2025届甘肃省高三（二模）考试数学试题（附答案解析）

2025届甘肃省高三（二模）考试数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共辗复数是（）

A.—1—iB.—1+iC.1—iD.1+i

2

2.已知力=｛x\log2x>—1｝,B-｛x\y=V1—x｝,则力CB=（）

A.[1,2]B.（0,2]C.[1,1）D.[1,1]

3.对于数列｛3J，“斯=九九+b”是“数列｛an｝为等差数歹U”的（）

A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；

C.充要条件；D.既非充分又非必要条件.

4.已知乙3是两个单位向量，反与另的夹角为9贝“b五―可=（）

A.1B.1C.V2D.V3

5.若。为坐标原点，力（|宝），当。人绕。点逆时针旋转冷至。&时，4的坐标为（）

A-信（）B.（一9|）C-（-|4）（一，|）

6.在数列｛271｝的项2'和2，+1之间插入i个2=1,2,3,…46村*）构成新数列｛册｝,则aioo=（）

A.13B.213C.14D.214

7.若函数/（%）="（%-1）+/+a%的图象上存在两个不同点，使得/（%）在这两点的切线与直线

y=—±第垂直，贝!Ja的取值范围是（）

A.（—8,—2^2）B.（—8,—2A/2）U（4,+oo）

C.（一8,3）D.R

8.如图，在三棱锥S—力中，S41平面4BC,乙艮4C=90°且S4==力。=企，若在ASBC内

（包括边界）有一动点P,使得力P与平面SBC所成角的正切值为:，则点P的轨迹长为（）

A4兀「27r

■至B.71D.6

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列说法正确的是（）

A.数据22,18,19,23,24,30,25,24,26,23的第35百分位数为22

B.数据（期,匕）。=1,2,3,…,10）组成一个样本，其回归直线方程为？=%-3,其中元=8.2,去除

一个异常点（1,7）后，得到新的回归直线必过点（9,5）

C.若随机变量《〜N（l82）,则函数/（久）=P（xW%+2）为偶函数

D.在2X2列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则,2变为原来的3倍（/=

n(ad—bc)2

其中?i=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

10.函数/(%)=\sinx\+\cosx\,则()

A.函数最小正周期为£

B.%=兀是函数的一条对称轴

C.函数图象有对称中心

D.若/（久）=m,xe[0,2兀）有四个解，则m=1

11.已知双曲线E:4—V=1的左、右焦点分别为Fi，F2,过&的直线I交E的右支于4B两点，则

4

下列命题惜误的是（）

A.在直线上取不同于/的点C,若瓦？.近=瓦匕则△AF/2的面积为1

B.若直线/的斜率存在，则斜率范围为（-。，当

C.当直线/的斜率为-1时，zkABFi的面积为警

D.尸为双曲线右支上任意一点，过P作OD：O—4>+y2=1的两条切线人,i2,切点分别为

H,K,则丽•尿的最小值为2或-3

三'填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在递增等比数列｛an｝中，已知。3=1，⑥+。5=学，则。7=.

2

13.已知实数％,y满足/+y2一4%+2=0,则%2+y2的最小值为-

14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体一刍薨（chiimeng）,其底面为

矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行.现有如图所示一刍薨，EF//AB,侧面AADE和ABCF为等

边三角形，且与底面所成角相等，则该几何体中异面直线共有对；若AB=AD=4,E到

底面ABCD的距离为VIT,则该刍蔓的体积为

EF

C

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.△力中，BC=6,丽=2瓦.

.77"

(1)角B,C所对的边为b,c,若ccosC=bcosB,C=彳求AD的长；

(2)若4。=2,当AABC的面积最大时，求sinzb4c.

16.如图，在四棱锥P-ABC。中，△PAD是一个等边三角形，底面力BCD是平行四边形，且平面

PAD1平面ABC。，PB=AB=4,AD=2.

(1)证明：BD1PA；

(2)求平面PCD与平面PBC所成角的正切值.

17.2022年，商汤科技(SenseTime)软件公司研制的第一款AI下棋机器人——象棋专业版“元萝

卜SenseRobot”问世.2024年，商汤将大模型植入机器人推出行业首款家用四合一下棋机器人，为推

介这款机器人，该公司与某市青少年活动中心联合举办了“挑战AI下棋机器人”的象棋对弈活动，由

于活动中心机器人的数量有限，每人每天最多获得一次对弈资格，活动中心每天只抽签6次，每人

在第k次被抽中的概率为七=巴萨1取1，2,6).

(1)求张明同学在第3次抽签时获得对弈资格的概率；

(2)在活动中心参与测试的有A-1型和A-2型两款机器人，活动规定：每位参赛者与机器人对

弈三局，每局均可从这两款中任选一款，假设选手选择A-1型与A-2型的可能性相同，且每局比赛

结果相互独立.若选择A-1型进行对弈，选手获胜概率为|,获胜后可得1分，若选择A-2型进行对

弈，选手获胜概率为会获胜后得2分，平局或失败均不得分，记参赛者得分为随机变量X,求X的

分布列及数学期望E(X).

18.已知圆心在久轴上移动的圆经过点4(-4,0),且与久轴、y轴分别交于B(x,0),C(0,y)两个动点.

(1)求点PQ,y)的轨迹厂的方程；

(2)过力(—4,0)作直线与曲线「相交于M,N两点.

(i)E(2,0),直线EM,EN与曲线r的另一个交点分别为。，F,证明直线。F过定点，并求出该定

点;

(ii){琮(弭0)}5=1,2,3,-“)€”)为点列，直线M%,NF”与曲线厂的另一个交点分别为。小

S^MNER

Fn,若数列的前n项和为Tn，证明16W〃<32.

^DnEnFn

19.对于任意两个正数a,b(a<b),记区间［a,b］上曲线y=y(x)下的曲边梯形面积为S(a,b),并规定

S(a,a)=O,S(a,b)=—S(b,a),记S(a,x)=F(x)—F(a),其中/(x)=F'(x).

Oabx

(1)若/(£)=［时，求证:S(l,2)=5(5,10)；

⑵若fG)=!时，求证：金方〈等；

(3)若/(%)=Inx+1,直线y=e与曲线S(l,%)交于“(名,%),一(%2，丫2)两点，求证：0<

%1%2<(其中e为自然常数).

答案解析

L【答案】A

【知识点】复数的基本概念

【解析】【解答】由z=i（i+1）=-1+i,得=故选Ao

2.【答案】D

【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法；指、对数不等式的解法

【解析】【解答】解：解不等式，。昭？—1，可得比其，则集合4=林,2扑

解不等式1一支220,可得一1<%<1,则集合B=｛%|-1<%<1｝,

故力CIB=

故答案为：D.

【分析】先解不等式求得集合A,B,再根据集合的交集运算求解即可.

3.【答案】C

【知识点】充分条件；必要条件；等差数列概念与表示

【解析】【解答】解：若an=kn+b,则与+i-an=卜（九+1）+b-（/m+b）=k（k为常数），由等差

数列的定义可得数列｛册｝为等差数列，即充分性成立；

若数列为等差数列，设首项为方，公差为d,则通项公式为册=4+（九一l）d=nd+（a1一d）,

令（1=k,a[—d=b,则数列｛aj的通项公式为斯=九九+b,（k,b为常数，nGN*）,即必要性成立,

综上：对于数列｛%｝,“与=kn+b”是“数列｛即｝为等差数列”的充要条件.

故答案为：C.

【分析】根据等差数列的定义、通项公式结合充要条件的定义判断即可.

4.【答案】B

【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算

【解析】【解答】解：易知同=1,帆=1,五与石的夹角为9a-b^\a\p|cosg=lxlx^=

【分析】由题意，根据向量的数量积的定义求出五7,再由|演一同f及数量积的运算

律计算即可.

5.【答案】B

【知识点】任意角三角函数的定义；三角函数诱导公式二~六

【解析】【解答】解：设点4(|,勺在角a的终边上，贝!Isina=[cosa=|,

当。4绕。点逆时针旋转£至。4时，点才在角a+刍的终边上,

贝(lsin(a+£)=cosa=1,cos(a+合=—sina=一考，即4(—|).

故答案为：B.

【分析】根据点所在终边的关系结合任意角三角函数定义，以及诱导公式求解即可.

6.【答案】A

【知识点】数列的应用

【解析】【解答】解：由题意可得：构成新数列｛&J为2,L22,2,2,23,3,3,3,2。…,

则数列｛2?中不超过2,的数的个数为i+[1+2+…+(i—1)]=i+乂>=+i),

当i=13时，|(132+13)=91,当i=14时，|(142+14)=105,则由。。=13.

故答案为：A.

【分析】由题意，写出构成新数列｛的J，求出新数列中不超过“的数的个数，再分组计算的00即可.

7.【答案】A

【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算

【解析】【解答】解：函数/'(%)=仇(久一1)+/+ax的定义域为(L+8),/'(K)=+2x+a,

因为函数/(%)图象上存在两点处的切线与直线y=—4x垂直，所以/(久)=告+2芯+。=2有两个

不同的大于1的解，即2/+(a-4)久一a+3=0有两个不同的大于1的根，

g⑴>0,

令=2K2+(a—4)x—a+3,则A=("4)2+8(a—3)>0,

-平>L

'aER,

BP-a<-2V2,>2V2，即a<—2yj2>则a的取值范围为(—8,—2V^).

、a<0

故答案为：A.

【分析】求函数/(x)的定义域，以及导函数，原问题转化为/(久)=2存在两个大于1的解，结合根

的分布讨论得出a的取值范围即可.

8.【答案】C

【知识点】棱锥的结构特征；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用

【解析】【解答】解：过/作AH1平面SBC,如图所示:

因为SA==AC=/，所以△SBC是边长为2的等边二角形，易知H为△SBC的中心,

由%TBC=~-SBC，可得恭?/义/*遮岩x±x2x2*盘AH，解得AH=—■>

AP与平面SBC所成角为乙4PH,

因为力P与平面SBC所成角的正切值为手，所以tan乙4PH=乎，

解得PH=|,所以P的轨迹为以“为圆心，以|为半径的落在△SBC内的圆弧，

根据S"=连,可知四边形SMHN是菱形，且ZMHN=

根据对称性可知：P所形成的轨迹是三段等长的圆弧，如图所示；

故P的轨迹长为门=争.

故答案为：C.

【分析】过4作AH1平面SBC,H为等边△SBC的中心，利用等体积法求得/“=苧，贝MP与平面

SBC所成角为乙4PH,所以PH=，,P的轨迹为以“为圆心，以|为半径的落在△SBC内的圆弧，据此

求解即可.

9.【答案】B,C,D

【知识点】线性回归方程；正态密度曲线的特点；2x2列联表；用样本估计总体的百分位数

【解析】【解答】解：A、数据22,18,19,23,24,30,25,24,26,23从小到大的顺序排列为

18,19,22,23,23,24,24,25,26,30,因为10x35%=3.5,所以数据第35百分位数是从小到大的第4个

数23,故A错误；

B、回归直线方程为了=%—3,当元=8.2时，歹=8.2—3=5.2,去除一个异常点(1,7)后，其中双=

8.2x10-1=9)则万=5.2X$—7=5,得到新的回归直线必过点(9,5),故B正确;

C、随机变量(〜N(1R2),则对称轴为〃=1,函数门＞)=P(KW4＜久+2)=P(-久W4W2—%)=

/(—%)为偶函数，故C正确；

2

D、在2x2列联表中，/J(叫]⑷小不，若每一个数据均变为原来的3倍,

A(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

22

则K；)黑设计「…牌湍)…广3a则/变为原来的3倍’故D正确.

故答案为：BCD.

【分析】根据百分位数的定义计算即可判断A；根据回归方程的性质即可判断B；根据正态曲线的

性质即可判断C；根据22的公式计算即可判断D.

10.【答案】A,B

【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式

【解析】【解答】解：A、函数/(久)=\sinx\+\cosx\=

'V2sin(久+勺，2k兀<%<^+2kn,kEZ

V2sin(%—勺弓+2上兀三久<兀+2/OT,keZ

V2sin(久—苧)，n+2kn<x<^-+2kn,kEZ

V2sin(x+苧),与+2kn<x<2n+2kn,kEZ

函数图象，如图所示：

Y^YY/YYY

--------＞

-2713?t-717tO四兀37127rx

F'22T

A、由图可得：函数的最小正周期为方故A正确；

B、由图可得：%=兀是函数的一条对称轴，故B正确；

C、由图可得：函数没有对称中心，故C错误；

D、由图可得：当函数/(x)=|$讥久|+|cos久|=鱼时，x=贝昧久)=m，久e[0,2兀)有

4444

四个解，即小也可以是鱼，故D错误.

故答案为：AB.

【分析】画出函数图象，根据图像逐项判断即可.

11.【答案】B,D

【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【解答】解：A、若£.鼠=点，则瓦？•（品一瓦?）=0,即瓦？=0,即△&4F2是直

角三角形，且+以4|2=（2岔）2=20,

由双曲线的定义可得：\AFX\-\AF2\=4,两边平方1ABE+-2|A七||力尸2I=16,解得■

\AF2\=2,则AFMF2的面积为S=/|AFi|•IAF2I=1，故A正确；

B、易知点尸2（，^,0），直线的斜率存在且不为0，设，的方程为：x=my+y/5（m0）,

联立｛/"?：；!。，消元整理可得：（加2—4）俨+2石血、+1=0,

'*一4W0

A＞0

因为直线［交E的右支于43两点，所以《1,八，解得zne（—2,0）U（0,2）,

当巧=族［＜°

＜m0

则斜率k的范围为k＜一±或k*,故B错误；

C、因为直线/的斜率为-1,故直线的方程为久=-y+逐，

设力（久1，%）,B（x2,y2）＞由B可知，联立方程得：3y2+2遍y—1=0,

由韦达定理可得为+y2=—y1y2=—

则SMBFI=/x2cxE-%|=逐］(%+丫2『一4丫1丫2=花］(-孥)+g=生翳'故C正确;

D、设/J/PD=a,PH=m,则tana=

PHm

26m2

因为历7•=\PH\\PK\cos2a=m•0="=fm+1)——----3,

l+tarram2+lv7m2+l

令七二租2+1,则丽•尿二七+,一3,

、ry2

设P(%o，yo)，则PZ>2=(久0_旬2+羽=^0-8%0+15(x0>2)，

因为对称轴为劭=¥c［2,+00),

故2琮讥=春则病min=PD^in-1=|>即teg+8),

故而.沃的最小值在"若时取得,最小值为六故D错误.

故答案为：BD.

【分析】由题意可得AF/1F2是直角三角形，利用勾股定理、双曲线定义求得△F/1F2的面积即可判

断A；设/的方程为：x=my+V5(m0),联立方程组，由方程(m?—4)产+2遥加丫+1=0有两

个不互为相反数的异号根得解即可判断B；设直线的方程为％=-y+逐，联立方程组，由SMBFI=

3义20义|当—求解即可判断C;设乙HPD=a,PH=m,则丽♦尿=(m?+1)+怎彳一3,先

求出m的范围即可判断D.

12.【答案】9

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质

【解析】【解答】解：设等比数列｛斯｝公比为q,由。3=1，可得=於=1，

因为+。5=学，所以。1、。5可看作方程/-学X+1=0的两个根，解得X=3或％=

=3_1

则_1或『1=3,

rs=3（。5=3

又因为数列｛即｝递增，所以的岩，。5=3,则=即33q4,化简得q4=9,

解得q=遮，则CZ7==9.

故答案为：9.

【分析】设等比数列｛斯｝公比为q,由题意，利用等比数列性质通项公式求出q,再根据数列递增确

定q和再求。7即可.

13.【答案】3-2V2

【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系

【解析】【解答】解：原方程配方/+/—©+2=0可得(久―2)2+产=2,

则点®y)在以(2,0)为圆心，鱼为半径的圆上，

要求的最小值，只需求久2+产的最大值，久2+y2表示圆上的点到原点距离最大值的平方，

易知圆上的点到原点的最大距离为迎+2,(无2+y2)max=6+4/，

则寿的最小值为篇=3-2企.

故答案为：3-2企.

【分析】原方程配方可得(比-2)2+俨=2,得点(x,y)的轨迹，再利用几何法求代数式的最值即可.

14.【答案】12；芋VTT

【知识点】异面直线的判定；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用

【解析】【解答】解：由异面直线的定义可知：直线AD与是异面直线；

直线BC与是异面直线；直线ZB与CF,DE成异面直线；

直线CD与4E,BP是异面直线；直线成异面直线；直线BF,DE成异面直线，共12对;

在刍蔓ZBCO—EF中，过F作底面4BCD的垂线，垂足为H,取BC的中点K,如图所示：

EF

贝=VTT，FK=2V3>HK=y/FK2-HK2=1，即EF=2,

分别取AB,DC的中点M,N,

则刍薨/BCD-EF被分为四棱锥E-力MNC和三棱柱EMN-FBC,

又因为UETMND=1X4X2XVTT=为爱，

3

所以'三棱柱EMN—产BC=30三棱锥M—FBC=3"三棱锥尸―MBC=2，四棱锥尸一时3。囚'

3__

又因为U四棱锥F_MBCN='四棱锥E_4MND，所以'三棱柱EMN—FBC=2,四棱锥F_MBCN=4«i，

则该刍薨的体积为当VIT+4V11=^VlT.

故答案为：12;^Vll.

【分析】根据异面直线的定义判断求解即可；分别取ZB,DC的中点M,N,将刍薨4BCD-EF被分

为四棱锥E-AMNC和三棱柱EMN-FBC求解即可.

15.【答案】(1)解：若ccosC=bcosB,由正弦定理可得：sinCcosC=sinBcosB,贝(Js讥2。=

sin2B,即23=2。或2c+2B=兀，

即(?=B或NBAC=p

因为BC=6,~BD=2DC，所以BD=4,DC=2.

当B=C时，因为C=号,BC=6,~BD=2DC，所以△ABC是边长为6的等边三角形，且而=

+gAC,

则而2=+^AB-AC+^AC2=^+^x6x6x1+^x36=28.解得AD=2近；

-JT--JT

当乙B4C=鄂寸，因为C=*BC=6,所以ZC=3,

在△4DC中，由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2-2AC-CD-cosC=9+4-2x3x2xj=7,

解得AD=V7,

故4。=V7;

(2)解：若AD=2,则点4的轨迹是以。为圆心，2为半径的且除去C及BD中点的圆，

显然当401BC时，AZBC的面积最大，

止匕时=psinZ.BAD=cosZBXD=学，

贝binzBAC=sin(乙BAD+J)=噂(sin^BAD+coszBXD)=孝义挛=

【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用

【解析】【分析】(1)由题意，利用正弦定理、正弦二倍角公式化简得s讥2C=s讥2B,则2c=2B或

2c+2B=71,分情况利用余弦定理求求AD的长即可；

(2)由题意，点4的轨迹是以0为圆心，2为半径的且除去C及BD中点的圆，显然当4。1BC时，AABC

的面积最大，可得ZCAD=2,再利用两角和的正弦公式求解即可.

41

(1)因为BC=6,BD=2DC，所以BD=4,DC=2.

因为ccosC=bcosB,根据正弦定理，可知sinCcosC=sinBcosB,

由二倍角公式得：sin2C=sin2B,

■JT

所以2c+2B=7T,或2c=2B,即ZBAC=2，或8=C,

①=］时，因为C="所以AC=3,

在ATWC中，根据余弦定理可得：

1

AD2=AC2+CD2-2AC-CD-cosC=9+4-2x3x2x1=7,

故4。=V7;

②B=C时，因为C=*所以△ABC是边长为6的等边三角形，

因为而=^AB+^AC,

故力D=^AB+^AB-AC+^AC=詈+/6X6x,+/36=28,

解得力D=2V7.

所以40=V7,或40=2V7;

(2)因为4。=2,

所以A的轨迹是以。为圆心，2为半径的且除去C及BD中点的圆，

显然当1BC时，△ABC的面积最大.

止匕时NC力D=4，sinZ-BAD—cos乙BAD=*，

所以sin/BAC=sin.BAD+/

y/2.x.r»Ar\n3J10

=-2~(^siiiiZ-BAD+cosZ-BAD^—x-g—=—jg-•

16.【答案】(1)证明：取力。的中点0,连接P。，B0,如图所示:

因为APA。是一个边长为2的等边三角形，所以P。1AD,

又因为平面PADJ_平面ABC。，平面PADn平面ABC。=AD,P0u平面PAD,所以P。，平面

ABCD,

又因为OBu平面ABCD,所以PO1OB,由P。=遮，PB=4,解得B。=VH,

在aAOB中，根据余弦定理得cosA=斗桨尹=£解得人=。在AADB中，由余弦定理得BD

ZX1X4Z。

2存

贝IU4DB=7*T,即BD14D,

又因为平面PAD_L平面力BCD,平面PADn平面ABC。=AD,BDu平面ABC。,

所以BD1平面PAD,PAu平面PAO,所以BD1PA；

(2)解：以。为坐标原点，DA,DB所在直线为久轴，y轴，过。作。P的平行线为z轴，建立空间直角

贝C(—2,2遮,0),D(0,0,0),P(l,0,V3),

BC=(-2,0,0)-PC=(-3,2V3,-V3),DC=(-2,2V3,0),

：P.C=0,即—3x+2V3y—V3z=0

设平面PCD的法向量为五=(x,y,z),则

—2x+2V3y=0

,n•DC-0

令y=l，得x=g，z=-l,则平面PC。的一个法向量运=1),

莅.BC=0,即%i=0

设平面P3C的法向量为沅=则

—3%1+2^j3y—V3zi=0'

m-PC=01

令yi=1，得Z1=2,即平面PBC的一个法向量沅=(0,1,2),

m-n_1_1

设平面PCD与平面PBC所成角为8,。为锐角，贝Ijcos6=丽=声后=引

sind=V1—cos26=tan。=；置,=2遍，

故平面PCD与平面PBC所成角的正切值为2遍.

【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角；同角三角函数间的

基本关系

【解析】【分析】(1)取/。的中点。，连接PO,BO,由面面垂直可得P。1平面ZBCD,利用余弦定

理可得cosA=5BD=2后从而BD1AD,可证BD1平面PAD,即可证明BD1PA；

(2)以。为坐标原点，DA,DB所在直线为％轴，y轴，过。作0P的平行线为z轴，建立空间直角坐标

系，利用空间向量法求解平面PCD与平面PBC所成角的余弦值，再根据同角三角函数基本关系求解

即可.

(1)取2D的中点。，连接PO,B0,

因为APA。是一个边长为2的等边三角形，

又因为平面2401平面ZBCD,

平面PADCl平面4BCD=AD,P0u平面PAD,所以P。1平面/BCD,

又因为OBu平面ABC。，所以P010B,

又因为P0=V5，PB=4,解得B0=VT5,

在4力。B中，根据余弦定理得cos力=1段:3=1

A

77"

所以4=可在AADB中，由余弦定理得BD=28,

TT

所以乙4DB=2，即

又因为平面2401平面4BC0,平面24。。平面4BC0=AD,

BDu平面2BCD,

所以BC，平面PAC,PAu平面PAD,得到BD1PA；

(2)如图，以D4,CB所在直线为久轴，y轴，

过。作。P的平行线为z轴建立平面直角坐标系。-xyz.

B(0,2V3,0),C(-2,2V3,0),D(0,0,0),P(l,0,V3),

前=(-2,0,0)，PC=(-3.2V3,-V3),DC=(-2,273,0).

设平面PCD的法向量为运=(x,y,z),

贝J元-PC=0(-3久+2V3y—gz=0,

令得

In-DC=0I-2x+2V3y=0'y=1x=V3>z=-1,

所以平面PCD的一个法向量元=1),

设平面PBC的法向量为记=(xi.y^zj,

则｛蕊二河的+2菽，…令……

所以平面PBC的一个法向量方=(0,1,2),

设平面PC。与平面PBC所成角为仇。为锐角.

则cos”|黯卜/=最

sind=V1—cos26=tan。==2V6.

17.【答案】(1)解：记事件A="张明同学在第3次抽签时获得对弈资格”，事件4="第k(k取

1,2,…,6)次被抽中”，

则P(4)=P(4)P(42)P(A3)，

又因为每个报名者在第k次被抽中的概率为外=乌》(k取1,2，…,6).

“ZU

则PQ4)=(1-郑x(1—勘x益=襦；

(2)解：记%="选手在某一局得到了i分。=0,1,2)”，

12111121ill

则P(Bo)=2><3_*~2><3=2,P(BI)=2X3=3,0(，2)=2X3=6,

由题意可知：X可能取值为0,1,2,3,4,5,6,

P(X=。)=喘=手

p(x=1)=废\xG)=%

P(X=2)=废2XG)+量(2)Xg=24'

P(X=3)=受(J+■2X6WX盘d=打'

p(x=4)=废传j*升盘©x*务

P(X=5)=竭xg)=宝，

P。=①=废(J)3=216-

则参赛者得分X分布列为

X0123456

P11711711

8424547236n6

i1711711

F(%)=0X2+1X4+2X24+3><54+4X72+5X36+6Xn6=2-

【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差;

二项分布

【解析】【分析】(1)设“张明同学在第3次抽签时获得对弈资格”为事件4第k(k取1,2,…,6)次被

抽中为事件A，则PQ4)=P(4)PQ42)PG43)，根据题意求解即可；

(2)由题意可知：X可能取值为0,1,2,3,4,5,6,求每个值对应概率，列分布列，求数学期

望即可.

(1)设“张明同学在第3次抽签时获得对弈资格”为事件4

第k(k取1,2,…,6)次被抽中为事件4，则P(4)=P(4)PG42)P(4)，

又因为每个报名者在第k次被抽中的概率为外=与/(k取1,2,…,6).

所以PQ4)=(1-知x(1—给x轩焉

(2)设%表示选手在某一局得到了i分a=0,1,2),

12111121ill

贝1JP(Bo)=2X3"*-2X3=2，P(BI)=2X3=3,P02)=2X3=6,

因为每局比赛结果相互独立，

则X可以取0,1,2,3,4,5,6,

且X=0：”三局比赛均得0分”，

X=l："三局比赛中1局得1分，2局各得0分”，

X=2："三局中1局得。分，2局各得1分”或“三局中1局得2分，2局各得0分”，

X=3："三局中1局得0分，1局得1分，1局得2分”或“三局均得得1分”，

X=4："三局中1局得。分，2局各得2分”或“三局中1局得2分，2局各得1分”,

X=5："三局中1局得1分，2局各得2分”，

X=6：“三局比赛均得2分”.

,1、3

所以尸(X=0)=喘6)=g1>

P(X=1)=CaxG)=

P(X=2)=端xQ)2+或伶,xR务

P(X=3)=废G?+C/XC*X醒=II,

P(X=4)=或传)x*+喘4X*务

P(X=5)=Ci|x(1)2=^

P(X=6)=Cjg)=216-

所以参赛者得分X分布列为

X0123456

P11711711

8424547236216

11711711

所以£*(X)=0x:y+lx彳+2x-yr+3x-=-T+4x+5x+6x—2・

z424547z36Z16

18.【答案】(1)解:因为圆的圆心在工轴上移动，且经过点4(一4,0)和点BQ,0),

所以圆心为点4(一4,0),8(久,0)的中点，圆心为S(号立0),

又因为C(0,y)在圆上，所以|SC|=挈，则J(专1+旷2=|要化简得产=4口

故点P(%,y)的轨迹「的方程为y2=4x；

(2)解：易知弦MN的斜率必不为0,则设弦MN所在直线方程为久=my-4,

联立F4,消元整理可得y2—4my+16=0,

因为过A(—4,0)作直线与曲线「相交于M,N两点交于两点，所以/=16m2-4X16>0,解得血<

-2,或TH>2,

22

设MQi，%),N(x2,y2),由韦达定理可得：'仍=16,久［刈=4•2=16；

■LZ44

(i)证明：因为E(2,0),直线EM,EN与曲线厂的另一个交点分别为D,F,设直线EM:x=ty+2.

X—-L272

{/Lx，消元整理可得y2—4ty—8=0,所以y/D=-8,%60=至呼=4，同理可得：

%2町—4.

所以久2久"F=16,解得和=1,

由上述解答可知：过久轴上一定点的直线与抛物线交于两点时,

这两点的横坐标之积为定值，故猜想若和孙为定值时，直线DF过的定点在x轴上,

下面进行证明.

因为岫F=”,可得直线0F的方程为：y-yD=M0一和）,

令y=o,解得丫.一摩（»-①）1丫.和丫厂冲坊装F一学功坊坊

4

力_功DyF-yDyp-yD

又因为光作=4XDx4XF=16XDXF=16,

根据题目可知，力，力同号，^yDyF=所以—毕=—1,

故直线DF恒过定点，定点为（—1,0）；

（ii）由（i）可知：若抛物线y2=4久的弦MN与x轴交于点（a,0）,

若M（xi，%）,N（x2,y2）＞则有久1K2=。2,=-4a.

由证明出的结论可知，yty2=16,久1久2=16,

因为{En(n,0)}O=1,2,3,…eN*)为点歹U，

直线M%,NEn与曲线厂的另一个交点分别为Dn,Fn,

2

故小功”=层，x2xFn=n,y/D”=一4几，y2yFn=-4n.

4

所以久i久2%D/FN=n4,解得沏”肛“=jg-

因为心"七=可得直线外心的方程为：y-yo=（%-xD）,

,产为几"DnFnDnn

n

由（i）同理可得：y=0时，解得％=—也身（#）,

4

4

又因为光＞“脸=4%DnX4xFn=n,

根据题目可知如“，y%同号，故无尢=层，所以（#）=—《，

故直线。nFn过定点点（—吟,0）,

所以S^MN琮—\^^ANEn~^^AMEn\=］（九+4）也一y?|，

=,皿岛Qn-SAF,国Q/=4（九+

^DnEnFn

—4TI—4n

曰S^MNEn=如+4)也一丫21=4%一丫2=i幅一皈44n16

-2«

，△DnEnFn九+彳1yo九一y^J九几丫尸几几丫。几丫尸几

故T九=16(市+也+点+…+今)显然了几—16X—2=16,

当7122时，今＜而白U=白厂)

故Tn<16（/+1-3+K+…+/Y）=16（2-：）<32,

所以16<Tn<32,得证.

【知识点】数列的求和；数列与不等式的综合；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题

【解析】【分析】(1)由题意可得，圆心是点4(—4,0),B(x,0)的中点，求得圆心为S(三,0),再由

|SC|=竽，可得点P(x,y)的轨迹厂的方程；

(2)(i)设弦MN所在直线方程为％=my-4,设MCq,%),乂(%2，力)，设直线EM：%=ty+2,联立

22

方程组，得％］和=+翠=4，同理可得：X2XF-4,解得久“F=1，故猜想若和久F为定值时，直线

DF过的定点在工轴上，证明即可得定点坐标；

(ii)根据(i)的方法可得直线过定点Q(-g,0)，从而得沁”=与，再利用放缩法和

n4S

\/ADnEnFn层

裂项相消法求证即可.

(1)因为圆的圆心在久轴上移动，

所以4(一4,0)与B(%,0)的中点为该圆的圆心，故圆心为S(号,0).

又因为C(0,y)在圆上，所以|SC|=竽，

即心诟=用，

化简得：y2=4%,

所以点P(%y)的轨迹r的方程为y2=4x；

(2)因为弦MN的斜率必不为0,故设弦MN所在直线方程为％=my-4,

联立方程F=2^4%4,得y2-4my+16=0,

因为交于两点，故/=1662—4X16＞0,解得加＜一2,或小＞2,

22

设M(x1月),N(x2,y2),故丫皿=16,久久=久孕=i6-

■L444

(i)证明：因为E(2,0),直线EM,EN与曲线厂的另一个交点分别为。，F,

设直线EM:x=ty+2.

联立方程'12,得y2_4ty_8=0,

22

所以当为=-8,久］和=与尊=4，同理可得：x2xF=4.

所以久2%D%F=16,解得孙孙=L

由上述解答可知：过久轴上一定点的直线与抛物线交于两点时，

这两点的横坐标之积为定值，故猜想若和孙为定值时，直线DF过的定点在x轴上,

下面进行证明.

又因为光界=4和X4XF=16XDXF=16,

根据题目可知，为，同号，故为）丫尸=4,所以—竽=—1,

故直线DF恒过定点，定点为（—1,0）；

（ii）由（i）可知：若抛物线y2=4%的弦MN与x轴交于点（a,0）,

若MG1，%）,N（x2,y2）,则有％1%2=。2,yty2=-4a.

由证明出的结论可知，％了2=16,%1%2=16,

因为｛扁（弭0）｝5=1,2,3,…,neN*）为点列,

直线M%,N%与曲线r的另一个交点分别为Cn，Fn,

24n

故久1和“=/，x2xFn=n,yryDn=-,=一4?1.

4

所以久2久D/Fn=九3解得XD/F”=

因为岫/“=可得直线的方程为：y-yDn=（尤-和„），

卜n"九产ri

由（i）同理可得：y=0时，解得久=—驾也（#）,

4

又因为总花=4%X4xFn=n,

根据题目可知如“，力”同号，故为"%„="2,所以（#）=_?

14

故直线4心过定点Q“（-%。），