2025年高考数学复习难题之空间直角坐标系

2025年高考数学复习难题速递之空间直角坐标系(2025年4月)

选择题(共10小题)

1.(2016秋•九江期末)平面直面坐标系中，已知OC上的点尸(2,2)关于直线2x+2y-7=0和2x-2y

-1=0的对称点仍在OC上，A(-/,0),B(t,0)G>0),若OC上存在点使NAMB=90°,

则r的取值范围为()

A.(0,2]B.[2,3]C.[4,6]D.[6,+°0)

2.如图，在棱长为4的正方体ABCZ)-48ICLDI中，E为棱BC的中点，P是底面A8CO内的一点(包含

边界)，且则线段81P的长度的取值范围是()

A.[等，5]B.[塔，6]C.[5,争]D.[等，6]

3.点M到三条坐标轴及坐标原点的距离分别是Px,Py,Pz及P。,则()

A.P•=呼+4+修

B.2P族=4+4+理

C.-=p2p2p2

2uxyz

D.P0=V2(Px+Py+Pz)

4.三角形ABC的三个顶点A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),则它的面积为()

A.V14B.V17C.2V2D.3V3

5.(2023秋•怀宁县校级月考)已知△ABC的三个顶点分别为A(5,3,2),B(1,-1,-2),C(-3,

-5,2),则8C边上的高等于()

2V38V34V68V6

A.-----B.-----C.-----D.-----

3333

6.(2023•东城区校级模拟)在空间直角坐标系。-孙z中.正四面体尸-ABC的顶点A,B分别在x轴，y

轴上移动.若该正四面体的棱长是2,则|。尸|的取值范围是()

A.[V3-1,V3+1]B.[1,3]C.[V3-1,2]D.[1,V3+1]

7.(2022秋•浙江期中)在空间直角坐标系。-孙z中，A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),点、H

在平面ABC内，则当取最小时，点H的坐标是（）

A（211、767676

A•（罗密引（百，百，百）

C.修，*,昌D.（2,1,1）

8.（2021秋•南海区校级月考）如图所示三棱柱ABC-A1B10中，侧面B81C1C是边长为2的菱形，ZCBB1

=60°,8cl交BiC于点。，A。，侧面BB1C1C,且△ABC为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐

标系。-xyz,则点Al的坐标为（）

A.(-1,V3,1)B.(-V3,1,1)C.(-1,2,V3)D.(-2,1,V3)

9.（2015秋•应城市校级期中）在空间直角坐标系中，以ACm,1,9）,B（10,-1,6),C(2,4,3)

为顶点的三角形是等腰三角形，其中相ez,则相的值为（）

A.-4B.4C.-6或4D.6或4

10.（2014•江西）如图，在长方体AB。-AiBiCiDi中，AB=\\,49=7,441=12.一质点从顶点A射

向点E（4,3,12）,遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第「1次到第，•次反射点之间的

线段记为3,4）,h=AE,将线段/i,/2,/3,/4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）

Bx

x

11'2’34

二.填空题（共5小题）

11.（2025春・湖北月考）在棱长为2&的正四面体48。中,","分别是48,。的中点,则也如=,

12.（2024秋•徐汇区校级期末）空间直角坐标系中有一条线段，这条线段在xOy平面，yOz平面，xOz平

面上的射影长分别为5,V41,V34,则这条线段的长为.

13.（2024秋•江北区校级月考）如图，两条异面直线°,6所成角为30°,在直线上a,b分别取点A,E

和点A,F,使AA，_La且AA'_L6,已知A'E=2,AF=V3,EF=5,则线段AA'的长

为_______________________.

♦Q

<

F

14.（2015秋•海淀区校级期末）已知AABC的顶点A（1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,1),CD是

AB边上的高，则点。的坐标为____________________.

15.（2015秋•殷都区校级期末）如果三点A（1,5,-2）,B2,4,1),C(a,3,6+2)在同一条直线

上，那么a+b=.

三.解答题(共5小题)

16.(2015春•枣阳市月考)已知A(1,1,1)、B(2,2,2)、C(3,2,4),求△ABC的面积.

17.(2014秋•江西月考)如图,在空间直角坐标系中，BC=2,原点。是的中点，点4的坐标是宝,

1

-

20),点D在平面yOz上,且N5OC=90°,ZZ)CB=30°，求点。的坐标.

八Z

D

18.(2014•开福区校级模拟)求下列两点间的距离：

(1)A(1,1,0),B(1,1,1)；

(2)C(-3,1,5),D(0,-2,3).

19.(2013秋•东港区校级期末)在如图所示的空间直角坐标系。-孙z中，原点。是8c的中点，A点坐

标为(号，2，0),。点在平面yoz上，BC=2,ZBDC=90°,NDCB=30°.

(I)求。点坐标；

20.如图，长方体。WC-DA8c中,\OA\=3,10cl=4,\OD'\=3,AC于8。相交于点P.分别写出C,

B',尸的坐标.

2025年高考数学复习难题速递之空间直角坐标系(2025年4月)

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

题号12345678910

答案BDBADAABBc

选择题(共10小题)

1.(2016秋•九江期末)平面直面坐标系中，已知OC上的点尸(2,2)关于直线2x+2y-7=0和2x-2y

-1=0的对称点仍在OC上，A(-0),B(t,0)(t>0),若(DC上存在点使/AM8=90°,

则t的取值范围为()

A.(0,2]B.[2,3]C.[4,6]D.[6,+°0)

【考点】空间中的点的坐标.

【专题】对应思想；转化法；空间向量及应用.

【答案】B

【分析】设圆C上的点到原点的距离为d,求出d的范围，根据A(-t,0),BG,0),(f>0)的中

点为。，求出f的范围即可.

【解答】解：联立方程十胃一；=得圆心C(2,

12%—2y—1=02

则圆的半径|PC|=圆心c到原点的距离为屈各=I，

设圆C上的点到原点的距离为力

51耳1

则一一一<d<5+即2WQW3,

2222

VA(-60),B(r,0),口>0)的中点为O,且NAMB=90°,

则以。为圆心，A3为直径的圆经过点且0M=%3=£,

・・2WW3,

故选：B.

【点评】本题考查了直线的对称关系，考查转化思想，是一道中档题.

2.如图，在棱长为4的正方体A8CQ-AIBICLDI中，£为棱BC的中点，P是底面A8C。内的一点(包含

边界)，且8iP_LDE,则线段的尸的长度的取值范围是()

A.[等，5]B.[等，6]C.[5,岑WD.[萼，6]

【考点】空间两点间的距离公式.

【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；运算求解.

【答案】D

【分析】作出空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示，求得点尸的轨迹方程，再代入两点间的距

离公式，求线段长度的取值范围.

【解答】解：以。为原点，以D4,DC,所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标

设P(无，»0)(0WxW4,0WyW4),贝!=(4-x,4-y,4),

—>—>—>

ED1=(-2,-4,4),XBiPXOiE,所以PB1•为=0,

SP-2(4-x)-4X(4-y)+4X4=0,贝l|x+2y-4=0.

当x=0时，y=2,设/(0,2,0),所以点尸在底面ABC。内的轨迹为一条线段AR

tI------------------I-----------I4144

所以田/|=J(4—x)2+(4—y)2+42=J5y2_8y+32=J5(y-|)2+手，0WyW2,

4

->12后T

-

5田止|„^=亨，当y=2时，IB+1nl”=6.

所以线段B1P的长度的取值范围是[r一，6],

故选：D.

【点评】本题考查空间中两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

3.点M到三条坐标轴及坐标原点的距离分别是Py,P及尸o,则()

A.P成=4+4+工

B.2P券=呼+4+&

C,9—。+P：

D.P0=V2(Pr+Py+Pz)

【考点】空间中的点的坐标.

【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】B

【分析】根据空间坐标，建立方程，再化归转化，即可求解.

【解答】解：设Af(x,y,z),又M到三条坐标轴及坐标原点的距离分别是Px,Py,Pz及Po,

—=y2+z2

222

；.■(与)2=x+z,(&)2+(号)2+(2)2=2(久2+y2+=2(P0).

、(g)2=/+y2

故选：B.

【点评】本题考查空间坐标，两点间距离公式，化归转化思想，属中档题.

4.三角形ABC的三个顶点A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),则它的面积为()

A.V14B.V17C.2V2D.3A/3

【考点】空间两点间的距离公式.

【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；空间向量及应用；逻辑思维；运算

求解.

【答案】A

【分析】直接利用两点间的距离公式和余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果.

【解答】解：由于△ABC的三个顶点A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),

故V22+22+22=2V3,|AC|=Vl2+22+42=V21,|BC|二V(-1)2+°2+22=V5.

所以38=2x2回回=一二,

故sinB=-7=,

-1/-IA___

所以S—BC=5x2V3xV5x-7===V14.

乙V15

故选：A.

【点评】本题考查的知识要点：两点间的距离公式，余弦定理和三角形面积公式，主要考查学生的运算

能力和数学思维能力，属于中档题.

5.(2023秋•怀宁县校级月考)已知AASC的三个顶点分别为A(5,3,2),B(1,-1,-2),C(-3,

-5,2),则BC边上的高等于()

2V38V34V68V6

A.——B.——C.—D.——

3333

【考点】空间两点间的距离公式.

【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】利用向量运算以及向量的夹角公式进行求解.

—>—>

【解答】解：由题意可知，BA=(4,4,4),BC=(-4,-4,4),

讪“BA-BC(4/4/4),(—4/-4,4)1

贝！JcosB=—~—=----------八仄八百-------=一千

\BA\-\BC\4V34V3'

所以sinB=

所以8C边上的高4=\BA\sinB=4A/3X

故选：D.

【点评】本题主要考查空间向量的应用，属于中档题.

6.(2023•东城区校级模拟)在空间直角坐标系。-孙z中.正四面体P-ABC的顶点A,B分别在x轴，y

轴上移动.若该正四面体的棱长是2,则|。尸|的取值范围是()

A.[V3-1,V3+1]B.[1,3]C.[V3-1,2]D.[1,V3+1]

【考点】空间中的点的坐标.

【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离.

【答案】A

【分析】根据题意画出图形，结合图形，固定正四面体P-A8C的位置，则原点。在以A8为直径的球

面上运动，

原点0到点P的最近距离等于PM减去球的半径，最大距离是PM加上球的半径.

【解答】解：

如图所示，若固定正四面体尸-ABC的位置，则原点。在以A8为直径的球面上运动,

设AB的中点为M,则PM=用中=V3；

所以原点0到点P的最近距离等于PM减去球M的半径,

最大距离是PM加上球M的半径；

所以百-1W|。产区百+1,

即|。尸|的取值范围是[8-1,V3+1].

故选：A.

万…,

【点评】本题主要考查了点到直线以及点到平面的距离与应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题,

是综合题.

7.(2022秋•浙江期中)在空间直角坐标系O-xyz中，A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),点H

在平面ABC内，则当|。句取最小时，点X的坐标是()

A(211、R(屈屈屈、

A.(当引引B•(丁，石，百)

C.造昌D.(2,1,1)

【考点】空间中的点的坐标.

【专题】对应思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解.

【答案】A

【分析】根据题意可知，为三棱锥。-A3C的高时》的坐标即是所求的坐标，可设8(x,y,z),

贝Ij。”=(%,y,z),可求出点。到平面ABC的距离，得至卜2+y2+z2=|,再利用。“〃小，得x=2人，

y=2l,z=A,解出即可.

【解答】解：由题意，在空间直角坐标系。-孙z中，A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),

设HG,y,z),m=(a,b,c)为平面ABC的法向量，

则OH=(%,y,z),=2,0),BC=(0,—2,2),04=(1,0,0),

fTT,

则也丝=。0{-笈3=。

D厂

-BC=0nI—2b+2c=0

令Z?=l,则4=2,C=l,故771=(2,1,1),

则点O到平面ABC的距离为：

,OA-m._2_V6

\m\V63，

所以|。”|=+y2+z2=苧，

则%2+y2+z2=^,

7T—T

又。M〃6，OH=Am,ACR,AwO,

即(x,y,z)=人(2,1,1,)=(2入，A,入)，

所以％=2入，y=入，z=入，^A%2+y2+z2=I，

可得A=&，

则％=可，y=z=w，

T711711

所以OH=(可，w，可)，则”(吾，w，可)，

故选：A.

【点评】本题考查了向量的坐标运算，考查法向量问题，是中档题.

8.(2021秋•南海区校级月考)如图所示三棱柱ABC-A131cl中，侧面851cle是边长为2的菱形，ZCBB1

=60°,5。交于点O,AOL侧面55CC,且△A3C为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐

标系。-孙z,则点4的坐标为()

A.(-1,V3,1)B.(-V3,1,1)C.(-1,2,V3)D.(-2,1,V3)

【考点】空间中的点的坐标.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】B

【分析】直接利用相连的坐标运算和向量共线的充要条件的应用及空间直角坐标系的应用求出结果.

【解答】解：如图所示：

三棱柱A8C-4B1C1中，侧面881GC是边长为2菱形，ZC5Bi=60°,BCi交81C于点0,&。，侧

面BB1C1C,

所以△BB1C为等边三角形，

故08=®08i=0C=l,

由于平面B1C1CB,且△AB1C为等腰直角三角形，

所以AO=\,

—>—>

利用空间直角坐标系：AB=A1B1,点A和点4的竖标相等，

整理得4(—百，1,1).

【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的共线，空间直角坐标系，主要考查学生的运算

能力和数学思维能力，属于中档题.

9.(2015秋•应城市校级期中)在空间直角坐标系中，以A(m,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)

为顶点的三角形是等腰三角形，其中机ez,则机的值为()

A.-4B.4C.-6或4D.6或4

【考点】空间两点间的距离公式.

【专题】分类讨论；综合法；空间位置关系与距离.

【答案】B

【分析】根据△ABC是等腰三角形，得到两条腰的长度相等，根据两点之间的距离公式写出关于相的

等式，解方程即可.

【解答】解：如果点A(相，1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的△ABC是以AB为底边

的等腰三角形，

：.\AC\=\BC\,

：7(jn-2一+(1—4-+(9-3-=7(10-2)2+(-1-4)2+(6-3)2,

；.53=(m-2)2,mEZ,

...方程无解.

如果点A。”，1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的△ABC是以AC为底边的等腰三角形，

：.\AB\=\BC\,

-10)2+(1+1)2+(9—6尸=7(10-2)2+(-1-4)2+(6-3)2,

(m-10)2=85.

VmGZ,

方程无解.

如果点ACm,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，

A\AB\=\AC\,

—10)2+(1+1尸+(9—6尸=7(m-2)2+(1-4)2+(9-3)2,

(m-10)2=32+(m-2)2.解得机=4.

故选：B.

【点评】本题考查空间中两点之间的距离公式，本题是中档题，考查分类讨论思想的应用，这种题目若

出现就是一个送分题目，同学们在解题过程中认真做出数字，就不会出错.

10.(2014•江西)如图，在长方体ABC。-AiBiCiDi中，AB=11,AD=1,441=12.一质点从顶点A射

向点E(4,3,12),遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第「1次到第，次反射点之间的

线段记为/i(i=2,3,4),h=AE,将线段/i,/2,/3,/4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是()

Bx

11*2‘3'4

B.

【考点】空间中的点的坐标；点、线、面间的距离计算.

【专题】空间向量及应用.

【答案】C

【分析】根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点

间的距离公式，求出距离，即可求解.

【解答】解：根据题意有：

A的坐标为：(0,0,0),2的坐标为(11,0,0),C的坐标为(11,7,0),。的坐标为(0,7,0)；

4的坐标为：(0,0,12),81的坐标为(11,0,12),Ci的坐标为(11,7,12),的坐标为(0,7,

12)；

E的坐标为(4,3,12)

(1)/1长度计算

所以：h^\AE\=J(4—0)2+(3—0)2+(12—。尸=13.

(2)/2长度计算

将平面ALBICLDI沿Z轴正向平移A41个单位，得到平面4222c2。2；显然有：

上的坐标为：(0,0,24),放的坐标为(11,0,24),C2的坐标为(11,7,24),。2的坐标为(0,7,

24）；

显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面AiBiCiDi对称.

设AE与的延长线与平面A282c2。2相交于：£2(XE2,yE2,24)

根据相似三角形易知：

X£?=2XE=2X4=8,

J£2=2JE=2X3=6,

即：Ei(8,6,24)

根据坐标可知，£2在长方形A2B2C2D2内.

根据反射原理，及在平面ABCD上的投影即为AE反射光与平面ABC。的交点.

所以尸的坐标为(8,6,0).

因此：h=\EF\=J(8—4尸+(6-3尸+(0—12)2=13.

(3)/3长度计算

设G的坐标为：(XG,yG,ZG)

如果G落在平面BCC1B1；

这个时候有：XG=11,>G<7,ZGW12

根据反射原理有：AE//FG

于是：向量族与向量而共线；

即有：AE=XFG

—»—»

因为：AE=(4,3,12)；FG=(XG-8,yG-6,ZG-0)=(3,yG-6,ZG)

即有：(4,3,12)=入(3,yG-6,ZG)

解得：yG=苧，ZG=9；

33

故G的坐标为：(11,—,9)

4

33

因为：—>7,故G点不在平面BC。囱上，

4

所以：G点只能在平面。CCLDI上；

因此有：>G=7；XGWH,ZGW12

—>

此时：FG=(XG-8,yG~6,ZG-0)=(XG-8,1,ZG)

即有：(4,3,12)=21(XG-8,1,ZG)

解得：XG=竽，ZG=4；

满足：XGWII,ZGW12

故G的坐标为：（一，7,4）

3

所以：/3=@G|=J（冬-8）2+（7—6）2+（4—0）2=学

（4）/4长度计算

28

设G点在平面ALBI&DI的投影为G',坐标为（5，7,12）

因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；

即：AEPGH共面

故EG的反射线G〃只能与平面AIBICLDI相交，且交点〃只能在4G；

易知：14>\GG'|=12-4=8>/3.

根据以上解析，可知A,12,13,/4要满足以下关系：

11=12;且拉>/3

对比ABC。选项，可知，只有C选项满足以上条件.

故选：C.

【点评】本题主要考查的空间中点坐标的概念，两点间的距离公式，解法灵活，属于难题.

二.填空题（共5小题）

11.（2025春•湖北月考）在棱长为2a的正四面体48。中,M,N分别是AB,的中点，则|MN|=2.

【考点】空间两点间的距离公式.

【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】2.

【分析】利用正四面体的性质，通过构建直角三角形，运用勾股定理来求解线段长度.先取中点E,

连接ME、NE,把MN置于△MEN中，再利用勾股定理求出1MM.

【解答】解：因为〃是45中点，E是中点，所以眼月=孑8。，

已知正四面体棱长为2vL即|8。|=2/，所以|ME|=VL

同理，N是CD中点，E是AD中点，在△AC。中，NE是△ACD的中位线,

所以|NE|=飘0=VL

由于正四面体各个面都是正三角形，ME平行于BD,NE平行于AC,

而正四面体中异面直线AC与2。所成角为90°,所以NMEN=90°,

在中，根据勾股定理，所以|W|=J‘+四=2.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查空间两点间距离的计算，属于中档题.

12.（2024秋•徐汇区校级期末）空间直角坐标系中有一条线段，这条线段在xOy平面，yOz平面，龙Oz平

面上的射影长分别为5,V41,V34,则这条线段的长为5企.

【考点】空间中的点在坐标平面内的射影.

【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解.

【答案】5V2.

【分析】将原问题转化为求长方体的体对角线长度，即可求解.

【解答】解：由题意可知，这条线段可看作长方体的体对角线，这个长方体的同一个顶点外的三个表面

的面对角线为5,V41,V34,

设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,

则口2+y+,2=9弊双=50,

故这条线段的长为4口2+岳+c2=5A/2.

故答案为：5V2.

【点评】本题主要考查空间中的点在坐标平面内的射影，属于基础题.

13.（2024秋•江北区校级月考）如图，两条异面直线a,6所成角为30°,在直线上a,b分别取点A,E

和点A,F,使且已知A'E=2,AF=V3,EF=5,则线段441的长为访或3/

【考点】空间两点间的距离公式.

【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；运算求解.

【答案】庭或3a.

【分析】根据空间向量的加法，利用向量数量积的性质计算模长，建立方程，可得答案.

TT-T

【解答】解：因为EF=EA'+4A+AF,

所以|EF『=(E&+A'A+AF)2

—>—>T—>—>—>—>—>—>

=\EA'\2+\AA'\2+|71F|2+2EA'-AA'+2EA'-AF+2AA'-AF,

由于AA，_La,AA'±b,

———>T

贝IJ2E4•A4'=0,2AA'-AF=0,

又因为两条异面直线a,万所成角为30°,

所以出4,AF)=30。或150°,

又NE=2,AF=V3,EF=5,

故52=22+\A'A\2+32+2X2XV3XCOS<EA',AF>,

―>

可得|A4|=e或3鱼.

故答案为：逐或3位.

【点评】本题考查利用空间向量求解空间距离，属中档题.

14.(2015秋•海淀区校级期末)已知△ABC的顶点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,1),CD是

AB边上的高，则点。的坐标为|,0).

【考点】空间中的点的坐标.

【专题】转化思想；空间位置关系与距离；空间向量及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】28=(-1,2,0).设4。=XAB,可得：OD=(1-入，2入，0).^ABLCD,可得4BS=0,解

得入，即可得出.

【解答】解：几=(-1,2,0).

i^AD=XAB,可得：OD=O4+X4B=(1-A,2入，0).

.,.CD=(1-X,2入，-1).

—>—>

'：ABLCD,

：.AB-CD=-(1-X)+4入=0,解得：A=i,

-42

：.OD=(j,0).

故答案为：G，看,0).

【点评】本题考查了向量共线定理、向量垂直于数量积的关系、向量坐标运算性质，考查了推理能力与

计算能力，属于中档题.

15.(2015秋•殷都区校级期末)如果三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一条直线

上，那么a+b—5.

【考点】空间中的点的坐标.

【专题】方程思想；向量法；空间向量及应用.

【答案】见试题解答内容

—>—>

【分析】根据三点在同一条直线上，得出向量4B、AC共线，利用共线定理求出外6的值即可.

【解答】解：：三点A、B、C在同一条直线上，

—>—>—>—>

，向量AB、AC共线，又力B=(1,-1,3),AC=(a-1,-2,b+4),

.Q—1—2匕+4

1-一1-3

解得a=3,b=2,

故答案为：5.

【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

三.解答题(共5小题)

16.(2015春•枣阳市月考)己知A(1,1,1)、B(2,2,2)、C(3,2,4),求△ABC的面积.

【考点】空间两点间的距离公式.

【专题】解三角形；空间向量及应用.

【答案】见试题解答内容

—>—>—>—>

【分析】利用坐标表示AB、AC,求出4B与AC夹角的余弦值，从而得出A的正弦值，再计算△ABC的

面积.

【解答】解：(b1,1)、B(2,2,2)、C(3,2,4),

—>—>

：.AB=(1,1,1),AC=(2,1,3),

：.AB^AC=1X2+1X1+1义3=6,

\AB\=Vl2+12+12=V3,

T___________

\AC\=V22+l2+32=V14；

—>—>AB-AC6，6

cos<AB,AC>=

|iB|x|AC|右x回7;

(6

即cosA=

7,

siti4=Vl—cos2X=圣

△ABC的面积为

SAABC=1|/lB||XC|sinA=|xV3xV14x^^^.

【点评】本题考查了空间向量的坐标运算的应用问题，也考查了求三角形的面积问题，是基础题目.

17.(2014秋•江西月考)如图，在空间直角坐标系中，BC=2,原点。是BC的中点，点A的坐标是(三,

1

--0),点。在平面yOz上，且/8Z)C=90°,ZDCB=3Q°,求点。的坐标.

【考点】空间中两点中点坐标及点关于点对称点坐标.

【专题】空间位置关系与距离.

【答案】见试题解答内容

【分析】由题意求出。E,DE,即可得到。的坐标.

【解答】解：过。作。E_L8C,垂足为E,在RtZ\8OC中，NBDC=9Q°,ZDCB=30°,BC=2,

得8D=1,CD=V3,

F5

DE=CDsm30°=号，

0E=OB-BE=OB-B£)cos60°=1-1=

_1V3

••.点。的坐标(0,—2>—

【点评】本题考查空间的点的坐标的求法，基本知识的考查.

18.(2014•开福区校级模拟)求下列两点间的距离：

(1)A(1,1,0),B(1,1,1)；

(2)C(-3,1,5),D(0,-2,3).

【考点】空间两点间的距离公式.

【专题】计算题.

【答案】(1)1；

(2)V22.

【分析】由题目给的点的坐标，代入空间两点间的距离公式计算可得.

【解答】解：(1)由空间两点间的距离公式可得|AB|=J(1—1尸+(1—1尸+(0—1尸=1；

(2)同(1)可得|CZ)|=，(一3—0)2+(1+2尸+(5—3尸=疸

【点评】本题考查空间两点间的距离公式，属基础题.

19.(2013秋•东港区校级期末)在如图所示的空间直角坐标系。-孙z中，原点。是BC的中点，A点坐

F51

标为用，2，0卜。点在平面yoz上，BC=2,/BDC=90°,/DCB=3Q°.

(I)求。点坐标；

->—>

(II)求cosVW,BC>的值.

【考点】空间中的点的坐标；异面直线及其所成的角.

【专题】空间角.

【答案】见试题解答内容

【分析】（I）在平面yoz上，通过解直角三角形即可求得。点的坐标；

—>—>

（II）由已知A点的坐标及（I）中求得的。的坐标，得到向量4。的坐标，求出向量BC的坐标，然后

由向量的夹角公式求解.

【解答】解：（I）如图,

在平面yoz上，过。点作。垂足为

在△BOC中，由/B£)C=90°,ZDCB=30°,BC=2,

得BD=勺BC=1,DH=BDsin/DBH=1又号=号,BH=^BD=卞OH=右

.•.Z)点坐标为(0，—亨)；

(II)由0),D(0，—f得40=(-,—1/9

由题设知：B(0,-1,0),C(0,1,0),

：.BC-(0,2,0),G,品=(—字，-1,孚)Y。，2,0)=—2,

|G|=J(—孚)2+(—1)2+(孚)2=乎,\BC\=2,

<10

~5~-

\AD|,\BC\2”x2

【点评】本题考查了空间中点的坐标的求解,考查了利用空间向量求异面直线所成的角，考查了学生的

计算能力，是中档题.

20.如图，长方体。48C-D&EC中，|。4|=3,|OC|=4,|OD'|=3,AC于夕。相交于点P.分别写出C,

B',尸的坐标.

L________________』C

/0上,

^<4B

X

【考点】空间中的点的坐标.

【专题】阅读型.

【答案】见试题解答内容

【分析】别以。4,OC,。》作为空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图.根

据长方体。4BC-中，|。4|=3,|0C|=4,|0。|=3和长方体在坐标系中的位置，写出夕点的

顶点坐标是（3,4,3）和C的坐标，根据中点的坐标公式写出中点尸的坐标.

【解答】解：分别以040C,作为空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

如图，

根据长方体0ABC-ZM8C中,|0A|=3,10cl=4,\OD'\=3,

则C点的坐标为（0,4,0）,。'点的坐标为（0,0,3）,

8'点的坐标为（3,4,3）,

由中点坐标公式得：P的坐标为g,2,3）.

故答案为：C,B',P各点的坐标分别是：

（0,4,0）,（3,4,3）,6，2,3）.

【点评】本题考查空间中点的坐标，考查在坐标系中表示出要用的点的坐标，考查中点坐标公式，是一

个基础题，这种题目是以后利用空间向量解决立体几何的主要工具.

考点卡片

1.异面直线及其所成的角

【知识点的认识】

1、异面直线所成的角：

直线a,6是异面直线，经过空间任意一点。，作直线a',b',并使a'//a,b'//b.我们把直线a'

7t

和，所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和6所成的角.异面直线所成的角的范围：ee(0,-].当e

=90°时，称两条异面直线互相垂直.

2、求异面直线所成的角的方法：

求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线.

3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

1.余弦定理：在AABC巾，有

a2=b2+c2—2bccosA，

b2=a2+c2—2accosB，

c2—a2+b2—labcosC.

2.余弦定理的推论：cosA=------

2bc

lac

COSc/+〃-C

2ab

2.空间中的点的坐标

【知识点的认识】

1、在x、y、z轴上的点分别可以表示为(〃，0,0),(0,b,0),(0,0,c),

在坐标平面xOy,xOz,yOz内的点分别可以表示为(a,b,0),(〃，0,c),(0,b,c).

2、点尸(a,b,c)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b,-c,)

点尸(q,b,c)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b,-c,)；

点P(a,b,c)关于z轴的对称点的坐标为(-a,-b,c,)；

点尸(o,b,c)关于坐标平面xOy的对称点为(a,b,-c,)；

点尸(a,b,c)关于坐标平面xOz的对称点为(〃，-b,c,)；

点尸(a,b,c)关于坐标平面yOz的对称点为(-4,b,c,)；

点P(a,b,c)关于原点的对称点(-a,-b,-c,).

3、已知空间两点Pl(XI,Jl,Zl),Pl(X2,y2,Z2)则线段P1P2的中点坐标为(红也，也堆，出丝)

222

3.空间两点间的距离公式

【知识点的认识】

空间两点间的距离公式：

已知空间两点尸(xi,y\,zi),Q(x2,yi,z2),

则两点的距离为IPQ1=J(再-前)-+(Ji