2025年高考数学复习新题之一元函数导数及其应用

2025年高考数学复习新题速递之一元函数导数及其应用（2025年4月）

选择题（共8小题）

1

1.（2025•辽宁二模）已知。=3历1.5,b=e3,c=）则（）

A.b>a>cB.b>c>aC.c»a>bD.c>b>a

己知函数/

2.（2025•辽宁二模）'(x)=xZn1^,则不等式/（x+l）>/（2x-1）的解集为（）

A.(0,1)B.(0,2)C.(—yf0)D.(-b2)

已知。=贤，心弟

3.（2025•云南一模）工')

3

A.B.C.c<a〈bD.b〈a<c

⑴—

4.（2025春•保定月考）已知函数/（%）e32%，贝!)

t-1

A.-2eB.2eC.-eD.e

5.（2025春•防城港月考）已知函数y=/（无）在R上可导，且/（I）1,其导函数/（无）满足，（x）

-2/（%）>0,则不等式e》（历（x-1））<（%-1）2的解集为（)

A.(1,e)B.(1,e+1)C.(e,e+1)D.(e+1f+8)

6.（2025春•苏州校级月考）已知函数/（x）小+/，则Um()

Ax

A.2+eB.-2-eC.3eD.2e

7.（2025春•南海区校级月考）下列求导正确的是（）

A.(e2)'=/

B.(xlogzx)'=log2X+/〃2

C.[(2x+l)4r=8(2x+l)3

D.(2-x+x)/=2)加2+1

8.（2025春•北京校级月考）已知x=l函数f（x）=/-3〃X+3的极小值点，那么函数f（x）的极大值为

(

A.2B.3C.4D.5

多选题（共4小题）

（多选）9.（2025•广安模拟）已知定义域为（0,+8）的函数/Q）满足）+久''（"=1,/（1）-1

x

=0,数列｛〃"｝的首项为1,On+lf(tZn+1)-f(.an)=-1,则(

A.fQln2),ln2=lB.f(几)>1

C.472025<422024D.dn21

（多选）10.（2025春•昆山市校级月考）若函数/（x）在定义域。内的某个区间/上是单调增函数，且尸（%）=

写在区间/上也是单调增函数，则称y=/（无）是/上的''一致递增函数”.已知fQ）=x+?,若函

数/（x）是区间/上的“一致递增函数”，则区间/可能是（）

A.（-°°,-2）B.（-°°,-1）C.（0,+8）D.（2,+8）

（多选）11.（2025春•姑苏区校级月考）已知函数了（无）=sinx+x3-ax,则下列结论正确的是（）

A.f（x）是偶函数

B.若/（x）是增函数，则aWl

C.当a=-3时，函数/（无）恰有两个零点

D.当。=3时，函数/（x）恰有两个极值点

（多选）12.（2025•邢台模拟）已知函数/（x）=jr+alnx,则下列结论正确的是（）

A.a=$寸，曲线y=/（x）的切线斜率最小值为2

B.a=4时，f（x）有最大值

C.。=一^时，f（x）有两个零点

D.a=一齐寸，f（x）有最小值

三.填空题（共4小题）

13.（2025春•淄博月考）已知函数/'（久）=/产+/+（2a-l）x+42-a+1若。=-1,则函数的极小值

点是;若函数八x）在（1,3）上存在唯一的极值点.则实数a的取值范围为.

14.（2025春•沙坪坝区校级月考）若函数f（x）="+l-a（x+2）有两个零点，则实数a的取值范围

是.

15.（2025春•吴江区校级月考）己知函数/⑶=包喘等，则函数-x）在［-90）上的最大值为.

16.（2025•濮阳二模）“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将无化成x=/〃/，x=e,m（x>0）的变

形技巧.己知函数f（x）gQ）=-竽，若/（XI）=g（X2）=f>0,则广长的最大值

为.

四.解答题（共4小题）

17.（2025•昌黎县校级模拟）已知函数尤）=_?-ax+2sin_x.

（1）若〃=Tl,求函数/（%）的单调区间;

(2)求证：存在无穷个实数a,使得曲线y=/(x)是轴对称图形.

18.(2025•香坊区校级二模)已知函数/(%)=lnx-2kx,尤6(0,e],其中e为自然对数的底数.

(1)若x=2为/(X)的极值点，求了(尤)的单调区间和最大值；

(2)是否存在实数上使得了(x)的最大值为-2?若存在，求出左的值；若不存在，说明理由.

19.(2025•山西模拟)己知函数了(无)—aex+lnx-1,g(x)为/(x)的导数.

(1)当a=e时，求曲线y=f(无)在点(1,/(D)处的切线方程；

(2)讨论g(x)零点的个数；

(3)设xo为/'(%)的零点，证明：当0<%<1时，f(x)<g(xo).

20.(2025•海南模拟)已知函数无)—Inx-ax.

(1)当a=-1时，曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线与曲线y=nuC+(优+2)x+1(m#0)相切,

求实数，”的值；

(2)函数/(x)<a-2恒成立，求实数a的取值范围.

2025年高考数学复习新题速递之一元函数导数及其应用(2025年4月)

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

题号12345678

答案DABABACD

二.多选题(共4小题)

题号9101112

答案ABCABDBDAD

一.选择题(共8小题)

1r

1.(2025•辽宁二模)已知。=3历1.5,b=e3,c=W,则()

A.b>a>cB.b>c>aC.c>>a>bD.c>b>a

【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间.

【专题】计算题；整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】D

【分析】由b-a=3修后+"(1一构造函数无)=xex+ln(1-x),0<x<l,利用导数分析其

单调性，可得函数/(尤)在(0,1)上单调递增，结合/(0)=0可得/(3>0,进而得到b>a,再

通过比较少和c的大小得到c>b,进而得出选项.

11311

【解答】解：b-a=e3—3/几1.5=3(3e3—=3[-e3+ln(1-3)],

设/(x)=xex+ln(1-x),0<x<l,

rm"/1(%2-l)ex+l

则/(%)=(%+l)e%+-j-=-―目---，

设〃(x)=(x2-1)/+1,0<x<l,

则”(x)=(/+2x-l)/，令〃(x)<0,得

所以函数4(x)在(0,鱼-1)上单调递减，

又〃(0)=0,所以当％6(0,鱼一1)时，h(x)<0,

则了(x)>0,此时函数/(x)在(0,鱼一1)上单调递增，

1

又f(0)=0,所以f&>0,

则b—CL=3后e3+ln(l—§)]>0,即b>a；又/=e<3,c3=(可>=〉3,则c>b,所以c>b>a.

故选：D.

【点评】本题考查利用导数求解函数的单调性和单调区间，属于中档题.

2.(2025•辽宁二模)己知函数f(x)=乂)雪，则不等式/(x+1)>/(2x-1)的解集为()

A.(0,1)B.(0,2)C.(-1,0)D.(-1,2)

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】先求得函数/(x)的定义域，判断奇偶性，再单调性的定义判断函数了(无)的单调性，进而求

解不等式.

2+%

【解答】解：由r〉0,解得-2VXV2,即函数/(x)的定义域为(-2,2),

由/(%)=久1九§^，

贝1」/(一乃=-xln^^=xln^^.=f(x),

所以函数/(x)为偶函数，图象关于y轴对称，

2-I-y4

当0<xV2时，f(%)=xl/nD_=XITI(-1二

由于函数y=—l一段在(0,2)上单调递增，且一1—与>1,

4

贝！JZn(—1—^2)>0,

24~Xo24~%-i

对于任意的0<%1VX2<2,则方---->ln----->0,

2—%22—巧

所以xilnj/Axi/--〉0，即/(%2)>f(xi),

所以函数/(x)在(0,2)上单调递增，则函数/(%)在(-2,0]上单调递减，

由/(x+1)>/(2x-1),

f-2<x+l<2

则｛-2<2%—1<2,解得0<xVl,

1|x+l|>|2x-1|

即不等式/(x+l)>/(2x-1)的解集为(0,1).

故选：A.

【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题.

3.(2025•云南一模)已知a=■^,b=电^,c=绰^,贝！J()

2Z34Z

A.a<b<cB.c〈b<aC.c<a<bD.b<a<c

【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间.

【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】B

【分析】构造函数〃无)=^,利用导数求解单调性即可得解.

【解答】解：设/(%)=警，疣［2,+8),则/-(久)=上誉，

当龙》2时，f(x)<0,故/(x)在［2,+8)单调递减，

所以/(2)>/(3)>/(4),

即c<b<a.

故选：B.

【点评】本题考查导数在函数单调性中的应用，属于中档题.

4.(2025春•保定月考)已知函数/(x)=e3-2x,则倒八?［⑴=()

A.-2eB.2eC.-eD.e

【考点】变化率的极限与导数的概念.

【专题】整体思想；定义法；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】由导数的定义即可求解.

【解答】解：由题意得/(x)=-2e3-2x,

则Um⑴=f(1)=-2e.

t-1J

故选：A.

【点评】本题主要考查了函数求导公式，导数定义的应用，属于基础题.

5.(2025春•防城港月考)已知函数y=/(x)在R上可导，且/(I)=1,其导函数，(x)满足，(x)

-2f(x)>0,则不等式e2f(In(x-1))<(x-1)2的解集为()

A.(1,e)B.(1,e+1)C.(e,e+1)D.(e+1,+°°)

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】计算题；整体思想；分析法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】B

2

【分析】根据题意，设9(%)=翳，求导分析g(x)的单调性，又efUn(x-1))<(x-1)2,可

转化为，、/<—,即gUn(x-D)<g(1),结合函数g(x)的单调性，可得历(尤-1)<1,

(%—l)zez

求解即可.

【解答】解：根据题目：已知函数y=/(x)在R上可导，M/(l)=1,其导函数，(x)满足/(x)

-2f⑴>0,

设gQ)=维，则g，⑸=/。)位—24(x>e2x=

e(e2x)2

又/(x)-2/(x)>0,所以g/(x)=,⑺/⑶〉0,所以g(X)在R上单调递增.

不等式e2/(历(x-1))<(x-1)2等价于<4,

(x-iyez

/(m(%T))

即g()-1))<g(i)_fW

e2ln(x-l)

所以勿(尤-1)<1,解得

即不等式e2/•(质(x-1))<(x-1)2的解集为(1,e+1).

故选：B.

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.

6.(2025春•苏州校级月考)已知函数/(x)=/+d，则〃—/'(1)=()

A.2+eB.-2-6C.3eD.2e

【考点】含Ax表达式的极限计算与导数的关系.

【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】求出函数的导函数，再根据〃机岂比第二3寸,(1)计算可得.

Z1XJ

【解答】解：因为/(X)=/+/,

x

所以/(x)=2x+ef则/(1)=2+e,

所以Um/(1+4：)-/⑴=f(1)=2+e.

21X^04%

故选：A.

【点评】本题主要考查了导数的概念，考查了导数的计算，属于基础题.

7.(2025春•南海区校级月考)下列求导正确的是()

A.(e2)'

B.(xlogzx)'—Iog2x+/ra2

C.[⑵+1)4]z=8(2x+l)3

D.(2A+x)'=2"/〃2+l

【考点】基本初等函数的导数.

【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】C

【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断A选项；利用导数的运算性质可判断8。选项；利用复合

函数的求导法则可判断C选项.

【解答】解：对于A,屋2)，=0,故A错误；

11、

对于B,(xlog2x)'=log2x+x,天豆=log2x+砸'故2错误；

对于C,[(2尤+1)4]'=8(2元+1)3,故C正确；

对于。，(2一+©'=[(}*]'+1=&尸伉号+1=-2-工"2+1,故D错误.

故选：C.

【点评】本题主要考查了对数的计算，属于基础题.

8.(2025春•北京校级月考)已知尤=1函数/(x)=短-3a无+3的极小值点，那么函数/(x)的极大值为

()

A.2B.3C.4D.5

【考点】利用导数求解函数的极值.

【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】D

【分析】利用导数研究极值点即可.

【解答】解：由/(%)=/-3以+3,可得/(x)=3/-3〃，

又因为x=l是函数/(x)的极小值点，

所以，(1)=3-3〃=0,解得〃=1,

即/(x)=3/-3=3(x+1)(x-1),

则当x>l或x<-1时，f(x)=3(x+1)(x-1)>0,

则当-IVxVl时，f(x)=3(x+1)(x-1)<0,

所以/(x)在(-8,-1),(1,+QO)上递增，/(九)在(-1,1)上递减，

即/(x)在尤=-1时有极大值/(-1)=-1+3+3=5.

故选：D.

【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题.

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2025•广安模拟）已知定义域为（0,+8）的函数无）满足=1,f（1）-1

X

=0,数列｛斯｝的首项为1,且即+]/（即+1）-f（an）=-1,贝！I（）

A./（历2）•切2=1B.f（n）>1

C.02025<02024D.

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】ABC

【分析】由题意，根据求导法则，求得函数/（x）的解析式，代入了=历2,可得A的正误；构造函数隼

（%）="-尤-1,利用导数求得其最值，可得B的正误；由函数解析式求得数列的递推公式，利用8

才不等式进行放缩，构造函数证明数列单调性，可得的正误.

【解答】解：根据题目：已知定义域为（0,+8）的函数了（无）满足―=1,

f'(1)-1=0,数列｛斯｝的首项为1,且即+1/(即+1)-f(an)=-b

因为“乃+："（吗=],所以/（无）+xf,a）=",

ex

又(x)]'=/(x)+xf(x)=",'.xf(x)=ex+c.

取x=l可得/(I)=e+c,由/(x)+xf'(x)=心

令x=l,得/(I)+f(1)=e.

,:f(1)=1,・・・。=-1,・・・/(%)=望，

1

:.fQn2)=可法=log2。,/(仇2)•/〃2=1,故A正确;

设（P（x）=炭-%-1,则（p'（x）="-1,

当x〈0时，cp'（x）<0,当%>0时，cp'（%）>0,

所以（P（X）在（-8,0）上单调递减，在（0,+8）上单调递增，（P（x）min=（p（0）=0,

.*.（p（x）="-%-120,即d2x+l,当且仅当％=0时，等号成立.

故/（x）>1,又於N*,所以/（〃）>1,故5正确.

由Cln+\f（。〃+1）-f（。〃）=-1,所以/（。九+1）="c，），

an+l

un+lun+l

pClfi—i

即=/(a),所以e°n+i=-----，

nan

a九u0n+i=e0n—IN+1)-1=a7i，即a九(？°九+1—1)之0,

因为函数/（x）定义域为（0,+8）,

所以〃〃>0,有e^n+i—120,即劭+1三0,

下证数列｛斯｝单调递减，即证e厮+iVea”，即证------<eQ",

an

nann

即证e«-1<ane,即证（1一a九）e°-1<0,

令g（尤）=（1-X）/-1,则g'（无）=-X，，

当x>0时，g'（x）<0,所以g（尤）在（0,+8）上单调递减.

因为a〃>0,g（a”）<g（0）=0,所以a“+i<a”，即数列｛a〃｝单调递减,

所以0<a"W（ll=l,02025<«2024,故C正确，。错误.

故选：ABC.

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.

（多选）10.（2025春•昆山市校级月考）若函数/（%）在定义域。内的某个区间/上是单调增函数，且F（久）=

写在区间/上也是单调增函数，则称y=f（x）是/上的“一致递增函数已知/（久）=%+f,若函

数/（x）是区间/上的“一致递增函数”，则区间/可能是（）

A.（-8,-2）B.（-8,-1）C.（0,+8）D.（2,+8）

【考点】利用导数研究函数的单调性；由函数的单调性求解函数或参数.

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解；新定义类.

【答案】ABD

【分析】对/（x）和歹（%）分别求导，结合选项，判断导数正负可得答案.

【解答】解：因为=所以u（©=红学二2

人X

可得FO）=孕=1+与，所以尸,（久）=半④，

3

XX乙X

当xe（-8,-1）时，尸，（无）=竺售③>o,函数尸（％）在（-8,-1）单调递增；

由U（久）=N+ey-L）=1+/2

令g(©=/'(x)=1+竺/，贝物'(%)=也二产+2),

止匕时x3<0,e]>0、x2-2x+2>0恒成立，所以g，（久）=•（*：产+2）<0,

所以g（尤）也即，（无）在（-8,-1）单调递减，广（X）>广（—1）=1+eTjTT）=i—\>o,

则函数/（尤）在（-8,-I）单调递增，

又有（-8,-2）是（-8,-1）的子集，

满足函数人尤）在定义域。内的某个区间/上是单调增函数，且/0）=年在区间/上也是单调增函数，

则称y=/（x）是/上的“一致递增函数”.故A、2选项满足.

当成（0,+8）时，?>0,">0,在在（0,2）时，尤-2<0,在xe（2,+8）时，尤-2>0,

所以声（x）可能大于0,也可能小于0,故C选项不满足.

当在（2,+8）时，厂.）=+eyl）>0,函数/（尤）在（2,+8）单调递增，

E'（乃=半@>0,函数尸（x）在（2,+8）单调递增，故。选项满足.

x

故选：ABD.

【点评】本题考查函数的导数的应用，单调性的判断，是中档题.

（多选）11.（2025春•姑苏区校级月考）已知函数/（x）=siiu+x3-ax,则下列结论正确的是（）

A.f（x）是偶函数

B.若/（x）是增函数，则。

C.当。=-3时，函数无）恰有两个零点

D.当”=3时，函数/（无）恰有两个极值点

【考点】利用导数研究函数的极值.

【专题】计算题；整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】BD

【分析】利用奇偶性定义计算可判断A;利用导数研究，G）20恒成立求得。的范围判断&结合

8结论判断C;利用零点存在性定理判断/（无）异号零点的个数即可判断D

【解答】解：根据题目：已知函数/（x）=sinA+x3-ax,

A,利用奇偶性定义计算可判断，因为/（x）=sinx+x3-办，

则/（-无）=sin（-尤）+（-无=-sinx-丁+办=-f（x）,故A错误；

B若于（x）是增函数，则若/（x）为增函数，则（无）=cosx+3/-恒成立，故a^cosx+3x2

恒成立，

令g（x）=cosx+3x2,则可得g（无）为偶函数,

又g'(x)=6x-sinx,令m(x)=6x-siiu-,则机'(x)=6-cosx>0,

所以加(x)在R上单调递增，又加(0)=0,

所以在(-8,0)上%(%)=g'(x)<0,在(0,+°°)上加(x)=g'(x)>0,

即g(x)在(-8,o)上递减，在(0,+8)上递增，

故当尤=0时，g(无)取得最小值g(0)=1,所以aWg(x)mzn=l,故8正确；

C当a=-3时，函数/(%)恰有两个零点，当a=-3时，/(无)=sinr+尤3-亦为奇函数，且7(0)=

0,

当x>0时，f(x)=cosx+3/+3>0恒成立，即/(x)在区间(0,+8)上单调递增，

根据奇函数的对称性可知函数在(-8,0)上单调递增，故/(x)在R上单调递增，

/(0)=0,即只有一个零点，故C错误；

。当。=3时，函数/(x)恰有两个极值点，当。=3时，f(x)Msinx+x3-3尤为奇函数，

故先考虑x>0时，函数极值存在情况，

贝IJ/'(无)=cosx+3x2-3,令h(x)=cosx+3x2-3,

因为〃(x)=-siru+6x单调递增，则〃(x)>h'(0)=0,故(无)单调递增，

且，(0)=-2<0,f(1)=cosl>0,故存在xoe(0,1)使得/(xo)=0,

因此，当0<尤<xo时，f'(无)<0,函数/(无)单调递减，

当x>xo时，f(无)>0,函数/(无)单调递增，

故x=xo为函数在(0,+8)上的唯一极小值点，

根据奇函数的对称性可知，当x<0时，存在尤=-xo为函数在(-8,0)上的唯一极大值点，故。正

确.

故选：BD.

【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，属于中档题.

(多选)12.(2025•邢台模拟)已知函数/(x)=j?+alnx,则下列结论正确的是()

A.a另时，曲线y=/(x)的切线斜率最小值为2

B.a另时，f(x)有最大值

C.a=—g时，f(x)有两个零点

D.a=—十寸，f(无)有最小值

【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑思维.

【答案】AD

【分析】利用导数的几何意义可判断A选项；

利用函数的最值与单调性的关系可判断8。选项；

利用函数/(x)的最小值可判断C选项.

【解答】解：f(x)=/+a历x的定义域为(0,+8),且函数f(久)=2%+§

当a-号时，导函数f'(x)=2%+白>2^2%•=2,

当且仅当2%=^。>0)时，即当x=*时，等号成立，

因此a同时，y=/(x)的切线斜率最小值为2,所以选项A对；

11

当a=2时,导函数//(%)=2%+西〉0对任意的x>0恒成立，

因此当a=4时，/(x)在(0,+8)上为增函数，那么函数/(%)无最大值，所以选项5错；

当a=时，函数/(%)=x2—i/nx,导函数//(%)=2%—2=骂一

11

根据(无)<0,可得0Vx<2，根据(X)>°，可得比>2，

所以此时/(x)的增区间为8,+8),减区间为(0,I),

则/(X)min=/(}=±_号)3=/+称"2,所以，/(X)>/(1)>0,

所以，当a=—3时，函数/(尤)有最小值，函数/(%)无零点，C错。对.

故选：AD.

【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题.

三.填空题(共4小题)

13.(2025春•淄博月考)已知函数/'(x)=④久3+/+Qa—1)久+&2-&+1若a=-1,则函数的极小值

点是];若函数/(无)在(1,3)上存在唯一的极值点.则实数。的取值范围为(-7,-1).

【考点】利用导数求解函数的极值.

【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】1；(-7,-1).

【分析】①“二-1时，直接求导得到导函数，判断导函数零点左右的正负即可得到极值点；②若函数了

(%)在(1,3)上存在唯一的极值点，则/(x)只有一个零点在(1,3)内，结合为/(无)的对

称轴可以更具体地得到/(1)<0,/(3)〉0,解不等式组即可得出答案.

【解答】解：①a=-1时，/(%)=+久2—3久+3,f(x)=X2+2X-3=(x+3)(x-1),

当xe(-8,-3)u(1,+8)时，f'(%)>o；当xe(-3,1)时，f'(x)<0,

故函数f(x)的极大值点为-3,极小值点为1,

②f(尤)=/+2x+2a-l,对称轴为x=-l,

若函数了(无)在(1,3)上存在唯一的极值点，则/(x)只有一个零点在(1,3)内，

因为/(无)的对称轴为x=-1<1,所以(1)<0,/(3)>0,

即2a+2<0且14+2a>0,解得-1<a<1,

所以实数a的取值范围为(-7,-1),

故答案为：1；(-7,-1).

【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题.

14.(2025春•沙坪坝区校级月考)若函数/(无)="+1-a(尤+2)有两个零点，则实数a的取值范围是(1,

+8).

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解.

【答案】(1,+8).

【分析】先对/(x)求导，再对a分类讨论，分析其有两个零点的情况，进而建立不等式，求解参数范

围即可.

【解答】解：因为f(x)-a(x+2),所以f'(无)-a,

当aWO时，/(无)>0,f(x)在R上单调递增，不可能有两个零点，

当a>0时，令f(x)<0,AG(-8,ina-1),令f(x)>0,AGUna-1,+°°),

得到了(无)在(-8,ina-i)上单调递减，在(山a-1,+8)上单调递增，

若/(%)=/+i-a(x+2)有两个零点，

则/(Ina-1)=elna1+1-a(Ina-1+2)=a-a(lna+l)=-alna<0,

解得ae(1,+8),则实数a的取值范围是(1,+8).

故答案为:(1,+°°).

【点评】本题主要考查了由函数零点个数求解参数范围，属于中档题.

15.(2025春•吴江区校级月考)己知函数/(%)=包空等，则函数/(%)在0)上的最大值为0.

【考点】利用导数求解函数的最值；求函数的最值.

【专题】计算题；整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】0.

【分析】设f=sinx+cosx,可得出sin2x=，-1,求出f的取值范围为［0,1),令g(t)=——，正［0,1),

利用导数即可求出gG)在［0,1)上的最大值，即为所求.

【解答】解：根据题目：已知函数人久)=包珠等，求函数无)在［一/0)上的最大值，

设/=sinx+cosx,贝！J於=(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx=l+sin2x,

所以，sin2x=？-1,

当％E［-30)时'x+6［0/1),所以，04s讥(%+/)V孝,

贝此=sinx+cosx=V2sin(x+a)E［0,1),

、八，八t.1、mil/z.\产一1一t，2t一产―1一(产+1)

仅g(t)=^~正r［0r，1)，贝1Jg(t)=-=~2=~-r〈°，

tT(t2-l)(t2-l)(产-1)

所以函数gCt)在［0,1)上单调递减，g(力max=g(0)=0,

即当X=—1时,/(x)max=0Qe『0)).

故答案为：0.

【点评】本题考查利用导数求解函数的最值，属于中档题.

16.(2025•濮阳二模)“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将无化成x=/w/,x=elnx(x>0)的变

/•MYXi1

形技巧.已知函数/(x)=x9ex,g(%)=,若/(%1)=g(X2)=/>0,则---的最大值为二.

【考点】利用导数求解函数的最值.

【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】

e

【分析】先化简，再同构设函数cp(x)=x"(x>0),再结合函数的单调性得出所以久1="」，进而

x2

ITI—

得出力(t)=亲=^(t>0),根据单调性即可得出最大值.

【解答】解：由/(%1)=g(X2)=/>0,得%1•=-塔=3

x2

即％1•eX1=—In—=(仇」-)/\2>0,In—>0,

x2x2x2x2

令cp(x)=xex(x>0),贝!J(p'(x)=(x+1)F>0恒成立，

;・函数(p(x)在(0,+8)上单调递增，

eX1=仇Le'%2可得夕=(pQn—),x=In—,

由11•1

%2x2x2

/nJ_

令〃=软=3=5«>°)'•,"'(t)=M，

当0V/V1时，h'(/)>0,h(力在(0,1)上单调递增;

当/>1时，h'(/)<0.h(力在(1,+8)上单调递减，

则=h(l)=!即刍7的最大值为士

c

ex2ee

故答案为：

e

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题.

四.解答题(共4小题)

17.(2025•昌黎县校级模拟)已知函数/(%)=x2-ax+2sinx.

(1)若。=m求函数/(无)的单调区间；

(2)求证：存在无穷个实数a,使得曲线y=/(x)是轴对称图形.

【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间.

【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】(1)函数无)的减区间为(一8,今，增区间为弓，+00);

(2)证明见解析.

【分析】(1)当。=n时，分析导数的符号变化，由此可得出函数/(%)的增区间和减区间;

(2)取。=(2R1)TT,kGZ,利用函数对称性的定义证明即可.

【解答】解：(1)当a=TT时，f'(无)=2尤-TT+2cos尤.

令g(x)=2x+2cosx-it,贝Ig'(x)=2-2sinr》。恒成立,

所以/(x)在R上单调递增.

又因为$)=0，

所以/(X)=0存在唯一的零点x=£,

则当疣(一8,刍时，f⑴<0,当xeg,+8)时,f(x)>0,

所以函数/(x)的减区间为(一8,方，增区间为弓，+00).

(2)证明：当。=(2^+1)IT,AeZ时，函数/(x)关于直线尤=今+卜兀，依Z轴对称.

当。=(2左+1)it,左eZ时，f(x)—x1-(2k+1)TLr+2sinx,

所以，力(2^+1)IT-x]=[(2左+1)Tt-x]2-(2左+1)TT[(2左+1)TT-x]+2sin[(2左+1)TI-x]

=/-(2A+1)ra+2sin(n-x)=/-(2A+1)Tvc+lsmx=f(x),

曲线y=/(x)关于直线X=5+/OT,在Z轴对称.

所以存在无穷个。，使得曲线y=/(x)是轴对称图形.

【点评】本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.

18.(2025•香坊区校级二模)已知函数/(x)=lnx-2kx,xE(0,e],其中e为自然对数的底数.

(1)若尤=2为了(X)的极值点，求/(无)的单调区间和最大值；

(2)是否存在实数左，使得/(x)的最大值为-2?若存在，求出上的值；若不存在，说明理由.

【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的最值.

【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】(1)/3)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,e];最大值为历2-1；

(2)k=*.

【分析】(1)利用x=2为的极值点求得上的值，进而可得函数的单调区间和最大值；

(2)对导函数f'(切=上乎，分上(0与进行讨论，得函数的单调性进而求得最值，再由最大值是-

2求出发的值.

1_2”第

【解答】解：(1)V/(x)=lnx-2kX,xe(0,e],U(.二r,

若x=2为了⑴的极值点，则/(2)=*1-2k=0,得k=等1广(久)=号2—v，

当xe(0,2)时，f(x)＞0,当xe(2,e]时，f(x)＜0,

：.f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,4；

f(x)的极大值为/(2)=ln2-1,即/(x)的最大值为/(2)=ln2-1.

(2)V/(x)=lnx-2kX,：.f7(%)=-

①当上W0时，f(x)＞0恒成立，f(x)在(0,e]上单调递增，f(x)的最大值是/'(e)=1-2ke=

~2,

解得人=妾＞0，舍去；

②当上＞0时，由f/(X)=1-2k=上咨=0,得%=克，

11

当°＜力＜0，即五时，

xe(0,一)时'f(”)>3函数/(无)在(0,3)上单调递增，x6,e)时，f(无)<0,函数/'(x)

在(龙，e)上单调递减，

又/(%)在(0,e］上的最大值为-2,

-fMmax=f(4)=-1-In2k=-2,：.k=1；

当ew)即OVkW/时，f(x)在(0,e］上单调递增，

Q1

f(x)max=f(e)=1-2ke=~2,解得k=n>茨，舍去.

综上，存在k=身吏得了(X)的最大值为-2.

【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值，最值关系的应用，属于中档题.

19.(2025•山西模拟)已知函数/(x)=ae~x+lnx-1,g(x)为/(无)的导数.

(1)当a=e时，求曲线y=/(x)在点(1,/(D)处的切线方程；

(2)讨论g(x)零点的个数；

(3)设尤o为/(x)的零点，证明：当0cx<1时，f(x)<g(xo).

【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程；求函数的零点.

【专题】应用题；整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】⑴y=0；

(2)答案见解析；

(3)证明见解析.

【分析】(1)利用导数的几何意义求得切线斜率即可求得切线方程；

(2)由题意得g(x)=等价于//(x)=F-ax在(0,+°°)零点的个数，分aWO,a>0两种情

况判断单调性，进而可得零点个数；