2025年高考数学复习难题之两个基本计数原理

2025年高考数学复习难题速递之两个基本计数原理（2025年4月）

选择题（共10小题）

1.（2023春•重庆月考）如图，4个圆相交共有8个交点，用5种不同的颜色给8个交点染色（5种颜色都

用），要求在同一圆上的4个交点的颜色互不相同，则不同的染色方案共有（）种.

2400C.1920D.96

2.（2023春•运城期末）某艺术团为期三天公益演出，其表演节目分别为歌唱，民族舞，戏曲，演奏，舞

台剧，爵士舞，要求戏曲与爵士舞不得安排在同一天进行，每天至少进行一类节目，则不同的演出安排

方案共有（）

A.720种B.3168种C.1296种D.5040种

3.（2023•茂南区校级三模）由数字0,1,2,3,4组成的各位上没有重复数字的五位数中，从小到大排

列第88个数为（）

A.42031B.42103C.42130D.42301

4.（2024•东湖区校级三模）设（XI,X3,X4,X5）是1,2,3,4,5的一个排列，若（有-羽+1）（Xz+1

-Xi+2)<0对一切zG{1,2,3｝恒成立，就称该排列是“交替”的.“交替”的排列的数目是（）

A.8B.16C.24D.32

5.（2023•定远县校级模拟）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5种颜色的“每

日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各

不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（）

A.20160B.20220C.20280D.20340

6.（2022秋•陈仓区校级月考）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择,

要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种

A.36B.48C.54D.72

7.（2022春•太原期中）某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和

体育这6门学科中任选4门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第

4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为（）

A.18B.48C.50D.54

8.（2021•未央区校级模拟）用5种不同颜色给图中5个车站的候车牌（E,A,B,C,D）染色，要求相

邻的两个车站间的候车牌不同色，有（）种染色方法.

9.（2021秋•道里区校级月考）现有2名学生代表，2名教师代表和3名家长代表合影，则同类代表互不

相邻的排法共有（）种.

A.552B.864C.912D.1008

10.（2020春•龙凤区校级期末）由0,1,2,9这十个数组成无重复数字的四位数中，个位数字与百

位数字之差的绝对值等于8的个数为（）

A.180B.196C.210D.224

二.填空题（共5小题）

11.（2024•徐汇区模拟）将四棱锥S-A8CD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如

果只有四种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为.

12.（2024春•河东区校级月考）某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优

秀团员6人,学校组织他们去参观某爱国主义教育基地.推选1名优秀团员为总负责人，有种

不同的选法.

13.（2024春•信阳期中）对于各数互不相等的正数数组（2”，…，帚）（〃是不小于3的正整数），若对

于任意的p,qe{l,2.3,•••,n],当时有勿＞切，则称6与弁是该数组的一个"逆序"，一个数组

中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”.例如，数组（2,4,3,1）中有逆序“2与1”，“4与

3”，“4与1”，“3与1”，所以整数数组（2,4,3,1）的“逆序数”等于4.若各数互不相等的正数数

组（ai,ai,03,。4,。5,476）的"逆序数”是2,则（«6,。5,a4,a3,ai,ai）的"逆序数”是.

14.（2024春•嘉兴期中）用1-9这九个正整数组成无重复数字且任意相邻的三个数字之和是3的倍数的

九位数，这样的九位数有个（用数学作答）.

15.（2023秋•九江期末）从集合｛0,1,2,3,5,7,11｝中任取3个元素分别作为直线方程Ac+By+C=0

中的A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有条（用数值表示）

三.解答题（共5小题）

16.（2023春•招远市校级期中）用0,1,2,3四个数字组成没有重复数字的自然数.

（1）把这些自然数从小到大排成一个数列，则1203是这个数列的第几项？

（2）求其中的四位数中奇数的个数，并求所有这些奇数各位数位上的数字之和.

17.（2023春•莱西市期中）试分别解答下列两个小题：

（I）用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的自然数，记能组成的不同的四位偶数的个数

为M,能组成的0和/相邻的不同的六位数的个数为N,求M+N；

（II）在（2/—的二项展开式中，记各项的二项式系数之和为E,各项的系数之和为G,若E=

G+255,试求出展开式中所有的有理项.

18.（2021秋•奉贤区校级月考）用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复

数字五位数？

（1）偶数;

（2）左起第二、四位是奇数的偶数；

（3）比21034大的偶数.

19.（2022春•嘉定区期末）（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位数？

（2）用0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？

20.（2022秋•浙江月考）（1）从集合｛1,2,3,…，10｝中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中

的任何两个数的和不等于11,则这样的子集共有多少个？

（2）设集合A=｛1,2,3,13）,集合B是A的子集，且集合8任意两数之差都不等于6或7.问：

集合8中最多有多少个元素？说明理由.

2025年高考数学复习难题速递之两个基本计数原理（2025年4月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案CDCDADCDCC

选择题（共10小题）

1.（2023春•重庆月考）如图，4个圆相交共有8个交点，用5种不同的颜色给8个交点染色（5种颜色都

用），要求在同一圆上的4个交点的颜色互不相同，则不同的染色方案共有（）种.

A.2016B.2400C.1920D.96

【考点】染色问题.

【专题】数形结合；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】C

【分析】对8个交点编号，考虑两种情况，利用排列知识及两种计数原理进行求解.

【解答】解：如图，将8个交点编号，先考虑A,B,C,D,共有盥种选择，

再考虑A,F,E,D,若A,F,E,。所用颜色与A,B,C,。的4种颜色相同，

则E,尸有掰种选择，且G,”必然有一处使用第5种颜色，

不妨设G点使用第5种颜色，则X处有2种选择，此时共有&x2x2=8种选择，

若A,F,E,。所用颜色与A,B,C,。的4种颜色不同，因为一共有5种颜色，

则E,尸有一处与2,C所使用的颜色相同，另一处使用第5种颜色，则有2X2种选择,

此时G,〃不能使用与8,C,E,歹相同的颜色，故有2种颜色可供选择，

此时共有2X2X2=8种选择，

综上：不同的染色方案共有鹿•（8+8）=1920种.

故选：C.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

2.（2023春•运城期末）某艺术团为期三天公益演出，其表演节目分别为歌唱，民族舞，戏曲，演奏，舞

台剧，爵士舞，要求戏曲与爵士舞不得安排在同一天进行，每天至少进行一类节目，则不同的演出安排

方案共有（）

A.720种B.3168种C.1296种D.5040种

【考点】计数原理的应用.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】D

【分析】根据每天演出节目的数目进行分类讨论，而后求出总的方案数.

【解答】解：若三天演出节目为2,2,2,则安排方法有（盘废-3C储X（彩）3=576,

若三天演出节目为3,2,1,则安排方法有（弓C/-盘废-废）xafa通=3168,

若三天演出节目为4,1,1,则安排方法有（盘-盘）X双阳=1296,

所以总方案有576+3168+1296=5040.

故选：D.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

3.（2023•茂南区校级三模）由数字0,1,2,3,4组成的各位上没有重复数字的五位数中，从小到大排

列第88个数为（）

A.42031B.42103C.42130D.42301

【考点】数字问题.

【专题】计算题；对应思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】C

【分析】先讨论各个位置上的数字情况，然后利用分步乘法计数原理进行计算即可.

【解答】解：①当万位是1或2时，共有&=2X24=48个数，

②当万位是3,千位是0,1,2,4时，共有房=4X6=24个数，

③当万位是4,千位是0,1时，共有2蜀=2X6=12个数，

④当万位是4,千位是2,百位为0,1时，共有2掰=2X62=4个数，

共有48+24+12+4=88个数，

故第88个数为42130.

故选：C.

【点评】本题考查了排列、组合的运用，考查了分类讨论思想的运用，是中档题.

4.（2024•东湖区校级三模）设（xi,xi,X3,X4,X5）是1,2,3,4,5的一个排列，若（XLXI+I）（X/+I

-x,+2）<0对一切正｛1,2,3｝恒成立，就称该排列是“交替”的.“交替”的排列的数目是（）

A.8B.16C.24D.32

【考点】分类加法计数原理.

【专题】综合题；规律型；分类讨论；分类法；排列组合；数据分析.

【答案】D

【分析】由已知可得：尤i-Xi+l与尤i+l-无i+2异号，有两种情况：（1）Xi-无讣1>0且Xi+1-尤i+2<0;

（2）Xi-Xi+l<0且Xi+1-Xi+2>0,分别讨论可以求得结果，也可以列举得解.

【解答】解：由己知可得：无L制+1与Xi+1-Xi+2异号，有两种情况：

（1）Xi-Xi+l>0且Xi+1-H+2<0,此时

①当第二和第四位是1或2时，有“X朗=12种；

②当第一位是2,第二位是1,第四位是3时有房=2种，

②当第一位是2,第二位是1,第四位是5时有肠=2种

共计12+2+2=16种.

（2）尤i-xi+i<0且无计1-尤，+2>0,此时

①当第二位和第四位是4或5时，有朋X&=12种；

②当第一位是2,第二位和第四位是3或4时，有掰x属=4种，

共计12+4=16种.

综上可得，一共有16+16=32种.

故选：D.

【点评】本题考查分类计数原理，属于难度较大题目.

5.（2023•定远县校级模拟）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5种颜色的“每

日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各

不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（）

A.20160B.20220C.20280D.20340

【考点】计数原理的应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】A

【分析】设出核桃、腰果、杏仁、榛子为“，Y,X,Z,分类讨论求出分堆情况，再进行排列，求出最

后答案.

【解答】解：依次记核桃、腰果、杏仁、榛子为"，Y,X,Z,则每个字母出现2次或4次，分类计算

分堆可能：

⑴H,H；Y,Y；X,X；Z,Z,

若是“8=4+1+1+1+1”,则其中的“4”必须是HKXZ,故1种可能；

若是“8=3+2+1+1+1”，则考虑(HYX)若※)(»3),故有盘盘=12种可能；

小计：1+12+12=25；

(2)诸如“X,H,H,H；Y,Y；X,X；Z,Z”类型,

若是“10=4+3+1+1+1”，则四个X无论怎么安排，都会出现某两个袋仅放故0种可能；

若是“10=4+2+2+1+1”，贝!]“1+1”中有一个是H,“4+2+2"中各一个"2+

2”中除了一个H外,另一个互异,故有的=3种可能;

若是“10=3+3+2+1+1”，则“1+1”中各有1个“，“3+3+2”中各一个可以考虑含※模式，(4※

X)(“※※)(//※)(X)(H),故有废彩=6种可能；

若是“10=3+2+2+2+1”，则可用下表进一步分类，有1+或+CjCl=10种可能；

YXZ//※//※H

//※H米

“※※

//※//※※※//

若是“10=2+2+2+2+2”，则四个X至少有两个出现搭配相同，故0种可能；

小计：C^x(0+3+6+10+0)=76；

(3)诸如“H,H,H,H；Y,Y,Y,Y；X,X；Z,Z”类型，

若是“12=4+4+2+1+1”，则“4+4”必然重复，故。种可能；

若是“12=4+3+3+1+1”，则枚举“3+3”的情况，发现仅(8FXZ)(HYZ)(,HYX)(HYX)(Z)(X)

可能；

若是“12=4+3+2+2+1”，则考虑(HYXZ)(//卜※)(:※※)(:※X)(:※)或(HYXZ)(XZX)(:※

X)(※※)(X)，有=4种可能;

若是“12=4+3+2+2+1”，则考虑(HKXZ)(“保)(※※)(:※X)(X)或(HYXZ)(XZX)(:※

X）（:※※）（:※）,

若是“12-3+3+3+2+1”，则有(HKX)(HKZ)(ZXH)(HV)(丫)或(HKX)(HYZ)(ZXY)(HY)(H)

都成立，有2种可能;

若是"12=3+3+2+2+2”,则枚举“3+3”的情况，发现（HYX）（HYZ）（HY）（//※）（丫※），有2种可

台匕

月匕•

小计C/x9=54；

诸如“//,H,H,H-,Y,Y,Y,Y；X,X,X,X；Z,Z”类型

若是“14=4+4+*+*+*”,则“4+4”必然重复，故。种可能;

若是“14=4+3+3+3+1”,则“4+3+3+3”中至少有3个Z,故。种可能;

若是“14=4+3+3+2+2”，则“4+3+3”至少有2个Z,考虑(HYXZ)(HYX)/※※)(:※X)(※※工

其中Z※※有废=3种可能，故此小类有3种可能；

若是“14=3+3+3+3+2”，则“3+3+3+3”中至少有3个Z,故。种可能;

小计3盘=12；

(5)UH,H,H,H；Y,Y,Y,Y；X,X,X,X；Z,Z,Z,Z

只有"16=4+3+3+3+3”的搭配,有1种可能；

综上：共有25+76+54+12+1=168个分堆可能，故不同的方案数为168雁=168x120=20160种.

故选：A.

【点评】本题考查排列、组合的实际应用，注意分情况讨论，是难题.

6.（2022秋•陈仓区校级月考）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择,

要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种

A.36B.48C.54D.72

【考点】染色问题.

【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；逻辑思维；运算求解.

【答案】D

【分析】依题意可以利用3或4种不同的颜色涂色，先选出颜色，再涂色，按照分步、分类计数原理计

算可得涂色方案的种数.

【解答】解：依题意显然不能用少于2种颜色涂色，

若利用3种不同的颜色涂色，首先选出3种颜色有废=4种选法，

先涂区域①有3种涂法，再涂②有2种涂法，则⑤只有1种涂法，④也只有1种涂法，则③也只有1

种涂法，

故一共有值X3X2X1X1X1=24种涂法；

若利用4种不同的颜色涂色，根据题意，分2步进行涂色：

当区域①、②、⑤这三个区域两两相邻，有幽=24种涂色的方法；

当区域③、④，必须有1个区域选第4种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则区域

③、④有2种涂色方法，

故共有2周=2X4X3X2=48种涂色的方法；

综上可得一共有24+48=72种涂法；

【点评】本题主要考查排列组合计数问题，排列组合的实际应用等知识，属于中档题.

7.（2022春•太原期中）某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和

体育这6门学科中任选4门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第

4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为（）

A.18B.48C.50D.54

【考点】分类加法计数原理.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】C

【分析】分类讨论结合计数原理可得结果.

【解答】解：第一类，前两节安排语文、数学，第四节排体育，排法种数为膨盘=6；

第二类，前两节安排语文、数学，第四节不排体育，排法种数为心题=12；

第三类，前两节安排英语、数学，第四节排体育，排法种数为用程=6；

第四类，前两节安排英语、数学，第四节不排体育，排法种数为虺题=12；

第五类，前两节安排语文、英语，第四节排体育，排法种数为彩玛=6；

第六类，前两节安排语文、英语，第四节不排体育，排法种数为抬废6=8；

根据分类加法计数原理，前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4

节,则不同的排法种数为6+12+6+12+6+8=50,

故选：C.

【点评】本题考查了有限制条件的排列问题，属于中档题.

8.（2021•未央区校级模拟）用5种不同颜色给图中5个车站的候车牌（E,A,B,C,D）染色，要求相

邻的两个车站间的候车牌不同色，有（）种染色方法.

C.360D.420

【考点】染色问题.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；排列组合.

【答案】D

【分析】根据题意，分4步依次分析£、42和DC的染色方法数目，由分步计数原理计算可得答案.

【解答】解：根据题意，分4步进行分析：

①，对于E,有5种颜色可选，即有5种情况，

②,对于4与E相邻，有4种颜色可选，即有4种情况，

③，对于2,与A、E相邻，有3种颜色可选，即有3种情况，

④，对于。、C,若。与8颜色相同，则C有3种颜色可选，

若。与8颜色不相同，则。有2种颜色可选，C有2种颜色可选，

则。、C共有（1X3+2X2）=7种情况,

则一共有5X4X3X7=420种情况，

故选：D.

【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意没有要求5种颜色都用到.

9.（2021秋•道里区校级月考）现有2名学生代表，2名教师代表和3名家长代表合影，则同类代表互不

相邻的排法共有（）种.

A.552B.864C.912D.1008

【考点】计数原理的应用；排列组合的综合应用.

【专题】计算题；分类讨论；综合法；排列组合；逻辑思维；运算求解.

【答案】C

【分析】用A4表示两名学生位置，表示两名教师位置，CCC表示三名家长位置，然后先排两名学

生，然后再排教师，按教师的位置分类，最后将家长排入，主要是利用插空法解决问题.

【解答】解：由题意，设A4表示两名学生位置，B8表示两名教师位置，CCC表示三名家长位置，

第一步：先排学生有彩=2种方法；

第二步：再排两名教师，有①ABA2与BABA,②A4B2与③ABBA与54AB三种情况，

对于①，教师有2段=4种排法，然后再将三名家长排入五个空中，共有犬=60种方法；

对于②，教师有2膨=4种排法，然后家长先在A与A之间和8与8之间各选一个家长排入，剩余一个

家长插入剩余三个空中的一个空中，有掰•用=18种；

对于③，教师有2彩=4种排法，然后选一个家长排在最中间一个空中，再将剩余两个家长排在剩余的

四个空中，有戏•掰=36种排法，

综上,共有掰x2超x（60+18+36）=912.

故选：C.

【点评】本题考查排列组合问题的基本思路以及分类讨论思想的应用，属于中档题.

10.（2020春•龙凤区校级期末）由0,1,2,9这十个数组成无重复数字的四位数中，个位数字与百

位数字之差的绝对值等于8的个数为（）

A.180B.196C.210D.224

【考点】计数原理的应用.

【专题】计算题.

【答案】C

【分析】由题意知本题是一个计数原理的应用，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的情况有2

种，即：①当个位与百位数字为0,8时，②当个位与百位为1,9时，分别表示出所有的情况，由加法

原理计算可得答案.

【解答】解：由题意知本题是一个计数原理的应用

0到9十个数字中之差的绝对值等于8的情况有2种：0与8,1与9；

分2种情况讨论：①当个位与百位数字为0,8时，有废心；

②当个位与百位为1,9时,有加加掰.

共北彩+用解鹿=210,

故选：C.

【点评】本题考查分类计数原理与分步计数原理，本题解题的关键是看出两个数字相差8时的所有情况,

本题是一个易错题.

二.填空题（共5小题）

11.（2024•徐汇区模拟）将四棱锥S-A8O的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如

果只有四种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为72.

【考点】染色问题.

【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】72.

【分析】首先给顶点S选色，有4种结果，再给A选色有3种结果，再给B选色有2种结果，最后分

两种情况即C与A同色与C与A不同色来讨论，根据分步计数原理和分类计数原理得到结果.

【解答】解：设四棱锥为S-A3CZ）.

下面分两种情况即C与A同色与C与A不同色来讨论，

（1）S的着色方法种数为盘，A的着色方法种数为盘，8的着色方法种数为废，

C与A同色时C的着色方法种数为1,D的着色方法种数为废，

（2）S的着色方法种数为盘，A的着色方法种数为盘，8的着色方法种数为废，

C与A不同色时C的着色方法种数为盘，D的着色方法种数为盘.

综上两类共有C4盘•废•废+废•废=48+24=72种结果.

故答案为：72.

【点评】本题主要排列与组合及两个基本原理，总体需分类，每类再分步，综合利用两个原理解决，属

中档题.

12.（2024春•河东区校级月考）某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优

秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地.推选1名优秀团员为总负责人，有24种

不同的选法.

【考点】分类加法计数原理.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】24.

【分析】利用分类加法计算原理即可得解.

【解答】解：第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法；

第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法；

第三类是从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法；

由分类加法计数原理可得，共有N=8+10+6=24种不同的选法.

故答案为：24.

【点评】本题考查分类加法计数原理的应用，是中档题.

13.（2024春•信阳期中）对于各数互不相等的正数数组G1,於，…，认）（"是不小于3的正整数），若对

于任意的p,qe{l,2.3,n},当p<q时有则称%与"是该数组的一个“逆序”，一个数组

中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”.例如，数组（2,4,3,1）中有逆序“2与1”，“4与

3”，“4与1”，“3与1”，所以整数数组（2,4,3,1）的“逆序数”等于4.若各数互不相等的正数数

组（«1,02,。3,。4,（75,06）的"逆序数”是2,则（06,05,04,03,02,41）的"逆序数”是13.

【考点】计数原理的应用.

【专题】计算题；新定义.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据题意，各数互不相等的正数数组。2,«3,。4,（15,。6）的“逆序数”是2,可用6

个数字中选出2个的所有组合数减去2得到所有可能的结果数

【解答】解：根据题意，各数互不相等的正数数组（。1,42,。3,04,。5,。6）的“逆序数”是2,

从6个数字中任选2个共有15种组合，

V（al,<72,ct3,04,as,a6）的"逆序数”是2,

（。6,。5,。4,。3,O1,。1）的"逆序数"是所有组合数减去2,

共有15-2=13种结果，

故答案为：13

【点评】本题考查一个新定义问题，解题的关键是读懂题目条件中所给的条件，并且能够利用条件来解

决问题，本题是一个考查学生理解能力的题目，难点是理解“逆序”

14.（2024春•嘉兴期中）用1-9这九个正整数组成无重复数字且任意相邻的三个数字之和是3的倍数的

九位数，这样的九位数有1296个（用数学作答）.

【考点】数字问题.

【专题】计算题；整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】1296.

【分析】分析题意，列出每种情况，利用排列数知识求解即可.

【解答】解：若任意相邻的三个数字之和是3的倍数，

因此第a个数与第3+a个数的余数也必然相同，

故第一，四，七个数和第二，五，八个数，

第三，六，九个数必为（1,4,7）,（2,5,8）,（3,6,9）,

因此有北北心展=1296个.

故答案为：1296.

【点评】本题主要考察排列组合的应用，属于中档题.

15.（2023秋•九江期末）从集合｛0,1,2,3,5,7,11｝中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0

中的A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有30条（用数值表示）

【考点】计数原理的应用.

【专题】排列组合.

【答案】见试题解答内容

【分析】先根据条件知道C=0,再根据计算原理计算即可.

【解答】解：若直线方程Av+2y+C=0经过坐标原点，则C=0,那么48任意取两个即可，有累=30,

故答案为：30.

【点评】本题考查了直线过原点的条件和计数原理的应用.

三.解答题（共5小题）

16.（2023春•招远市校级期中）用0,1,2,3四个数字组成没有重复数字的自然数.

（1）把这些自然数从小到大排成一个数列，则1203是这个数列的第几项？

（2）求其中的四位数中奇数的个数，并求所有这些奇数各位数位上的数字之和.

【考点】数字问题.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】（1）第34项；

（2）8个，48.

【分析】（1）利用分步乘法计数原理及分类加法计数原理讨论1位自然数、2位自然数、3位自然数、4

位自然数的情况即可.

（2）利用分步乘法和分类加法计数原理计算即可.

【解答】解：（1）一位的自然数有盘=4个，两位的自然数有盘盘=9个，

三位的自然数有废程废=18个，四位的自然数中小于1203的有1023,1032共2个，

所以1203是这个数列的第4+9+18+2+1=34项.

(2)四位数为奇数的有两种情况：1和3是个位数，

当1为个位数时，共有废彩=4个，当3为个位数时，共有废肠=4个，所以四位奇数共有2X4=8

个，

这些奇数各位数位上的数字之和为8X(0+1+2+3)=48.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

17.(2023春•莱西市期中)试分别解答下列两个小题：

(I)用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的自然数，记能组成的不同的四位偶数的个数

为M,能组成的0和/相邻的不同的六位数的个数为N,求M+N；

(II)在(2/一3-厂的二项展开式中，记各项的二项式系数之和为E,各项的系数之和为G,若E=

G+255,试求出展开式中所有的有理项.

【考点】数字问题.

【专题】计算题；对应思想；分析法；排列组合；二项式定理；逻辑思维；运算求解.

81659922

【答案】(I)348；(II)7；=..2-X=256久巴入=-2­%=2240x,T7=-2•%=112/.

【分析】(I)直接利用分类法和排列组合知识求出M的值，再利用分类法和捆绑法及排列组合知识求

出N的值，最后求出M+N的值；

(II)利用二项展开式和二项式系数及项的系数求出n的值，再利用二项展开式的通项和有理项的求法

求出结果.

【解答】解：(I)用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的自然数，记能组成的不同的四位

偶数的个数为M,

分两类：①0为尾数，故牖•a=60,②2或4为尾数，且0不能为首项，故©・玛•北=96,

故"=60+96=156.

能组成的0和/相邻的不同的六位数的个数为N,

分两类：①1和0为前两位，故退=24；

②1和0不为前两位数，故盘•&・g=192,

故N=24+192=216,

所以M+N=348.

(II)在(2/—；产的二项展开式中，记各项的二项式系数之和为£=2",

1V%

各项的系数之和为G,当x=l时，G=l,

由于E=G+255,整理得2"=256=28,解得〃=8.

1r8r“167r

故(2/_；)8的展开式通项满足T『+1=C6(2/)8-r,x-3=2~•X-3,

由于0WrW8,且reN+,

当r=0,3,6时，展开式为有理项，

222

即TV=以•28.炉6=256/6,n=微..一=2240/,r7=■2-x=112x.

【点评】本题考查的知识要点：排列组合关系式，二项式定理和展开式，主要考查学生的理解能力和计

算能力，属于中档题.

18.(2021秋•奉贤区校级月考)用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复

数字五位数？

(1)偶数；

(2)左起第二、四位是奇数的偶数；

(3)比21034大的偶数.

【考点】数字问题.

【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】(1)60个，

(2)8个,

(3)39个.

【分析】(1)先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.

(2)先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.

(3)先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.

【解答】解：(1)末位是0,有题=24个，

末位是2或4,有废废a=36个，

故满足条件的五位数共有24+36=60个.

(2)左起第二、四位从奇数1,3中取，有的；

首位从2,4中取，有般个：余下的排在剩下的两位，有超个；

故共有心虺抬=8个.

(3)可分五类，当末位数是0,而首位数是2时，有心房+属=6个；

当末位数字是0,而首位数字是3或4时，有虺题=12个；

当末位数字是2,而首位数字是3或4时，有心黑=12个；

当末位数字是4,而首位数字是2时，有掰+出=3个；

当末位数字是4,而首位数字是3时，有胆=6个.

故有（胆掰+掰）+川用+胆用+&+用+尚=39个.

【点评】本题考查分类计数原理的运用以及排列知识的应用，属于中档题.

19.（2022春•嘉定区期末）（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位数？

（2）用0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？

【考点】数字问题.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】（1）625；

（2）156个.

【分析】（1）根据排列组合计算即可.

（2）偶数先确定个位数字为0或2或4,再分三类讨论，最后根据加法计数原理可得结果.

【解答】解：（1）用1、2、3、4、5可以组成54=625（个）四位数，

（2）满足偶数按个位数字分成三类：个位是0或2或4,

①个位是0的，即需要从1,2,3,4,5这5个数中选出3个分别放在千、百、十位，

有程•程•盘=5x4x3=60个；

②个位是2的，千位需要从1,3,4,5这4个数中选出1个有4种选法，从剩下的4个数字中选出2

个分别放在百位、十位，有盘•盘=4x3=12个，所以个位是2的偶数有4X12=48个；

③个位是4的，也有48个；

综上所述，用0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字的四位偶数有60+48+48=156个.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

20.（2022秋•浙江月考）（1）从集合｛1,2,3,…，10｝中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中

的任何两个数的和不等于11,则这样的子集共有多少个？

（2）设集合A=｛1,2,3,13）,集合8是A的子集，且集合8任意两数之差都不等于6或7.问：

集合8中最多有多少个元素？说明理由.

【考点】代数与函数中的计数问题.

【专题】转化思想；转化法；排列组合；运算求解.

【答案】（1）32；

（2）6个，理由见解析.

【分析】（1）先找出和为11的5组数，然后从这五组每组中各取一个数就符合题意，即可得出答案；

（2）构造A的差为6或7的13个子集，假设从A中取7个元素，由抽屉原理知其中必有2个元素属

于同一个子集，它们的差为6或7,不成立，再举例说明B中可以有6个元素即可.

【解答】解：(1)将和为11的数分组：(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)共5组，

只要从这五组每组中各取一个数就符合题意，每组有2种取法，故有25=32个子集；

(2)构造A的下列13个子集：{1,7},{2,8},{3,9},{4,10},{5,11},{6,12},{7,13},{1,

8},{2,9},{3,10},{4,11},{5,12},{6,13},A中每一个数恰好属于2个子集，

假设从A中取7个元素，由抽屉原理知其中必有2个元素属于同一个子集，它们的差为6或7,

因此，A中任意7个元素都不能同时属于集合8,即8中最多只有6个元素，

又8={1,2,3,4,5,6}中任意两数之差不等于6或7,此时符合要求，

集合B中最多有6个元素.

【点评】本题主要考查计数原理的应用，属于中档题.

考点卡片

1.分类加法计数原理

【知识点的认识】

1.定义：完成一件事有两类不同方案：在第1类办法中有机种不同的方法，在第2类办法中有〃种不同

的方法，那么完成这件事共有：N=m+"种不同的方法.

2.推广：完成一件事有w类不同方案：在第1类办法中有加种不同的方法，在第2类办法中有祖2种不

同的方法，…，在第"类办法中有加"种不同的方法，那么完成这件事共有：N=mi+机2+…+优〃种不同的

方法.

3.特点：

(1)完成一件事的〃类方案相互独立；

(2)同一类方案中的各种方法相对独立.

(3)用任何一类方案中的任何一种方法均可独立完成这件事；

4.注意：与分步乘法计数原理区别

分类加法计数原理分步乘法计数原理

相同点计算”完成一件事”的方法种数

不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘

每类方案中的每一种方法都每步依次完成才算完成这件

能独立完成这件事事情(每步中的每一种方法

不能独立完成这件事)

注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整

【解题方法点拨】

如果完成一件事情有n类方案，且每一类方案中的任何一种方法均能独立完成这件事，则可使用分类加法

计数原理.

实现步骤：

(1)分类；

(2)对每一类方法进行计数；

(3)用分类加法计数原理求和；

【命题方向】

与实际生活相联系，以选择题、填空题的形式出现，并综合排列组合知识成为能力型题目，主要考查学生

分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想.

例：某校开设A类选修课3门，8类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一

门，则不同的选法共有()

A.30种B.35种C.42种D48种

分析：两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，2类选修课选2门；A类选修课选2

门，8类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果.

解答：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，8类选修课选2门，有盘盘种不同的选法；

②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有废盘种不同的选法.

.•.根据分类计数原理知不同的选法共有程田+ClCl=18+12=30种.

故选A.

点评：本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想.本题也可以从排列的对立面

来考虑，写出所有的减去不合题意的，可以这样解：盘=30.

2.计数原理的应用

【知识点的认识】

1.两个计数原理

(1)分类加法计数原理：N=mi+m2+…+mw

(2)分步乘法计数原理：N=»nX机2义…X：”"

2