2025年教学资料：6.2直线的方程

授课题目授课时长高等教育出版社《数学》（基础模块下册）直线的方程4课时选用教材授课类型新授课识斜率与倾斜角的之间的变化规律以及求直线斜率的计算公式，学习根据条件计算直线的斜率；然后依次介绍点斜式、斜截式、一般式三种形式的直线方程，将直线方程的点斜式、斜截式和一般式进行相互转化.教学提示通过学习直线的倾斜角与斜率的概念与直线斜率的计算方法，能计算直线间的互化思想方法，会根据条件求相应形式的直线方程并进行直线的点斜式方推理等核心素养.教学目标教学重点教学难点教学环节方程公式的理解及互化.直线的斜率与其倾斜角之间的关系；直线的点斜式、斜截式和一般式方程公式运用；根据已知条件选择适当形式求直线的方程.教师学生设计教学内容活动活动意图提出思考结合直线的点斜式方程与斜截式方程随着科技的不断发展我国基础设施建设越来越完善,问题高速公路总里程已超过万公里位居世界第一如果把高速公路的某一段近似看成一条直线其相对于水平地面的引发生活分析常识思考情境导入倾斜程度怎样表示呢？思考回答若已知两个点的坐讲解理解结合标是否可以用两个点的坐标表示直线的倾斜程度？在平面直角坐标系中如图过点P可以做出无数条直线这些直线相对于x轴来说，其倾斜程度是不同的.图像分析问说明思考题，逐步提升展示领会直观探索新知想象核心素养在平面直角坐标系中直线的倾斜程度可以用直线l与讲解理解x轴所成的角度表示当直线l与x轴相交时,直线l向上的方向与x轴正方向所成的最小正角称为直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时规定倾斜角α因此,直线l的倾斜角α的取值范围是≤α＜π.1展示结合图形图形引发思考思考问题在平面直角坐标系中若直线l的倾斜角为απα≠角α的正切值为直线l的斜率用小写字母k表2示即α.设点Pxy和Pxyl上的任意两点.111222展示结合图形图形引发分析思考和交流π当xx如图所示,直线l与x轴垂直,=,122α不存在此时直线的斜率不存在.引领思考数形π≤α<当xx且时如图所示直线的斜率,,分析交流结合122方法分析特殊情2−y2−x1k=α=.1π<α<π当xx且时如图所示直线的斜率122况，渗透分类讨论思想2P2−y12−x1k==π−1)=−1=−=.1综上,设Pxy)和Pxy)为直线上任意两点,且111222x≠x则直线的斜率为:122−y1k=.2−x1公式称为直线的斜率公式.例1已知下列各直线满足的条件分别求直线的斜率.提问思考斜率引导分析公式的初直线与x轴平行；π直线的倾斜角为；4讲解解决步应强调交流用，注意直线经过点--解因为直线与x轴平行倾斜角α所以斜率例题辨析；π4强调因为直线的倾斜角为所以斜率直线π；x与4轴平行情因为直线过点-与点-所以斜率2−4−2−665况k===−.3−−5例2已知直线的斜率为求直线的倾斜角.提问思考引导引导分析学生讲解解决加深强调交流理解提问思考及时掌握解因为直线的斜率α-且α＜π,所以直线的倾π斜角α=.4练习α表示直线lk表示直线l下表：学生掌握情况查漏巡视动手补缺求解分别求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角.；巩固练习−3）；,−3).指导交流已知点(-若直线的斜率为求实数a的值.已知点在直线ll的倾斜π角为，求实数m的值.3直线的点斜式方程与斜截式方程我们知道，根据平面以实引导分析际问内直线上的一点以及直线的倾斜角能画出一条直线.在平面直角坐标系中，已知一个点的坐标xy和学生联系思考设情实际境，问题交流引发题创情境导入00直线的斜率，如何写出一思考学生思考条直线l的方程？直线的点斜式方程讲解理解归纳设点为直线l上异于点Pxy的任意一点它概念000与Pxy连线的斜率k是确定的由直线的斜率公式得突出000y−y0,x−x说明思考强调k=0规范探索新知即表述-y-x00和注展示领会意事项方程是由直线上一点Pxy及斜率k确定的因此称000为直线的点斜式方程.当时l的方程为此时直线lx轴或与x轴重合如图所示.讲解理解强调特殊3当斜率不存在时,直线l的方程为此时直线l平行于y轴y轴重合如图所示.情况展示观察下直图像思考线的方程例3分别求满足下列条件的直线的点斜式方程：提问思考直接12应用公式解决直线经过点斜率为；π直线经过点倾斜角为；6引导分析问直线经过点题，巩固基础知识12解直线过点且斜率=由直线的点斜式方程,得1y−2=(x−，2讲解解决在已x−y+=0;由直线的倾斜角απ得k==有知即例题辨析识的π633,基础6上，又因为直线经过点得由直线的点斜式方程,引导强调交流学生y−3=3(x−，掌握点斜式方程的求法3即x−y+9−23=0.直线经过点3−36k===−23直线的点斜式方程为----即直线的斜截式方程一般地，把直线l与y轴交点的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距与x轴交点的横坐标a称为直线l在x轴上的截距.讲解理解归纳概念突出说明思考强调探索新知规范表述和注展示领会意事项若直线l的斜率为,且与y轴轴的交点为则直线的点斜式方程为：--4即+方程是由直线的斜率k及直线在y轴上的截距确定的因此称为直线的斜截式方程.提问思考根据引导分析几何意义例4设直线l的斜率是3在y轴上的截距是-写出直线l的斜截式方程.解由直线的斜截式方程，得例题辨析直接y=x+2),讲解解决得到强调交流答案即y=x−2.练习提问思考及时填空题：掌握若直线的点斜式方程是-，则直线的斜率为倾斜角为____________.学生掌握若直线的点斜式方程是y−2=x+，则直线情况查漏的斜率为_____________，倾斜角为______________.若直线的斜截式方程是y=巡视动手补缺求解____________，直线在y轴上的截距为______________.1判断点,是否在直线2x+2上.y=分别求满足下列各条件的直线的点斜式方程.经过点；经过点、巩固练习π6经过点-2倾斜角为.指导交流分别求满足下列各条件的直线的斜截式方程：斜率是-在y轴上的截距是；π倾斜角是在y轴上的截距是312斜率是在x轴上的截距是-；π倾斜角为并且经过点.42π已知直线的倾斜角是在y轴上的截距为分别3写出直线的点斜式和斜截式方程.直线的一般式方程直线的点斜式方程-y-x可化为00提出思考从知问题问题识的联系--，00情境导入b可化为-，直线的斜截式方程引发交流引出思考结果新的问题因此直线的点斜式方程和斜截式方程都可化为二元一次方程那么二元一次方程是否可以表示一条直线呢？当≠0时二元一次方程可化为讲解理解归纳概念探索新知ACy=−x−,BB说明思考突出5A在y轴上截距为−CB强调它表示斜率为−的直线.B展示领会规范当此时一定有≠二元一次方程表述可化为讲解理解和注C意事项−，AC它表示经过点−,0且垂直于x轴的直线.A由上面的讨论可知二元一次方程介绍记忆表示一条直线方程称为直线的一般式方程.这样，平面中的直线与二元一次方程就建立了一一对应关系.例5已知直线经过点和写出它的一般式方提问思考采用程.引导分析待定解设直线的一般式方程为因为直线经过点和所以有:系数法的讲解解决同时A+B+C=强调交流鼓励A+B+C=学生A=−,C=，例题辨析解得所以直线的一般式方程为x−y+3=多种方法求解提问思考引导引导分析学生直接例6求直线-的斜率及直线在y轴上的截距.解将直线的一般式方程化为直线的斜截式方2y=x+2,程:3写出2由此得直线的斜率为在y轴上的截距为讲解解决结果强调交流提问思考及时掌握3练习写出直线的斜截式方程.求下列直线的斜率并将方程化为直线的一般式方学生程.掌握23yx3;=+y2+=−(−)x1.情况查漏当C满足什么条件时,方程表示的直线符合下列条件？巩固练习巡视动手补缺求解平行于x轴;平行于y轴.