重庆高考向量试题及答案

重庆高考向量试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.若向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(3,x)\)，且\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则\(x=\)（）A.3B.6C.9D.122.已知向量\(\vec{m}=(-1,1)\)，\(\vec{n}=(2,y)\)，若\(\vec{m}\cdot\vec{n}=1\)，则\(y=\)（）A.1B.2C.3D.43.向量\(\vec{a}=(2,-3)\)，\(\vec{b}=(-1,1)\)，则\(\vec{a}-\vec{b}=\)（）A.\((3,-4)\)B.\((1,-2)\)C.\((-3,4)\)D.\((-1,2)\)4.若\(\vert\vec{a}\vert=3\)，\(\vec{b}\)与\(\vec{a}\)方向相反且\(\vert\vec{b}\vert=2\)，则\(\vec{a}=\)（）\(\vec{b}\)A.\(\frac{3}{2}\)B.\(-\frac{3}{2}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(-\frac{2}{3}\)5.已知向量\(\vec{a}=(1,\sqrt{3})\)，则\(\vert\vec{a}\vert=\)（）A.1B.2C.\(\sqrt{3}\)D.\(2\sqrt{3}\)6.若\(\vec{a}=(x,1)\)，\(\vec{b}=(4,x)\)，且\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线且方向相同，则\(x=\)（）A.2B.-2C.\(\pm2\)D.07.向量\(\vec{a}=(3,-4)\)，则与\(\vec{a}\)同向的单位向量\(\vec{e}=\)（）A.\((\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\)B.\((-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\)C.\((\frac{4}{5},-\frac{3}{5})\)D.\((-\frac{4}{5},\frac{3}{5})\)8.已知\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(m,-1)\)，若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，则\(m=\)（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)9.设向量\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\)（）A.\(x_1x_2+y_1y_2\)B.\(x_1y_2+x_2y_1\)C.\(x_1x_2-y_1y_2\)D.\(x_1y_2-x_2y_1\)10.若\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)为单位向量，且\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert=\)（）A.1B.\(\sqrt{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.2二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下关于向量的说法正确的是（）A.零向量与任意向量平行B.若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，\(\vec{b}\parallel\vec{c}\)，则\(\vec{a}\parallel\vec{c}\)C.向量的模是非负实数D.相等向量一定是平行向量2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,1)\)，则（）A.\(\vec{a}+\vec{b}=(0,3)\)B.\(\vec{a}-\vec{b}=(2,1)\)C.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\)D.\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{5}\)3.若向量\(\vec{m}=(x,1)\)，\(\vec{n}=(-2,y)\)，满足\(\vec{m}\parallel\vec{n}\)，则（）A.\(xy=-2\)B.\(x+2y=0\)C.\(y=-\frac{1}{2}x\)D.\(x=-2y\)4.下列向量中，与向量\(\vec{a}=(1,\sqrt{3})\)垂直的向量有（）A.\((\sqrt{3},-1)\)B.\((-\sqrt{3},1)\)C.\((\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})\)D.\((-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})\)5.已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)，则（）A.\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)B.\(\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}\)（\(\lambda\)为实数）C.\(\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}\)D.\((\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}=\vec{a}(\vec{b}\cdot\vec{c})\)6.若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，且\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)夹角为\(\theta\)，则（）A.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta\)B.\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}\)C.\(\vert\vec{a}-\vec{b}\vert^2=\vert\vec{a}\vert^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vert\vec{b}\vert^2\)D.\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert^2=\vert\vec{a}\vert^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vert\vec{b}\vert^2\)7.单位向量\(\vec{e}_1\)，\(\vec{e}_2\)，满足\(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_2=\frac{1}{2}\)，则（）A.\(\vec{e}_1\)与\(\vec{e}_2\)夹角为\(60^{\circ}\)B.\(\vert\vec{e}_1+\vec{e}_2\vert=\sqrt{3}\)C.\(\vert\vec{e}_1-\vec{e}_2\vert=1\)D.\((\vec{e}_1+\vec{e}_2)\perp(\vec{e}_1-\vec{e}_2)\)8.已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(-1,2)\)，若\(m\vec{a}+n\vec{b}\)与\(\vec{a}-2\vec{b}\)平行，则\(\frac{m}{n}\)的值可以是（）A.\(-\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.-2D.29.设向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，下列说法正确的是（）A.若\(\vert\vec{a}\vert=\vert\vec{b}\vert\)，则\(\vec{a}=\vec{b}\)B.若\(\vec{a}\neq\vec{b}\)，则\(\vert\vec{a}\vert\neq\vert\vec{b}\vert\)C.若\(\vec{a}=k\vec{b}\)（\(k\neq0\)），则\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线D.若\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线，则存在实数\(k\)使\(\vec{a}=k\vec{b}\)10.向量\(\vec{a}=(1,-2)\)，\(\vec{b}=(x,4)\)，且\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)夹角为钝角，则\(x\)的值可能是（）A.0B.1C.2D.3三、判断题（每题2分，共10题）1.向量既有大小又有方向。（）2.若\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec{b}=\vec{0}\)。（）3.平行向量一定是相等向量。（）4.向量的加法满足交换律和结合律。（）5.单位向量都相等。（）6.若\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线，则\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)所在直线平行。（）7.对于任意向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert\leqslant\vert\vec{a}\vert+\vert\vec{b}\vert\)。（）8.若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，则\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)的充要条件是\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。（）9.向量\(\vec{a}\)在向量\(\vec{b}\)上的投影是一个向量。（）10.若\(\vec{a}\cdot\vec{b}\gt0\)，则\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)夹角为锐角。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.已知向量\(\vec{a}=(1,3)\)，\(\vec{b}=(2,-1)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值。答案：根据向量点积公式\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\)，这里\(x_1=1\)，\(y_1=3\)，\(x_2=2\)，\(y_2=-1\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times2+3\times(-1)=2-3=-1\)。2.已知向量\(\vec{m}=(2,x)\)，\(\vec{n}=(-1,2)\)，且\(\vec{m}\perp\vec{n}\)，求\(x\)的值。答案：因为\(\vec{m}\perp\vec{n}\)，所以\(\vec{m}\cdot\vec{n}=0\)。由向量点积公式得\(2\times(-1)+x\times2=0\)，即\(-2+2x=0\)，解得\(x=1\)。3.已知\(\vert\vec{a}\vert=3\)，\(\vert\vec{b}\vert=4\)，\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)夹角为\(60^{\circ}\)，求\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert\)。答案：先求\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert^2=(\vec{a}+\vec{b})^2=\vert\vec{a}\vert^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vert\vec{b}\vert^2\)。\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos60^{\circ}=3\times4\times\frac{1}{2}=6\)，则\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert^2=9+2\times6+16=37\)，所以\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert=\sqrt{37}\)。4.已知向量\(\vec{a}=(3,-4)\)，求与\(\vec{a}\)同向的单位向量\(\vec{e}\)。答案：先求\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5\)。与\(\vec{a}\)同向的单位向量\(\vec{e}=\frac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}\)，即\(\vec{e}=(\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论向量共线的判定方法有哪些，并举例说明。答案：判定方法有：坐标法，若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，\(x_1y_2-x_2y_1=0\)则\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)；定义法，若存在实数\(k\)，使\(\vec{a}=k\vec{b}\)则\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线。例如\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,4)\)，\(1\times4-2\times2=0\)，且\(\vec{b}=2\vec{a}\)，所以\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线。2.探讨向量在物理中的应用，举例说明。答案：向量在物理中应用广泛。如力是向量，在力的合成与分解中，根据平行四边形法则或三角形法则计算合力与分力。例如，一个物体受两个互成角度的拉力\(\vec{F}_1\)、\(\vec{F}_2\)，它们的合力\(\vec{F}\)就可用向量加法来求解。3.