2025北京重点校七年级（上）期末数学汇编：整式的加减章节综合（解答题）

2025北京重点校初一（上）期末数学汇编

整式的加减章节综合（解答题）

一、解答题

1.（2025北京门头沟初一上期末）阅读理解：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定

逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制.也就是说，“逢几进一”就是几进制

在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制.使用0〜9十个数字记数时，几个数字排成一行，第一位

是个位，个位上的数字是几就表示几个一，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、千位.…

例如，十进制数721中的7表示7个百，2表示2个十，于是我们就可以表示成各数位上的数字与基数的

21

累的乘积之和的形式：（721）io=7xlO+2xlO+1X10°.

（规定当。工0时，a°=l,721右下角的10代表以10为基数）

问题解决：

⑴十进制532写成数字与基数的幕的乘积之和的形式：（532）10=_；

（2）“二进制”是逢二进一，其各数位上的数字为。或1.请把二进制数1101表示成各数位上的数字与基数的

事的乘积之和的形式：此时通过计算就转化为了十进制数」

（3）根据逢二进一的规则计算：（1010）2+（111）2•

2.（2025北京门头沟初一上期末）我们规定：数轴上的点A所表示的数为无，点8所表示的数为x+2,数

轴上存在点P,两两形成的线段中存在相等关系（点P不与点A点B重合），则称点P为线段A3的“等关

联点

0

备用图

（1）当x=l时，点P为线段的“等关联点”，点P所表示的数为」

（2）数轴上存在点〃、N,点/所表示的数是-5,点N所表示的数是+5,如果线段上存在3个点尸为

线段的“等关联点”，则x的最大值是」

（3）对于任意的点A,如果存在点尸为线段的“等关联点”，求点P所表示的数.（用含x的代数式表示）

3.（2025北京门头沟初一上期末）先化简，再求值：3a+2加_2（加一.+娘一1,其中%-5a=2.

4.（2025北京怀柔初一上期末）先化简，再求值：3（2o-Z?）-（2a+3Z?-l）+4（3Z?-2a）,其中2a-36=3.

5.（2025北京昌平初一上期末）【提出问题】数学课上，老师提出一个问题：求』+*+*+（+*+*

的值.

【问题探究】甲、乙两位同学的探究过程如下：

甲同学借助图形进行探究，如图，他将一个面积为1的正方形纸片进行分割，部分②面积是部分①面积的

一半，部分③面积是部分②面积的一半，依此类推，他用最大正方形的面积减去阴影部分面积即是

111111-…

一+—7+^+丁+不+=的值・

22223242526

乙同学从代数角度进行探究，设+^则2s=l+g+J+用第二个等

式减去第一个等式即可求出的值.

由甲、乙同学的探究过程可知.

（1）阴影面积为；

111111

⑵z2+2r+2r+F+2?+F=------------------；

【拓展应用】

⑶根据上述两位同学的探究方法，归纳U+—..+1--------------------；

（4）由（3）归纳的结论，计算：+：+，+…+击=，请说明理由.

①

甲同学图示

6.（2025北京昌平初一上期末）定义：对于一个两位数x,它的个位数字与十位数字不相同，且都不为

零，将其个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数求和，除以11所

得的商记为S（x）.例如x=13,对调个位数字与十位数字得到的新两位数为31,因为明清=4,所以

S（13）=4.

（1）5（27）=；

（2）若S（x）=5,在下列各数中x可能为（填序号）；

①14；②25；③32；@46

（3）若》的十位数字是加，个位数字是“，猜想S（尤）=（用含加，儿的代数式表示），并说明理

由.

7.（2025北京昌平初一上期末）先合并同类项，再求代数式的值：21+6a+3a-1+3,其中。=—1.

8.（2025北京大兴初一上期末）先化简，再求值：2（X2-1）-6X-（X2-X-3）,其中X=-2.

9.（2025北京西城初一上期末）先化简，再求值：孙+（2孙-3y2）-2（孙-丁），其中》=-2,y=g.

10.（2025北京顺义初一上期末）学习完有理数加、减、乘、除运算后，数学兴趣小组对新运算“a※人”进

行了探究.

探究过程如下：

I.给出了“a※力”的一些具体例子：

3彩=+53/=-2(-1.4)※(-14)=0

4颓=+4(-3.5)刈=-1.53M=0

(―2)※(-5)=+7(-5)※(-3)=-2

1※(-3)=+4(-1)^0=-1

0※(-2)=+20%=-5

n.根据上面的例子，小华画出了“4※力”的部分流程图如下:

。※力

III.小明在小华的基础上进一步完善和改进，画出了“4※匕”的流程图如下:

根据以上探究过程，完成下面问题：

(1)在①a+6,②a-b,③axb中，符合小华画的部分流程图的运算有(只填序号);

(2)小明画的流程图中的A处应填,B处应填；

(3)根据小明画的流程图解决下面问题：

①计算：(-1)X2024；

②若2024M=2025,则x的值为.

11.(2025北京顺义初一上期末)已知x=l,'=；，求3x?+：x+y]+g(3x+9y)的值.

12.(2025北京延庆初一上期末)用四个如图1所示的长为°,宽为1的长方形，放置在一个长为加，宽

为〃的大长方形内部，拼成一个如图2所示的图形.

（1）用等式表示机与。之间的数量关系；

（2）设长方形①的周长为G，长方形②的周长为求G+C?（用含”的式子表示）.

13.（2025北京延庆初一上期末）先化简，再求值：夫+11+32,21一3）其中x=g,y=-3.

14.（2025北京东城初一上期末）对于数轴上的点P和线段VN,给出如下定义：若点P与线段MN上一

点的距离等于线段MN的长，则称点P是线段MN的“强关联点”.

（1）点表示的数分别是0,2.

①在-3,0,3中，线段的“强关联点”所表示的数有；

②线段的“强关联点”所表示的数最大为,最小为；

（2）线段的长为

①线段MN的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为；

②线段E尸的长为人若存在点P,使得点P既是线段肱V的“强关联点”，也是线段E尸的“强关联点”.将

线段的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段E尸的“强关联点”所表示的数中的最小数的差记为d,

则d的最大值为（用含•，〃的式子表示）.

15.（2025北京东城初一上期末）已知A=3f—2x+a，B=x2-x+^-,其中a>l.判断A—23的符号，

2

并说明理由.

16.（2025北京东城初一上期末）先化简，再求值：3m2«-2（m2n-3mn+5）-4mn,其中〃z=—2,"=

17.（2025北京东城初一上期末）计算：

⑴!孙+0.75孙；

4

（2）3a-6-（8a-96）

18.（2025北京朝阳初一上期末）如果用而表示一个三位数，那么这个数百位，十位，个位上的数字分

别为x,»z.已知三位数正能被9整除.

⑴写出一组满足条件的。，6,c的值；

⑵说明三位数不能被9整除.

19.（2025北京丰台初一上期末）图1是2025年1月份的日历，用图2所示的“九方格”框住图1中的9个日

期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为“、b、c、d.

（2）当图2在图1的不同位置时，代数式a-%+4c-3d的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是,

请说明理由.

20.（2025北京朝阳初一上期末）先化简，再求值：。%-4廿一2（"-2⑹+2。%,其中a=-3,b=；

21.（2025北京海淀初一上期末）先化简，再求值，+；M2]_3（/匕_1卜2a从一1,其中。=一;,

b=3.

22.（2025北京海淀初一上期末）先化简，再求值，+g浦2）-3（/6-1）-2仍2-1,其中。=一；,

b=3.

23.（2025北京通州初一上期末）求代数式的值.

(l)2x2+3x+l,其中x=—2；

(2)3(a?—ab+—(4a?—ab+3b),其中a=—1,b=3.

24.（2025北京燕山初一上期末）已知加一5〃=3,求代数式4（根—3〃）一2（相—〃）一7的值.

25.（2025北京燕山初一上期末）化简:

Q)-5ab+4ab—ab；

(2)2(/+2a)-3(2〃+a-l)-3.

26.(2025北京丰台初一上期末)先化简，再求值：l(a1-ab)-3\^a1-ab\,其中。=5,b=-2

2

27.（2025北京昌平初一上期末）先化简，再求值：-（6m-9mn）-（H2-6mn）,其中机=1,〃=-3

参考答案

1.(1)5X1O2+3X1O'+2X1O0

(2)1X23+1X22+0X21+1X2°,13

⑶(100011

【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解题中所给“十进制”及“二进制”数的改

写方式是解题的关键.

(1)根据题中所给示例，按要求进行改写即可；

(2)根据“二进制”数的定义，按要求进行改写即可；

(3)根据逢二进一的规则进行计算即可.

【详解】(1)解：由题知，(532,=5x10?+3x1(/+2x10°.

故答案为：5xlO2+3x10*+2x10°.

(2)由题知，

(1101),=1x23+1x2?+0x211x2°=13.

故答案为：1X23+1X22+OX2'+1X20,13；

(3)根据逢二进一的规则可知，

(1010)2+(111)2=(10001)2.

2.(1)-1,2,5

(2)1

⑶x-2,x+1,x+4

【分析】本题考查了数轴，列代数式，正确列出代数式是解题的关键.

(1)先求出点4点B所表示的数，再分类讨论即可；

(2)求出满足题意的x的取值范围，从而得到x的最大值；

(3)分三种情况进行讨论即可.

【详解】(1)解：当x=l时，点A表示的数为1,点B表示的数为3,

①当点P在点A左侧时，AP=AB=2,

•••点尸表示的数为-1;

②当点尸在点A,点B之间，PA=PB=\AB=\

2

•••点尸表示的数为2；

③当点P在点8右侧时，BP=AB=2,

点尸表示的数为5；

综上所述：点P所表示的数为：-1,2,5,

故答案为：-1,2,5；

(2)..•线段上存在3个点P为线段AB的“等关联点”，

・・-5+2«%,5—22%+2

：.-3<x<l,

••x的最大值是1,

故答案为：1；

（3）①当点P在点A左侧时，AP=AB=2,

・,・点尸：%—2；

②当点尸在点A,点3之间，PA=PB=^-AB=1

2

・••点P：x+1；

③当点尸在点5右侧时，BP=AB=2,

••点P：%+2+2=%+4；

综上所述：点尸所表示的数为：x-2,x+1,九+4.

3.5a—2b—1J—3

【分析】本题主要考查了整式的加减-化简求值，解题的关键是掌握去括号法则、合并同类项法则.

先去括号，再合并同类项，最后将助-5〃=2代入求值.

【详解】解：3a+2a/—2（a/—a+Z?）—1

=3a+2ab2—2QZ?2+2a—2b—1

=5a—2b—1,

9

：2b-5a=2f

二・原式=-2-1=-3.

4.—4-ci+6b+1j—5

【分析】本题考查了整式的加减一化简求值，先去括号合并同类项，然后把2a-36=3代入计算即可.

【详解】解：原式=6a—3Z?—2a—3Z?+l+12b—8〃

=y〃+6Z?+i

2a—3b=3,

—4ci+6b+1=—2(Q—3Z?)+1=—6+1=-5.

；(；；理由见解析

5.(1)g2)1-^-(3)1-7(4)^--^24)

【分析】本题主要考查图形规律，数字规律，理解题意，找出数字规律、图形规律是解题的关键.

（1）根据一个面积为1的正方形纸片进行分割，部分②面积是部分①面积的一半，部分③面积是部分②

面积的一半，依此类推，即可求解；

（2）根据材料提示方法计算即可；

⑶设M=（+1+1+•••+1，贝U2M=1+!+&+…+Jr，根据材料提示方法计算即可求解；

2222222

（4）设N=!+J+J+…+了，，则2N=£…+9?，根据材料提示计算即可・

【详解】解：(1)根据图示可得s阴影=7，

故答案为：*;

(2)设S=」+4+4+4+二+4，贝U2s=1+工+4+4+[+4,

22223242526222232425

・••”2S-Sc=L1+万1+1¥+尹1+寸1尹1)-(匕1+1好+法1+呼1+尹1+声11

1

故答案为：1-★;

(3)设知=』+二+二+…+L贝42M="+二+…+」T，

222232"2222"~1

“X,111W11111,1

2M-M=\1+-+—+...+—r--+-r+—+•••+——=1-----,

(222T-x)(22223r)T

故答案为：1-5；

/,、…711111111

(4)=—+—+—+---+^-,贝fJ2N=¥+^y+法+•..+萍y，

...2N-N=[j+}+J+…+„]!+/+J+…

+…+

故答案为：，一

6.(1)9；

⑵①③；

(3)m+«,理由见解析.

【分析】本题考查了整式的加减运算，有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

(1)参照示例，代入运算，即可得到结果；

(2)对所给的四个数字，逐一计算，可得到结果；

(3)表示出这个两位数，代入运算，可得到结果.

27+72八

【详解】(1)解:5(27)—n-=9'

故答案为：9；

(2)解：：S(14)=^^=5,S(25)=25；52=7,s(32)=非;3=5,5(46)=^^=10,

S(x)=5时，尤为14或32,

故答案为：①③；

(3)解：S(x)=m+n,理由如下：

Vx的十位数字是m,个位数字是n,

两位数为10/77+n,

.”\10m+n+10n+mlim+lln

..5x)=----------------------=-------------=m+n,

v71111

故答案为：m+n.

7.a?+9a+3,-5♦

【分析】本题考查了整式的加减一化简求值.利用合并同类项法则计算，然后把。=-1代入求解即可.

【详解】解：2a2+6Q+3〃—储+3

=(2片-片)+(6a+3a)+3

—Q2+9Q+3,

当a=-1时，

JM^=(-1)2+9X(-1)+3

=1-9+3

=-5.

8.%2-5%+1,15

【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答

案.

【详解】解：2(X2-1)-6^-(X2-X-3)

—2丁—2-6x-+x+3

—%?—5x+1,

当x=—2时，原式=(—2)2—5X(—2)+1=4+10+1=15.

9.xy-y2；

【分析】本题考查了整式加减的化简与求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键.根据整式加减

的运算法则化简，再将x=-2,y=g代入到化简后的式子计算即可.

【详解】解：.+(2孙-3y2)-2(孙一丁)

=xy+2xy-3y2-2xy+2y2

=xy-y2>

当x=-2,y时，

原式=(-2)x；-g)=-!-1=5

4

10.(1)(2)

(2洞+网；|H-H|

⑶①—2023；②1或-1

【分析】本题考查了新定义运算、程序流程图、有理数的混合运算，理解题意，根据新运算结果探究出运

算规律是解题的关键.

(1)根据小华画的部分流程图，结合题目的运算即可判断；

(2)根据“々※力”的一些具体例子，分">万和。<人两种情况讨论，利用有理数的混合运算法则即可解答；

(3)①利用(2)中的运算规律，直接计算即可；②由2024Xx=2025>0可得x<2024,从而列出方程

|2024|+凶=2025,解出x的值即可解答.

【详解】(1)解：当a=b时，a+6和axb不一定为0,故①③不符合小华画的部分流程图的运算；

当时，a-b符号为正；当a=b时，<2-6结果为0；当。<人时，a-b符号为负；故②符合小华画的

部分流程图的运算；

故答案为：②.

(2)解：•.•3派2=+5=|3|+|2|,4X0=M=|4|+|0|,(-2)察(-5)=+7=卜2叶5|，1※(一3)=M=|1|+卜3|,

0※(-2)=+2=|0|+卜2|,

「.当a>万时，应$6=时+词,

二小明画的流程图中的A处应填向+；

•.•3派5=-2=-忸-目，(-3,5)>^5=-1.5=-||-3.5|-|5||,(一5)※(—3)=-2=-卜5卜卜3||,

(-1)^0=-||-1|-|0||，0^5=-5=-||0|-|5||,

，当时，加怒=一加一问|；

小明画的流程图中的8处应填|同-例；

故答案为：同+网；|I4T4|.

(3)解:①•.•—1<2024,

.-.(-1)X2024=-||-1|-|2024||=-|1-1024|=-2023；

②•.•2024Xx=2025>0,

.-.2024>x,即/<2024,

202恪=|2024|+|x|=2025,

|-x|=1,

解得：x=l或x=—1,

••・X的值为1或-1.

故答案为：1或T.

【分析】此题考查整式加减中的化简求值，正确掌握整式的加减法计算法则是解题的关键.

【详解】解：原式=3%2—2%2-%-2y+%+3y

=f+y,

i3

二・原式=1+耳=].

12.⑴根=〃+2

(2)G+G=4〃

【分析】本题考查的是整式的加减运算，列代数式；

(1)由长方形的长与线段的和差运算可得答案；

(2)先分另I」求解£=4+2〃—2〃，G=2〃—4+2a,再求和即可.

【详解】(1)解：由题意可得：m=a+2；

(2)解：G=2x(2+〃-〃)=4+2〃一2a,

C2=2x(〃-2+Q)=2〃-4+2a,

/.G+G=4+2〃一2a+2〃—4+2〃=4〃.

13.—3x+y2,8

【分析】本题考查了整式的化简求值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键.

根据整式的加减运算，化简原式为-3x+V，再将x=g,>=-3分别代入原式即可求解.

【详解】解：gx+\|x+gy21，

——3x+y~

Ii,

当x=§,y=—3时，原式=—3尤+y-=—3x§+(―3)=—1+9=8.

14.⑴①0,3；②4,-2

(2)①3a；②3a+36

【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题.

(1)①首先根据题意可知MN=2,分别求得与-3,0,3表示的点相距2个单位长度的点表示的有理数，

然后结合“强关联点”的定义分别判断即可；②首先求得距离点M为2的点表示的有理数以及距离点N为2

的点表示的有理数，再比较大小，即可获得答案；

(2)①根据题意作出图形，结合(1)即可获得答案；②由题意可知，点P为线段MN的“强关联点”所表

示的最大数，且为线段口的“强关联点”所表示的最小数，然后作图，结合图形即可获得答案.

【详解】(1)解:①如图,

MN

I___I___।___1A

-4-3-2-101234

•.•点表示的数分别是0,2,

MN=2—0=2,

与-3表示的点相距2个单位长度的点表示的有理数为-5或-1,

V-5<-1<0,

；•-3表示的点不是线段的“强关联点”；

与0表示的点相距2个单位长度的点表示的有理数为-2或2,

：0<2=2,

.•.0表示的点是线段的“强关联点”；

与3表示的点相距2个单位长度的点表示的有理数为1或5,

V0<1<2,

.*.3表示的点是线段MN的“强关联点”；

②距离点"为2的点表示的有理数为-2和2,

距离点N为2的点表示的有理数为0和4,

V-2<0<2<4,

线段MN的“强关联点”所表示的数最大为4,最小为-2.

故答案为：①0,3；②4,-2；

(2)①如下图，

、aMaNa、3

结合(1)可知，线段MN的“强关联点”所表示的数中，

最大数与最小数的差为力；

②若点P既是线段的“强关联点”，也是线段EF的“强关联点”，

且线段的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段E尸的“强关联点”所表示的数中的最小数的差取最

大值，

则尸为线段的“强关联点”所表示的最大数，且为线段E户的“强关联点”所表示的最小数，

如下图，

0b耳成b：a¥aNa4.

/•d—3a+3b.

故答案为：①3a；②3a+3b.

15.A-23的符号为正，理由见解析

【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握整式加减运算法则是解题关键.将A=3f-2x+a，

3=尤2一尤+；代入A—23,并按照去括号、合并同类项的步骤化简，结合。>1,?>0，即可获得答案.

【详解】解：A-23的符号为正，理由如下:

—3x?—2x+4-2f+2x1

=尢2+Q—1•

因为Q>1,

所以〃-1>0.

又因为*>0，

所以f+〃一1>0,即A—2B>0.

16.m2n+2mn—10,—10

【分析】本题主要考查了整式的化简求值和去括号，熟知相关计算法则是解题的关键.

先根据整式的加减计算法则和去括号法则化简，然后代值计算即可.

【详解】解：原式几一2加2〃+6加〃一10—4机〃

=m2n+2mM-10-

1911

当机二—2,〃=］时，原式=(—2)X—+2x(―2)x——10=2—2—10=—10.

17.⑴孙

(2)-5〃+8Z?

【分析】本题主要考查了整式的加减，去括号，合并同类项等知识点，熟练掌握整式的加减运算法则是解

题的关键.

(1)先将0.75化成分数，再合并同类项即可；

(2)先去括号，再合并同类项即可.

【详解】(1)解：?呼+。-75孙

4

13

=:孙+:孙

44

=呼；

(2)解：3a-b-(8a-9b)

=3a-b-8a+9b

—3a—8a+9b—b

=-5a+8Z?.

18.(l)a=6,b=2,c=l(答案不唯一)

(2)见解析

【分析】本题主要考查了列代数式、代数式变形等知识点，根据题意、正确列出代数式是解题的关键.

(1)先用代数式表示出嬴表示的数，然后列举出能被9整除的数，最后确定。，6,c的值即可；

(2)由於=100o+106+c=99a+96+(a+6+c),设£5=9左(左为正整数)，然后进行变形即可说明三位

数诙能被9整除.

【详解】⑴解：•••"c=100a+106+c，621+9=69,

.•.。=6,6=2,c=l(答案不唯一).

(2)解：由题意可知，~^bc=100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c).

:嬴能被9整除，设式=9k"为正整数).

/.a+b+c=9k-99a-9b=9(^k-lla-b^.

..•a+6+c能被9整除.

由题意可知，acb=100a+10c+b=99a+9c+(^a+b+c^.

•：99a,9c能被9整除，

；•方能被9整除.

19.(1)=

⑵代数式。-4+4c-3d的值是定值，其定值为-68

【分析】此题考查列代数式及整式加减的应用，解题的关键是理解题意，弄清楚数字的排列规律.

(1)分别用含“的式子表示。、b、。、d,列出代数式，化简后比较即可得出结论；

(2)分别用含“的式子表示。、b、。、d,列出代数式，化简后即可解决问题.

【详解】(1)解：设"=〃("为正整数)，贝股=。+14,c=n+2,d=n+l6,

贝U：a+d=n+n+\6=2n+l6,6+c=〃+14+〃+2=2〃+16,

a+d-b+c,

故答案为：=;

(2)代数式a-26+4c-3d的值是定值，理由如下：

设(”为正整数)，贝!]b=a+14,c=〃+2,d="+16,

a—2b+4c—3d

=〃-2(〃+14)+4("+2)-3(〃+16)

="一2〃一28+4"+8-3”-48

=7?-272+4〃一3”―28+8-48

=-68

•••-68为定值，

二a—2b+4c—3d的值为定值，其定值为-68.

20.3a2/?-2ab>11

【分析】本题考查整式的化简及求值.根据题意先将整式化简，再将。=-3,6=g代入化简结果即可.

【详解】解：a2b-4b2-2[ab-2b2)+2a2b

=a2b-4b2-2ab+4b2+2a2b

=3crb-lab，

111

当a=—3,6=§时，原式=3x(-3)9x--2x(-3)x—=11.

,2

21.—c^b—ab2+2,4—.

3

【分析】本题考查了整式的加减——化简求值.先去括号，然后合并同类项，然后把。=-3，8=3.代入

求解即可.

【详解】解：2^a2b+^ab2^-3（a2b-l）-2ab2-1

=2a2b+ab2