2025年高考物理复习突破：大题08 带电粒子在匀强磁场、组合场中的运动（原卷版+解析）

大题08带电粒子在匀强磁场、组合场中的运动

》明考情-笈方向》.

带电粒子在磁场及组合场中的运动是高考物理电磁学压轴题的标志性内容，近五年全

国卷及新高考卷中每年必考，分值占比约10315%。2025年高考对“带电粒子在磁场、组

合场中的运动”考查将延续“重几何建模、强综合应用、拓科技前沿”的命题风格，突出

电磁学核心素养与实际问题转化能力。备考需以轨迹分析为核心抓手，强化数学工具与跨

模块整合，同时关注量子科技与新能源热点，做到“以场定轨，以数解形”。建议多关注：

核聚变装置中带电粒子的磁约束优化；拓扑量子计算中的马约拉纳粒子轨迹简化模型；超

导磁悬浮列车中的磁场分布与粒子运动分析；宇宙射线在地球磁场中的偏转路径计算（天

体物理背景）。

❾研大题-梃能力自

01带电粒子在各种边界磁场中的运动

带电粒子在匀强磁场、

02带电粒子在组合场中的运动

组合场中的运动

03带电粒子在立体空间中的运动

题型1带电粒子在各种边界磁场中的运动

说T型茴荐茬前不靠直于花，苹茴的有神薇扬箝丽越用的扬算:益藤应逋葭芬喇为WITD：审:

乙两种比荷不同的粒子同时从原点。沿x轴正向射入磁场，速度均为外甲第1次、第2次经过y轴的

位置分别为AQ,其轨迹如图所示。甲经过。时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为处电荷量

为°。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：

⑴0到。的距离d；

(2)甲两次经过户点的时间间隔At；

⑶乙的比荷壬可能的最小值。

例2.(2023广州市高三校联考)如图所示，边长为L的正三角形/此内存在垂直纸面向里的匀强磁场,

磁感应强度为员〃为8c的中点，有一群带电量为+/质量为7的粒子从2点以不同速率沿与欧成30°

角的方向射入磁场。不计粒子重力和粒子间的相互作用，求:

(1)粒子在磁场中运动的最长时间t；

(2)从/C边射出的粒子的速度取值范围。

.分诉雷豆粒子在藏跖市运动时的三不关殛

入射点与出射点的连线，圆心

与两条速度直线交点的连线

偏转角等于圆心角；偏转角等

于弦切角的两倍

入射点、出射点、轨迹圆心、

入射速度直线与出射速度直

线的交点

1.如图所示，空间存在一范围足够大、方向垂直于竖直x匕平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为尻

让质量为血、电荷量为17(q〉0)的粒子从坐标原点。沿X。平面入射，不计粒子重力，重力加速度为g。

XyxXXX

XXXXX

-X-------X-T--------X--------X*

OA(Q,O)”

XXXXX

XXXXX

(1)若该粒子沿y轴负方向入射后，恰好能经过x轴上的/(a,0)点，求粒子速度跖的大小；

(2)若该粒子以速度/沿y轴负方向入射的同时，一不带电的小球从x轴上方某一点平行于x轴向右抛

出,二者经过时间A箸恰好相遇,求小球抛出点的纵坐标。

题型二带电粒子在组合场中的运动

例3.如图所示，在空间直角坐标系中，/位平面左侧存在沿z轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y轴正

方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；平面右侧还有沿y轴负方向的匀强电场。

现从空间中坐标为(一40,0)的〃点发射一质量为勿、电荷量为+g的粒子，粒子的初速度大小为的、

方向沿xOy平面，与x轴正方向的夹角为60°,经一段时间后粒子恰好垂直于y轴进入yOz平面右侧。

其中电场强度和磁感应强度大小未知，其关系满足不计粒子的重力。求：

B兀

(1)粒子在yOz平面左侧匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径八

(2)粒子第2次经过yOz平面时的速度大小；

(3)粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标；

(4)粒子第2、第3两次经过平面的位置间的距离。

例4.(2023安徽芜湖高三期末)如图所示，在x0平面第一象限内有以虚线8为理想边界的匀强电场和

匀强磁场区域，8与x轴夹角为。=45°,8与y轴之间的电场平行于y轴向上，8与x轴之间的磁

场垂直纸面向里。在y轴上有一点弘〃到。点的距离为3d。现有一个质量为〃、电荷量为一°的带负电

粒子，从〃点以速度的垂直于y轴向右进入电场区域，粒子离开电场后从如上的儿点进入磁场区域，

已知N点到x轴的距离为2%粒子经过磁场后从x轴上。点离开，且速度方向与x轴垂直，不计带电粒

子的重力，求：

yp

M*AA/

z

xzxX

，4XX

zXXX

xXXXX

XXXXX

o-

C%

(1)电场强度大小E；

⑵磁感应强度大小8和粒子从〃点运动到C点所用的总时间to

“薛溪需电薪字(而茬潞球前i荔诵S而2至罗法;；

融性国）~►要清楚场的性质、方向、强弱、范围等

带电粒子（体）依次通过不同场区时，由受力

富总-情况确定带电粒子（体）在不同区域的运动

情况

正确地画出带电粒子（体）的运动轨迹图

根据区域和运动规律的不同，将带电粒子

（体）运动的过程划分为几个不同的阶段，对

不同的阶段选取不同的规律处理

要明确带电粒子（体）通过不同场区的交界处

->时速度大小和方向的关系，上一个区域的末

速度往往是下一个区域的初速度

2.（2023福建龙岩第一次质检）如图所示，在x勿平面（纸面）内，x>0空间存在方向垂直纸面向外的匀强

磁场，第三象限空间存在方向沿x轴正方向的匀强电场。一质量为以电荷量为g的带正电粒子（不计重

力），以大小为八方向与y轴正方向夹角。=60°的速度沿纸面从坐标为（0,4£）的R点进入磁场中，

然后从坐标为（0,的A点进入电场区域，最后从x轴上的总点（图中未画出）垂直于x轴射出电

场。求：

B

x

（1）磁场的磁感应强度大小6；

（2）粒子从P\点运动到2点所用的时间t；

（3）电场强度的大小及

题型三带电粒子在立体空间中的运动

例5.如图所示，在空间直角坐标系中，平行板电容器的两极板从"都与y场平面平行，两极板间的电

场可看作匀强电场，电势差为U。将右极板“与平面户之间的空间记作I,平面只0之间的空间记作H,

平面。右侧的空间记作ni。空间I、iii都存在匀强电场和匀强磁场，空间II左、右边缘一、0两平面之

间的距离为乙它们之间没有电场，也没有磁场。空间I、III的匀强电场都沿y轴正方向，电场强度大

小都与电容器两极板间的电场强度大小相等；匀强磁场的磁感应强度大小相等，I中的磁场方向沿z轴

正方向，III中的磁场方向沿y轴正方向。某时刻一电子自电容器左极板〃的中心仅在静电力作用下沿着

x轴正方向做加速运动，初速度可视为0,经过时间7恰好到达右极板"上的小孔，然后继续在空间I

沿着x轴正方向运动至平面P,过平面P后又经过一段时间再次返回空间1,直至击中空间I中平面R

上的某物体，平面7?与平面不必平行。已知电子第二次在空间I的运动过程沿y轴负方向的位移大小为

h,电子的质量为血电荷量为e,不计电子的重力。求：

(1)空间I、HI中匀强磁场的磁感应强度大小;

⑵电子离开空间III时的速度大小；

⑶电子击中平面印上物体时的动能。

例6.(2024湖南长沙高三二模)如图所示，三维坐标系公彩内存在着正四棱柱空间区域，正四棱柱的

截面勿彻V水平且与/。方〃；阳的两个底面平行，其中4点的坐标为(0,0),C点的坐标为(0,

L),正四棱柱/吠空间处于沿y轴方向的匀强电场中，勿物归"i组空间处于沿y轴负方向的

匀强磁场中，质量为以电荷量为+g的粒子以速度的从/点沿/。方向射出，经电场偏转后恰好从截面

aw的中心进入磁场区域，不计粒子的重力。

(1)求匀强电场的电场强度；

(2)若粒子恰好未从四棱柱的侧面飞出，求匀强磁场的磁感应强度8的大小；

(3)若粒子最终从皿连线上的一点射出磁场区域，此点到/点的距离为半。求/点的y轴坐标。

4

带电粒子在立体空间常见运动及解题策略

运动类型解题策略

在三维坐标系中运动，每个轴方向都是常见运动模

将粒子的运动分解为三个方向的运动

型

一维加一面，如旋进运动旋进运动将粒子的运动分解为一个轴方

向的匀速直线运动或匀变速直线运动和

垂直该轴的所在面内的圆周运动

把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图

运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线

角度，把立体图转化为平面图，分析粒子

不在原来的平面内

在每个面的运动

3.（2024浙江金华模考）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示的是离子注入工

作的原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离

子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统的匀强磁场的

磁感应强度大小均为8方向均垂直于纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场的电场强度大小

均为其方向分别为竖直向上和垂直于纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为用和兄的四分之一圆

环，其两端中心位置〃和4处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为上的正方

体，其底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L,当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直于注入

到晶圆上的。点（即图中坐标原点，x轴垂直于纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在

晶圆上的离子经过电场和磁场偏转的角度都很小。当a很小时，有sina-tana-a,cosa^1—|

2

a0求：

（1）离子通过速度选择器后的速度大小■和磁分析器选择出来的离子的比荷3

m

（2）偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标（x,y）表示；

（3）偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标（x,y）表示。

大题-拿高分4.

1.（2024广东佛山一模）如图所示，在绝缘水平面上方，相距为/的竖直边界例9、砌之间存在水平向左的

匀强电场，场强大小为笈。边界阴右侧有一直角三角形区域区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场

和大小为笈=驶、方向竖直向下的匀强电场。在边界幽9上的。点静止释放一个质量为加、电量大小为g

q

的带电小球(大小忽略不计)，小球从4点进入三角形场区，最终从/〃边界上的户点离开。已知/户间的

距离为&/而。=30°,不计一切摩擦。

(1)求/切区域内的磁感应强度大小；

(2)求小球从。运动到户所用时间。

2.(2023河南信阳质检)如图，平行的,凡与妙间(含边界)有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大

小为属边界就与肺的夹角。=30°,点尸处有一离子源，离子源能够向磁场区域发射各种速率的、

方向平行于纸面且垂直于MP的正、负离子，离子运动一段时间后能够从不同的边界射出磁场。已知从

边界网射出的离子，离子速度为诙时射出点与尸点距离最大为磊，所有正、负离子的比荷均为A,不

计离子的重力及离子间的相互作用。求：

(1)射出点与户点最大距离荀；

(2)从边界庭射出的离子，速度的最大值。

3.如图所示，在x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为氏x轴下方有一匀强电场，电场强度为笈屏的V

与y轴平行且相距乙一质量为加、电荷量为e的电子，在y轴上某点/自静止释放，如果要使电子垂

直打在屏腑上，那么：

(1)电子释放位置与原点。的距离s需满足什么条件?

(2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？

4.如图所示，在x轴上方有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，在x轴下方有一匀强电场，电场方向竖

直向上。一质量为0、电荷量为,、重力不计的带电粒子从y轴上的a点(0,㈤处沿y轴正方向以初速

度的开始运动，并以与x轴正方向成45。角的速度方向第一次进入电场，且经过y轴上分点时速度方

向恰好与y轴垂直，一段时间后，粒子回到a点。

(1)画出粒子从3点开始运动到再次经过a点的运动轨迹；

(2)求匀强磁场磁感应强度方的大小和匀强电场电场强度£的大小；

2

(3)若该带电粒子到达6点时，撤去竖直方向电场，同时加上垂直纸面向外的z轴正方向的电场少=笠

qh

和磁场H=平管，求经过力=乌地后该带电粒子的空间位置(用三维坐标表示)。

5.如图所示，y轴左侧区域存在沿了轴负方向的匀强电场，y轴右侧区域存在匀强磁场，第一象限磁场方

向垂直纸面向外，第四象限磁场方向垂直纸面向里，且第四象限磁感应强度大小是第一象限的2倍。光

滑固定竖直半圆形轨道与x轴负半轴相切于户点，在第一象限垂直x轴放置粒子吸收屏，该屏距y轴的

距离为乙某时刻电荷量为小质量为0的带正电粒子在尸点获得一水平向左的初速度，经半圆轨道运

动到最高点彳一/，习后沿x轴正方向射出，恰好从。点进入磁场，一段时间后粒子垂直击中吸收屏。

已知电场强度大小为£,粒子重力不计。

(1)求粒子从A点射出时的速度大小；

(2)求粒子在尸点获得的初速度大小；

(3)求粒子击中吸收屏的纵坐标的可能值；

(4)若在第一、四象限加上沿z轴负方向的匀强电场，场强大小也为£,且磁场的磁感应强度取最小值,

求粒子进入第一象限时的z轴坐标。

6.(2023广东佛山一模)如图，在空间直角坐标系。一灯z中，界面I与。yz平面重叠，界面I、II、III相

互平行，且相邻界面的间距均为乙与x轴的交点分别为。、ft；在界面I、II间有沿y轴负方向的

匀强电场£,在界面H、III间有沿z轴正方向的匀强磁场员一质量为加、电荷量为十。的粒子，从y轴

上距。点彳处的尸点，以速度历沿x轴正方向射入电场区域，该粒子刚好从点a进入磁场区域。粒子重

力不计。求:

(1)电场强度£的大小;

(2)要让粒子刚好不从界面III飞出，磁感应强度6应多大。

7.如图所示，在三维坐标系。一xyz中，0〈水，的空间内，存在沿y轴正方向的匀强电场，水水(1+'-)"

的空间内存在沿x轴正方向的匀强磁场A(未知)，(1+?长水(3+号d的空间内存在沿z轴负方向

的匀强磁场(未画出)，磁感强度大小5=等；有一荧光屏垂直x轴放置并可以沿x轴水平移动。从粒子

源不断飘出电荷量为外质量为0的带正电粒子，加速后以初速度跖沿x轴正方向经过。点，经电场偏

转后进入磁场，最后打在荧光屏上，已知粒子在电场空间运动过程偏转角占=53°,忽略粒子间的相互

作用，不计粒子重力，sin53°=0.8,cos53°=0.6。

加

速

身

区

粒-

子/

Z

源

d

(1)求匀强电场电场强度的大小回

(2)将荧光屏在磁场笈内沿x轴缓慢移动,屏上荧光轨迹最低点的y轴坐标值为求匀强磁场磁感

强度的大小8；

(3)将荧光屏在磁场&内沿x轴缓慢移动,求屏上荧光轨迹最下端荧光点形成时的该点坐标。

8.(2023广东新高考模拟)双聚焦分析器是一种能同时实现速度聚焦和方向聚焦的质谱仪，其模型图如图

(a)所示。其原理图如图(b)所示，电场分析器中有指向圆心。的辐射状电场，磁场分析器中有垂直纸面

的匀强磁场。质量为以、电荷量为。的离子被加速后，进入辐射电场，恰好沿着半径为"的圆弧轨迹通

过电场区域后，垂直边界从尸点进入;圆形磁场区域，Pa=d.之后垂直磁场下边界射出并从4点进入检

测器，检测器可在a〃和ax之间左右移动且与磁场下边界距离恒等于o.5几已知圆弧轨迹处的电场强

度为瓦

(1)求磁场区域磁感应强度合

(2)由不同离子组成的粒子束，以不同速度进入电场分析器后能沿着半径为年的圆弧轨迹通过电场并从P

点垂直进入磁场，粒子离开aa时与aa所夹锐角相同，若探测器能接收到的粒子中比荷乌的最大值与最

H1

小值之比为X,求1的值。

9.(2023广东潮州二模)如图所示，直角坐标系xOy所在竖直平面内，第一、二象限中分布着沿x轴负方向

的匀强电场后，第三、四象限中分布着沿y轴正方向的匀强电场笈；第三、四象限还分布着匀强磁场(图

中未画出)。一质量为以带电量为g的带正电小球自坐标为(0,£)的/点由静止出发，进入第三象限后

恰能做匀速圆周运动并垂直于y轴射入第四象限，已知名=殁，重力加速度为g。求：

Q

(1)小球第一次通过x轴时的速度；

(2)匀强电场场强人和匀强磁场磁感应强度8大小的比值；

(3)小球从第四象限穿出后，经过一段时间会再次到达x轴上的"点(图中未标出)，求小球从出发运动

至"的时间tjw。

1.(2021广东高考)如图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆

a内为无场区，圆a与圆6之间存在辐射状电场，圆6与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形

匀强磁场区I、II和III。各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能风从

圆力上尸点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆6之

间电势差为〃圆6半径为兄圆c半径为百兄电子质量为m,电荷量为e,忽略相对论效应，取tan22.5°

=0.4O

(1)当&=0时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角J均为45°,

最终从0点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求1区的磁感应强度大小、电子在I区磁场中的运

动时间及在。点出射时的动能；

(2)已知电子只要不与I区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当品=松〃时，要保证电子从出射

区域出射，求“的最大值。

2.(2023辽宁卷)如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的十倍。金属板外有

一圆心为。的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为8、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为以

电荷量为q2>0)的粒子沿中线以速度诙水平向右射入两板间，恰好从下板边缘户点飞出电场，并沿户。

方向从图中0'点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为驾，不计粒子重力。

(1)求金属板间电势差小

(2)求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角9.

(3)仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中0'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画

出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心

3.(2023山东卷)如图所示，在0WW2d,0Wj<2d的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为£的匀强

电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为以电量为g的带正电粒子从8中

点A进入电场(不计粒子重力)。

(1)若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直0V第二次离开电场后，垂直般再次进入电场，求磁场的磁

感应强度方的大小；

(2)若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从4点沿y轴正方向第一次进入电场，离开电场后从产

点第二次进入电场，在电场的作用下从0点离开。

(i)求改变后电场强度少的大小和粒子的初速度的；

(ii)通过计算判断粒子能否从尸点第三次进入电场。

大题08带电粒子在匀强磁场、组合场中的运动

》明考情-Q方向》.

带电粒子在磁场及组合场中的运动是高考物理电磁学压轴题的标志性内容，近五年全

国卷及新高考卷中每年必考，分值占比约10%T5九2025年高考对“带电粒子在磁场、组

合场中的运动”考查将延续“重几何建模、强综合应用、拓科技前沿”的命题风格，突出

电磁学核心素养与实际问题转化能力。备考需以轨迹分析为核心抓手，强化数学工具与跨

模块整合，同时关注量子科技与新能源热点，做到“以场定轨，以数解形”。建议多关注：

核聚变装置中带电粒子的磁约束优化；拓扑量子计算中的马约拉纳粒子轨迹简化模型；超

导磁悬浮列车中的磁场分布与粒子运动分析；宇宙射线在地球磁场中的偏转路径计算（天

体物理背景）。

奥研大题-梃能力占

01带电粒子在各种边界磁场中的运动

带电粒子在匀强磁场、

02带电粒子在组合场中的运动

组合场中的运动

03带电粒子在立体空间中的运动

题型1带电粒子在各种边界磁场中的运动

例1.空间存在两个垂直于。灯平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为25）、3吕。甲、

乙两种比荷不同的粒子同时从原点。沿x轴正向射入磁场，速度均为八甲第1次、第2次经过y轴的

位置分别为只Q，其轨迹如图所示。甲经过0时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为小电荷量

为°。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：

(1)0至!]。的距离d；

(2)甲两次经过户点的时间间隔At.

(3)乙的比荷，可能的最小值。

答案⑴黑⑵誓⑶卫

3q%qB。m

解析⑴甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为耳、72

由0出=/可矢口r=—

rqB

i/rmvmv

故乃=7——，r2=---

2qB03qB0

且d=2r—2_n

解得d=^

(2)甲粒子在两磁场中做匀速圆周运动，设甲粒子在两磁场中运动半个圆周所用时间分别为以t2

由7=。=*可得tl=—,fe=—

vqB2q%3qB0

且.△力=2方i+322

解得

qB0

⑶乙粒子在两磁场中做匀速圆周运动，若乙粒子经过两磁场的次数均为〃5=1,2,3,…)

甲、乙两粒子在。点相遇时，有4="(2"'一2/)=〃(2义襄一2x笑■卜瑞tl+t2=n[^_+

V2q瓦3q'B0J3q'B0\2qB0

nm5Jim'

----']、—n----

3q'B0)6q'B0

解得a=理

mm

根据题意，刀=1舍去。

当77=2时，4有最小值，=—

m\\m//mmm

若乙粒子先后经过右侧、左侧磁场的次数分别为(〃+1)、n(n=O,1,2,3,…)，经分析可知不可能相

遇

综上分析，乙的比荷的最小值为四。

m

例2.(2023广州市高三校联考)如图所示，边长为L的正三角形/8C内存在垂直纸面向里的匀强磁场,

磁感应强度为B°D为6c的中点，有一群带电量为+/质量为m的粒子从〃点以不同速率沿与欧成30°

角的方向射入磁场。不计粒子重力和粒子间的相互作用，求:

(1)粒子在磁场中运动的最长时间t；

(2)从/C边射出的粒子的速度取值范围。

答案⑴一(2)力工~广一

6qb4nl

解析(1)粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供向心力，有

mv2

qvB=—

r

2兀r

T=------

v

设粒子在磁场中圆周运动的圆心角为心则有

30m

t=——T———

2兀qB

可知，粒子做圆周运动的圆心角越大，运动时间越长，由题意分析可得，粒子从比1边射出时在磁场中

运动的时间最长，此过程中粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心角为草故最长时间一

(2)粒子恰好不从/C边射出时，轨迹与/C边相切，运动轨迹如图所示。

根据图中几何条件分析可知

r=%sin60°

粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供向心力，有

mvo2

qvoB=—

r

联立解得的="|避

4nl

则从/c边射出的粒子的速度取值范围为力第

分析带电粒子在磁场中运动时的三个关键

入射点与出射点的连线，圆心

与两条速度直线交点的连线

偏转角等于圆心角；偏转角等

/由角）乙类聆

n1于弦切角的两倍

1o入射点、出射点、轨迹圆心、

入射速度直线与出射速度直

图例线的交点

1.如图所示，空间存在一范围足够大、方向垂直于竖直x沙平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为员

让质量为0、电荷量为1（力0）的粒子从坐标原点。沿X沙平面入射，不计粒子重力，重力加速度为g。

xyxxxx

XXXXX

X_____XMxX>•

oA(a,O)X

XXXXX

XXXXX

（1）若该粒子沿y轴负方向入射后，恰好能经过x轴上的加a,0）点，求粒子速度的的大小；

（2）若该粒子以速度v沿y轴负方向入射的同时，一不带电的小球从x轴上方某一点平行于x轴向右抛

出，二者经过时间力=力恰好相遇，求小球抛出点的纵坐标。

SqB

2

答案⑴器⑵,靠一魏

解析（1）由题意可知，粒子在X轴下方的轨迹为半圆，轨道半径"=]

2

Ph

洛伦兹力提供向心力，有qvoB=m-

n

qBa

解得Vo—

2m

⑵若粒子以速度/沿p轴负方向进入磁场，有

V2

qvB~nr~

-？2

mv

斛得r=—

2qB

粒子做匀速圆周运动的周期为T

,2Ji722Ttm

有4丁F

5兀h5

则相遇时间为t=-=~T

SqB12

在这段时间内粒子转动的圆心角为心有

5

X360°=150°

mv

如图所示，相遇点的纵坐标绝对值为rsin30°

2QB

小球抛出点的纵坐标为

2

1/5兀矶mv

尸虱6M―丽。

题型二带电粒子在组合场中的运动

例3.如图所示，在空间直角坐标系中，yOz平面左侧存在沿z轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y轴正

方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；yOz平面右侧还有沿y轴负方向的匀强电场。

现从空间中坐标为(-40,0)的〃点发射一质量为以电荷量为+g的粒子，粒子的初速度大小为的、

方向沿xOy平面，与x轴正方向的夹角为60°,经一段时间后粒子恰好垂直于y轴进入yOz平面右侧。

其中电场强度和磁感应强度大小未知，其关系满足)=®,不计粒子的重力。求：

BJt

(1)粒子在yOz平面左侧匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径n；

(2)粒子第2次经过yOz平面时的速度大小；

(3)粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标；

(4)粒子第2、第3两次经过yOz平面的位置间的距离。

解析(1)根据几何关系有risin60°=d

斛行Ti—Qdo

(2)粒子第1次经过yOz平面右侧，沿y轴负方向做匀加速直线运动，在平面内做匀速圆周运动,

M'：、：Ox

根据运动的合成有

v=7谥+V\

T

根据洛伦兹力提供向心力有

解得7=2Pbo

⑶在yOz平面右侧，磁感应强度大小不变，在磁场中做圆周运动的轨道半径大小仍然为人粒子第2次

经过yOz平面时的坐标（0,—（Ay—,2rJ,

△尸5.

»丁Em的

由于］=兀

解得△y=兀d

粒子第2次经过了位平面时的坐标（0,-（n—乎）d,半J。

（4）粒子再次进入yOz平面左侧，速度大小变为2期

（2p）2

贝!J有q•2vB=/n------

012

根据几何关系，粒子第2、第3两次经过pOz平面的交点间的距离为7=20cos60°

解得/=芈比

例4.（2023安徽芜湖高三期末）如图所示，在xOy平面第一象限内有以虚线帆为理想边界的匀强电场和

匀强磁场区域，0与x轴夹角为。=45°,8与y轴之间的电场平行于y轴向上，。与x轴之间的磁

场垂直纸面向里。在y轴上有一点弘〃到。点的距离为3d。现有一个质量为加、电荷量为一g的带负电

粒子，从〃点以速度的垂直于y轴向右进入电场区域，粒子离开电场后从帆上的"点进入磁场区域，

已知N点到x轴的距离为2a粒子经过磁场后从x轴上。点离开，且速度方向与x轴垂直，不计带电粒

子的重力，求：

p

M

l/IXX

XXX

,‘axxxx

Cx

(1)电场强度大小E・,

⑵磁感应强度大小6和粒子从〃点运动到。点所用的总时间t。

小山/，、m#小狐d(4+n)

答案⑴丽⑵9

解析(1)由题意，粒子从〃到儿做类平抛运动，轨迹如图所示。

在沿一y方向,有qE=ma

位移大小为yi=d=-^t

沿x正方向做匀速运动，由几何关系得

x\=2d=vot

解得Vy=VO

又vy=at

2

联立求得电场强度大小为£=翁

(2)由题意，粒子从M点垂直8进入磁场，到从C点垂直x轴离开磁场，由几何关系知，粒子在磁场中

做圆周运动的半径

R=LoN=2\[2d

在"点粒子速度与0垂直，大小为由

V2

由牛顿第二定律得qvB=nr^

解得人荒

粒子在电场和磁场中运动的总时间为

1

=冽+己二口止L2

Voy[2vo2vo

解决带电粒子（体）在组合场中运动问题的“五步法”

2.（2023福建龙岩第一次质检）如图所示，在x%平面（纸面）内，x>0空间存在方向垂直纸面向外的匀强

磁场，第三象限空间存在方向沿x轴正方向的匀强电场。一质量为以电荷量为。的带正电粒子（不计重

力），以大小为外方向与y轴正方向夹角。=60°的速度沿纸面从坐标为（0,4£）的A点进入磁场中，

然后从坐标为（0,—的2点进入电场区域，最后从x轴上的2点（图中未画出）垂直于x轴射出电

场。求：

B

X

（1）磁场的磁感应强度大小合

（2）粒子从Pl点运动到Pl点所用的时间t；

（3）电场强度的大小瓦

/八mv/28兀/小卡

口案⑴丽⑵⑶碰

解析（1）带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示，其圆心为a,对应轨道半径为兄由几何关系可得而in

eYo}

由牛顿第二定律有qvB^^

K

mv

联立可得B=~a

2n—2e

(2)带电粒子在磁场中运动时间为t\,则——T

2兀

2兀A

T=----

v

联立可得心=噂。

3v

(3)带电粒子在电场中运动时间为t2,由运动的合成与分解有

VCOS。•t2=y[3L

rsin~at2=0

由牛顿第二定律有qE=ma

联立可得£=而

题型三带电粒子在立体空间中的运动

例5.如图所示，在空间直角坐标系中，平行板电容器的两极板法"都与了。2平面平行，两极板间的电

场可看作匀强电场，电势差为U。将右极板及与平面户之间的空间记作I,平面R0之间的空间记作II,

平面0右侧的空间记作III。空间I、III都存在匀强电场和匀强磁场，空间II左、右边缘尸、。两平面之

间的距离为乙它们之间没有电场，也没有磁场。空间I、III的匀强电场都沿y轴正方向，电场强度大

小都与电容器两极板间的电场强度大小相等；匀强磁场的磁感应强度大小相等，I中的磁场方向沿z轴

正方向，III中的磁场方向沿y轴正方向。某时刻一电子自电容器左极板〃的中心仅在静电力作用下沿着

x轴正方向做加速运动，初速度可视为0,经过时间7恰好到达右极板及上的小孔，然后继续在空间I

沿着x轴正方向运动至平面P,过平面尸后又经过一段时间再次返回空间I,直至击中空间I中平面R

上的某物体，平面7?与平面xOz平行。已知电子第二次在空间I的运动过程沿y轴负方向的位移大小为

h,电子的质量为0,电荷量为e,不计电子的重力。求：

(1)空间I、Hl中匀强磁场的磁感应强度大小；

(2)电子离开空间III时的速度大小；

⑶电子击中平面片上物体时的动能。

答案(1)均为号(2)A/2(1+JT2)—

eT\jm

⑶(1+n2)eU-\—^2meU

解析(1)电子自〃运动到也由动能定理有

eU=^:mv®

电容器左、右两极板之间的距离d=±T®

电容器极板间的电场强度大小£=加)

电子在空间I中运动时，有eE=evE@

解得6=与⑤

el

⑵电子在空间III的xOz平面内做匀速圆周运动，

mv2

由洛伦兹力提供向心力得evB=^~@

r

nr

电子在空间ni中的运动时间t=—

V

电子在空间III沿y轴负方向运动的加速度a=^@

电子离开空间III时沿y轴负方向的速度大小vy=at

电子离开空间III时的速度大小/=yp+l@

联立解得/=yj2(1+d)号⑨

⑶电子在空间III时沿y轴负方向的位移大小M=1at2@

对整个运动过程由动能定理得

eU~\~eEy\+eEh—

联立解得&=(1+n2)eU+-^2meU.,⑫

例6.(2024湖南长沙高三二模)如图所示，三维坐标系公彩内存在着正四棱柱空间区域，正四棱柱的

截面阳W水平且与月物少阳的两个底面平行，其中4点的坐标为(0,0),C点的坐标为(0,

L),正四棱柱/吠0W空间处于沿y轴方向的匀强电场中，第纤第空间处于沿了轴负方向的

匀强磁场中，质量为以电荷量为+。的粒子以速度的从/点沿/。方向射出，经电场偏转后恰好从截面

明加的中心进入磁场区域，不计粒子的重力。

(1)求匀强电场的电场强度；

(2)若粒子恰好未从四棱柱的侧面飞出，求匀强磁场的磁感应强度6的大小；

(3)若粒子最终从皿连线上的一点射出磁场区域，此点到/点的距离为半心求/点的y轴坐标。

答案(1)迹皿，沿y轴负方向(2)(2+』mv°(3)(