2025年高考数学复习难题之一、二次函数及方程、不等式

2025年高考数学复习难题速递之一、二次函数及方程、不等式（2025年4

月）

一.选择题（共8小题）

1.（2024秋•日照期末）已知函数/（无）=-bx+a,若对任意的xe[2,8],不等式-（x）W-7+8x

恒成立，则a+b的最大值为（）

A.8B.9C.32D.36

2.（2023秋•宣城期末）已知定义在R上的函数无）=/-2fx+l在（-8,口上单调递减，且对任意的

XI,%2日0,f+1],总有|/（尤1）-/（X2）|W2,则实数f的取值范围是（）

A.[1,V2]B.[-1,1]C.[0,1]D.[1,3]

3.（2024秋•荷泽期中）已知函数/（x）=ax2+bx+c（G^O）的图象如图所示，则关于x的不等式cd+ax+6

A.[―]，1]B.[-2,1]

1

C.(-8,-2]U[1,+8)D.(一8,一引1)[1,+00)

4.(2024秋•丰台区校级期中)已知/(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=x-1,若VxER,f(x)<0

或g(x)<0,则根的取值范围是()

A.(-4,0)B.(-4,-2)C.(-2,0)D.(-3,-2)

5.(2024秋•新疆期中)已知函数/(x)=/-2尤+3在卬词上的值域是[2,11],则机的取值范围是

()

A.[1,3]B.[0,6]C.[1,6]D.[3,6]

6.(2024秋•如东县校级月考)已知对任意的-5x+6W0},y={y|(y-3)(y-8)WO},不等式

mx1-4冲+/20恒成立，则实数m的最小值是()

A.0B.2C.2V2D.4

7.(2024秋•雁塔区校级月考)若对任意。日-1,1],不等式x?+(。-3)尤-3。>0恒成立，则尤的取值

范围是()

A.l<x<3B.-l<x<3C.x<l或x>3D.x<-l或x>3

8.（2024秋•小店区校级月考）已知两点A（-1,5）,B（0,0）,若直线/：-2左+2与线段4B有公

共点，则上的取值范围为（）

A.（-8,-1]U[1,+8）B.（-8,-l]U[0,1]

C.[-1,0]U[l,+8）D.[-1,1]

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2024秋•常州校级月考）已知关于x的不等式a<^x2-3x+4<b,下列结论正确的是（）

A.当时，不等式的解集为0

B.当〃=3时，不等式的解集可以表示为形式｛RcWxWd｝

C.若不等式的解集恰为｛x|aWxW6｝,则6=4或6

D.若不等式的解集恰为｛RaWxWb｝,则。=0且6=4

（多选）10.（2024秋•浙江期中）已知a,加R,对关于尤的方程无|x|+ar+b=0的实数解情况进行讨论，

则下列结论中正确的是（）

A.存在a,bER,使该方程无实根

B.对任意a,66R,该方程至少有一个实根

C.存在a,bER,使该方程有两个实根

D.存在。<0,b>0,使该方程有三个实根

（多选）H.（2024秋•青龙县期中）已知a,6为常数，给出关于x的不等式"Wf-x+lWZzr,则（）

A.当a=l,b=时，不等式arWx2-x+lWbx的解集为｛x|/WxW2｝

B.当〃VZ?V1时，不等式axWx2-x+1Wfcv的解集为或九｝的形式，其中机<〃

C.当IVaV/?时，不等式axWx2-x+1Wfcv的解集为或pWxWq｝的形式，其中根〈几，p

<q

D.当“V1VZ?时，不等式arWx2-x+1的解集为｛x|用WxW九｝的形式，其中?

（多选）12.（2024秋•崂山区校级期中）已知a^+bx+cX）的解集是（-2,3）,则下列说法正确的是（）

A.Z?+3c>0

B.不等式CJ?-bx+a<0的解集为（一4,今

12

C.-------+3a+c的最小值是4旧-4

3b+4

D.当c=2时，若/（X）=3ax2+6bx,xE[ni,破]的值域是[-3,1],则硬-小日2,4]

三.填空题(共4小题)

13.(2025•浦东新区校级模拟)已知不等式公获2一3x+4Wb的解集为［a,b］,贝Ua+6的值为.

14.(2024秋•泰州期末)若关于x的不等式/--2<0的解集为(xi,%2),且尤1>1,则根的取

值范围为,4X1+尤2的最小值是.

15.(2024秋•金山区期末)函数y=7-2ax+3的严格增区间为［2,+-),则实数a=.

16.(2025•深圳一模)已知集合A={X/+2x-820},B={小2-2ax+4W0},若a>0,且中恰有3

个整数元素，则实数a的取值范围为.

四.解答题(共4小题)

17.(2024秋•随州期末)已知二次函数/(x)=axi-x+2a-1.

(1)若/(x)在区间［1,2］上是减少的，求a的取值范围；

(2)若。>0,设函数/(x)在区间［1,2］的最小值为g(a),求g(a)的表达式.

18.(2025春•临泉县校级月考)设函数/(X)=-*久2+7n%+竽.

(I)若函数/(X)在［-1,1］上是单调函数，求实数机的取值范围；

(II)若m=0,是否存在实数a,。，使得函数/(x)的定义域为［a,b］,值域为［2a,2b},若存在，求

出［a,句；若不存在，说明理由.

19.(2024秋•上城区校级期末)已知关于尤的方程3加?+3。尤+4q=0(其中机，p,4均为实数)有两个不

等实根尤1,XI(X1<X2).

(1)若p=q=l,求机的取值范围；

(2)若XI,X2满足就+以=打X2+1，且机=1，求p的取值范围.

(3)若XI,X2为两个整数根，P为整数，且爪=-号，q=今更，求尤1，尤2.

20.(2024秋•石家庄期末)已知不等式a?-4x-6<o的解集是{尤I-1<X<3}.

(1)求常数a的值；

(2)若f(尤)=/+-2)x-6在(-8,3)上单调递减，求实数n的取值范围.

(3)若关于尤的不等式办2+7nx+4\0的解集为R,求实数机的取值范围.

2025年高考数学复习难题速递之一、二次函数及方程、不等式（2025年4

月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案DABADDDD

二.多选题（共4小题）

题号9101112

答案ADBCDACDABD

一.选择题（共8小题）

1.（2024秋•日照期末）已知函数/（x）=-bx+a,若对任意的在[2,8],不等式-d+12W/（x）W-?+8x

恒成立，则a+b的最大值为（）

A.8B.9C.32D.36

【考点】一元二次不等式恒成立问题.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】利用数形结合思想来求双变量的最大值即可.

【解答】解：由函数无）=-bx+a,若对任意的尤e[2,8],不等式-/+12勺（x）W-/+8x恒成立，

作出两个二次函数图象和动直线，

利用数形结合分析：

二次函数y=-/+8尤与直线x=2交于点A（2,12）,与直线x=8交于点B（8,0）,

二次函数y=-/+12与直线x=2交于点C（2,8）,与直线x=8交于点。（8,-52）,

要使得a+b取得最大值，则斜率-b取最小，y轴截距a取最大，

此时直线过点A作函数y=-?+12的切线，

不妨设切点为（火）,12—贿），

则求导可得y'=-2尤，

所以过切点的切线方程为：y—（12—Xg）=—2x0（x—x0）,

当切线过点A（2,12）时，有12—（12—亚）=-2久o（2-久0），

解得尤0=0或尤0=4,

因为4曰2,8],所以此时满足题意，

故切线方程为：y=-8x+28,

此时cz=28,-b--8,

故a+b=36.

故选：D.

【点评】本题考查二次函数的图象性质的应用，属于难题.

2.（2023秋•宣城期末）已知定义在R上的函数/（x）=/-2a+1在（-8,口上单调递减，且对任意的

XI,X2R0,f+1],总有-f（x2）|^2,则实数f的取值范围是（）

A.[1,V2]B.[-1,1]C.[0,1]D.[1,3]

【考点】二次函数的性质与图象.

【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑思维.

【答案】A

【分析】根据函数/（尤）=/-2a+1在（-8,1]上单调递减可得出总1,再利用二次函数的图象与

性质可得出函数/（无）在[0,什1]上的最大值和最小值，进而得出t的取值范围.

【解答】解：因为函数无）=f-2比+1的对称轴方程为x=K

所以函数/（x）在（-8,上单调递减，在.，+8）上单调递增，

又因为函数/（x）=/-2tr+l在（-8,1]上单调递减，所以.21,

所以函数户X）在[0,什1]上的最大值为了（X）max=f（0）=1,最小值为f（x）m讥=f（t）=t2-2t2+1=

-t2+1,

又因为对任意的XI,X2C[0,什1],总有，（尤1）-/（X2）|W2,

所以/（x）max-f（X）加"W2,即1-（-r+1）W2,所以一直</<V2,

又因为所以1W名企,所以实数，的取值范围是口，V2].

故选：A.

【点评】本题考查二次函数的图象与性质，考查学生的逻辑思维能力，属中档题.

3.(2024秋•荷泽期中)已知函数/(x)=ax1+bx+c(a^O)的图象如图所示，则关于x的不等式c/+ax+6

A.[—左，1]B.[-2,1]

1

C.(-8,-2]U[1,+8)D.(一8,一引u[l,+oo)

【考点】二次函数的图象及其对称性.

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】B

【分析】分析可得。<0,b=-2a,c=a,利用二次不等式的解法解不等式cN+ax+b》。，即可得解.

【解答】解：由二次函数的图象可知，函数/(x)的图象开口向上，且该函数的图象与x轴相切，对称

轴为直线尤=1,

所以，/(x)=a(x-I)2=。/-2。尤+。，且a<0,则Z?=-2a,c—a,

不等式cf+or+bX)即aW+ar-2。?0,即/+尤-2W0,解得-2WxWl,

因此，不等式c/+or+b20的解集为[-2,1].

故选：B.

【点评】本题考查的知识要点：二次函数的性质，不等式的解法，主要考查学生的理解能力和计算能力，

属于中档题.

4.(2024秋•丰台区校级期中)已知了(尤)—m(x-2m)(x+m+3),g(无)=尤-1,若VxeR,f(x)<0

或g(无)<0,则根的取值范围是()

A.(-4,0)B.(-4,-2)C.(-2,0)D.(-3,-2)

【考点】二次函数的性质与图象.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】由x<l得g(%)<0,将问题转化为f(x)<0恒成立求解，再按x=l,%>1分类探

讨即可得解.

【解答】解：f(x)=m(x-2m)(X+MI+3),g(x)=x-1,若VxER,f(x)<0或g(x)<0,

当x<l时，g(x)<0,满足/(x)<0或g(x)<0；

而当尤21时，g(无),0,

由VxCR,f(x)<0或g(x)<0,得f(x)<0恒成立，

1_2/72(1—2171-^*01

或]一，解得小>白或-4<根<0,

{m(4+m)>0Im(4+m)<0z

当x>l时，/(无)<0恒成立，由二次函数性质知函数了(无)的图象开口向下，则相<0,

而/(%)=0的2个根为xi=2〃z,Xi--m-3,有12nl":一「解得一4WmW则-4W»t<0,

l-m-3<12

所以m的取值范围是(-4,0).

故选：A.

【点评】本题主要考查一元二次函数的性质以及不等式的求解，属于中档题.

5.(2024秋•新疆期中)己知函数/(x)=7-2尤+3在m，加上的值域是[2,11],则的取值范围是

()

A.[1,3]B.[0,6]C.[1,6]D.[3,6]

【考点】二次函数的值域.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】首先求出/(无)加"，再令/(%)=11求出所对应的无，再分相=4、三种情况

讨论，分别求出m-w的取值范围，即可得解.

【解答】解：因为无)=/-2x+3的开口向上，对称轴为x=l,

所以f(X)min—f(1)=2,

因为/(-2)=f(4)=11,f(x)=/-2x+3在[小词上的值域是[2,11],

所以当机=4时，则-2W/W1,此时机-”[3,6],

当1Wm<4时，要使/(尤)在[小词上的值域是[2,11],

则〃=-2,此时机-”日3,6),

当机<1时，f(x)在[〃，加单调递减，且机)>/(1)=2,

此时/（x）在[〃，加上的值域不可能是[2,11],故舍去；

综上可得相-”的取值范围是[3,6].

故选：D.

【点评】本题主要考查了二次函数性质的应用，属于中档题.

6.（2024秋•如东县校级月考）已知对任意的xe{x|/-5x+6W0},y={y\（厂3）（厂8）W0},不等式

“id-4xy+y220恒成立，则实数机的最小值是（）

A.0B.2C.2V2D.4

【考点】一元二次不等式恒成立问题.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】令t=£分析可得原题意等价于对一切1=!6口，4],ni24t-严恒成立，根据恒成立问题

结合二次函数的性质分析运算.

111

【解答】解：：xe[2,3],vG[3,8],则一e[-,-],

%32

y

：.-e[1,4],

x

又•「mx2-4孙+y220,且x€[2,3],x2〉。，

可得近?-咚

令t=4],则原题意等价于对一切/=[1,4],机力4-?2恒成立，•.？=4—祥的开口向下，对称

轴t=2,

则当t=2时，y=4t-尸取到最大值.皿=8-4=4,

故实数m的最小值是4.

故选：D.

【点评】本题主要考查了不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题.

7.（2024秋•雁塔区校级月考）若对任意或[-1,1],不等式7+（a-3）尤-3°>0恒成立，则x的取值

范围是（）

A.l<x<3B.-l<x<3C.x<l或x>3D.x<-l或x>3

【考点】由一元二次不等式的解求参数.

【专题】转化思想；构造法；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】问题转化为(a-3)x+x2-3元>0在-1,1]时恒成立，令g(a)=(x-3)a+x?-3尤>0,

flG[-b1],结合一次函数的性质即可求解.

【解答】解：因为任意-1,1],不等式/+(a-3)x-3a>0恒成立，

即(a-3)x+x2-3x>0在ae[-1,1]时恒成立，

令g(a)=(x-3)<7+x2-3x>0,«G[-1,1],

.[3—x+x2—3x>0„

贝nU,,解得，x>3或x<-1.

{.x—3+x2—3x>0

故选：D.

【点评】本题主要考查了不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题.

8.(2024秋•小店区校级月考)已知两点A(-1,5),B(0,0),若直线/：y=fcr-2A+2与线段有公

共点，则上的取值范围为()

A.(-8,-1]U[1,+8)B.(-8,-l]U[0,1]

C.[-1,0]U[l,+8)D.[-1,1]

【考点】简单线性规划；直线的斜率.

【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】D

【分析】根据题意，分析可得A、3两点在直线/的两侧或在直线/上，结合二元一次不等式的几何意

义可得(-2A+2)(-k-5-2左+2)W0,解可得答案.

【解答】解：根据题意，直线/：y=kx-2k+2,即依-y-2A+2=0,

若直线/：y=fcv-2什2与线段48有公共点，则A、8两点在直线/的两侧或在直线/上，

贝IJ有(-2Z+2)(-左-5-2左+2)W0,变形可得：(k+1)(k-1)W0,

解可得：-1WZW1,即％的取值范围为[-1,1].

故选：D.

【点评】本题考查简单线性规划的应用，涉及不等式的解法，属于基础题.

—.多选题(共4小题)

(多选)9.(2024秋•常州校级月考)已知关于x的不等式a<^x2-3x+4<6,下列结论正确的是()

A.当QV5V1时，不等式的解集为0

B.当〃=3时，不等式的解集可以表示为形式{RcWxWd}

C.若不等式的解集恰为MaWxWb},则6=4或6

D.若不等式的解集恰为｛RaWxWb｝,则。=0且6=4

【考点】解一元二次不等式.

【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】AD

3

【分析】对于4假设—3x+4Wb有解，求判别式可得。的范围；对于8项作图，即可得到；对

4

3n

于C、D两项，由题目可转化为，二次函数的给定范围与函数值范围相同，则应有—36+4=6,

4

即可解得6的值，然后检验。的值即可.

33

【解答】解：对于A,若一久2一3光+4W6有解，即一久2-3%+4-ft<0有解，

44

o

则有/=(-3)2—4x挤x(4—b)=—3+3b20,

这与已知不相符，.•.不等式无解，故A正确；

对于8,作出f(x)=%2一3%+4的图象，

由图可知，此时不等式aW尚久2一3久+446的解集应由两部分组成，故B错误；

对于CD,a<^x2—3x+4<b的解集恰为

即二次函数/(%)=—3%+4在｛MaWxWZ?｝上的取值是｛y|aWyWb｝.

则必有/(b)=b,即1/—3b+4=b,解得b=或8=4,

・・・/(%)=%2一3%+4在R上的最小值为了⑵=1,则应有〃W1且/(〃)=b.

当时，有/(〃)=,小一3。+4=号，解得，a=寺或a='，与题意不相符;

当。=4时，有/(a)=^a2-3a+4=4,解得〃=4(舍去)或〃=0,

.•・a=0,/?=4.

故选：AD.

【点评】本题主要考查了二次函数性质的综合应用，属于中档题.

（多选）10.（2024秋•浙江期中）已知a,bER,对关于尤的方程尤|x|+ox+b=0的实数解情况进行讨论,

则下列结论中正确的是（）

A.存在a,beR,使该方程无实根

B.对任意a,bER,该方程至少有一个实根

C.存在a,b&R,使该方程有两个实根

D.存在a<0,b>Q,使该方程有三个实根

【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系.

【专题】综合题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑思维.

【答案】BCD

【分析】方程尤|x|+ar+b=0可化为/（无）=x|x|与y=-"-6的图象个数的问题求解.

【解答】解：由题意知：尤的方程x\x\+ax+b^Q的实数解，即为函数/（x）=尤|尤|与-ax-b的图象

交点的横坐标，

丫>f）

’2一…，做出其图象如下：

-xz,x<0

显然直线y=-ax-匕一定会与/（无）的图象有交点，A错误，2正确；

当直线位于位置①时，直线与了（无）的图象有两个公共点，C正确；

当a<0,b>0时，直线位于位置②，此时直线无）的图象有三个交点，。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查函数零点个数的判断方法，将问题转化为两函数图象的交点、利用数形结合思想解决

问题是解题的关键，属于中档题.

（多选）11.（2024秋•青龙县期中）已知a,b为常数，给出关于x的不等式axWx2-x+1Wfcr,则（）

A.当a=l,b=时，不等式依Wx2-尤+l《bx的解集为｛x|aWxW2｝

B.当a<6<l时，不等式orWx2-x+lWbx的解集为｛x|/nW尤或x2〃｝的形式，其中

C.当1<。<6时，不等式orWx2-x+1Wbx的解集为｛尤防WxW",或pWxWq｝的形式，其中相<“，p

<q

D.当a<l<6时，不等式axWx?-x+lW6龙的解集为的形式，其中机<〃

【考点】一元二次不等式及其应用.

【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学抽象.

【答案】ACD

【分析】当。=1,6号时，转化为一元二次不等式组求解可判断人讨论直线尸质与抛物线尸%2

-.r+1的相交情况，然后根据条件作出函数尸的y=bx,y=/-x+1的图如观察图象即可判断BCD.

2\x-I)2>0

【解答】解：当a=l,时X<%—X+1解法<

b=|办2Wx2-x+1W6x=2,y3，即

—X+1<77XX2—5%+1<0

zz

%<2,故A正确，

设直线y=丘，联立｛；_：：_%+1，得/-（无+1）x+l=0,

由△=（H1）2-4>0得上V-3或%>1,直线y="与抛物线y=f-x+l有两个交点；

由A=（Z+1）2-4=0得k=-3或k=l,直线y=kx与抛物线y=/-x+1有一个交点;

由八=（后+1）2-4<0得-3〈女VI,直线y=质与抛物线y=W-x+l无交点.

作出函数〉=以，y=bx,y=j?-x+1的图象，当时，如图一，

由图可知，此时不等式-%+1Wfov解集为0,8错误；

当lVaVb时，如图二，由图可知，。正确;

I*Aiv

：

---------------d-JU*f---p-----q-----1----9

当时，如图三，由图可知，。正确.

♦r//

\//:

*

故选：ACD.

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是中档题.

（多选）12.（2024秋•崂山区校级期中）已知62+云+°>0的解集是（-2,3）,则下列说法正确的是（）

A.b+3c>0

B.不等式cW-Zzx+a<0的解集为（―寺，》

12

C.-------+3a+c的最小值是4遮-4

3b+4

D.当c=2时，若/（%）—3ax1+6bx,xE[n\,碓]的值域是[-3,1],则”2-me[2,4]

【考点】一元二次不等式及其应用；函数的值域；基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，可得6=-a,c=-6a,a>0,代入分析判断4解不等式判断8；利用均值

不等式计算判断C;探讨二次函数值域判断D

【解答】解：由a^+bx+c>0的解集是（-2,3）,

可知：-2,3是关于尤的方程a/+fcv+c=0的二根，且a<0,

贝什「"，可得b=-〃，c=-6a,a<Q.

I-=—6

\a

对于选项A：b+3c=-19a>0,故A正确；

对于选项5：不等式ex2-fcv+〃VO化为：-+〃x+〃VO,

由a<0可得6?-x-l<0,解得一/vxV最

故8正确；

对于选项C：因为b>0,b=-a,

,121212/12/-

可得----+3a+c=------3b+6b=-----+3b+4-4>2-----•(3b+4)-4=4«3-

3匕+43匕+43b+473匕+4

4,

当且仅当=(36+4),即6=±2褒1时,等号成立，但b=丝<0,而b>0,故等号没法

3b+433

取，故。错误；

对于选项。：当c=2时，b=-a=

则/(x)=3ax2+6bx=-/+2x=-(x-1)2+l,

当x=1时，f(x)取到最大值/(1)=1,

因为mWlW九2,由/(x)=-3得，了=-1或%=3,

因/(x)在［m,成］上的最小值为-3,

从而得1或-1WmW1,几2=3,

因此2W〃2-〃IW4,故D正确.

故选：ABD.

【点评】本题主要考查一元二次函数的性质，考查二次不等式的应用，属于中档题.

三.填空题(共4小题)

13.(2025•浦东新区校级模拟)已知不等式a。/一3x+4W6的解集为［a,b］,则a+b的值为4.

【考点】一元二次不等式及其应用.

【专题】综合题；函数思想.

【答案】见试题解答内容

3

【分析】设/(X)等于17-3x+4,它的图象为一条抛物线，画两条与无轴平行的直线y="和y=b,如

果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间，而此不等式的解集为一个区间，所以两直线

与抛物线不可能有两个交点，所以直线应该与抛物线只有一个或没有交点，所以得到〃小于等于

抛物线的最小值且〃与b所对的函数值相等且都等于儿利用/(。)=6解出b的值，由抛物线的对称

轴即可求出〃的值，进而求出〃+6的值.

【解答】解：设f(x)=#-3x+4,当%=~~3=2时，f(x)就屋=1,

由题意可知且/(a)=f(Z?)=b,a<b,

由/(Z?)=人得到［廿-30+4=。，解得匕=号(舍去)或Z?=4,

可得/?=4,

由抛物线的对称轴为x=2得至IJ〃=0,

所以a+b=4.

故答案为：4

【点评】此题考查学生掌握二次函数的图象与性质，灵活利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道

中档题.

14.(2024秋•泰州期末)若关于x的不等式/-2mx+3机-2Vo的解集为(xi,x2),且％1>1,则根的取

19

值范围为(2,+8),4XI+X2的最小值是万.

【考点】解一元二次不等式.

【专题】函数思想；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解.

19

【答案】(2,+8)；―,

【分析】(1)令/(x)=^+2mx+3m-2,可知/(%)函数图象开口向上，再由关于x的不等式12+2mx+3加

-2V0的解集为(羽，X2),且处>1,可得｛，即可求解；

(2)利用韦达定理得到X1+X2与根的关系，对4X1+X2进行变形，然后将加用表示，通过换元法简化

式子，最后利用函数单调性来求解最小值.

【解答】解：令于Qx)-2mx+3m-2,开口向上，

由关于x的不等式％2-2如+3机-2Vo的解集为(xi,%2),且xi>l,

可得｛，解得m>2,

故加的取值范围为(2,+8).

由韦达定理可知，在方程/-2mx+3m-2=0中，xi+x2=2m,

贝(J4XI+X2—3xi+(xi+12)=3xi+2m,

因为xi是方程?-2mx+3m-2=0的根,

%2_2

由好—2mx1+3m—2=0可得zn=_§，

x2—2

因为〃A2,所以五;〉2,

好-2解一4工1+4（卬-2）2

解不等式-2>0,即，>0,>0,

2x^—32巧一32x^—3

因为(勺一2)220,且无1>1,所以久］>今

［X_］_2_299

2%1-3一6—4%-1+6一4盯3%i—4

4%1i+2%2=4%1iH----------------—4%-i1H--------75-----n\——4%114尸5-----5T=4x11+刁---5，

%ix1(2x1-3)x1(2x1-3)2%i—3

令/=2羽-3(£>0),则久i=号，

1+33x字一43"-83t+l3t1115

4%i+%2=4X——I-------------=2(t+3)4-------—=2t+64-五—=2七+五+左+6=2t+五+

利用基本不等式，对于2t+东有2t+,"J2t义芸=2,当且仅当2t=4，即t弓时等号成立，

所以4%i+第2=2t+2+学22+学=学，即4xi+X2的最小值是.

乙L乙乙乙/

19

故答案为:(2,+8)；—.

【点评】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的性

质，以及函数的单调性.

15.(2024秋•金山区期末)函数>=/-2依+3的严格增区间为［2,+°°),则实数a=2.

【考点】二次函数的单调性与单调区间.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】2.

【分析】由已知结合二次函数的单调性即可求解.

【解答】解：因为y=f-2办+3的严格增区间为［2,+8),

所以。=2.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了二次函数单调性的应用，属于基础题.

16.(2025•深圳一模)已知集合4={4?+2了-8三0},2={4?-2or+4W0},若a>0,且中恰有3

529

个整数元素，则实数。的取值范围为{叫《.

-Hr

【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算.

【专题】转化思想；转化法；不等式；运算求解.

529

【答案】{〃午<a<—).

’8-2a《0

【分析】先求出集合A,再利用函数方程根的分布，结合含参数的交集运算得120-8a40,最后计算

29-10a>0

得结论.

【解答】解：设/(X)=7-2办+4,则函数/(%)的图象开口向上，而由。>0知：对称轴x=a>0.

_CxiXo—4

因为若XI、X2是方程/(x)=0的两根，贝!,所以XI、X2均大于0,

+%2=2a>0

而集合AM&lf+lY-820}={x|x4-4或x》2},

f/(2)<0p-4a<0

因此要An5中恰有3个整数元素，贝q/(4)40,gpj20-8a<0,解得一《。〈一，

(/(5)>0(29-10a>0210

529

所以实数a的取值范围为{“,《a<—}.

529

故答案为:［a\~<a<—］.

【点评】本题考查了含参数的交集运算问题，解不含参的一元二次不等式和函数方程根的分布，属于中

档题.

四.解答题(共4小题)

17.(2024秋•随州期末)已知二次函数/(x)=aj^-x+2a-1.

(1)若于(x)在区间［1,2］上是减少的，求a的取值范围；

(2)若。>0,设函数/(无)在区间［1,2］的最小值为g(a),求g(a)的表达式.

【考点】二次函数的性质与图象.

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】(1)(—8,0)U(0,勺1.

(6a-3,ae(0,彳)

111

(2)g(Q)=<2a-诟-1,aWQ，升

1

、3a—2,ciG(2+8)

【分析】先讨论。根据单调递减求出a的范围，再根据［1,2］的最小值为g(a),即可求出结果.

【解答】解：(1)当。>0时，

f(x)=--x+2a-1的图象开口向上，对称轴方程为x=工

JLa

1

所以/G)在区间［1,2］上单调递减需满足一>2,a>0,

2a

解得0<a<4.

当〃V0时，/(x)=苏-x+2〃-1的图象开口向下，对称轴方程为％="<0,

JLa

所以了(%)在区间［1,2］上单调递减需满足aVO,

、1

综上，〃的取值范围是(一8,o)u(0,［］.

11

(2)①当0V克VI,即Q押，f(x)在区间［1,2］上单调递增，此时g(〃)=/(1)=3〃-2.

111

②当14o—《2,即二<a<:时，

乙a4,2

/(,X)在区间［1,9上单调遗减，在区间心，2］上单调递增，

此时g(a)=/(冉=2"电-L

11

③当一>2,即0VaV4时，

2a4

/(x)在区间［1,2］上单调递减，

此时g(a)=f(2)=6a-3,

6a—3fCLG(0,4)

111

综上所述，g(a)—\2(z——1/aE,引.

1

、3a—2,CLG(2,+8)

【点评】本题主要考查函数的单调性和最值，属于中档题.

18.(2025春•临泉县校级月考)设函数/(久)=一#+m+竽.

(I)若函数/(x)在［-1,1］上是单调函数，求实数相的取值范围；

(II)若机=0,是否存在实数a,b,使得函数/(x)的定义域为［a,b］,值域为［2a,2b］,若存在，求

出［a,句；若不存在，说明理由.

【考点】二次函数的性质与图象；函数的定义域及其求法；函数的值域.

【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维.

【答案】(1)(-8,-1］U［1,+8);

(II)存在，［a,b］=［l,3阈a,b］-［-2-V17,苧］.

【分析】(I)利用二次函数的性质求出对称轴，再结合单调函数的性质求解参数范围即可.

(II)对a,b的大小情况分类讨论，结合二次函数的性质求解符合情况的区间即可.

【解答】解：(I)由二次函数性质得了(X)的对称轴X=

因为函数/(尤)在［-1,1］上是单调函数，

所以“W-1或机21,则实数相的取值范围是(-8,-1］U［1,+8);

(II)若m=0,贝!)/(%)=-々/+三，

假设存在实数。，b,使得函数的定义域为［。，可，值域为［2〃，2b］,

分以下情况讨论：(力若OWaVb,函数/(x)在［。，句上单调递减,

1

-a2+=2h

--123a2+4h+o

2即-

1213

由题意得2b+4a+-o

㈤--b+13-2a13

/(2-2

解得仁二，此时小切=口,3］,

(z7)若a<b40,函数/(%)在［〃，切上单调递增,

1

-a2+