO=h,其中。＞＞，M、P、。分别为线段A5、CB、C4上的点（均不与点A,B、C重

合），对于每一个确定的点将AMPQ周长的最小值记为给出下列三个结论：

①过点河向CB、C4作垂线、垂足分别为P、Q,此时AMP。的周长即为《“）；

②在点Af从点A向点3运动过程中，的最小值为八

③当乙＜/（"）＜6时，点”能在两个不同的位置取到相同的）值.

其中所有正确结论的序号是.

11.（2025北京海淀初二上期末）如图，在AABC中，ZA=ZBCA,ZABC=100°,。为AC的中点，延

长8C至点E,使CE=CD,连接班）和。E,则/班应的大小为°.

12.（2025北京海淀初二上期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点8的坐标为

（0,2）,ZABO=45°.以点B为圆心，线段54的长为半径画弧，交》轴正半轴于点C,则点C的坐标

为.

13.（2025北京石景山初二上期末）在△ABC中，AB=AC,ZBAC=100°,。在BC边上，且△版）是等

腰三角形，则14汨的度数为.

14.（2025北京通州初二上期末）如图，在AABC中，AC=4,线段AB的垂直平分线交A3,AC于点

M,N,若BN=3,则WC的长为.

15.（2025北京门头沟初二上期末）在平面直角坐标系中，已知点A（l，0）,3（0,3）和第一象限内点若

△ASM是等腰直角三角形，则点M的坐标是.

16.（2025北京燕山初二上期末）如图，在AABC中，AB=AC,D,E,尸分别是BC,AC,43上的

点，且BFnCD,BD=CE,/FDE=a,则/A的度数是.（用含。的代数式表示）

17.（2025北京东城初二上期末）如图，等腰△ABC中AB=AC,AD±BC,EF垂直平分48,交AB于点

E,交于点R点G是线段E尸上的一动点，若VABC的面积是6cm2,BC=6cm,则△MG的周长最

小值是.

18.（2025北京大兴初二上期末）如图，在△ABC中，点D在边上，连接A。，且8=5,40=13,直

线所是边AC的垂直平分线，若点/在即上运动，则VCZW周长的最小值为.

19.（2025北京二中初二上期末）等腰三角形的一个底角为50。，则它的顶角的度数为

参考答案

1.5

【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题

的关键.

根据全等三角形的性质求出AC=3C=8,ZA=ZB=60°,根据三角形内角和定理、平角定义求出

ZADE=ZBFD,利用AAS证明”IDE1也9口，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可.

【详解】解：♦.・△ABC是等边三角形，

AC=BC=8,ZA=ZB=60°,

・・・ZBDF+ZBFD=180°-60°=120°,

ZEDF=60°,

・・・ZADE-^ZBDF=180°-60°=120°,

:.ZADE=ZBFD.

在△ADE和△跳D中，

,ZA=ZB

<ZADE=ZBFD,

DE=DF

：.△ADE^ABFD(AAS),

:.AE=BD=3f

：.CE=AC-AE=5f

故答案为：5.

2.5

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键.分类讨论当

等腰三角形的底边长为5时，当等腰三角形的腰长为5时，结合三角形的三边关系即可求解；

【详解】解：当等腰三角形的底边长为5时，

・・•等腰三角形的周长为21,

，它的腰长=厂=8；

当等腰三角形的腰长为5时，

•••等腰三角形的周长为21,

它的底边长=21—5—5=11,

­,-5+5=10<11,

二不能组成三角形；

综上所述：它的底边长为5,

故答案为：5.

3.6

【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系求最值：

根据等边三角形可得5尸=CP,那么BP+EP=CP+EP2PC,即最小值为EC,根据面积法可得

CE=AD.

【详解】解：连接CREC,

•・•在等边中，是BC边上的高线，且m=6,E是的中点，

/.CE1AB,BD=CD,BA=BC

***AD垂直平分BC,

：.BP=CP,

・•・BP+EP=CP+EP>EC,

・・・当点2RC三点共线时，BP+EP最小,即为CE,

•：BA=BC,S^C=^BCXAD=^ABXCE,

CE=AD-6,

故答案为：6.

4.50。/50度

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，根据线段垂直平分

线的性质得出钻=3E,进而得到ZB=N&a=25。，根据三角形外角求出ZA£C=ZB+ZBAE=50。，然后再

利用AE=AC,得出NC=/AEC=50。即可.

【详解】解：•.•八£是线段的垂直平分线，

AE=BE,

ZB=ZBAE=25°,

:.ZAEC=ZB+ZBAE=50P,

'：AE=AC,

.•.ZC=ZAEC=50°,

故答案为:50°.

5.50

【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握

线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键.由题可得，直线是线段A8的垂直平分

线，AE为NZMC的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解

即可.

【详解】解：由题可得，直线OF是线段48的垂直平分线，AE为的平分线，

/.AD=BD,ZDAE=ZCAE,

/8=ZBAD=40°,

ZADC=NB+NBAD=80°,

"：ZDAE=25°,

：.ADAC=2NDAE=50°,

ZC=180°-ZDAC-ZADC=ZCAE=180°-50°-80°=50°,

故答案为：50.

6.①②④

【分析】本题主要考查了等边三角形和垂直平分线的性质.熟练掌握等边三角形和垂直平分线的性质，全

等三角形的判断和性质，三角形三边关系，是解决问题的关键.

由对称的性质可得①正确；根据垂直平分线的性质证得/△码/,再根据等边三角形性质得

ZZME=60°,得△ADE是等边三角形；故②正确；由②得AD=AE,AB>AD,进而得出AABG与

△的不全等；故③不正确；P关于直线AC的对称点为P,利用对称性得出PF+PC的最小值等于

BF,故④正确；进而得出结果.

【详解】解：①•.•点。关于直线AC的对称点为E,

AD=AE,

点A在线段DE的垂直平分线上；

故①正确；

②设AC与DE交于点

点D关于直线AC的对称点为E,

AD=AE,

•••点A在线段DE的垂直平分线上；

:.AH±DE,

5L-.-AH=AH,

:.^ADH^AEH（HL）

:.ZDAH=ZEAH,

•zABC是等边三角形，AD是△ABC的中线,

.•.ZZMH=ZR4D=30°,

ZDAE=ZDAH+ZEAH=30。*2=60°,

5L-.AD=AE,

△ADE是等边三角形;

故②正确；

③由②得=

：AB>AD,

:.AB>AE,

.△ABG与△AEF不全等；

故③不正确；

④作如图P点，设P关于直线AC的对称点为P,

AD与AE关于直线AC对称，

:.PF=PF,:.PC=FC,

•.•△ABC是等边三角形，AD是AABC的中线，

:.B与C关于直线AD对称,

BP=CP',

：.CP=BP',

:.PF+PC=P'F+BP',

当点B,P',P三点共线时，所+PC为最小值，

即尸/+PC=3尸，

故④正确；

故答案为：①②④.

7.-/2.5

2

【分析】根据DE垂直平分AC,得出AD=CD,QE，AC,从而得NA=NDC4,根据CD平分NAC3,得

出NDCB=NDCA,DE=DB,即可得NZ)CB=/£>C4=NA,根据三角形内角和定理求出/A=30。，根据直

角三角形的性质即可求解.

【详解】解：垂直平分AC,

Z.AD^CD,DEVAC,

：.ZA=ADCA,

；CD平分/ACB,IB90?,

/.NDCB=ZDCA,DE=DB,

：.ZDCB=NDCA=ZA,

,：1B90?,

ZDCB+ADCA+ZA=3ZA=90°,

・・・ZA=30。，

AD=5f

：.DE=-AD=-,

22

BD=~,

2

故答案为：—.

【点睛】该题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质等

知识点，解题的关键是掌握以上知识点.

8.-

3

【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定，含30。直角三角形的三边关系，垂线段最短等相关知

识，延长AC到点E,使CE=AC,连接8E,证“睡是等边三角形，可推出NCBE=30。，过点。作

DFLBE于点、F,则。尸从而++,故当A,D,尸三点共线时，AD+D尸的最

小，过点A作于点AM即为所求最小值，求出AAf的值即可，构造含30。的直角三角形，将

目标转化为求AD+DF的最小值是解题关键.

【详解】解：如图，延长AC到点使CE=AC,连接BE,

VZACB=90°,即3C_LAC,

3C垂直平分AE,

AB=BE,

•/ZABC=30°,

.\ZBAC=60°,

:.^ABE是等边三角形，

/.ZABE=60°,

:.NCBE=30。,

过点。作DFLBE于点F,

...DF=-BD,

2

:.AD+-BD=AD+DF,

2

.•.求AD+JB。的最小值即求AD+DR的最小值，当A,D,尸三点共线时，AD+DR的最小，过点A作

AW_L跳;于点M,A〃即为所求最小值，

此时/MAC=30。，设CD=x,贝=

BC=3x,

BDr_3x-x_2

"BC3x-3

即当+取最小值时，器的值为g.

2

故答案为：—.

9.90

【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，可得△S77W为等边三角形，再利用QS=SM,求得

/SMQ即可解答，熟知等腰三角形的判定和性质是解题的关键.

【详解】解：由题意可得SM=ST=7M,

「.△STM为等边三角形，

.\ZTSM=ZTMS=6Q0,

ZQSM=180°-ZTSM=120°,

­,•SQ=SM,

“四=蟠铲叫3。。，

ZTMQ=90°,

:.ZTMR=90°,

故答案为：90.

10.②③/③②

【分析】作点“关于3c的对称点,点M关于AC的对称点M",交BC于片，交AC于

连接AAT,交BC于P,交AC于Q,连接MP,MQ,片。，CM,CAT,CM"由两点之间线段最短可

判断①；根据轴对称的性质证明cN=ar=CM〃，ACMH"是等边三角形，由垂线段最短可判断②、

③，进而得结论.

【详解】解：作点M关于BC的对称点M',

点M关于AC的对称点M",MM'交BC于交AC于。，

连接MAT,交2C于P,交AC于。，

连接MP,MQ,42，CM,CM',CM",

根据轴对称的性质可得：CM=CM'=CM",MQ=M"Q,MP=M'P,

ZMCA=ZM"CA,ZMCB=ZM'CB,

ZACB=ZMCA+ZMCB=30°,

ZMCA+ZM"CA+ZMCB+ZM'CB=2ABCA=ZM'CM"=60°,

.•.△Movr是等边三角形，

=CM'=CM=CM",

■：AMPQ的周长《V)=MP+MQ+PQ=PQ+QM"+PM'=MM",

的周长=MQ+巾+6Q=QlM"+PlQl+PiM',

QM'+P[Q,+PlM'>M'M",

与。重合时，CM=CO=h,即(")=/?最小，故①错误；故②正确;

当〃<《M)<b时，点M能在两个不同的位置取到相同的值，

分别在点。两侧且关于点。对称，故③正确，

【点睛】本题考查三角形中的动点问题、轴对称的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质，等边三角形的

性质及判定，熟知相关性质，做到数形结合是正确解决本题的关键.

11.110

【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，以及三角形外角的性质，根据三角形的性

质得NA=NBCA=40。和AB=BC,结合题意得比)，AC和/CDE=/CED,利用三角形外角和性质得

NBCD=/E+NCDE即可求得答案.

【详解】解：VZA=ZBCA,ZABC=100°,

Z.ZA=ZBCA=1(180°-100°)=40°,AB=BC,

。为AC的中点，

，BDLAC,

：./BDC=90。,

CE=CD,

：.NCDE=NCED,

/BCD=NE+ZCDE=40°,

ZCDE=20°,

则ZBDE=ZCDE+ZBDC=HOP,

故答案为：110.

12.（2,0）

【分析】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等知识点，熟练掌握等腰三角形的三

线合一是解题关键.

连接BC,先根据点2的坐标可得03=2,再根据等腰三角形的判定可得49=80=2,△ABC是等腰三

角形，然后根据等腰三角形的三线合一可得OC=Q4=2,由此即可得出答案.

【详解】解：如图，连接BC,

,•・点3的坐标为（0,2）,

OB=2,

=45°,

・•・AO=BO=2,

.•.点A的坐标为（-2,0）,

由同圆半径相等得：BA=BC,

二.AABC是等腰三角形，

BO1AC,

,-.OC=OA=2,

又：点C位于x轴正半轴,

二点C的坐标为（2,0）,

故答案为：（2,0）.

13.70。或100。

【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求

得N3=NC=40。，分类讨论：当=时；当钻=生时；当?1B=A£＞时，分别根据等腰三角形的性质

和三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：AB=AC,ABAC=100。，

；,ZB=ZC=180O-100°=40%

2

当=时，ZB=ZDAB=40°,

ZADB=180°-40°-40°=100°；

1800-40°

当钻=8。时，NBAD=NADB=70°；

2

当=时，ZB=ZADB=40°,

则ABAD=180°-40°-40°=100°=ABAC,

..•不符合题意，故舍去；

综上所述，4Z汨的度数为70。或100。，

故答案为：70。或100。.

14.1

【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离

相等是解题的关键.根据线段垂直平分线的性质得到=进而解答即可.

【详解】解：••.加是线段A8的垂直平分线，

,NA=NB,

：.CN^AC-AN^AC-BN

故答案为：L

15.（4,1）或（2,或或（3,4）

【分析】此题考查了坐标与图形、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，分三种情况

讨论解答即可.

【详解】如图，=时，作MELx轴于点E,

,/Z.BAM=ZAOB=ZAEM=90°,

ZABO+NBAO=90°,NMAE+Z.BAO=90°,

ZABO=ZMAE,

・.・AB=AM,

：.△ABO^AM4E(AAS),

/.AE=OB=3,ME=AO=1,

・•・OE=AO^AE=4,

••.点M的坐标是(4,1),

当AB=8",ZAB"=90。时，同理可求，点”的坐标是(3,4),

当是等腰直角三角形的斜边时，点是8河的中点，则点的坐标为(2,2),

综上可知，满足条件的点M的坐标是(4,1)或(2,2)或(3,4)

故答案为：(4」)或(2,2)或(3,4)

16.(180°-2a)

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据已知条件可

推出ABDP丝ACDE(SAS),从而可知NEDC=NED及根据NCD产=NOEB+NB=/EDC+NED尸得至Ij

NEDF=ZB=90°-1zA,由NFDE=e即可得到答案.

【详解】解：=

:.ZB=ZC,

在小和中，

BF=CD

<AB=AC,

BD=CE

:上BD产与ACDE(SAS),

:.NEDC=NDFB,

ZCDF=NDFB+ZB=NEDC+Z.EDF

.•.ZEDF=ZB=(180°-ZA)4-2=90°-1ZA,

,/ZFDE=a,

90°--ZA=a

2

,-.ZA=180°-2a,

故答案为：Q80°-2a).

17.5c〃z/5厘米

【分析】如图所示，连接2G,根据线段垂直平分线的性质得到4G=BG,进而证明当8、D、G三点共

线，即点G与点尸重合时，3