2025届高三数学二轮复习大题强化训练及变式训练（原卷版新高考地区）

2025届高三二轮复习大题强化训练及变式训练(1)

一、题型类别

类型一、三角形中线问题

类型二、线面平行与二面角

类型三、马尔可夫链

类型四、斜率和、差定值问题

类型五、数列与导数融合

二方法讲解

1.解三角形中线的应用

(1)中线长定理：在A4BC中，4。是边8C上的中线，贝OB?+4。2=2(802+4。2)

注：灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中

(2)向量法：前2=；(炉+©2+2bcCOS&)

注：适用于已知中线求面积(已知黑的值也适用)

2.线面平行

(1)利用共面向量定理.设“力为平面0内不共线的两个向量，证明存在两个实数羽〉，使得

1=xa+yb,贝w

(2)转化为证明直线和平面内的某一直线平行.

(3)转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(此方法最常用)

3.二面角

(1)在平面a内，allt在平面B内，Z(/是交线/的方向向量)，其方向如图所示，则二面

a-b

角"-/一6的平面角的余弦值为

(2)设小%是二面角"一/一£的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面

n「n?

角的外侧，则二面角“一/一£的余弦值为mnzi.

4.马尔可夫链

若P(x“+51Xg,X“_5,,X。%)=P(X“+1|Xg)=舄，即未来状态X„+1只受当前状态X”的影

响，与之前的X“T，X〃_2,…,X0无关.

5.解析几何定值问题

定值问题

解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量一函数一定值”，

具体操作程序如下：

(1)变量——选择适当的量为变量.

(2)函数一一把要证明为定值的量表示成变量的函数.

(3)定值一一化简得到的函数解析式，消去变量得到定值.

求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；

(2)直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值.

常用消参方法：

①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系尸(匕7〃)=0,用一个参数表示另外一个参数左=/(附,

即可带用其他式子，消去参数上.

②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值.

③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉.

④参数无关消参：当与参数相关的因式为0时，此时与参数的取值没什么关系，比如：

、-2+依(x)=0,只要因式g(x)=O,就和参数人没什么关系了，或者说参数左不起作用.

6.数列与导数综合问题的主要类型及求解策略

①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用导数研究函数的性质、图象研究数列问题.

②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前〃项和公式、求和方法

等对式子化简变形进而构造函数利用导数解决问题.

注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊

性.

三、重难点例题及变式

类型一、三角形中线问题

例.阿波罗尼奥斯(Apollonius)是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角

形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和

的两倍，即如果四是中比边上的中线，贝IJA)+AC?=2A。'(岑］.

JT

(1)若在，ABC中，AB=5,AC=3,ZBAC=~,求此三角形式边上的中线长；

(2)请证明题干中的定理；

(3)如图ABC中，若AB>AC,跌BC中点、,BD=DC=3,asinA+3bsinB=3Z?sin(A-C),

S~吟求cos皿C的值.

【变式训练1】在“C中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,8=30*

(1)已知6=bcosA+acosB-2

(i)求C；

(ii)若。＜6,。为AB边上的中点，求CD的长.

(2)若AABC为锐角三角形，求证：a〈空c

3

【变式训练2】在ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已知。=2,

c2=BABC-2J3S,其中S为ABC的面积.

(1)求角A的大小；

(2)设。是边8C的中点，若求AD的长.

类型二、线面平行与二面角

例.如图，在四棱锥P-A5CD中，底面ABCD是正方形，瓦F分别为尸员PC的中点，G为线段

AC上一点，且CG=3AG.

(1)证明：EG〃平面BDF；

(2)若平面ABCD,且AD=2Pr>,求二面角B—EG—。的正弦值.

7T

【变式训练1】如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2菱形，ZABC=~,已知E为

棱的中点，P在底面的投影，为线段EC的中点，M是棱PC上一点.

(1)若CM=2MP,求证：PE//平面MBD；

(2)若=确定点M的位置，并求二面角3——C的余弦值.

【变式训练2】如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。是直角梯形，AB//CD,ZBAD=90°,

DA^DC=2AB=2.

(1)点E在侧棱PB上，且PD〃平面E4C,确定E在侧棱PB上的位置；

(2)若平面24。，平面ABC。，且尸A=PD=20,求二面角A-PD-8的余弦值.

类型三、马尔可夫链

例.某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到

如下数据：

排球

性别

喜欢不喜欢

男生78122

女生11288

(1)依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？

(2)在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传

球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记〃次传球后球在乙手中的概率为

1,2,3,.

(i)求凡；

(ii)若随机变量X,服从两点分布，且p(X,=l)=l—P(X,.=0)=d/=l,2,,n,则

(_nA

E.记前〃次(即从第i次到第九次传球)中球在乙手中的次数为随机变量y,求y的

\z=l)i=l

数学期望.

n(ad-be)2

附：/,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0100.0050.001

Xa6.6357.87910.828

【变式训练1】某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区,

丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.

(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据

。=0.100的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？

就餐区域

性合

南

别北计

区区

男331043

女38745

合

711788

计

(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为《；如果前

12

一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为如果前一天在丙餐厅，那么后一天去

甲，乙餐厅的概率均为;.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为1

2442

(i)求第2天他去乙餐厅用餐的概率;

(ii)求第天他去甲餐厅用餐的概率.

n(ad-bc)2

附：*n=a+b+c+d；

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

a0.1000.0500.0250.010

Xa2.7063.8415.0246.635

【变式训练2】从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一

次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.

(1)记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望；

(2)若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记〃次传球后球在甲手中

的概率为£(附=1,2,3,…).

①直接写出《，P2,己的值；

②求£用与P,、的关系式(〃eN*),并求出七(neN*).

类型四、斜率和、差定值问题

22oo

例.已知椭圆用东+丁=1（。>1）与双曲线%:--3=1的离心率的平方和为亍.

（1）求。的值；

⑵过点。［；，。］的直线/与椭圆M和双曲线N分别交于点A,B,C,D,在x轴上是否存在一点T,

1111

直线Z4,TB,TC,ZD的斜率分别为心，kTB,kTC,矶，使得厂+1+1+二为定值？若存

KTAMBGeMD

在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.

22

例.已知椭圆C:亍+==l（a>6>0）的左、右焦点分别为£（一2,0）,耳（2,0）,〃为椭圆由）右顶点，且

DFtDF2=4.

（1）求椭圆曲方程；

⑵设M（-4,2）,过点。（-4,0）的直线与椭圆皎于4晒点（/点在8点左侧），直线划与直线x=-2

交于点儿设直线脑，羽的斜率分别为自，右,求证：为定值.

【变式训练1】已知椭圆E：5+==1（。>人>0）的离心率为也，且过点A（2,l）,点8与点A

ab2

关于原点对称，过点2）作直线/与竣于M,N两点（异于A点），设直线40与BN的斜率

分别为占，k2.

（1）若直线/的斜率为-1，求—4VW的面积；

2

（2）证明左的―2左2为定值.

【变式训练2】已知双曲线C;1-,=1（〃>0,6>0）经过点卜,半］,右焦点为尸（。,0）,且万成

等差数列.

⑴求C的方程；

（2）过尸的直线与C的右支交于RQ两点（P在。的上方），PQ的中点为在直线/：x=2上的射

k-k

影为N,。为坐标原点，设△尸。。的面积为S,直线/W,QN的斜率分别为左出,试问—1是否为定