2025年教学资料：4.2 弧度制

授课题目4.2弧度制选用教材高等教育出版社《数学》（基础模块上册）授课时长2课时授课类型新授课教学提示本课通过类比其他度量制，感知弧度制引入的可能性和必要性，学习引入弧度制的意义，进行角度与弧度的换算的一般方法，学习弧度制下弧长公式和扇形面积公式的推导，并会进行有关的计算.教学目标1与解决问题的能力，逐步提升数学运算和直观想象等核心素养．教学重点角度与弧度的转化.教学难点1弧度角的定义的理解.教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图引入日常生活中，有些量可以用不同的单位进℃(摄氏温度)F(华氏温度)、K(热力学温度)等不同单位．在义务教育阶段,用角度制来度量角．即把一个周角360等分,每一份圆弧所对的圆心角就是1°的角．用角度制度量角用的是六十进制,而日常的运算多数是十进制,能否建立一种十进制的度量体系来度量角呢？讲解介绍提问回忆思考作答借助原有知识为学习做好铺垫情境导入在半径分别为1cm2cm5cm的圆中, 周角所对的弧长与半径之比分别为多少？提问启发思考作答增强感性认识同时引发学生引导交流深入思考1cm2cm5cm2πcm4πcm10πcm2π,同一度数角的弧长与其半径之比是相等的.在半径为r1°的圆心角所对的弧长2rx°的圆心角所对的弧长与半360 180径之比lx.而为一定值，这说明x°的r 180 180圆心角所对的弧长与半径之比l仅与角的大小rx有关．因此可以用弧长和半径的比值来表示这个圆弧所对的圆心角的值．规定(l=1)的圆弧所对的r圆心角称为１弧度的角.1rad(1弧度”)．弧度制.讲解理解数形结合说明问题分析思考学生通过观察思考参与知识形成过程感受探索新知探索和借助观察发现的图形图形乐趣提说明思考升直观想象核心素养讲解领会说明理解同时规定，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零.r的圆中,lα,那么||l.rαα决定.r2πr的弧度数是2r=2，r故有360°=2πrad或180°=πrad.由此可得弧度制与角度制的换算公式：数形结讲解思考合解决问题同时提升数学运算和直观想象借助观察核心素图形图形养说明理解补充说引导理解明讲解思考举例交流总结结论理解记忆温馨提示用弧度制表示角时,rad“2rad2但是，在用角度制表示角时,不能省略单位“°”.讲解说明理解体会例1 把−100°转换为弧度.解 00=100d=5d.180 9例2 把8化成角度．5解 88180288.5 5 例3 扇形的圆心角为α(0＜α＜2π)半径为弧长为l，扇形面积为S，求证：(1)l=αr; (2)S=1lr.2(1)因为||l0＜α＜2π，所以l，r r即l=αr.(2)因为圆心角为1rad的扇形面积为1 2 r2 ，所以圆心角为的扇形面积为22r2 lr2 1S lr.2 r2 2例4利用函数型计算器进行角度与弧度的换算：(1)把67°30化成弧度（精确到0.01；(2)把d化成角度（精确到0.01°．提问思考巩固角引导分析度与弧度转换讲解解决常用方强调交流法以证明题方式提问思考给出弧度制下弧长和引导分析扇形面例题积公式辨析讲解解决强调交流介绍借助信息技术多种计算方式提升学生展示操作运用计分析利用科学型计算器进行角度与弧度的转算工具换时，应先确定角的度量单位．设置角的度量解决问单位为“度”或“弧度”的方法是：依次按键：SHIFT→MODESETUP→3(角度制模式)或4(弧度制模式).分析讲解思考领会题的能力解(1)第一步：将科学型计算器设为弧度制模式：SHIFT→MODESETUP→4第二步：输入67°30′，并把它转换为弧度：6→7→.,,,,→3→0→.,,,,→SHIFT→Ans→1→=→S¾D，结果显示1.178097245．因此， 67°30′≈1.18rad．(2)第一步：将科学型计算器设为角度制模式：SHIFT→MODESETUP→3第二步：输入3.14rad，并把它转换为角度：3→.→1→4→SHIFT→Ans→2→=，结果显示179.9087477．因此， 3.14rad≈179.91°．指导讲解演示尝试领会操作适时总结加深印象温馨提示巩固练习练习4.2把下列角度转换为弧度．(1)22°； (2)−210°； (3)1200°．把下弧度转换为角度．(1)； (2)4； (3)3．12 3经过4少度，将其化成弧度？用弧度制表示终边在x轴上的角的集合．101.2rad，求该扇形的弧长和面积．提问巡视