2025年高考押题预测 数学（试卷+答案详解A4）

2025年高考押题预测卷

高三数学

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.集合航={x|炉-2x-15<0},A^={x|log2(x+l)<3},则()

A.[—3,5]B.(—1,7)C.[—3,7)D.(—1,5)

2,若5均为单位向量，且满足@，m+25),则向量的夹角为()

A.-B.-C.—D.—

3434

3.若2-i是实系数方程/+法+c=O的一个根，则方程的另一个根为()

A.iB.-2+iC.-2-zD.2+i

4.已矢口1：05%+5111%=’,

则sin2]=()

3

182D2及

A.B.—C.—

3933

则黑=()

5.设S”是数列{凡}的前〃项和，且4=1,Sn=(2Sn+I)Sn+1,

12-3

A.——B.——C.-2D.--

234

6.函数〃x)的定义域为R,且/6]=0,〃0)/0.若对任意实数盯》都有

/(x)+/(y)=2/[言[宁)，则“2020)=()

A.72B.-1C.0D.1

7.已知抛物线「:y2=4x,过点A（O,1）作直线/交「于两点8、C,分别过8、C作「的切线交于点P.若

|AP|=V2,则|州=（）

A.非B.好C.迷或仓D.0或正

555

8.如图，在三棱锥4-ABg中，AA_L平面ABG，NA8IG=90,,A瓦=2AA=2B1G=2,尸为线段

A片的中点，M,N分别为线段AG和线段用G上任意一点，则君PM+MN的最小值为（）

A.-B.-C.75D.2

22

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知数据石，尤2,W，…,/的平均数为。，中位数为b,方差为c,极差为d,由这数据得到新数据

九%，%，…，》。，其中y=2x-3（z.=l,2,3,…,10）,则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（）

A.平均数是2aB.中位数是26-3

C.方差是4cD.极差是2d-3

10.已知函数/（%）=2$“8+总，其中。＞0,下列命题中正确的是（）

TT

A.若0=3,函数y=〃力的图象可由函数＞=2sin3x的图象向左平移.个单位长度得到

18

B.若0=3,曲线y=〃x）与曲线y=sinx在区间［-兀,可上的交点个数为6

（9Q3S、

C.若“X）在［0,2对上有且仅有5个零点，则。的取值范围是［3,FJ

D.若在［0,2可上有且仅有5个零点，则在单调递增

2

11.已知用网分别是双曲线C:/-二=1的左、右焦点，经过点K且倾斜角为钝角的直线/与C的两条渐

3

近线分别交于A3两点，点尸为C上第二象限内一点，则（）

22

A.若双曲线片与。有相同的渐近线，且后的焦距为8,则E的方程为土—匕=1

412

B.若拉（-2,2）,则|尸国+|尸闾的最小值是2百-2

C.若△打;入内切圆的半径为1,则点P的坐标为（-2,3）

D.若线段AB的中垂线过点工，则直线/的斜率为-半

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知随机变量X服从若尸(X<Q5)=0.2,则尸(0.5麴k1.5)=.

13.在数列｛%｝中，％=5,%=4%-3,若对任意的〃eN*,左(%-1)22"-5恒成立，则实数上的最小

值.

14.若函数/(》)=妥-依-1+/心有两个不同的零点，则实数。的取值范围是—.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)在锐角AABC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,S为AABC的面积，且

2S=a2-(b-c)2.

(1)求sinA的值；

22

(2)求巴b士+c的取值范围.

be

16.(15分)已知函数/(x)=/nx,g(x)=ax2-(2a+l)x+Inx,aeR.

(1)求曲线/(元)=/心过点(0,1)的切线方程；

(2)若存在X£(0,+8),使得对任意£(。，+°°)，都有‘"'..g(%2)成立,求实数。的取值范围.

17.(15分)已知椭圆E：1+，=1(。>6>0)的离心率为。，上、下顶点分别为A,B,右顶点为C,

且VABC的面积为6.

⑴求E的方程；

(2)若点P为E上异于顶点的一点，直线是AP与BC交于点直线CP交y轴于点M试判断直线是

否过定点?若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

18.(17分)如图，四棱锥尸-ABC。中，R4，平面ABCO,AB_LAC,PO=AB=AC=后尸A.

(1)若AD=DC,求证：平面R4D_L平面PC。；

⑵若AO=£)C,PB中点为E,试问在棱CD上是否存在点Q,使PQL4E,若存在，指出点。位置，若不

存在说明理由；

⑶若上4=2,PD与平面P8C成角大小30°,求。C边长.

19.(17分)已知随机变量《的取值为不大于〃的非负整数值，它的分布列为:

012Ln

PPoPiPiLPn

其中P,(i=0,1,2,……,〃)满足：p”[0,l],且%+R+0+……+P„=1.定义由J生成的函数

2

/(x)=Po+PF+p2x+.......+pnx",令g(x)=f\x).

(I)若由4生成的函数/(x)=［尤+［炉+］尤3,求尸(4=2)的值；

424

(II)求证：随机变量J的数学期望E©=g(D,4的方差DC)=g'⑴+g⑴-(g(D)2;

2

(W)=^(/-EO-A.)

i=0

(III)现投掷一枚骰子两次，随机变量4表示两次掷出的点数之和，此时由J生成的函数记为〃(X),求

h⑵的值.

2025年高考押题预测卷

高三数学

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.集合M={尤I尤2-2尤一15<。},A^=1x|log2(x+l)<3},则()

A.[—3,5]B.(—1,7)C.[—3,7)D.(—1,5)

【答案】D

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式

【分析】首先解一元二次不等式求集合利用对数函数的性质求集合M再结合交集概念求答案即可.

【详解】由题意得乱=卜|尤2-2x-15<0}={x[—3<x<5},

N={x|log?(x+1)V3}={x10<x+1S8}={x|-1<xV7},

所以McN={x[—l<x<5},

故选：D.

2.若扇6均为单位向量，且满足苕+2杨，则向量扇6的夹角为()

A.-B.-C.—D.—

3434

【解析】设向量用石的夹角为6,6e[0,力，

aJ_(M+25),

贝！J无(万+25)=/+2万.5=0,

••・花出均为单位向量，

,124

.\l+2xlxlxcos^=0，解得cos。=——，角旱得6=——.

23

故选：C.

3.若2-i是实系数方程/+云+。=0的一个根，则方程的另一个根为（）

A.iB.-2+ZC.—2—iD.2+i

【解析】依题意得(2—，)2+优2—i)+c=—(4+b)i+(3+2b+c)=0,

4+/?=0

3+2b+c=0

.\b=-4,c=5,即方程12-4工+5=0,

易得方程的另一个根为2+i.

故选：D.

4.已知cosx+sinx=-，贝!Jsin2x=(

3

82

A.B.C.

9

【答案】B

【分析】对cosx+sinx=g两边平方整理即可得答案.

【详解】因为cosx+sinx=；,

两边平方得cos?x+2sinxcosx+sin2=—,

Q

所以sin2x=--.

故选：B.

5.设S“是数列｛%｝的前〃项和，且q=1,S“=(2S“+l)S“+i，则&=()

s”

123

A.——B.——C.-2D.——

234

【解析】•・・S〃=(2S〃+1)S”

S,=S,M+2SJS"」—一_]=2,

3巩+13”

.1_1

..——1,

E%

二｛，｝是以1为首项，公差为2的等差数列，

11

—=2ra-l,Ss='s”=

s“2n-l21

112

9763

%-1X21=-2

3

故选：B.

6.函数的定义域为R,且/［£|=0，■/'(。)/。.若对任意实数工，y都有

〃x)+〃y)=2/［宁)/［宁j,则“2020)=()

A.&B.-1

C.0D.1

【答案】D

【解析】将x用1+x替换，y用X替换，可得/(1+力+〃力=2/［叶|叔］/［匕尸］,从而可得

/(l+x)+/(x)=0,进而可得〃2+x)=〃x),可求出函数的周期7=2,再令x=0,可求出了⑼，由

“2020)=〃0)即可求解.

【详解】将x用i+x替换，y用x替换，

由对任意实数X,＞都有/(x)+/(y)=2/［亨［宁)，

可得/(l+x)+/(x)=2/^±|±^1/［i±|^［=2/［手由/［］=0，

所以〃l+x)+〃x)=0,即〃l+x)=_/(x),

所以〃2+x)=—/(l+x)=/(x),所以函数的周期T=2,

令x=o,贝Ij/(o)+y(o)=2/(o)x/(o),因为〃0)20,所以〃0)=1,

所以y(2020)=/(1010T+0)=/(())=1,故选：D

7.已知抛物线r：V=4x,过点A(0,l)作直线/交：T于两点8、C,分别过8、C作「的切线交于点P.若

\AP\=42,则|3=()

石或咚D,&或《

A.y[5c.

5

【答案】B

【分析】利用导数求出2,C点的切线方程，联立方程求出尸点的坐标即可.

【详解】

y

设5（%,yi）,c（x2,y2）,显然，直线I的斜率是存在的，设I的方程为y=kx+l,

[y=kx+\c。/、/、7c

联立j24，解得左光+2（左一2）尤+1=0,A=4（左一2）—4k>0,k<1,并且ZwO,

2（%-2）12216

%+/="—，%/=记，"…①，

/=4x,v（y）=（4x）,2yyx=4,yx=-,

2222

即3,。点切线的斜率分别为一,一,切线方程分别为丁-％=一（%-石），丁-%=一（％-

MM%

2y2y2

即>=—x+手…②，y=-x+小.③；

%2为2

联立②③，解得》=节,了=咤支，即尸（竽,三斗由|AP|=0得：

=2,

将①代入上式得：k2+4k-5=0,即/+5)/-1)=0,•.%＜：1,;"=—5,

11

2_Jiy2__、,2/%+%丫]何+1+3+1/-5(%+%)+2)4

===，y==

irF25[~^)12、2)25

10Pl=7%2+y2=/；

故选：B.

8.如图，在三棱锥A-44G中，AA_L平面ABG，4414G=90',A片=2A4=24G=2,尸为线段

A片的中点，M,N分别为线段AG和线段8c上任意一点，则逐PM+MN的最小值为（）

A.—B.-C.75D.2

22

【答案】C

【分析】利用线面垂直的性质定理可得抽，a旦，又NA与G=9。。可得与平面94,所以

用G，A片.再根据三角形面积相等可得出后M+MN的表达式即可确定其最小值。

【详解】根据题意胡，平面A8C可知，

又4瓦=244,=24G=2可得ABt=向二二商=旧；

由/44G=90。可知，A耳，BC，所以可得用c，平面A41用，即用G，Ag；

A

在△ABC中，L4G=gx百义1=?，

TVC.

S尸片,

.AMB1=^xV5xPMsinAMPBX=y/5PMxsm，；

S-MB、G=glxMNsinNMNQ=MNx吧竽G.又显的口=+5小口，即

与=亚PMxsm/；PB'+MNx。所以石=石尸"sinNMPg+MNsinZMNQ,由

sinNMPB[<1,sinZMNQW1得。加=亚PMsinZMPBt+MNsinZMNQ<亚PM+MN,

所以若PM+MN>45,当且仅当sinZMPB,=1,sinZMNC,=1时等号成立，

UPZMPBt=90°,ZMNCt=90。时，此时M,N分别为线段AQ和线段及G的中点，括PM+MN取得最小值

逐;

综上可知，石PM+MN的最小值为遥.故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知数据西，尤2,W，…，网。的平均数为。，中位数为b,方差为c,极差为d,由这数据得到新数据

%，%，为，…，%。，其中％=2x「3（i=l,2,3「..,10）,则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（）

A.平均数是2aB.中位数是26-3

C.方差是4cD.极差是2d-3

【答案】BC

【分析】A选项，根据平均数定义计算出如%，％…%的平均数为2〃-3；B选项，根据中位数的定义得

到X，%，%…%）的中位数为%-3；C选项，利用方差的定义得到C正确；D选项，利用极差的定义得到

M，%，丹,•・Mo的极差为2d.

【详解】A选项，由题意得X+马+F=10a,

则乂+%+■■•+Xo=2（为+%2+■••+芭o）—30=20。一30,

23

则W%，%…W的平均数是°^0°=2a-3,A错误；

B选项，占,孙％，…，/从小到大排列后为占',%',4•••,％'，

取第5个和第6个数的平均数作为中位数，即止区=人

2

由于y=2%—3（i=123,・・・,10）,故如％，%…将从小到大排列为x',%',%',…,如；，

取第5个和第6个数的平均数作为中位数，即=少；—3+2"—3:2b—3，B正确;

22

C选项，由题意得（为-a）+（x2-a）H----1•（西0-々J=10。,

2

贝lj（%—2a+3）2+（%—2a+3）2-----F（y10—2tz+3）

二（2再一3—2〃+3）+（2%—3—2〃+3）+—・+（2石0—3—2Q+3）

=（2玉—Zap+（2%-2.）2+…+（2X0—2a）2=40c,故方差是=4c,C正确；

D选项,H尤2,马，…，税从小到大排列后为七。',

故%一x；=d，

其中%，%，%…%）从小到大排列后为X',…‘Xo''

贝lj为）'-父=2玉°,一3-2父+3=2d,故极差是2d,D错误.

故选：BC

10.已知函数〃尤）=2sin［0x+£）,其中0>0,下列命题中正确的是（）

TT

A.若。=3,函数y=〃尤）的图象可由函数y=2sin3x的图象向左平移.个单位长度得到

18

B.若0=3,曲线y=〃x）与曲线y=sinx在区间［-兀，兀］上的交点个数为6

（9Q35、

C.若“X）在［0,2可上有且仅有5个零点，则。的取值范围是［三,日J

D.若〃尤）在［。,2可上有且仅有5个零点，则在单调递增

【答案】ABD

【分析】对于A,由三角函数图象变换规律分析判断，对于B,作出两函数在［-兀,兀］上的图象，观察图象

判断，对于C,由xe［0,2可求出ox+已，再结合函数有5个零点，列不等式组可求出。的取值范围进行判

断，对于D,由尤€（0,普］求出。x+g的范围，再结合选项C中。的取值范围分析判断即可.

<3376

【详解】对于A,当。=3时，〃x）=2si“3x+。，

将y=2sin3元的图象向左平移三个单位长度，得y=2sin3（x+11=2sin（3x+,

18I18；k6

即得到y=f(x)的图象，所以A正确,

对于B,当0=3时，f(x)=2sin^3x+^,周期丁=年，/(x)在［-兀,可上是3个周期,

TT

先作出f(x)在-私上的图象，然后向右平移两次，每次平移一个周期可得f(x)在［-兀，可上的图象,

再在同一坐标系中作出y=sinx在［-兀,可的图象，

由图可知曲线y=f(x)与曲线y=sinx在区间［一无,可上的交点个数为6,所以B正确,

兀c兀

—,26071+—,

66

若/(%)在［0,2兀］上有且仅有5个零点，则5兀02期1+看＜6兀,

2935

解得所以C错误,

,71714(277171

对于D,当时，a)x+-^6，-35-+6

6

上田.一29/35e29兀,4兀兀

由选项C可知一<a)<一,则——<co•一<-,

1212105353

29K7i4兀兀兀

所以---+—<a)——+—<—,

10563562

,兀71兀兀)兀71

所以8+片，+

6~3^6)^692

所以〃同在,，募

单调递增，所以D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：此题考查正弦函数的图象与性质，考查三角函数图象变换规律，考查函数的零点,

解题的关键是正确运用正弦函数的图象与性质，考查数形结合的思想，属于较难题.

2

11.已知耳网分别是双曲线C：尤2一1_=1的左、右焦点，经过点K且倾斜角为钝角的直线/与。的两条渐

近线分别交于A8两点，点尸为C上第二象限内一点，则()

22

A.若双曲线E与C有相同的渐近线，且E的焦距为8,则E的方程为乙一上=1

412

B.若"2,2),则忸媚+|尸网的最小值是26-2

C.若△尸片入内切圆的半径为1,则点p的坐标为（-2,3）

D.若线段的中垂线过点工，则直线/的斜率为一誓

【答案】BCD

【分析】根据共渐近线设双曲线方程，结合双曲线得性质即可得双曲线方程，从而判断A；根据双曲线的

定义转换可得忸用+忸间的最小值，从而判断B；设内切圆圆心为/,直线尸£,尸鸟,《工与圆/的切点分别

为Q,N,H,根据双曲线的定义结合与三角形内切圆的几何性质，即可得点尸的坐标，从而判断C；根据线

段垂直平分线结合点差法确定直线与垂线斜率关系，并检验直线是否符合即可确定直线斜率，从而判断D.

222

【详解】对于A,依题意设双曲线片:必—匕=%且％工1）,即土—匕=i,

3434

2222

又E的焦距为8,所以14H=不，九=±4,所以E的方程为土-乙=1或二-二=1,故A错误；

11412124

对于B,因为|尸闾-|尸耳|=2a=2,所以|尸耳同尸用一2,

\PM\+\PF^=\PM\+\PF^-2>\MF^-2=145-2,当且仅当和产,工三点共线时等号成立，故B正确;

对于C,设内切圆圆心为/,直线尸月，尸心，耳月与圆/的切点分别为。,

则|PQ|=|尸N],\QF^=\HF^,\NF^=\HF^,所以|尸闾尸叶=|"用—|期|=2a=2,

|班|+|g|=2c=4,解得|码|=1,回周=3,

连接片/,小，则内切圆半径周=1,tan/孙/=；=1,/孙/=：,/尸60=2/码/=],

所以尸与，x轴，点尸在第二象限，坐标为（一2,3）,故C正确；

2

对于D,设AB的中点为D,两渐近线可写成尤2-[■=（）,设4（%1，%），8（%2，丫2），

联0

占2

X1+尤2%+丫2：，作差可得（+尤）（_々）=

则£(，且%2&

22

%=03

3

整理得=3,即勺。•七s=3(*),

(X]+X?I(X]“2/

在RtAE。居中，依必=；内用=|o周，则

故tan〃。-2=tan（2〃耳。）=1n1P即为广^

2廿Q半，故D

将此式代入（*）得，二晋=3,解得由直线/的倾斜角为钝角知G<。，则的B

1—5

正确.

故选：BCD.

第二部分（非选择题共92分）

四、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知随机变量X服从N（l,〃），若尸（X<0.5）=0.2,则尸（0.5颗k1.5）=.

3

【答案】0.6/-

【知识点】指定区间的概率

【分析】根据正态分布性质求概率.

【详解】因为尸（x<0.5）=02,及正态分布的对称性可得

P（0.5<X<1.5）=2P（0.54X41）=2x（0.5-0.2）=0.6.

故答案为：0.6.

13.在数列㈤｝中，G=5,a用=4°,-3,若对任意的〃eN*,左（4「1）22〃-5恒成立，则实数%的最小

值___________.

【答案】3

64

【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成立问题和数列的

单调性的应用求出结果.

a—1

【详解】由。用=y-3整理得%-1=43〃-1）,即停三=4,又％-1=4,

anT

故数列｛氏-1｝是以4为首项，4为公比的等比数列，可得1=4〃,

2n—5

不等式-4-1）22〃-5,可化为左之

4〃

令/5)=甘，当1W〃W2时，/(H)<0；

4n

、［/、口为£(、、八£,八//、2/1-32〃-56〃一17八

当〃23时，/5)〉0,/(n+l)-/(n)=-----=--产-<。，

故当〃23时，,⑺单调递减，故/(〃)4/(3)=占，

64

综上，/(〃)《77，

64

11

所以左277，故女最小值为77.

6464

故答案为：金

64

14.若函数/食)=金—融—1+历x有两个不同的零点，则实数〃的取值范围是.

【角军析】函数/(%)=祀一这一OV+/HX—l=e一如加一0¥+/心一1,令t=—ax+lnx,

贝iJM/)='+%-l，显然函数力⑺在R上单调递增，而以0)=0,

由/(%)=。，得/z«)=。，于是，=。，BP-ax+lwc=0<^a=,令g(%)=^^，

xx

依题意，函数〃尤)有两个不同零点，即方程“=蛆有两个不等的正根，

X

亦即直线y=a与函数g(x)=—的图象有两个公共点，

X

1—

g\x)=——-—，当Ovxve时，g<%)>0,当x〉e时，gXx)<0,

x

函数g(x)在(O,e)上单调递增，在(e,+oo)上单调递减，

因此g(初皿=g(e)=L且g(1)=0,当犬〉e时，g(%)>0恒成立，

e

从而当0<a<工时，直线y=a与函数y=g(x)的图象有两个公共点，

e

所以实数。的取值范围是(O」).

e

故答案为：(o,3.

e

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为AABC的面积，且

2S=a2-(b-c)2.

(1)求sinA的值;

(2)求幺上的取值范围.

be

【解析】(1),/25=a2-(b-c)2,S=—bcsinA,

2

besinA=/-(Z?-c)2,

Z?2+c2-a2.....

---------------=2—sinA=2cosA，

be

cosA=l-—sinA,

2

又・.•sin2A+cos2A?=1,

sin2A+(1-sinA)2=1

/.sinA(1-sinA-1)=0,

4

/.sinA=0(舍)，sinA=—.

(2)A+B+C=TT,

sinB=sin(A+C),

bsinBsinAcosC+cosAsinC

csinCsinC

434

—cosC+—sinC—

555.3Q

sinCtanC5

・・・AABC为锐角三角形，

/.C<90°,A+C>90°,

.-.C>90°-A,tanC>tan(90°-A)=,

sinA4

4

0<q<3,

tanC3tanC15

4

5335

---+-G,—

tanC553

12

b+cbcAb1/35、

-----=—l—

becb

re(],1),y=r+；单调递减，fe(l,g),y=f+；单调递增,

53434

当£=1,yin=2，当一,y<一

m"I1515

Ze⑵骂

be15

16.(15分)已知函数/(x)=/nx,g(x)=ax2-(2a+V)x+Inx,aeR.

(1)求曲线/(尤)=/质过点(0,1)的切线方程;

(2)若存在不£(0,+8),使得对任意％2£(。,+8),都有..g(%2)成立,求实数。的取值范围.

一玉一

【解析】(1)设：切点坐标为(为,%),对函数求导得:m=~,

X

所以切线斜率为：k=—.又因为切线过点(0,1),

%

%=lnx0

所以i1rn\•解得/=/，

y-l=—(x-0)

%

所以切线方程为：^x+l-y=0.

e2

⑵令阳)=四=妈,

XX

由题设得：存在&e(0,+oo),使得对任意9e(0,+oo),

，等价于/z(x)M..g(x)i，

对函数/工)求导得：〃(%)=上竺

X

所以函数/?(x)在区间(0,e］上单调递增，在区间［e,+oo)上单调递减,

所以函数h(x)在x=e处取得最大值，最大值为〃(x)u=h(e)=-,

e

对函数g(无)求导得：g'OO=2加-(2。+1口+1,

X

①当a=0时，令在％=e处取得最大值g(%)=0得，x=l,

所以函数g(x)在区间(0,1)上单调递增，在(l,+oo)单调递减，

所以函数g(x)在％=1处取得最大值，最大值为且(%)小=且(1)=-a-l=-l,

所以Li,符合题意.

e

②a#0时，令g'(x)=0,即2以2_(2a+l)x+l=0,解得：%=i,/=J-,

2a

当4=2,即二-=1时，函数g(X)在(0,+oo)上单调递增，此时函数无最大值，不符合题意;

22a

③当0<。<4，即二->1时，函数g(x)在(0,l),(」-,+oo)上单调递增，

2la2a

在(1,工)上单调递减，此时函数无最大值，不符合题意；

2a

④当即二-<1时，函数g(无)在(0,二-),(l,+oo)上单调递增.

2la2a

在(-kl)上单调递减.此时函数无最大值，不符合题意；

2a

⑤当a<0,即二-<1时.函数g(x)在(0,1)上单调递增，

2a

在(1,+a))上单调递减，此时函数在尤=1处取得最大值，最大值为g(x).=g(1)=-a-1,

II

所以一…一。一1,即----L,6Z<0.

ee

综上所述，实数。的取值范围是：ae[---l,0].

e

17.(15分)已知椭圆及5+/=1(。>6>0)的离心率为丰，上、下顶点分别为A,B,右顶点为C,

且VABC的面积为6.

⑴求E的方程；

⑵若点P为E上异于顶点的一点，直线是AP与BC交于点M,直线CP交y轴于点N,试判断直线MN是

否过定点?若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

【答案】(1)片+其=1

94

(2)直线MN过定点(3,2).

【分析】(])根据已知条件建立方程组，解出即可;

(2)设出直线A尸的方程为》=履+2,与直线2C椭圆联立，分别表示出P,N的坐标，进而表示出

直线MN,求得定点.

£二好

~a一五，

【详解】(1)由题意知:,2Z?=6,解得a=3,6=2,c=A/5,

c2=a2—b2,

22

所以石的方程为土+匕=1.

94

(2)显然直线AP的斜率存在，设直线A尸的斜率为Z,则直线A尸的方程为>=履+2,

y=kx+2

2I?6k+4

又直线BC的方程为y=：x-2,由2.,解得y=----------

3y=-x—23k—23k-2

[3

26k+2\

即M

3k-23k-?.)

36k

由，94一'得（4+9/）尤2+36履=0,解得彳=0或无=一

4+9左2

y=kx+2

、1,36k.136kc8-1蝴即力凝力），

当％=------r时，y=k+2=---------,

4+然2J4+9公4+9廿

8-1830

4+9左2-6k-4

所以直线CP的斜率Qp=

36k9左+6

4+9/-

一女、

所以直线。尸的方程为尸6号”—=4("3),令％=0,得y=4—66即N(0,亍4F6.

9k+63k+2\3k+2J

6：+44-6左

所以直线MN的斜率kMN=3k屋3k+2=,

-12-o3k+2

3k-3

464—66

所以直线MN的方程为y=+

3k+23k