2025年高考数学专项复习：解三角形（两大易错点+九大题型）（学生版+解析新高考专用）

秘籍03解三角形

目录

【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测

【应试秘籍】总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点一：正弦定理的边角互化

易错点二：判断三角形个数

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略

【题型一】最值与范围：角与对边

【题型二】最值与范围：角与邻边

【题型三】范围与最值：有角无边型

【题型四】三大线：角平分线应用

【题型五】三大线：中线应用

【题型六】三大线：高的应用

【题型七】图形：内切圆与外接圆

【题型八】图形：“补角”三角形

【题型九】图形：四边形与多边形

高考预测

概率预测☆☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题、解答题☆☆☆☆☆

考向预测正余弦定理求边，求角。

应试秘籍

作为高考固定题型，每次会出现在解答题的第一题或者第二题，新高考出现了结构不良题的新题型，

无外乎的就是和三角函数与解三角形结合出现在解答题第一题里，占10分，难度不大也适应了新高考的新

题型，所以是热门，必须要把各题型都能熟练掌握。

今年从九省联考的试卷可以看出，新结构试卷中把原有的解三角形大题弱化了，新结构试卷解三角形

的位置会在选填中考察，出现在大题的机率也是有的，即使出现难度也是不大的，所以基础题型和小题中

对于正余弦定理的运用就需要掌握的透彻。

误区点拨

易错点一：正弦定理的边角互化

abc

1.正弦定理：sinA=sinB=sinC=2R,其中R是三角形外接圆的半径.

由正弦定理可以变形：（l）a:b:c=sin_A:sin_B:sin_C；（2）a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C；（3）sin

abc

A=示，sinB=京，sinC=通等形式，以解决不同的三角形问题.

易错提醒：

1.在用正弦定理进行边角互化时需要注意2R的存在，等式两边2R的数量一致才可相消。

2.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在AABC中，

A>B=a>b=sinA>sinB.

,20

例（2024•辽宁辽阳•一模）在ABC中，内角AB,C的对边分别为&b,c,且储+46=602,则smL

sinAsinB

的最小值为.

变式1：（2024.四川凉山.二模）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若竺2担二等竺+2=i,

acosB+bcosAc

则4=.

易错点二：判断三角形个数

1.在AABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

A为锐角A为钝角或直角

工ccc

八工

图形

ABAB

关系

a=bsinAbsinA<a<ba>ba>b

式

解的

一解两解一解一解

个数

例（2022.江苏南通.模拟预测）在ABC中，内角AB,C所对的边分别为a,"c,则下列条件能确定三角形

有两解的是（）

71

A.a=5,b=4,A=一

6

JI

B.a=4,b=5,A=—

C.a=5,b=4,A=—

_JI

D.tz=4,Z?=5,A=—

3

12

变式1：（2022高三・全国・专题练习）在ABC中，cosA==，sinB=m,若角C有唯一解，则实数加的取

值范围是（）

A。111/[B.]别。工小/D.呼卜律

（抢分通关

【题型一】最值与范围：角与对边

注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边a,》,c的齐次式或关于角的正弦sinAsin及sinC的

齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换.求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角

函数形式，利用此角的范围求得结论.

I—I

典例精讲

[例1]（23-24高三下.河南濮阳•开学考试）己知.ABC的内角A,B,C的对边分别是a,6,G3wC.若

A.4B.-C.2D.3

22

【例2】（2024•海南省直辖县级单位•一模）在锐角中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,且“=3,

A=60°,则匕的取值范围是（）

A.（0,6）B,（0,2g）C.（A/3,2A/3）D.（＞/3,6）

【例3】（2024.全国.模拟预测）已知4ABe中，角A、B＞。的对边分别是〃，4c,J%-csinA=JlacosC.

（1）求角A的大小；

(2)若a=3,D为BC边上一点，|A£>|=2,2DB=DC，求ABC的面积.

I—I

名校模拟

【变式1](2024•全国•模拟预测)已知ASC的内角的对边分别为。八C/ABC的面积

S=^-{b2-abcosC).

(1)求角A的大小；

(2)若a=4,括sinA=sinB+sinC,求ABC的面积S.

【变式2](2024.云南贵州•二模)ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,已知acosB—6cosA=b+c.

⑴求角A的值；

(2)若a=26,ABC的面积为6，求b,c.

【变式3】(2024•全国•模拟预测)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,a=l,

sinB+币bcosA=0.

⑴求角A；

(2)设AM是，M。的高，求4〃的最大值.

【题型二】最值与范围：角与邻边

三角形中最值范围问题的解题思路：

要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化

为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。

涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，己知边的范围求角的范围时

可以利用余弦定理进行转化.注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边

的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大

I—1

典例精讲

【例1】(2024•安徽阜阳•一模)在ABC中，角4民C的对边分别是a,dc,且

asinAcosB+bsinAcosA=43acosC•

(1)求角。的大小；

(2)若a=3,且AB-AC=1，求ABC的面积.

【例2】(2024.内蒙古呼伦贝尔•一模)在锐角ABC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已知

c=C2a,cosA4=—7

8

⑴求cosC；

(2)若b=9,求ABC的面积.

I—I

名校模拟

【变式1］（2024•陕西渭南•模拟预测）已知.MC的内角A,B,C的对边分别为"c,则能使同时满足

TT

条件A=B，6=6的三角形不唯一的。的取值范围是（）

6

A.（3,6）B.（3,w）C.（0,6）D.（0,3）

【变式2］（2024•河北•一模）在.ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S,a1+b2+y［2ab=c2.

⑴求角C的大小；

（2）若6=1,c=2bcosB,求ABC的面积.

【变式3］（2024・广东佛山・模拟预测）在ABC中，角A氏C所对的边分别为a,"c,其中a=1,cosA='2c-l.

2b

（1）求角8的大小；

（2）如图，D为ABC外一点，AB=BD,ZABC=ZABD,求竺会竺的最大值.

sinZCDB

【题型三】范围与最值：有角无边型

«—I

典例精讲

【例1】（2024•北京石景山•一模）在锐角.ABC中，角4民C的对边分别为。，瓦c,且2bsinA-6a=0.

（1）求角8的大小;

（2）求cosA+cosC的取值范围.

【例2】（2024・吉林延边•一模）已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,吧笆"=尸

sinCb-a

(1)求3

（2）若点。在AC上，且求一

C

I—I

名校模拟

【变式1］（2024•广东湛江.一模）己知在,ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

acos(B—C)+ocosA—2^csinBcosA=0.

⑴求A;

⑵若ABC外接圆的直径为,求2c-b的取值范围.

【变式2](2023・陕西•模拟预测)[ABC的内角A,3,C所对的边分别为A,c,已知〃cos5+/?cosA=

行cosC

⑴求C；

(2)若'fib+y/3c=2a>求A.

【变式3](2012•广西南宁•一模)己知在，ABC中，角A,B,C所对的边分别为0,瓦c,且

41acosB=ccosB+bcosC•

(1)求角8的大小;

(2)设向量m=(cosA,cos2A),九二(12,-5),求当加•〃取最大值时，tanC的值.

【题型四】三大线：角平分线应用

角平分线定理(大题中，需要证明，否则可能会扣过程分)：■=若

DL)

«-----1

典例精讲

【例1】(2024•山东淄博・一模)如图，在AABC中，=的角平分线交于P点，AP=2.

⑴若BC=8,求“8C的面积；

(2)若CP=4,求BP的长.

【例2】(2024•内蒙古呼和浩特•一模)在ABC中，A,B,C分别为边a也c所对的角，且满足2a+c=2&osC.

⑴求—3的大小；

(2)—A的角平分线"(交3C边于点£>,当c=2,|AZ)|=S时，求

【例3】（2024・四川.模拟预测）记ABC的内角A,民C的对边分别为。，4c,已知L+6=acosC.

2

⑴求角A;

（2）若b=3,c=5,ZBAC的角平分线交BC于D,求AD的长.

I—I

名校模拟

【变式1]（2024.四川遂宁.二模）已知,,ABC的内角A,2,C的对边分别为a,b,c,且tanB+tanC=1^.

ccosB

⑴求角c；

（2）若CD是NACB的角平分线，CD=A0二ABC的面积为18有，求c的值.

【变式2】（2024•江苏盐城•模拟预测）已知函数/（》）=百sin（=-2x）-sin（¥+2x）.

36

⑴若方程/（X）=〃，在Xe《中上有2个不同的实数根，求实数，"的取值范围；

（2）在.ABC中，若〃3）=-2,内角A的角平分线ABf，求AC的长度.

【变式3】（2024•四川广安•二模）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且

2acosC—ccosB=bcosC.

⑴求角c；

（2）若8是NACB的角平分线，CD=4A/3,ABC的面积为18后，求c的值.

【题型五】三大线：中线应用

中线的处理方法

121/22\

1.向量法：AD=-{AB+AC）AM=一+2AB.AC+

2.双余弦定理法（补角法）：

如图设3D=DC,

在，中，由余弦定理得AB?①

在AAC£>中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2—2XADX£>CXCOSZADC,②

因为NAMB+NAMC=7l,所以COSNAT>6+COSNAT>C=0

所以①+②式即可

3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形

4.中线分割的两三角形面积相等

I—1

典例精讲

【例1】(2023•浙江•模拟预测)在ABC中，角4民C的对边分别为。也c且

j.八〃+2b/rr

0cosC+csmB=a,-----------------=6V2,

sinA+2sinB

(1)求6；

(2)求AC边上中线长的取值范围.

4

【例2】(2023•河北沧州・三模)在3ABe中，角A,B,C所对的边分别为。，6,c,2sinC=sin3,cosA=—,

be

且.ABC的面积为2vL若BC,AC边上的两条中线AM,3N相交于点P,如图所示.

⑴求ZBMA的余弦值；

⑵求MP?+NP?的值.

【例3】(2023•吉林长春•一模)在，ABC中，AD为BC边上中线，BD=43,AD=y/l,tanZBAD=—

2

(1)求ABC的面积；

(2)若4片=54。，求NBEC.

I—1

名校模拟

【变式1](2023•新疆阿勒泰•三模)在ASC中，=120°,A。为BC边上的中线且49=2,贝|AB—2AC

的取值范围是.

【变式2](23-24高三上•河北唐山・期末)在ABC中，角A民C的对边分别为d仇c,也。sinB+acosB=b+c

⑴求A；

(2)设AC边的中线8。=而，且4+°2=28,求,：ABC的面积S.

【变式3](2023•全国•模拟预测)在ABC中，内角A,民C所对的边分别为a也。，且asinC=°$山卜+三].

(1)求角A的大小；

(2)若0ABe的中线4。=退，求b+c的最大值.

【题型六】三大线：高的应用

高的处理方法：

1.等面积法：两种求面积公式

tQS=^bcsinA=^BCxAD=^c2

2.三角函数法：

在ABCD中,BD=ABcosZABD,AD=ABsinZABD,

»—I

典例精讲

jr

【例1】(2024.四川.模拟预测)在ABC中，AB=5,C=~,且tanA=3,则AB边上的高/?=____.

4

【例2】(2024•全国•一模)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且是BC边上的

高.(sinA-sinB)(a+b)=(c-sinC.

⑴求角A；

万

(2)若sin(B-C)=——，。=5,求AZ).

10

【例3】(23-24高三下.山东济南.开学考试)在ABC中，内角A,B,。的对边分别为。，b,c.已知

bcosA=a(2-cosB).

⑴求£；

a

2兀

(2)若3=胃，且AC边上的高为白，求ABC的周长.

I—1

名校模拟

【变式1](2021・湖南株洲.三模)己知ABC中，角42,C的对边分别是a,b,c,且i。：'=s：n£+cos;.

(1)求A的大小；

⑵设A。是BC边上的高，且AD=2,求ABC面积的最小值.

【变式2](2024.贵州.模拟预测)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，6,c,且b(l+cosC)=RsinB.

(1)求角C的大小；

⑵若。=9，b-a=2,求AC边上的高.

【变式3](23-24高三上•河南周口•阶段练习)记,ABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,分别以a,

b,c为边长的正三角形的面积依次为y，S2,邑，且s「邑一品=手历.

⑴求角A；

(2)若匕=近，。为线段BC延长线上一点，且NC4D=2，BD=4CD,求ABC的BC边上的高.

0

【题型七】图形：内切圆与外接圆

外接圆：

1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形

斜边中点上。

钝角三角形外心在三角形外。

abc

2.正弦定理：sinA=sinB=sinC=2R，其中R为外接圆半径

内切圆：等面积构造法求半径

S=—(a+b+c\rr=———

△A2V7a+b+c

A

典例精讲

【例1】（2024•吉林•二模）已知ABC的三个内角A&C的对边分别为a也c,ABC的外接圆半径为白，

且sin2B+sin2C-sinBsinC=sin2A.

⑴求a；

（2）求ABC的内切圆半径r的取值范围

【例2】（2023•安徽合肥•模拟预测）法国著名军事家拿破仑•波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三

角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.

如图，在AABC中，内角A,B,C的对边分别为且第,诂勺­1=7-cos2A.以AB,BC,AC为边向

外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为3。2，03.

⑴求角A；

⑵若”=3,*002。3的面积为友，求.ABC的周长.

【例3】（2023•江苏镇江•三模）在凸四边形ABCD中，AB=BC=不,/ABC=,

⑴若BD=277,cos/A3。=".求8的长;

（2）若四边形ABCD有外接圆，求AD+CD的最大值.

名校模拟

【变式1】（2024高三・江苏•专题练习）已知点M为直角ABC外接圆。上的任意一点，

NABC=90°,AB=1,BC=6,则(04-OB)-BM的最大值为.

【变式2](23-24高三下•重庆・开学考试)已知四边形A3CD的外接圆面积为g,且即=S;CO=2,4A。

为钝角，

(1)求/8。和8。；

(2)若sin/ABO=叵，求四边形ABCD的面积.

7

【变式3](2023•全国•模拟预测)在，ABC中，角A,8,C所对的边分别为4c,a=7,8+C=2A,A。平分

Q5

NBAC,且AZ)=—ABH—AC.

1313

⑴求反c；

(2)求二ABC的外接圆和内切圆的面积之比.

【题型八】图形：“补角”三角形

«—I

典例精讲

【例1】(2024•内蒙古包头•一模)如图，在ABC中，NABC=90。，。是斜边AC上的一点，AB=^3AD,

BC=y/6.

(1)若"3C=60。，求2D3和£>A；

⑵若五，证明：CD=2DA.

【例2】(2024•福建.模拟预测)在ABC中，。为BC的中点，5.ZDAC+ZBAC=n.

⑴求作

(2)若BC=2&AC,求cosC.

名校模拟

【变式1](2024•甘肃陇南•一模)在,ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,6,c.已知eosA+acosC=3•

⑴求b；

TT

(2)D为边AC上一点，AD=2DC,ZDBC=-,AB±BD,求8。的长度和的大小.

6

【变式2】(2023•全国•模拟预测)在①6(6-ccosA)=-asinC；②.°：-4=sin>+sin4这两个条件

ba+c

中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.

在.ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足

⑴求C；

(2)点。在边AB上，且=AC1DC,求cos瓦

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.

【题型九】图形：四边形与多边形

典例精讲

【例1】(2023•河南•模拟预测)如图，在四边形ABCD中，AB±BC,ZADC=120°,AB=CD=2AD,AACD

的面积为3.

2

⑴求sin/C4B；

(2)证明：ZCAB^ZCAD.

【例2】(2024•云南大理•模拟预测)如图所示，在平行四边形ABCD中，有:

ACcosZBAC=(2AB-BC)cosZABC.

(1)求/ABC的大小；

⑵若BC=3,AC=小，求平行四边形ABCD的面积.

I—I

名校模拟

【变式1](2022.全国.模拟预测)如图，四边形ABC。为梯形，AB//CD,AB=2CD=6y/2,tanA=—,

2

cosZADB=—.

3

(1)求cos/BDC的值;

(2)求BC的长.

【变式2](23-24高三下•山东•开学考试)如图所示，圆。的半径为2,直线AM与圆。相切于点AAM=4,

圆。上的点尸从点A处逆时针转动到最高点B处，记ZAOP=0,0&(0,兀].

(2)试确定。的值，使得△加的面积等于AO尸的面积的2倍.

【变式3](2024・四川凉山•二模)如图，在平行四边形A3CD中，E,尸分别是AZ),C。的中点，且3E=6,

IT

BF=3,{BE,BF)^~,则平行四边形A3CD的面积为.

秘籍03解三角形

目录

【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测

【应试秘籍】总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点一：正弦定理的边角互化

易错点二：判断三角形个数

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略

【题型一】最值与范围：角与对边

【题型二】最值与范围：角与邻边

【题型三】范围与最值：有角无边型

【题型四】三大线：角平分线应用

【题型五】三大线：中线应用

【题型六】三大线：高的应用

【题型七】图形：内切圆与外接圆

【题型八】图形：“补角”三角形

【题型九】图形：四边形与多边形

高考预测

概率预测☆☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题、解答题☆☆☆☆☆

考向预测正余弦定理求边，求角。

应试秘籍

作为高考固定题型，每次会出现在解答题的第一题或者第二题，新高考出现了结构不良题的新题型，

无外乎的就是和三角函数与解三角形结合出现在解答题第一题里，占10分，难度不大也适应了新高考的新

题型，所以是热门，必须要把各题型都能熟练掌握。

今年从九省联考的试卷可以看出，新结构试卷中把原有的解三角形大题弱化了，新结构试卷解三角形

的位置会在选填中考察，出现在大题的机率也是有的，即使出现难度也是不大的，所以基础题型和小题中

对于正余弦定理的运用就需要掌握的透彻。

・误区点拨

易错点一：正弦定理的边角互化

abc

2.正弦定理：而瓦=而百=而^=2R,其中R是三角形外接圆的半径.

由正弦定理可以变形：（l）a:b:c=sin_A:sin_B:sin_C；（2）a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C；（3）sin

abc

A=京，sinB=京，sinC=正等形式，以解决不同的三角形问题.

易错提醒：

1.在用正弦定理进行边角互化时需要注意2R的存在，等式两边2R的数量一致才可相消。

2.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在AABC中，

A>B«=>a>b<=^sinA>sinB.

例（2024•辽宁辽阳•一模）在，ABC中，内角AB,C的对边分别为&b,c,且42+4^=602,则s^C

sinAsinB

的最小值为.

【答案】I

【详解】由正弦定理得，sin。=且,

sinAsinBab

因为"+4。2=602,所以sin2c=2,

sinAsinBab6ab6ab3

当且仅当片=4b2即等号成立，所以3的最小值为:

sinAsinB3

故答案为：|.

变式1：（2024・四川凉山•二模）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若竺吧|二等二+2=i,

acosB+bcosAc

贝!JA=.

【答案】I

・、4.acosB-bcosAb1T十小，口sinAcosB-sinBcosAsin5,

【详解】在，ABC中，由-------------r+-=l及T7正弦定理得:-------------------------------1--------=I,

acosB+bcosAcsinAcosB+sinBcosAsinC

而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,

sinAcosB-sinBcosAsinB,

贝lj-------------------------------------+---------------------------------------=I,

sinAcosB+sinBcosAsinAcosB+sinBcosA

整理得sinAcos5-sin5cosA+sin3=sinAcos5+sin3cosA,即2sin5cosA=sin5,

又sin5>0,因此cosA=3，而OVAVTI,所以A=g.故答案为：--

易错点二：判断三角形个数

I.在AABC中，已知a、b和A时，解的情况如下:

A为锐角A为钝角或直角

Cccc

力L工

图形

ABAB

关系

式a=bsinAbsinA<a<ba>ba>b

解的

一解两解一解一解

个数

例（2022•江苏南通•模拟预测）在ABC中，内角AB,C所对的边分别为a,"c,则下列条件能确定三角形

有两解的是（）

71

A.a=5,b=4,A=一

6

Jt

B.a=^,b=5,A=—

57r

C.a=5,b=A,A=—

JI

D.a=4,b=5,A=—

3

【答案】B

【详解】对于A：由正弦定理可知，一工=±nsinB==

sinAsmB5

TT

•：a>b,：.B<A=-,故三角形ABC有一解；

6

对于B：由正弦定理可知，，=―也=sinB=%g,

sinAsinB8

TT

•：b>a,：.B>A=-,故三角形ASC有两解；

4

对于C：由正弦定理可知，*=-=sinB=^

smAsmB5

TA为钝角，・・.B一定为锐角，故三角形（ABC有一解;

竺nsin8=X8>l,故故三角形ABC无解.

对于D：由正弦定理可知，—

sinAsinB8

故选：B.

12

变式1：（2022高三•全国・专题练习）在ABC中，cosA=—,sinB=m,若角C有唯一解，则实数加的取

值范围是（）

空,

A.B.C.1UD.

135

【答案】D

12

【详解】在,ABC中，cosA=—,sinB=m,若NC有唯一解，则ABC有唯一解,

设内角A,B,C所对应的边分别为。，b,c

由COSA=¥，则A为一确定的锐角且sinA=[,所以:=*=自,

1313bsinB13m

如图以C为圆心，”为半径画圆弧，当圆弧与边AB有1个交点时满足条件,

如图示：即圆弧与边相切或与圆弧与边AB相交有2个交点,

其中一个交点在线段AB的反向延长线上（或在点A处），故a=bsinA=《。或,

由3=工，即。=26,^—b=—b^^—b>b,

b13m13/n13/771313m

解得根=1或0<相41.

故选：D.

抢分通关

【题型一】最值与范围：角与对边

注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边。，"C的齐次式或关于角的正弦sinAsinasinC的

齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换.求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角

函数形式，利用此角的范围求得结论.

»—I

典例精讲

[例1]（23-24高三下•河南濮阳•开学考试）已知，ABC的内角43,C的对边分别是a,6,c,8wC.若

叱=逑,”1,则二法

3

B

A・—2-IC.2D.3

【答案】D

、2

ABC中，cosA=~~,a=l>故sinA=Jl-(2721

【详解】由题意知一,

3J3

a

“2R=T=3,（R为ABC外接圆半径），

故sinA

3

b-c2RsinB—2RsinC

故-----:--------:---------—2R=3,

sinB一sinCsinB-sinC

故选：D

【例2】（2024•海南省直辖县级单位•一模）在锐角ABC中，角A,3,C的对边分别为6,。，且0=3,

A=60°,则6的取值范围是（）

A.(0,6)B.(0,2月C.(A/3,2A/3)D.(66)

【答案】C

【详解】由正弦定理得£=4,即6=啰华=四黑=2若sinB,

sinAsinBsinAsin60

又，ABC为锐角三角形，C=180。—4一3=120。一3,

又0°<B,C<90°,贝110°<120°—3<90°,

解得30°<3<90°,而当30°<x<90°时，y=sin尤单调递增,

故sin8e,1,所以0=2退sin2e(g,2Q).

故选：C

【例3】（2024•全国•模拟预测）已知ABC中，角A、B、C的对边分别是a,b,c,V§/?-csinA=/acosC.

（1）求角A的大小;

⑵若。=3,。为BC边上一点，|AD|=2,2DB=DC,求ABC的面积.

【答案】⑴

⑵通

2

【详解】(1)由正弦定理得百sinB-sinCsinA=6sinAcosC,

因为A+5+C=TT

故V3sin(A+C)—sinCsinA=石sinAcosC,

BPgsinAcosC+石cosAsinC-sinCsinA=A/§sinAcosC,

即sinC(V5cosA-sinA^=0.

而sinCW0,故石cosA-sinA=0,

又因为cosAw0所以tanA=a.

兀

而0<4<兀，故A=g.

17

(2)解法一：由2DB=Z)C知AD=]AC+§A2,

两边同时平方得=||AC|2+11AB|2+11AB|•|AC|COSABAC,

149

即4=§b2+§c2+§bc,化简得/+402+2。0=36.①

22l2-25-2

在中，由余弦定理得cos/A05=上3+一Jr=二r£

2x2x14

92_i_?2_A2Q_A2

在，ACD中,由余弦定理得cosZADC=:--------=-----

2x2x28

而NAZ汨+NADC=TI,所以COSNAPB+COSNADC=0,

故22+J—+2j、o,即2c2+/=i8,②

2x2x12x2x2

由①②得b1+4c之+2bc=2(2,+加)，

由于6w0,得b=2c,代入②得＜:2=3.

所以ABC的面积为工6csin/84C=c2sin/84c=之叵

22

IT/J2+「2—Q1

解法二：在ABC中，由余弦定理可得cosN5AC=cos—=-------------=—

32bc2

整理得〃+，—庆=9,①

2212-r25-r2

在△口£＞中，由余弦定理得cos/AOB=j^+—J=

2x2x14

72-I-?2—h1Q_

在-ACD中，由余弦定理得cos/ADC=--------------=--------,

2x2x28

IfUZADB+ZADC=7t,所以cosNAD3+cosNADC=0,

,,22+12-C222+22-b2

故---------+----------=0,即2c2+62=18,②

2x2x12x2x2

2

由①②得2c2+〃=2b+2c2-2bc,

由于6w。，得b=2c,代入②得°2=3,

所以ABC的面积为S=-bcsinZBAC=c2sinZBAC=—.

ABC22

名校模拟

【变式1］（2024•全国.模拟预测）已知二ABC的内角A,B,C的对边分别为a®G_ABC的面积

(1)求角A的大小；

(2)若a=4,VJsinA=sinB+sinC,求ABC的面积S.

【答案】(1)A=W

(2)还

3

【详解】(1)由S仅2-abcosC),

222121

/1•(12a+b-c^A/3b+c-a6

得/bcsmA==万----------=-----------=W^ccosA,

由于Z?cw0,所以sinA=\/3cosA,/.tanA=百，

因为OvAv兀，所以A=1.

(2)由GsinA=sinB+sinC及正弦定理，得6a=b+c,

又Q=4,所以Z?+C=4A/3，

22

由余弦定理得储=h+c-2bccosA，即16=从+。2一历=g+c)2-3〃c,

结合0+0=4有可得A二§,

诉「I。1,.4132V3873

加以S=—bcsinA=—x——x——=------.

22323

【变式2】(2024•云南贵州•二模)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acos3-6cosA=A+c.

⑴求角A的值；

⑵若。=2万，A8C的面积为6，求。,c.

【答案】（1）7

(2)2,2

【详解】(1).acosB-bcosA=b+c,

由正弦定理可得：sinAcosB-sinBcosA=sinB+sinC,

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

/.sinAcosB—sinBcosA=sin5+sinAcosB+cosAsin5,

即—2sinBcosA=sinB,

singwO,/.cosA=-—,

2

9jr

AG(0,71),/.A,

3

(2)由题意，SAABr=—bcsinA=^-bc=A/3,

ZA/IDC24'

所以Z?c=4,

12

由〃=-2〃ccosA=b+c+beJ

得9+c)2=/+〃c=i6,

所以b+c=4,解得：b=c=2.

【变式3】(2024.全国.模拟预测)已知的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,a=l,

sinB+\/3bcosA=0.

(1)求角A；

(2)设AM是ABC的高，求AM的最大值.

2冗

【答案】⑴

⑵近

6

【详解】(1)由sinB+屏cosA=0及二=占，得如竺+&cosA=0,

sinAsinBa

又a=l,b于0,所以sinA+V3cosA=0,得tanA=-^3,

因为Ae(0,7r),所以A=g.

(2)解法一由余弦定理得/=/+c2—20CCOS/3AC,贝IJ1=/+C2+/?CN26C+0C=30C,

得尻4；,当且仅当8=c时取等号，

所以SABC

223232

得AMwl,故A"的最大值为也

66

b_c_1_2

解法二由正弦定理得痛=寂

3

故匕=;^sinB,=—T=sinC

因为等+B+C=n,所以C=］一3,^^!。，；