2025年八年级数学上册一次函数专项训练100题（含答案）

一次函数专题训练100题

阅卷人

一、单选题

得分

1.如图，已知函数y=2久+6和y=a久一3的图象交于点P(—2,-5),根据图象可得方程

2x+b=aK—3的解是()

C.%二°D.都不对

2.如图，在平面直角坐标系中，入43c的顶点/在第一象限，点以C的坐标分别为

(2,1),(6,1),NBAC=90。，AB=AC,直线AB交了轴于点P,若44BC与△ARC’关于点尸成中

心对称，则点大的坐标为()

B.(一5,-4)C.(一3,-4)D.(一4,-3)

3.已知一次函数＞=京+3的图象经过点力,且函数值〉随x的增大而增大，则点/的坐标不可能是(

)

A.(2,4)B.(-1,2)

C.(5,1)D.(-1,-4)

4.函数数y=ax+c与二次函数y=a/+b久+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是()

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y

ytt

/夕I\xr\

C.ID.

5.已知一次函数y=a久+b经过点（-2,-3）,正比例函数为=a%不经过第三象限，则反比例函数

_b

巧=］的图象位于（）

A.第一、第二象限B.第一、第三象限

C.第二、第三象限D.第二、第四象限

6.已知点4（一1，为），B。，y2）,C（3,灼）在一次函数y=_（血2+1）%_1（血为常数）的图象上，

则力，为，乃的大小关系是（）

A.71＜y2＜y3B.丫3＜丫2＜%C.丫2＜丫3＜当D.丫3＜力＜为

7.一次函数y=-3x+m的图象经过点P（—2,3）,且与久轴，y轴分别交于点力、B,则△AOB的面积

是（）

13

A.2B.1C.2D.2

8.设线段MN长为600瓶，甲、乙两质点同时从“点出发朝N点做匀速直线运动，到达N点后即停

止.已知甲质点运动速度比乙质点运动速度快，且甲运动一段时间后停止一会儿又继续按原速度运

动，直至到达N点.如图，该图表示甲、乙之间的距离y（单位：小）与时间久（单位：小讥）之间的

函数关系，4点横坐标为12,B点坐标为（20,0）,c点横坐标为128.下列说法：①当％=60时，

y=120；②△（MB的面积为200；③。点的横坐标为200；④丫的最大值为216.其中正确的有（

）

12

A.①②B.①③C.②③D.③④

9.将直线匕丫=2久-2平移得到直线q：y=2久+4,下列说法正确的是（）

A.将4向左平移3个单位长度得到％

B.将"向左平移6个单位长度得到G

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C.将4向上平移2个单位长度得到%

D.将0向上平移4个单位长度得到G

k

jjy=—(fcW0)

10.在同一平面直角坐标系中，函数y=--+k与'i的大致图象可能为()

11.如图，正比例函数y=-3久与一次函数y=依+4的图象交于点P(a,3),则不等式

k久+4>-3久的解集为.

12.如图，图中的折线OABC反映了圆圆从家到学校所走的路程S(M)与时间［小讥)的函数关系，其中,

%所在直线的表达式为了=幻久(加片0),BC所在直线的表达式为了=k2%+/％70),则与一&=

13.一次函数，—'”与y=—久+3的图象的交点坐标为.

14.如图1,在平面直角坐标系中，将二力^。。(力B>AD)放置在第一象限，且4B||x轴，直线

y=一久从原点出发沿X轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度।与直线在久轴

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15.如图，函数丫=1尤+b(kHO)的图象经过点项加，O)(m>l),与函数y=2%的图象交于点A,则

16.在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)是一次函数关系.一根弹簧不挂物

体时长15cm,在弹性限度内，当所挂物体的质量为5kg时，弹簧长20cm；当所挂物体的质量为8kg

时，弹簧的长度是cm

17.如图，一次函数丫=一久+5与反比例函数，=1(久>°)的图像相交于A、B两点，且点4的横坐标

为1,该反比例函数的图象关于直线、=久-1对称后的图像经过直线丫=一久+5上的点C,则线段

AC的长度为.

18.已知平面上四点A©。)，B(10，。)，CQ0,6),D(0,6),直线y=3m+2将四边形分成面

积相等的两部分，则小的值为.

19.如图，在平面直角坐标系中，点&在左轴的正半轴上，点与在第一象限，且△°&B］是等边三角

形.在射线0片上取点%,%…,分别以Bi%、/B3…为边作等边三角形，为△B14B2,

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△B2&B3,…，使得点4,&,…在同一直线上，该直线交y轴于点c.若。公=1

NO&C=30。，则点%的纵坐标是.

20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点4在直线“1了=?"上，顶点B在无轴上，垂直久轴;

且。B=3,顶点C在直线％7=但久上，BC14过点4作直线q的垂线，垂足为小，交%轴于斗，过

点当作Z/1垂直喈由，交k于点出,连接&Ci,得到第一个过点名作直线q的垂线，垂足

为交支轴于B2,过点B2作&B2垂直喈由，交4于点连接42c2,得到第二个△&B2c2；如此下

去，,则△"2024B2024c2024的面积是.

,乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱

形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的

深度以。血）与注水时间久（加山）之间的关系如图②所示，根据图像解答下列问题:

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三口

甲槽乙槽

图①图②

（1）图②中折线ECC表示槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段AB表示

槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为cm.

（2）注入多长时间，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）

22.已知2与x+4成正比例，且x=l时，y=7.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）设点（见-2）在（1）中函数的图象上，求a的值.

23.辽宁省今年南果梨喜获丰收.国庆节当天甲超市进行南果梨优惠促销活动，南果梨销售金额

y（元）与销售量无（千克）之间的关系如图所示.

（1）当X、4时，求销售金额y（元）与销售量X（千克）的关系式；

（2）乙超市南果梨的标价为20元/千克，国庆节当天也进行优惠促销活动，按标价的8折销

售.若购买12千克南果梨，通过计算说明在哪个超市购买更划算.

24.如图，抛物线y=a/+b久一3过4L0）,B（—3,0）两点，直线4。交抛物线于点0,点。的横坐标为

-2,P（m,n）是线段4）上的动点.

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（1）求直线及抛物线的解析式；

（2）过点P的直线垂直于无轴，交抛物线于点Q,求线段PQ的长度L与血的关系式，m为何值时，

PQ最长?PQ最大值是多少？

25.如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为（2,-2）,点C的坐标为（。，-3）,直线AB与X轴交于点

图1备用图

（1）求直线4B的函数表达式及线段AC的长.

（2）点B关于x轴的对称点为点D,

①连接4,CD,求△0C4的面积；

②在直线BD上找点E,使△力CE是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点E的纵坐标.

26.一水果经销商购进4B两种水果各10箱，分配给甲店和乙店销售（整箱分配），预计每箱水果

在甲店和乙店的盈利情况如下表:

力种水果/箱B种水果/箱

甲店11元17元

乙店9元13元

（1）如果按照“甲、乙两店各配货1。箱，其中4种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱，，的方案配

货，请你计算出经销商能盈利多少元？

（2）在甲、乙两店各配货1。箱，且保证乙店盈利不小于115元的条件下，请你设计出使水果经销

商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少元？

27.李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买,

一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发

价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售

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价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱.

（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；

（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才

能使每天所获利润最大？最大利润是多少？

/2n—1九n—2

28.先化简，再求值：廉Tn卜层_2n+l,其中n是使得一次函数了=以+九一3的图像不经

过第二象限的整数值.

k

v二一

29.如图，一次函数'=一久+b与反比例函数”的图象交于点4L4）,B.

（1）求k,b的值和点B的坐标；

—x+b>-

（2）直接写出不等式》的解集；

（3）在x轴上是否存在一点P使得S44BP=2SA4OB?若存在，请直接写出点P的坐标；若不

存在，请说明理由.

30.已知一次函数的图象经过点41，8）和点B（—3,0）,

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）判断点（-1，5）在不在该图象上，并说明理由；

阅卷人

得分

31.已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-l.

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(1)求两直线与y轴交点A,B的坐标；

(2)求两直线交点C的坐标；

(3)求△ABC的面积.

32.如图，在平面直角坐标系中，直线’1的函数解析式为y=x-l,与X轴，y轴分别交于点A,点

B,直线％的函数解析式为丫=卜％+"与x轴，y轴分别交于点C(6,。)，点D,直线片与％交于点E,

8

(2)若直线％上存在点P,使得S^OCP=6,请求出点p的坐标；

(3)已知M是线段BE上的动点，过点M作直线MN平行于y轴，交直线G于点N,过点M作y

轴的垂线，交y轴于点Q,是否存在点M,使Rt^MNQ的两条直角边之比为1:2?若存在，请求出

满足条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由.

33.“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg,如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格

打8折；

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fW元

20r-------r------T------；

18--------r------r------T-------------:

16-

14------------；----------；----------1----------\

12------------:----------:----------:-----------：

10

8------r-------r------T------:

6------------}-----------r----------1----------:

4

2------------；----------；----------；----------\

~234^c/kg

(1)填表:

购买量x/kg0123.......

付款金额y/元05.......

▲▲

(2)求付款金额了关于购买量x的函数解析式，并在给出的平面直角坐标系中画出函数图象;

(3)若一次性购买多少种子，付款22元？

34.如图所示，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点出3,4),且。A=OB.

/A

(1)直接写出正比例函数的解析式为：;

(2)求出直线4B的解析式；

(3)求AAOB的面积；

(4)在x轴上存在一点P,使是等腰三角形，请你求出所有符合要求的点P的坐标.

35.某学校组织春游，租用甲、乙两辆大巴车，从学校出发，去距离学校360千米的某风景区，由

于有几名学生未到学校，甲车先出发，一段时间后乙车从学校出发，两车在一条笔直的路上匀速行

驶，乙车超过甲车后出现故障，停车检修，当甲车追上乙车时，乙车恰好修完，两车又立刻以原来

的速度继续行驶.如图是甲、乙两车行驶的路程(单位：女小)与甲车行驶时间(单位：八)的函数

图象.

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（1）a=,乙车的速度是km/h.

（2）求乙车出现故障前行驶的路程y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）直接写出乙车出发多长时间乙车追上甲车.

36.2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中

心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成

功.某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型.已知销售店老板购进2个“神舟”模型和

4个“天宫”模型一共需要200元；购进3个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要180元.

（1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格；

（2）该航天模型销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量

的一半.若每个“神舟”模型的售价为60元，每个“天宫”模型的售价为45元，则购进多少个“神舟”模

型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？

37.已知洛阳到安阳两地之间有一条30。千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60卜加/时的速度

沿此公路从洛阳匀速开往安阳，乙车从安阳沿此公路匀速开往洛阳，两车分别到达目的地后停止，

甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车行驶时间久（小时）之间的函数关系如图所示.：

（2）求甲、乙两车相遇后，y与久的关系式；

（3）当甲车到达距安阳8。千米处时，求甲、乙两车之间的距离.

38.一次函数的图象经过顺3,2）,N（-2,-8）两点.

（1）求此函数的表达式.

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（2）试判断点PR,4）是否在此函数的图象上，并说明理由.

39.如图，抛物线＞=。/+汝（。＞0）经过原点0和点2（2,0）.

（1）写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；

（2）点（/必），出必）在抛物线上,若与＜%2＜1,比较为，丫2的大小；

（3）点项-1,2）在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AC的函数关系式.

40.M,N两地相距160机，甲、乙两人沿同一条路从M地到N地.。/与3C分别表示甲、乙两人

离开/地的距离了（版）与时间x（力）之间的关系，根据图象解答下列问题：

（1）分别求出甲、乙两人离开M地的距离y与时间x之间的函数关系式；

（2）当13W3时，求两人相距20的?时的时间.

41.如果鲜花有故乡，那么一定在云南，丰富多样的花卉就像妆点云南大地的画笔，把云南描绘的

五彩斑斓.“三八”妇女节期间，某鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花两种鲜花，其中玫瑰花每束40元,

购买康乃馨所需费用y（单位：元）与购买数量久（单位：束）的函数关系图象如图所示.

（1）求y与X的函数解析式（也称关系式）；

（2）该鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花共200束，若购买康乃馨的数量不超过150束，且不少于

玫瑰花的数量，购买两种鲜花的总费用为勿，如何购买能使费用最少，并求出最少费用.

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7?2

'=N(%>°)相交于点4(2,n)B(6,l).

(1)求直线及双曲线对应的函数表达式;

771

kx+b>—(x>0)

(2)直接写出关于X的不等式八的解集;

(3)求aAB。的面积.

43.已知长方形。ABC在平面直角坐标系内的位置如图，。4边在x轴上，。。边在y轴上，点。为坐

标原点，点B的坐标为(10,8).

(1)直接写出点A,点C的坐标为：A(，)；C(

，).

_m

(2)已知直线ZC与双曲线'="加")在第一象限内有一交点Q为(5，0

①分别求出直线AC和双曲线的解析式；

②若动点P从A点出发，沿A-。一。的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达点C处停

止.求的面积S与点P的运动时间t(秒)的函数关系式，并求出当的面积S=10时,

t的取值.

44.如图，在平面直角坐标系中，将函数y=的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数

_k

y=a久+b的图象，与反比例函数'=工(”>)的图象交于点4(2,4).过点B(0,2)作久轴的平行线分别交

k.八、

,y--(x>0)

y=a%+b7与x的图象于C,。两点.

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.y=—

(1)求一次函数y=ax+b和反比例函数'X的表达式；

(2)连接/D,求△A。。的面积.

45.已知直线丫=。久+3经过点口一1,4).

(1)求a的值；

(2)将该直线向下平移k个单位长度使其成为正比例函数，求k的值.

46.新农村建设企业“腰站子村”第三产业农副产品“有机挂面”已走向全国市场，假设销售量与产量相

等，下图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本力(单位：元)、销售价丫式单位:

元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系.

(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义.

(2)求线段AB所表示的yi与x之间的函数表达式.

(3)当该产品的产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

47.已知一长方体无盖的水池的体积为700m3,其底部是边长为10巾的正方形，经测得现有水的高度

为26，现打开进水阀，每小时可注入水40nl3.

(1)写出水池中水的体积大巾3)与时间t(/i)之间的函数关系式(不要求写自变量的取值范围)；

(2)5小时后，水的体积是多少立方米？

(3)多长时间后，水池可以注满水？

_“2

48.如图，一次函数y=+b的图象与反比例函数工的图象交于4(4,—1),B(—l,m)两点.

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(1)求这两个函数的表达式：

(2)点PS，。)为喈由上一动点，过P点作喈由的垂线，分别交反比例函数及一次函数的图象于6

D两点，当点C位于点。上方时，请直接写出几的取值范围.

49.某学校计划在总费用为2300元的限额内，租用客车送234名学生和6名教师去参加校外实践活

动，为确保安全，每辆汽车上至少要有1名教师，且每个人都有座位.现有甲、乙两种客车，它们的

载客量和租金如下表：

甲种客车乙种客车

载客量/(人/辆)4530

租金/(元/辆)400280

(1)根据题目提供的信息，共需租用辆客车;

(2)请你帮助学校选择一种最节省费用的租车方案.

50.已知直线1为x+y=8,点P(x,y)在1上且x>0,y>0,点A的坐标为(6,0).

|。4\X

(1)设4OPA的面积为S,求S与X的函数关系式，并直接写出X的取值范围；

(2)当S=9时，求点P的坐标；

(3)在直线1上有一点M,使OM+MA的和最小，求点M的坐标.

阅卷人

-----------------五、阅读理解

得分

51.阅读下列材料，并完成任务.

以方程久-y=-2的解为坐标的点的全体叫做方程x-y=-2的图象.我们知道，二元一次方程

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久-y=-2有无数组解，我们把每一组解用有序数对（％，y）表示，就可以描出无数个以方程

久-y=-2的解为坐标的点，这无数个点组成一条直线，反过来，这条直线上任意一点的坐标是方程

（1）任务一：填空

①如图1,在平面直角坐标系中，点M是方程x-y=-2的图象上一点，点M的坐标为

（X=—3.5

（-3.5,-1.5）,则方程卜=T.5方程％->=-2的解.（填“是”或“不是”）

②在平面直角坐标系中，点P的坐标为（一。・5,1.5）,则点p方程久—y=-2的图象

上.（填“在”或“不在”）

点Q的坐标为（1，2）,则点Q方程久-y=-2的图象上.（填，，在，，或，，不在，，）

（2）任务二：如图2,在平面直角坐标系中，方程久-y=-2的图象与方程3x-y=。的图象交于

（3x—y=0

点N（l，3）,则二元一次方程组自—y=-2的解为.

（3）任务三：上述用图形的方法得出二元一次方程组的解的过程，主要体现的数学思想是

—.（填出下列选项的字母代号即可）

A.转化思想B.数形结合思想C.方程思想

52.阅读下列材料

定义运算:min\a,b\9当。之6时，min\a,b\=b.当时，min\a,b\=例如：

min\-l,3\=-1.min\-l,-2\=-2.完成下列任务

（1）①加用（一3）°,2|=；,-4|=.

_k

（2）如图，已知反比例函数为=工和一次函数为=一2久+0的图像交于人、B两点.

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.min\-,—2x+b\=(x+l)(x—3)—%2

②当—2＜久＜。时，WIl八J.求这两个A函数的解析式.

(3)直线4B交x轴于点C,P是x轴上的一点，若ABCP的面积是6,求点P的坐标.

53.阅读材料：

在数轴上，久=2表示一个点；在平面直角坐标系中，％=2表示一条直线；以二元一次方程

久+y=2的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=-久+2的图象，它也是一条直线.

如图1,在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线4=2及其左侧的部分;

如图2,不等式+2也表示一个平面区域，即直线y=一久+2及其下方的部分.

请根据以上材料回答问题:

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（1）图3阴影部分（含边界）表示的是（填写不等式）表示的平面区域;

（2）如图4,请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组;

（3）如图5,点力在x轴上，点B的坐标为（0,1）,且乙4BO=60°,点P为AAB。内部一点（含边界）,

过点P分别作PD1AB,PELBO,垂足分别为C,D,E,若PC<PE《PD,则所有点P组成

在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（久，y）移动到点（%，y+i）称为一次甲方式：

从点（久，y）移动到点（％+Ly）称为一次乙方式.

例点P从原点0出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点”（。，2）,若都按乙方式，最终移

动到点N（2,0）若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点夙1,1）.

【应用】

点P从原点°出发连续移动t次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q（x，y）其中，按甲方式

移动了小次.

（1）当t=6时，若Q点恰好落在直线y=2久—3求m的值;

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（2）已知点力（5,4）,点B（6,6）,若无论小怎样变化，点Q都在自变量》的系数为定值的直线1上，

①若点A、点B位于直线的勺两侧，求t的取值范围；

②若点A关于直线2的对称点落在坐标轴上，直接写出t的值；

55.【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问

题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一.其依据是不等式（或等式）的性质：若

x-y>Q,则x>y；若x-y=。，则％=丫；若x-y<0,则x<y.

例：已知M=a2-ab,N=ab-b2,其中aHb,求证：M>N

证明：M—N=a1—ab—ab+b2=（a—/））2

•：a丰b

：.（a-b）2>0,故M>N

【新知理解】

（1）比较大小:x-32+x.（填“>”，"=”，“<”）

【问题解决】

（2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示为正整数），其面积分别为S1,$2.请比较Si,

【拓展应用】

（3）请用“作差法”解决下列问题：

某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A,B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打9折

收费；B方案：前5次按照原价收费，从第6次起每次打8折.请问游泳的学生选择哪种方案更合

算？

56.【阅读材料】为了保护学生的视力，学校的课桌、椅的高度都是按一定的关系配套设计的.为了

了解学校新添置的一批课桌、椅高度的配套设计情况，小明所在的综合实践小组进行了调查研究，

他们发现可以根据人的身高调节课桌、椅的高度，且课桌的高度y（cm）与对应的椅子高度（不含

靠背）x（cm）符合一次函数关系，他们测量了一套符合条件的课桌、椅对应的四档高度，数据如下

表：

档次/高度第一档第二档第三档第四档

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椅高x/cm37.040.042.045.0

桌高y/cm68.074.078.0

根据阅读材料，完成下列各题：

（1）求y与x的函数关系式；

（2）在表格中，第四档的桌高数据被墨水污染了，请你求出被污染的数据；

（3）小丽测量了自己新更换的课桌椅，桌子的高度为61cm,椅子的高度为32cm,请你判断它们

是否配套？如果配套，请说明理由；如果不配套，请你帮助小丽调整桌子或椅子的高度使得它们配

套.

57.阅读理解:

【新定义】对于线段和点。，定义：若QM=QN,则称点。为线段MN的“等距点”；

特别地，若NMQN=90。，则称点。是线段跖V的“完美等距点”.

【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点/的坐标为（6,0）,点P（nui）是直线

备用图

（1）已知4个点：B（3,-3）、。（3,-2）、。（一3,-3）、E（3,但），以上这四个点中8、C、E是线段

。力的“等距点”，3是线段。4的“完美等距点”（填写大写字母）.

（2）若点尸在第三象限，且°P=2衽，点〃在了轴上，且〃是线段/尸的“等距点”，求点〃的

坐标；

（3）当血＞0,是否存在这样的点N,使点N是线段04的“等距点”且为线段。尸的“完美等距点”

,请求出点P的坐标.

58.【阅读理解】在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（居然移动到点（久-2,第称为一

次甲方式；从点（x，y）移动到点（久，y-2）称为一次乙方式.例点P从原点。出发连续移动2次：都按甲方

式，最终移动到点“（-4,0）；若都按乙方式，最终移动到点N（0,-4）；若按1次甲方式和1次乙方式，

最终移动到点E（-2,-2）.

【应用】点4从原点。出发连续移动6次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点其

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中，按甲方式移动了n次.

_11

（1）当血=10时，若点B恰好落在直线2"+上，求n的值；

（2）无论建怎样变化，点B都在自变量久的系数为定值的直线，上，P（—8,0）,Q（—10厂6）,

①若点P、点Q位于直线/的两侧，求小的取值范围；

②若点Q关于直线/的对称点落在V轴上，直接写出血的值.

59.阅读材料

通过前面的学习我们已经知道了两点之间的距离，点到直线的距离和两条平行线间的距离，那么

我们如何在平面直角坐标系中求这些距离呢？

如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B两点的坐标分为过久1，为），8（久2）2）,由勾股定理得

22

AB=\X1-x2\+\yi-y2\\所以&B两点间的距离为A』=#1一+仅厂—2匕这样就可以求出平

面直角坐标系中任意两点间的距离.

我们用下面的公式可以求出平面直角坐标系中任意一点到某条直线的距离：

\kx0-y0+b\

已知点0（久0）0）和直线y="+b,则点P到直线y=-+b的距离d用公式Jl+廿计

算.

例如：求点2,1）到直线y=久+1的距离.

解：因为直线y=久+1可变形为尤一y+1=。，其中k=l力=1.

d=IK-yo+bl_|ix（2）l+l|=4=也

所以点P（—2,1）到直线丫=久+1的距离为Ji+-A+12相

（1）已知人（一2,1）,B（4,3）,写出线段4B的长度；（只写答案）

（2）求点P（1，D到直线丫=3%-2的距离，并说明点P与直线的位置关系；

（3）已知直线、=-2尢+1与丫=-2尤+3平行，求这两条直线的距离.

60.阅读以下材料:

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定义：对于三个数a、b、c,用瓦G表示这三个数中的最大数.

例如：①皿{-1,2,3}=3；@maX{-1，2，a)=(2(a<2)

根据以上材料，解决下列问题：

(1)如果ma久{2,2%+2,4—2阴=2x+2,求x的取值范围；

(2)在同一平面直角坐标系中分别作函数'=久+1,>=(久一1)2,y=2一久的图像(不需列表),

2

通过观察图像，填空：ma久W+1GT)2—*的最小值为

61.阅读理解

材料一：已知在平面直角坐标系中有两点M(%，yi),及(X2，丫2),其两点间的距离公式为：

I22

MN=内%2-》1)+(丫2-、1),当两点所在直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点

间的距离公式可化简为k2fli或仅2-yJ；

材料二：如图1,点P,Q在直线/的同侧，直线［上找一点“，使得PH+HQ的值最小.解题思路：

如图2,作点P关于直线，的对称点P1,连接P1Q交直线，于H,则点匕，Q之间的距离即为PH+HQ的

最小值.

请根据以上材料解决下列问题：

(1)已知点4B在平行于%轴的直线上，点力(2a—1,5-a)在第二象限的角平分线上，AB=5,求点

B的坐标；

(2)如图，在平面直角坐标系中，点40,2),点。(3,5),请在直线y=%上找一点E,使得

CE+DE最小，求出CE+DE的最小值及此时点E的坐标.

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(X=-1(X=0(X=1\y—_

二元一次方程比一y=l有无数组解，如：壮=-2,b=-l,iy=O,I2……如果我们将方程的

解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示.探究发现：以方程

久-y=i的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时在这条直线上的点的坐标全都是该方

程的解，我们把这条直线称为该方程的图象.

【问题探究】

(2x+y=4

(1)观察图2中二元一次方程组合一丫=一1中的两个二元一次方程的图象，直接写出该方程组

的解为;

【拓展应用】

(2)图3中画出了三个二元一次方程的图象，其中有两个是关于％、y的二元一次方程组

।2%+y=4

久—2m+y=-3的图象，请求出该方程组的解.

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63.阅读下列材料：已知点P(/M))和直线y=k%+b,则点p到直线y=^+b的距离可用公式在

d_\kx0-y0+b\

'h+好计算.例如:

求点P(L-2)到直线y=2x+5的距离.

解：：直线y=2久+5,其中k=2,6=5,

d_12x1—(—2)+51_9^5

.♦.点P(L—2)到直线y=2x+5的距离为：J1+225

根据以上材料，解答下列问题：

(1)求点PL2,3)到直线37=%—3的距离；

(2)已知直线y=2久+1与y=2x-l平行，试求这两条平行线之间的距离.

64.阅读理解：在平面直角坐标系中设计了某种台阶，如图是8个台阶的示意图(各拐角均为90°),

每个台阶宽相等，每个台阶的高也相等.例如第一个台阶面"避1的右端点坐标为&(x,y),则6的

坐标为(久一2,y),第二个台阶面刈为右端点&的坐标为(%-2,y+1),以此类……为第八个

台阶面.

As

一Ai

亩]A6

戌＞]As

1A4

]Ai

Bi

NX

应用：

(1)求直线"N的解析式；并判断J是否在直线MN上；

(2)点坛%、％、%、稣、B7(填“在”或“不在”)直线MN上；点”&、&、”4、

&、46、人7、&在直线上(写出直线解析式)；

(3)嘉琪同学拿着激光笔照射台阶，射出的光线可以看成直线：y=m(%-20)+9(mHO),若

使光线照到所有台阶，求m的取值范围；

(4)蚂蚁(看做点P)从N出发，沿42fB2f……爬到点M,爬行的平均速度为每

秒2个单位长度，爬行时间为t秒.当点P(a,b)在第n个台阶面上时，直接用含n、t的式子表示

点P的横坐标，并用含n的式子写出t的取值范围.

65.阅读理解：

材料一：对于线段和点Q,定义：若QM=QN,则称点Q为线段MN的，，等距点，，；特别地，若

QM=QN且乙MQN=90°,则称点Q是线段"N的，，完美等距点，，.

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材料二：在平面直角坐标系中，我们通常用下面的公式求两点间的距离，如果P1(久1，%)，

P2(久2，丫2),那么匕02='(々fl)?+仇_31)[

解决问题：如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A的坐标为(4,0),点P(m,n)是直线

(1)已知3个点:B(2,—3)、C(2,-2)、0(-2,2),则这三点中，线段。4的“等距点”是,

线段%的“完美等距点”是;

(2)若。「=胸，点〃在丫轴上，且H是线段4P的“等距点”，求点4的坐标；

(3)当血>0,是否存在这样的点N,使点N是线段。4的“等距点”，也是线段。P的“完美等距点”?

若存在，请直接写出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

66.阅读下面的材料，回答问题：如果(%-2)(6+2%)>0,求％的取值范围.

(x—2>0(x—2<0

解：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，得佰+2%>°或估+2%<0,分别解这两个不等式

组，得第一个不等式组的解集为尤>2,第二个不等式组的解集为久<-3.故当久>2或尤<-3时，

(久一2)(6+2%)>0.

(1)试利用上述方法，求不等式(X-3)(1-久)<。的解集.

(2)如图，直线AB：y=kx+b与％轴交于点力(―2,-0),直线CD：y=l一加久与％轴交于点

CQ，0),根据图象，请你直接写出关于久的不等式(人久+与(1—血久)<0的解集.

67.阅读下列材料，完成相应的任务.

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在平面直角坐标系中，已知点4a+La-2),当a的值发生改变时，点4的位置也会发生改变，为

了求点4运动所形成的图象的解析式，令点人的横坐标为，纵坐标为％得到了方程

(X=a+1

组fy=a-2.消去见得y—%=—3,即y=x—3,可以发现，点4随a的变化而运动所形成的图象的

解析式是y=x—3.

(1)求点4a-3,2a-7)随a的变化而运动所形成的图象的解析式.

(2)点(1，。)—点4a—3,2a—7)随a的变化而运动所形成的图象上，点(2t,4t—l)点

4a-3,2a-7)随a的变化而运动所形成的图象上(横线上填“在”或“不在”).

68.请你认真阅读思考下面的材料，完成相关问题.

【数学模型】

如图①，A,B是直线1同旁的两个定点，在直线1上确定一点P,使PA+PB的值最小.

方法：作点A关于直线1的对称点4,连接A下交1于点P,则点P即为所求.止匕时，PZ+PB的

值最小，且H4+PB=A'P+PB=/B

【模型应用】

(1)如图②，经测量得A,B两点到河边1的距离分别为力300米，BD=900米，且

CD=900米.在1上确定一点P,贝喊人+PB的最短路径长为米；

(2)如图③，在正方形ABC。中，AB=9,点E在边上，且DE=2CE,点p是对角线AC上一

个动点，求PE+PO的最小值；

(3)如图④，在平面直角坐标系中，点力(一2,4),5(4,2).请在x轴上确定一点P,使H4+PB的

值最小，并求出P4+PB的最小值.

69.阅读下列材料：

我们知道，二元一次方程比-