专题16《长方体和正方体的认识、周长、面积与体积》(学生版+解析)

2023-2024学年数学六年级小升初备考复习专题讲练（江苏专用）专题16《长方体和正方体的认识、周长、面积与体积》（思维导图+知识精讲+江苏真题汇编练）知识点一：长方体和正方体的认识名称长方体正方体图形展开图相同点面6个6个棱12条12条顶点8个8个不同点面的特点6个面一般是长方形,也可能有2个相对的是正方形6个面都是相同的正方形面的大小相对的面的面积相等6个面的面积都相等棱长相对的棱的长度相等6条棱的长度都相等联系正方体是特殊的长方体知识点二：长方体和正方体的表面积1.表面积:一个立体图形所有面的面积总和叫作它的表面积。

2.长方体和正方体的表面积。(1)长方体的表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高),用字母表示为:S=2(ab+ah+bh)(2)正方体的表面积=6×棱长×棱长,用字母表示为:S=6a2。知识点三：长方体和正方体的体积1.体积:一个立体图形所占空间的大小叫作它的体积。

2.长方体的体积(容积)=长×宽×高,用字母表示为:V=abh3.正方体的体积(容积)=棱长×棱长×棱长,用字母表示为:V=a3检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.52（较难）一．慎重选择（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）（2023•淮安）一个长方体，如果高增加2厘米，就变成棱长为6厘米的正方体．原长方体的体积是（）立方厘米．A．24 B．72 C．96 D．1442．（2分）（2023•江阴市）把一个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体，切成两个相等的长方体，它们的表面积之和比原来最多增加（）平方厘米。A．480 B．160 C．96 D．803．（2分）（2023•如皋市）一种牛奶采用长方体纸盒密封包装，从外面量，长7厘米，宽4厘米，高10厘米。如果纸盒壁厚约0.05厘米，那么下面哪个盒上标注的容量是最合适的？（）A．200毫升 B．260毫升 C．280毫升 D．300毫升4．（2分）（2023•崇川区模拟）一个长方体木块，从上部和下部截去高分别为1cm和4cm的长方体后，变成一个正方体，表面积减少了60cm2．原来长方体木块的体积是（）立方厘米．A．36 B．54 C．64 D．725．（2分）（2022•崇川区）一个封闭的玻璃缸，长8分米，宽5分米，高4分米，里面水深2分米。现将这个玻璃缸以最小的面作为底面竖直摆放，缸中水的深度是（）分米。A．2 B．2.5 C．3.2 D．4二．认真填空（共8小题，满分16分，每小题2分）6．（2分）（2023•淮阴区）一个长方体，如果高增加3厘米，就成了一个正方体，且表面积比原来增加60平方厘米．原来长方体的体积是立方厘米．7．（2分）（2023•金湖县）一个正方体，它的棱长扩大到原来的4倍，则体积扩大到原来的倍，棱长和扩大到原来的倍。8．（2分）（2023•锡山区模拟）往一个长6厘米，宽5厘米，高10厘米的长方体容器中注水，水在容器中形成的长方体相对两个面是正方形时，体积可能是毫升或毫升。9．（2分）（2022•张家港市）小华在一个长方体玻璃容器中，摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体。这个玻璃容器的容积是立方厘米。10．（2分）（2023•如皋市）小李把一个棱长是5厘米的正方体木块锯成两个长方体，其中小长方体的表面积比大长方体的表面积少20平方厘米，小长方体的表面积是平方厘米，大长方体的体积是立方厘米。11．（2分）（2023•大丰区）王老师制作了一个长方体礼品盒，长、宽、高分别是10厘米、8厘米和6厘米。这个长方体礼品盒的表面积是平方厘米。12．（2分）（2023•无锡）如图，有四种型号的塑料板各4块，若选其中的6块做一个长方体，做成的长方体共有种可能，表面积最小是cm2。（单位：cm）13．（2分）（2023•锡山区模拟）如图①，一个长30厘米、宽15厘米、高20厘米的长方体玻璃缸里有一些水，现将一侧抬高后如图②所示，AB的长为4厘米。（1）这些水的体积是立方厘米。（2）如果将这一侧再抬高，使水至玻璃缸口且正好与缸口的一面重合，如图③所示，这时CD长厘米。三．判断正误（共4小题，满分8分，每小题2分）14．（2分）（2023•金湖县）如果两个长方体的体积相等，那么它们的长、宽、高也一定分别相等。（判断对错）15．（2分）（2018•淮安模拟）一个长3厘米、宽与高都是2厘米的长方体．将它的前面挖掉一个棱长为1厘米的小正方体，它的表面积比原来大．．（判断对错）16．（2分）（2018•江阴市）正方体的棱长扩大2倍，它的体积就扩大8倍．．（判断对错）17．（2分）（2023•淮安）把一个长方体切成两个小长方体，它的表面积不变。（判断对错）四．解决问题（共13小题，满分66分）18．（5分）（2023•淮阴区）一块正方体钢坯的棱长是6分米，把它锻造成一根长方体钢材，且这根钢材的横截面是边长为3分米的正方形。这根钢材长多少分米？如果每立方分米钢材的质量是7.8千克，那么这根钢材重多少千克？19．（5分）（2021•沭阳县）阳光农场要在一块长10米、宽8米的长方形空地上挖一个尽可能大的圆柱形蓄水池，如果挖成的水池深5米，若在这个水池的侧面和池底抹上一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？20．（6分）（2023•仪征市）一个双层水箱，如图所示。（单位：分米）（1）水箱的容积是多少升？（铁皮厚度忽略不计）（2）制作这样一个水箱，至少需要铁皮多少平方分米？（接头处忽略不计）（3）在往水箱注水的过程中，注水的高度随着时间的延长而增加。下面哪幅图表示正确的注水情况，请在下面的（）内画“√”。21．（5分）（2023•江都区模拟）王大伯用玻璃和钢条只做了两个一样的无盖金鱼缸。（玻璃厚度忽略不计）（1）使用的钢条至少需要多少米？（2）至少需要使用玻璃多少平方分米？（3）每个鱼缸中最多可盛水多少升？22．（5分）（2022•句容市）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米、宽4分米，高3分米。（1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？（2）现在鱼缸里水深2.5分米，再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了2厘米，鹅卵石的体积一共是多少立方分米？23．（5分）（2023•宝应县模拟）为了防止鱼缸破碎，李明自己动手给鱼缸的每条棱上装上防撞条，共计用掉480cm的防撞条，已知鱼缸的长宽高的比是3：2：1，那么鱼缸的容积是多少升（防撞条与玻璃的厚度忽略不计）？24．（5分）（2021•广陵区）小刚在花鸟市场买了一个长方体鱼缸（无盖），他从前面测得长是4分米，宽是2分米，从右面测得长是3分米，宽是2分米。（1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（2）如果在鱼缸内注入20升水，那么水的高度是多少分米？（玻璃厚度忽略不计）25．（5分）（2022•溧水区）一盒纸巾的长、宽、高如图所示（单位：厘米）。现在要用一大张包装纸将3盒纸巾包起来。（1）下面三种包装方式，第种最省包装纸。如果用最省包装纸的方式包装，至少需要多大面积的包装纸？（接头处不计）（5分）（2023•吴中区模拟）一种长方体饮料罐，长和宽都是5厘米，高是13厘米．如果把24罐这样的饮料用硬纸盒包装在一起（饮料只能竖放一层），你认为怎样包装最合适？最少要用多少平方厘米的包装纸？27．（5分）（2021•无锡）张师傅做了一个长方体鱼缸，分别用了两块①，②号和1块③号长方形的玻璃（如图）（1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（2）如果往这个鱼缸中注入54升水，那么水深多少分米？（玻璃厚度忽略不计）28．（5分）（2022•洪泽区）一个高4.8分米的铁皮油桶，底面是边长2.5分米的正方形（铁皮的厚度忽略不计）。把这样的一桶油注入容积是1.25升的瓶子里，需要装多少瓶？29．（5分）（2023•江阴市）如图①，一个长20厘米、宽8厘米、高10厘米的长方体玻璃缸里有一些水。现将一头抬高后如图②，AB＝3厘米。①②③（1）这些水的体积是毫升；（2）如果这头再抬高，水至玻璃缸口，正好与缸口重合，如图③，这时CD长厘米。30．（5分）（2023•鼓楼区模拟）一个学习小组的四名同学观察并测量了一个长方体，得到了五条信息：信息1：如果高再增加3厘米，它恰好是一个正方体。信息2：长方体的侧面积是280平方厘米。信息3：长方体的表面积是480平方厘米。信息4：长方体的棱长总和是108厘米。信息5：长方体的底面周长是40厘米。这五条信息都是正确的，请从中选择需要的信息，求出这个长方体的体积。2023-2024学年数学六年级小升初备考复习专题讲练（江苏专用）专题16《长方体和正方体的认识、周长、面积与体积》（思维导图+知识精讲+江苏真题汇编练）知识点一：长方体和正方体的认识名称长方体正方体图形展开图相同点面6个6个棱12条12条顶点8个8个不同点面的特点6个面一般是长方形,也可能有2个相对的是正方形6个面都是相同的正方形面的大小相对的面的面积相等6个面的面积都相等棱长相对的棱的长度相等6条棱的长度都相等联系正方体是特殊的长方体知识点二：长方体和正方体的表面积1.表面积:一个立体图形所有面的面积总和叫作它的表面积。

2.长方体和正方体的表面积。(1)长方体的表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高),用字母表示为:S=2(ab+ah+bh)(2)正方体的表面积=6×棱长×棱长,用字母表示为:S=6a2。知识点三：长方体和正方体的体积1.体积:一个立体图形所占空间的大小叫作它的体积。

2.长方体的体积(容积)=长×宽×高,用字母表示为:V=abh3.正方体的体积(容积)=棱长×棱长×棱长,用字母表示为:V=a3检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.52（较难）一．慎重选择（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）（2023•淮安）一个长方体，如果高增加2厘米，就变成棱长为6厘米的正方体．原长方体的体积是（）立方厘米．A．24 B．72 C．96 D．144【思路点拨】由题意可知，原长方体的长为6厘米，宽为6厘米，高为6﹣2＝4（厘米），由长方体的体积公式：V＝abh，代入数据计算即可．【规范解答】解：6×6×（6﹣2）＝36×4＝144（立方厘米）答：原来长方体的体积是144立方厘米．故选：D。【考点评析】本题解决的关键是求得原长方体的高，再根据长方体的体积公式进行计算．2．（2分）（2023•江阴市）把一个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体，切成两个相等的长方体，它们的表面积之和比原来最多增加（）平方厘米。A．480 B．160 C．96 D．80【思路点拨】由“一个长方体长10cm、宽8cm、高6cm，把它切成两个小长方体”可知，切成小长方体后增加了两个面，要求表面积最多增加多少，则增加的两个面是原长方体的两个最大面：长10cm，宽8cm的面，再根据长方形面积公式S＝长×宽，即可得出答案。【规范解答】解：2×10×8＝20×8＝160（平方厘米）答：它们的表面积之和比原来最多增加160平方厘米。故选：B。【考点评析】解答此题的关键是明白，切成小长方体后增加了两个面，要求表面积最多增加多少，则增加的两个面是原长方体的两个最大面。3．（2分）（2023•如皋市）一种牛奶采用长方体纸盒密封包装，从外面量，长7厘米，宽4厘米，高10厘米。如果纸盒壁厚约0.05厘米，那么下面哪个盒上标注的容量是最合适的？（）A．200毫升 B．260毫升 C．280毫升 D．300毫升【思路点拨】根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出这个牛奶盒的体积，因为牛奶盒的体积一定大于它的容积，据此判断即可。【规范解答】解：7×4×10＝280（立方厘米）因为包装纸有一定厚度，牛奶盒的体积一定大于它的容积，又因为纸盒壁厚约0.05厘米，所以容积稍微小于体积，所以标注260毫升是合适的。故选：B。【考点评析】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的实际运用能力，关键是熟记公式。4．（2分）（2023•崇川区模拟）一个长方体木块，从上部和下部截去高分别为1cm和4cm的长方体后，变成一个正方体，表面积减少了60cm2．原来长方体木块的体积是（）立方厘米．A．36 B．54 C．64 D．72【思路点拨】根据题意可知，把这个长方体从上部和下部截去高分别为1cm和4cm的长方体后，变成一个正方体，表面积减少了60平方厘米，表面积减少的是以原来长方体的底面为底面，高为（1+4）厘米的长方体的侧面积，由此可以求出原来长方体的底面边长，长方体的高比底面边长多（1+4）厘米，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答．【规范解答】解：1+4＝5（厘米）60÷4÷5＝15÷5＝3（厘米）3×3×（3+5）＝9×8＝72（立方厘米）答：原来长方体木块的体积是72立方厘米．故选：D．【考点评析】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是根据长方体高减少5厘米，表面积减少60平方厘米，求出原来长方体的底面边长，进而求出长方体的高，然后把数据代入公式解答．5．（2分）（2022•崇川区）一个封闭的玻璃缸，长8分米，宽5分米，高4分米，里面水深2分米。现将这个玻璃缸以最小的面作为底面竖直摆放，缸中水的深度是（）分米。A．2 B．2.5 C．3.2 D．4【思路点拨】根据体积的意义可知，因为玻璃缸是密封的，所以玻璃缸无论横放、还是竖放，玻璃缸内水的体积不变，根据长方体的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，把数据代入公式解答。【规范解答】解：8×5×2÷（5×4）＝80÷20＝4（分米）答：缸中水的深度是4分米。故选：D。【考点评析】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。二．认真填空（共8小题，满分16分，每小题2分）6．（2分）（2023•淮阴区）一个长方体，如果高增加3厘米，就成了一个正方体，且表面积比原来增加60平方厘米．原来长方体的体积是50立方厘米．【思路点拨】根据题意可知，一个长方体如果高增加3厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比高大3厘米，因此增加的60平方厘米是4个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长＝（60÷4）÷3＝5厘米，由于长比高多2厘米，那么高＝5﹣3＝2厘米，由此解答．【规范解答】解：增加的1个面的面积：60÷4＝15（平方厘米）；长方体的长（宽）：15÷3＝5（厘米）；长方体的高：5﹣3＝2（厘米）；体积：5×5×2＝50（立方厘米）；答：原来这个长方体的体积是50立方厘米．故答案为：50立方厘米．【考点评析】此题解答关键是求出长方体的长、宽，再求出高；然后利用长方体的体积计算公式解答即可．7．（2分）（2023•金湖县）一个正方体，它的棱长扩大到原来的4倍，则体积扩大到原来的64倍，棱长和扩大到原来的4倍。【思路点拨】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，正方体的棱长总和＝棱长×12，据此再根据因数与积的变化规律：积扩大的倍数等因数扩大倍数的乘积。一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，它的体积就扩大到原来的（4×4×4）倍，棱长和就扩大到原来的4倍。【规范解答】解：4×4×4＝16×4＝64则一个正方体，它的棱长扩大到原来的4倍，则体积扩大到原来的64倍。又因为正方体的棱长和＝棱长×12，由积的变化规律可知，一个因数不变，一个因数乘4，积也乘4，所以棱长和扩大到原来的4倍。故答案为：64，4。【考点评析】本题考查长方体的体积和棱长总和，结合积的变化规律是解题的关键。8．（2分）（2023•锡山区模拟）往一个长6厘米，宽5厘米，高10厘米的长方体容器中注水，水在容器中形成的长方体相对两个面是正方形时，体积可能是150毫升或180毫升。【思路点拨】根据水在容器中形成的长方体相对两个面是正方形时，水的高度可能是5厘米，也可能是6厘米，据此求出体积。【规范解答】解：5×5×6＝150（立方厘米）6×6×5＝180（立方厘米）答：水在容器中形成的长方体相对两个面是正方形时，体积可能是150毫升或180毫升。故答案为：150；180。【考点评析】本题考查的是长方体的体积，关键是根据长方体的体积＝长×宽×高，解答问题。9．（2分）（2022•张家港市）小华在一个长方体玻璃容器中，摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体。这个玻璃容器的容积是90立方厘米。【思路点拨】通过观察图形可知，沿长方体玻璃容器的长摆了6个小正方体，沿容器的宽摆了5个小正方体，沿容器的高摆了3层，根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：6×5×3＝30×3＝90（立方厘米）答：这个玻璃容器的容积是90立方厘米。故答案为：90。【考点评析】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。10．（2分）（2023•如皋市）小李把一个棱长是5厘米的正方体木块锯成两个长方体，其中小长方体的表面积比大长方体的表面积少20平方厘米，小长方体的表面积是90平方厘米，大长方体的体积是75立方厘米。【思路点拨】由小长方体的表面积比大长方体的表面积少20平方厘米可知，小长方体的表面积比大长方体的表面积少的20平方厘米是4个侧面的面积差，又知原来正方体木块的棱长是5厘米，据此可求大长方体的高比小长方体的高多多少厘米，依此可求大、小长方体的高，再根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：如图：大小长方体高的差：20÷（5×4）＝20÷20＝1（厘米）小长方体高：（5﹣1）÷2＝4÷2＝2（厘米）大长方体的高：5﹣2＝3（厘米）小长方体的表面积：（5×5+5×2+5×2）×2＝（25+10+10）×2＝45×2＝90（平方厘米）大长方体的体积：5×5×3＝75（立方厘米）答：小长方体的表面积是90平方厘米，大长方体的体积是75立方厘米。故答案为：90，75。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握立体图形的切拼方法及应用，长方体的表面积公式、体积公式及应用，关键是求出大小长方体的长、宽、高。11．（2分）（2023•大丰区）王老师制作了一个长方体礼品盒，长、宽、高分别是10厘米、8厘米和6厘米。这个长方体礼品盒的表面积是376平方厘米。【思路点拨】根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答。【规范解答】解：（10×8+10×6+8×6）×2＝（80+60+48）×2＝188×2＝376（平方厘米）答：这个长方体礼品盒的表面积是376平方厘米。故答案为：376。【考点评析】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。12．（2分）（2023•无锡）如图，有四种型号的塑料板各4块，若选其中的6块做一个长方体，做成的长方体共有3种可能，表面积最小是480cm2。（单位：cm）【思路点拨】通过观察图形可知，可以选择①②③各2块，做成一个长是15厘米，宽是10厘米，高是7厘米的长方体；可以选择①4块，④块，做成一个长和宽都是10厘米，高是15厘米的长方体；也可以选择③4块，④2块，做成一个长和宽都是10厘米，高是7厘米的长方体；根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式求出它们的表面积，然后进行比较。【规范解答】解：有3种可能，（1）选择①②③各2块，做成一个长是15厘米，宽是10厘米，高是7厘米的长方体；（15×10+15×7+10×7）×2＝（150+105+70）×2＝325×2＝650（平方厘米）（2）选择①4块，④2块，做成一个长和宽都是10厘米，高是15厘米的长方体；10×10×2+15×10×4＝200+600＝800（平方厘米）（3）选择③4块，④2块，做成一个长和宽都是10厘米，高是7厘米的长方体；10×10×2+10×7×4＝200+280＝480（平方厘米）480＜650＜800答：有3种可能，表面积最小是480平方厘米。故答案为：3，480。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体表面积公式的灵活运用。关键是熟记公式。13．（2分）（2023•锡山区模拟）如图①，一个长30厘米、宽15厘米、高20厘米的长方体玻璃缸里有一些水，现将一侧抬高后如图②所示，AB的长为4厘米。（1）这些水的体积是3600立方厘米。（2）如果将这一侧再抬高，使水至玻璃缸口且正好与缸口的一面重合，如图③所示，这时CD长6厘米。【思路点拨】（1）根据图形②可知，水的体积等于一个三棱柱的体积，底面三角形的直角边分别是30厘米，（20﹣4）厘米，高是15厘米，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，求出三棱柱的底面积，然后利用底面积×高，求出水的体积。（2）因为水的体积不变，此时水的体积还是等于一个三棱柱的体积，用水的体积除以高求出水的底面积，再利用三角形的面积公式求出底面另一条直角边的长度，然后用玻璃缸的长减去这条直角边的长度即可求出CD的长。【规范解答】解：（1）30×（20﹣4）÷2×15＝30×16÷2×15＝240×15＝3600（立方厘米）答：这些水的体积是3600立方厘米。（2）3600÷15＝240（平方厘米）240×2÷20＝480÷20＝24（厘米）30﹣24＝6（厘米）答：这时CD长6厘米。故答案为：3600；6。【考点评析】此题主要考查柱体体积公式的灵活运用，三角形的面积公式及应用，关键是熟记公式。三．判断正误（共4小题，满分8分，每小题2分）14．（2分）（2023•金湖县）如果两个长方体的体积相等，那么它们的长、宽、高也一定分别相等。×（判断对错）【思路点拨】长方体的体积V＝abh，可以假设出长方体的体积，进而就能确定出长、宽、高的值，就可以进行判断。【规范解答】解：假设长方体的体积为24立方厘米，因为4×2×3＝24，2×2×6＝24，所以长方体的长、宽、高可以为4厘米、2厘米和3厘米，也可以为2厘米、2厘米、6厘米，所以两个长方体的体积相等，它们的长、宽、高不一定相等。故答案为：×。【考点评析】此题主要考查长方体的体积的计算方法，举实例证明，即可推翻题干的结论。15．（2分）（2018•淮安模拟）一个长3厘米、宽与高都是2厘米的长方体．将它的前面挖掉一个棱长为1厘米的小正方体，它的表面积比原来大．√．（判断对错）【思路点拨】要想知道这个立体图形的表面积发生了什么变化，只要把去掉的面积和增加的面积进行比较，看增加还是减少即可．据此判断．【规范解答】解：如图：据题意和图可知，挖掉一个棱长1厘米的小正方体后，它的表面积去掉了2个面，也就是减少了2平方厘米；但是它的表面同时增加了4个面，也就是增加了4平方厘米；所以它的表面积增加了2平方厘米．故答案为：√．【考点评析】此题考查的目的是理解在长方体的表面积的意义，画出立体图进行解答．16．（2分）（2018•江阴市）正方体的棱长扩大2倍，它的体积就扩大8倍．√．（判断对错）【思路点拨】根据正方体的体积公式：v＝a3，再根据因数与积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积．据此判断．【规范解答】解：正方体的棱长扩大2倍，它的体积就扩大2×2×2＝8倍．因此，正方体的棱长扩大2倍，它的体积就扩大8倍．这种说法是正确的．故答案为：√．【考点评析】此题主要考查正方体的体积公式、因数与积的变化规律的灵活运用．17．（2分）（2023•淮安）把一个长方体切成两个小长方体，它的表面积不变。×（判断对错）【思路点拨】根据题意可知，把这个长方体切成两个小长方体后，表面积增加两个切面的面积。据此判断。【规范解答】解：把一个长方体切成两个小长方体，它的表面积增加两个切面的面积。因此题干中的结论是错误的。故答案为：×。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用。四．解决问题（共13小题，满分66分）18．（5分）（2023•淮阴区）一块正方体钢坯的棱长是6分米，把它锻造成一根长方体钢材，且这根钢材的横截面是边长为3分米的正方形。这根钢材长多少分米？如果每立方分米钢材的质量是7.8千克，那么这根钢材重多少千克？【思路点拨】由题意得：正方体和长方体的体积相等，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长计算出正方体体积，用正方体的体积除以长方体的横截面积即可计算出长方体的长；然后用钢材的体积乘每立方分米钢材的质量即可求出这根钢材重多少千克。【规范解答】解：6×6×6÷（3×3）＝216÷9＝24（分米）6×6×6×7.8＝216×7.8＝1684.8（千克）答：这根钢材长24分米，这根钢材重1684.8千克。【考点评析】此题主要考查正方体和长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。19．（5分）（2021•沭阳县）阳光农场要在一块长10米、宽8米的长方形空地上挖一个尽可能大的圆柱形蓄水池，如果挖成的水池深5米，若在这个水池的侧面和池底抹上一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？【思路点拨】由题意可知，在一块长10米、宽8米的长方形空地上挖一个尽可能大的圆柱形蓄水池，这个圆柱形蓄水池的底面直径等于长方形的宽时最大．根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆的面积公式：s＝πr2，求出它的侧面积加上一个底面积即可．【规范解答】解：3.14×8×5+3.14×（8÷2）2＝25.12×5+3.14×16＝125.6+50.24＝175.84（平方米）答：抹水泥的面积是175.84平方米．【考点评析】此题属于圆柱的表面积公式的实际应用，根据圆柱的表面积公式解决问题．20．（6分）（2023•仪征市）一个双层水箱，如图所示。（单位：分米）（1）水箱的容积是多少升？（铁皮厚度忽略不计）（2）制作这样一个水箱，至少需要铁皮多少平方分米？（接头处忽略不计）（3）在往水箱注水的过程中，注水的高度随着时间的延长而增加。下面哪幅图表示正确的注水情况，请在下面的（）内画“√”。【思路点拨】（1）根据圆柱体积＝底面积×高，长方体体积＝长×宽×高，分别求出圆柱体积和长方体体积，再相加即可解答；（2）根据长方体表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，求出长方体表面积，再根据圆柱表面积＝圆柱侧面积+底面积×2，求出圆柱表面积，再相加，再减去圆柱2个底面积，即可解答；（3）第二幅图正确，因为长方体的底面积8×6＝48（平方分米）大于圆柱的底面积3.14×（4÷2）×（4÷2）×5＝12.56（平方分米），底面积大上升的就慢，底面积小上升的就快，据此解答。【规范解答】解：（1）3.14×（4÷2）×（4÷2）×5+8×6×2＝62.8+96＝158.8（立方分米）158.8立方分米＝158.8升答：水箱的容积是158.8升。（2）（8×6+8×2+6×2）×2+3.14×4×5＝152+62.8＝214.8（平方分米）答：制作这样一个水箱，至少需要铁皮214.8平方分米。（3）8×6＝48（平方分米）3.14×（4÷2）×（4÷2）×5＝3.14×4＝12.56（平方分米）48＞12.56作图如下：【考点评析】本题考查的是组合图形的体积，明确组合图形是由哪些规则图形组成的是解答关键。21．（5分）（2023•江都区模拟）王大伯用玻璃和钢条只做了两个一样的无盖金鱼缸。（玻璃厚度忽略不计）（1）使用的钢条至少需要多少米？（2）至少需要使用玻璃多少平方分米？（3）每个鱼缸中最多可盛水多少升？【思路点拨】（1）根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，求出做一个金鱼缸需要钢条的长度再乘2即可。（2）由于鱼缸无盖，所以做一个鱼缸需要玻璃的面积等于这个长方体的一个底面和4个侧面的总面积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答。（3）根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：（1）（14+10+12）×4×2＝36×4×2＝144×2＝288（分米）288分米＝28.8米答：使用的钢条至少需要28.8米。（2）（14×10+14×12×2+10×12×2）×2＝（140+336+240）×2＝716×2＝1432（平方分米）答：至少需要使用玻璃1432平方分米。（3）14×10×12＝140×12＝1680（立方分米）1680立方分米＝1680升答：每个鱼缸中最多可盛水1680升。【考点评析】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。22．（5分）（2022•句容市）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米、宽4分米，高3分米。（1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？（2）现在鱼缸里水深2.5分米，再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了2厘米，鹅卵石的体积一共是多少立方分米？【思路点拨】（1）因为鱼缸无盖，所以求它的5个面的总面积，根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式解答。（2）根据题意可知，把鹅卵石放入鱼缸中，上升部分水的体积就等于这些鹅卵石的体积，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：（1）5×4+5×3×2+4×3×2＝20+30+24＝74（平方分米）答：做这个鱼缸至少需要玻璃74平方分米。（2）2厘米＝0.2分米5×4×0.2＝20×0.2＝4（立方分米）答：鹅卵石的体积一共是4立方分米。【考点评析】本题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。23．（5分）（2023•宝应县模拟）为了防止鱼缸破碎，李明自己动手给鱼缸的每条棱上装上防撞条，共计用掉480cm的防撞条，已知鱼缸的长宽高的比是3：2：1，那么鱼缸的容积是多少升（防撞条与玻璃的厚度忽略不计）？【思路点拨】根据长方体的路程总和＝（长+宽+高）×4，那么长、宽、高的和＝棱长总和÷4，据此求出长、宽、高的和，已知鱼缸的长宽高的比是3：2：1，利用按比例分配的方法求出长、宽、高，然后根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：480÷4＝120（厘米）3+2+1＝6120÷6×3＝60（厘米）120÷6×2＝40（厘米）120÷6×1＝20（厘米）60×40×20＝48000（立方厘米）48000立方厘米＝48000毫升＝48升答：鱼缸的容积是48升。【考点评析】此题主要考查长方体的棱长总和公式、体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点的求出鱼缸的长、宽、高。24．（5分）（2021•广陵区）小刚在花鸟市场买了一个长方体鱼缸（无盖），他从前面测得长是4分米，宽是2分米，从右面测得长是3分米，宽是2分米。（1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（2）如果在鱼缸内注入20升水，那么水的高度是多少分米？（玻璃厚度忽略不计）【思路点拨】（1）他从前面测得长是4分米，宽是2分米，从右面测得长是3分米，宽是2分米。由此可知，这个长方体鱼缸的长是4分米，宽是3分米，高是2分米。根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式解答。（2）根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，把数据代入公式解答。【规范解答】解：4×3+4×2×2+3×2×2＝12+16+12＝40（平方分米）答：做这个鱼缸至少需要40平方分米的玻璃。（2）20升＝20立方分米20÷（4×3）＝20÷12＝1（分米）答：水的高度是1分米。【考点评析】此题主要考查无盖长方体的表面积公式，长方体体积（容积）公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式。25．（5分）（2022•溧水区）一盒纸巾的长、宽、高如图所示（单位：厘米）。现在要用一大张包装纸将3盒纸巾包起来。（1）下面三种包装方式，第③种最省包装纸。（2）如果用最省包装纸的方式包装，至少需要多大面积的包装纸？（接头处不计）【思路点拨】（1）根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，分别求出3种包装方法的用纸的多少，然后进行对比即可。（2）由（1）可知，最省包装纸的方法，然后求其表面积即可。【规范解答】解：（1）①[7×（5×3）+7×2.5+（5×3×2.5）]×2＝[105+17.5+37.5]×2＝160×2＝320（平方厘米）②[（7×3×5）+（7×3×2.5）+5×2.5]×2＝[105+52.5+12.5]×2＝170×2＝340（平方厘米）③[7×5+7×（2.5×3）+5×（2.5×3）]×2＝[35+52.5+37.5]×2＝125×2＝250（平方厘米）所以第③种最省包装纸。（2）[7×5+7×（2.5×3）+5×（2.5×3）]×2＝[35+52.5+37.5]×2＝125×2＝250（平方厘米）答：至少需要250平方厘米的包装纸。故答案为：③。【考点评析】本题考查长方体的表面积，熟记公式是解题的关键。26．（5分）（2023•吴中区模拟）一种长方体饮料罐，长和宽都是5厘米，高是13厘米．如果把24罐这样的饮料用硬纸盒包装在一起（饮料只能竖放一层），你认为怎样包装最合适？最少要用多少平方厘米的包装纸？【思路点拨】根据要求饮料只能竖放一层，也就是把饮料罐长乘高的面重合，一排放6罐，放4排，拼成一个长是（5×6）厘米，宽是（5×4）厘米，高是13厘米的长方体．根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答．【规范解答】解：一排放6罐，放4排包装．5×6＝30（厘米）5×4＝20（厘米）（30×20+30×13+20×13）×2＝（600+390+260）×2＝1250×2＝2500（平方厘米）答：我认为一排放6罐，放4排，包装最合适，最少要用2500平方厘米的包装纸．【考点评析】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题．27．（5分）（2021•无锡）张师傅做了一个长方体鱼缸，分别用了两块①，②号和1块③号长方形的玻