专题18《组合图形的表面积和体积》(学生版+解析)

2023-2024学年数学六年级小升初备考复习专题讲练（江苏专用）专题18《组合图形的表面积和体积》（思维导图+知识精讲+江苏真题汇编练）小学阶段所学的立体图形主要有长方体、正方体、圆柱体和圆锥体，这四种立体图形的表面积和体积的计算是小升初数学的热点内容，特别是涉及到立体图形的切拼时，立体图形的表面积和体积发生了变化，牢固掌握这些立体图形的特征和有关的计算方法及切拼时表面积和体积的变化规律是解题的关键，本讲将在前面两讲学习的基础上进一步总结整理立体图形切拼时表面积和体积的变化规律。知识点一：立体图形的表面积和体积计算常用公式：立体图形表面积体积长方体S=2：长b:宽h：高S：表面积正方体S=：棱长S：表面积圆柱圆锥注：是母线，即从顶点到底面圆上的线段长知识点二：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项（1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点.（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。2.解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：（1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积.（2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变.（3）求一些不规则物体体积时，可以通过变形的方法求体积。（4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.55（较难）一．慎重选择（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）（2021•泗洪县）准备一个刻度的容器，先注入一些水，然后把土豆放入水中，观察水面高度上升的情况，通过以上方法来测量一个土豆的体积，运用了（）数学思想方法．A．对应 B．转化 C．统计 D．倒推2．（2分）（2023•南京模拟）如图是测量一颗玻璃球体积的过程：①将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（）A．50cm3以上，60cm3以下 B．30cm3以上，40cm3以下 C．40cm3以上，50cm3以下3．（2分）（2022•南京）准备一个有刻度的容器先注入一定量的水，然后把西红柿放入水中，观察水面高度上升的情况，通过这种方法测量一个西红柿的体积，运用了（）策略。A．统计 B．倒推 C．转化4．（2分）（2021•无锡模拟）准备一个有刻度的容器先注入一些水，然后把土豆放入水中，观察水面高度上升的情况，通过以上方法测量土豆的体积，运用了（）的数学思想方法．A．统计 B．倒推 C．转化 D．假设5．（2分）（2022•如东县模拟）小丽测量一个土豆的体积。她先在一个底面边长1分米，高2分米的长方体容器当中放入10厘米高的水，然后将土豆放入容器，使它完全浸没于水，发现这时水面上升了4厘米。这个土豆的体积是（）立方厘米。A．40 B．400 C．600 D．8006．（2分）（2022•南通）下图是测量一颗铁球体积的过程：①将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中；②将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满；③再加一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积大约在（）A．60cm3以上，70cm3以下 B．50cm3以上，60cm3以下 C．40cm3以上，50cm3以下 D．30cm3以上，403以下二．认真填空（共11小题，满分22分，每小题2分）7．（2分）（2020•贾汪区）把一块石头，浸没在一个底面积是60平方厘米的圆柱形容器里，容器的水面上升了1.5厘米，这块石头的体积是立方厘米．8．（2分）（2018•泰兴市模拟）如图的立体图形是由棱长1厘米的小正方体组成的，它的表面积是平方厘米，至少还需要个这样的小正方体才能拼一个正方体．9．（2分）（2022•建邺区）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高6分米。做这个鱼缸至少需要平方分米玻璃。先在鱼缸里注入128升水，再放入一些鹅卵石，浸没在水中，发现水面上升了3厘米。鹅卵石的体积一共是立方分米。10．（2分）（2022•如东县模拟）棱长1分米的小正方体如图所示层层堆叠放置。（1）当重叠到5层时，5层一共有个正方体。（2）当重叠到5层时，这个5层的立体图形的表面积是平方分米。11．（2分）（2019•宜兴市）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽4分米，高6分米．做这个鱼缸至少需要玻璃平方分米．先在鱼缸里注入128升水，再放入一些鹅卵石，浸没在水中，发现水面上升了3厘米，鹅卵石的体积一共是立方分米．12．（2分）（2022•鼓楼区）如图所示，在容器中放入1个圆柱形铁块和2个与它等底等高的圆锥形零件，溢出了部分水，则每个圆锥形零件的体积是立方厘米。13．（2分）（2021•江都区模拟）图中大球体积是立方厘米。14．（2分）（2021•东台市）如图，是两个开口朝上的容器，它们的底面积相等。把A容器中装满水后，全部倒入空的B容器中，水面距离B容器口厘米。（2分）（2021•江都区模拟）根据上面信息，算一算这块石头的体积是立方厘米。16．（2分）（2022•溧水区）一个量杯，内有500毫升水，现把4个圆锥形铁块浸没其中，水未溢出。每个圆锥形铁块的底面积是15平方厘米，高是5厘米，现在这个量杯水面的刻度应是毫升。17．（2分）（2022•蕲春县）如图，将一个圆柱削成两个同样的圆锥，则削掉部分的体积是dm3。三．看图计算（共1小题，满分4分，每小题4分）18．（4分）（2021•淮安）求下面图形的体积。（单位：厘米）四．解决问题（共12小题，满分62分）19．（5分）（2020•吴江区模拟）为了测量一个土豆的体积，小明将土豆浸没在一个底面直径是8厘米，水深5厘米的杯中，发现水面上升到7厘米，土豆的体积大约是多少立方厘米？20．（5分）（2018•海门市校级模拟）一个长方体容器长50厘米、宽40厘米、高30厘米，容器内水深16厘米，把一个棱长20厘米的正方体铁块放入水中，容器内的水面升高了多少厘米？21．（5分）（2023•清江浦区）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高6分米。先在鱼缸里注入128升水，再放入一些鹅卵石，浸没在水中，发现水面上升了3厘米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？22．（5分）（2023•阜宁县）六年级数学兴趣小组的同学准备了一个无盖的圆柱容器和A、B两种型号铁球各若干个，准备做实验。（实验过程中水的损耗忽略不计）步骤一：往圆柱形容器中加入一定量的水，水面高度为40mm，保证容器内的水能够淹没所有的铁球。步骤二：先放入3个A型号铁球，经过测量水面的高度上涨了12mm；再把3个A型号铁球捞出，放入4个B型号铁球，水面的高度恰好也上涨了12mm。由此可得一个A型号铁球可以使水位上升mm，一个B型号铁球可以使水位上升mm。步骤三：把之前的铁球全部捞出，然后放入A型号与B型号铁球共10个，水面高度涨到72mm。（1）把“步骤二”中的数据填写完整。（2）放入水中的A、B两种型号的铁球各有多少个？（列式解答）23．（5分）（2021•灌云县）王珊利用一个底面周长25.12厘米（容器材质厚度忽略不计），高20厘米的圆柱形容器测量一个苹果的体积，他先在容器中加入8厘米高的水，再将苹果放进容器，待苹果完全浸没在水中（此过程中水没有溢出），量的水高14厘米。这个苹果的体积是多少立方厘米？24．（5分）（2023•广陵区）晶晶的爸爸在“琉璃厂”买了一块砚台，为了测量它的体积，做了以下实验：①天平称出这块砚台的质量是1.44kg；②天平称出1立方分米砚台材料质量为2.5kg；③测量一个圆柱形玻璃容器的底面半径是8cm；④用直尺量出容器的高是10cm；⑤在容器里注入一定量的水，量出水面高度为5cm；⑥将砚台完全浸入水中（水未溢出），量出水自高度为8cm。根据信息，你能用不同的方法求出这块砚台的体积吗？（π取值3进行计算）25．（5分）（2020•吴江区校级模拟）小明为了测量出一只鸡蛋的体积，按如下的步骤进行了一个实验：①在一个底面直径是8厘米的圆柱体玻璃杯中装入一定量的水，量得水面的高度是5厘米；②将鸡蛋放入水中，再次测量水面的高度是6厘米．如果玻璃的厚度忽略不计，这只鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？26．（5分）（2019•赣榆区）亮亮为了测出一个鸡蛋的体积，按如下步骤进行了一个实验：（1）在一个底面直径是8厘米的圆柱形玻璃杯中倒入一定量的水，量得水面的高度是6厘米。（2）将鸡蛋完全浸入水中，再次测量水面的高度是7厘米。请问：这个鸡蛋的体积是多少立方厘米？27．（5分）（2021•泗洪县）一种陀螺（如图），上面是圆柱。下面是圆锥。已知圆柱的底面直径是4厘米，高是2厘米，圆锥的高是1.5厘米。（1）这个陀螺的体积是多少立方厘米？（2）要将这个陀螺装进一个长方体的包装盒，做这个包装盒至少需要多少平方厘米的包装纸？（接头处忽略不计）28．（5分）（2021•大丰区模拟）玲玲家有一个长方体鱼缸，长8分米，宽4分米，高6分米。鱼缸里原来有一些水（如图一），放入4个同样大的装饰球后（如图二），水面上升了5厘米。每个装饰球的体积是多少立方厘米？29．（6分）（2023•江宁区）长征二号F遥十三运载火箭整流罩的底面直径为3.2米。科技馆存放着按一定比例制作的长征二号F遥十三运载火箭的整流罩模型（如图）。（1）科技馆制作整流罩模型的比例是多少？（2）该整流罩模型的体积是多少？（3）如果用一个长方体玻璃盒来存放这个模型，制作这个玻璃盒至少要多少平方分米的玻璃？30．（6分）（2020•吴江区校级模拟）张明在一个长8厘米，宽8厘米，高12厘米的长方体容器中加入一些水后，准备测量一块石头的体积，具体情况如图所示，请问这个石头的体积是多少？2023-2024学年数学六年级小升初备考复习专题讲练（江苏专用）专题18《组合图形的表面积和体积》（思维导图+知识精讲+江苏真题汇编练）小学阶段所学的立体图形主要有长方体、正方体、圆柱体和圆锥体，这四种立体图形的表面积和体积的计算是小升初数学的热点内容，特别是涉及到立体图形的切拼时，立体图形的表面积和体积发生了变化，牢固掌握这些立体图形的特征和有关的计算方法及切拼时表面积和体积的变化规律是解题的关键，本讲将在前面两讲学习的基础上进一步总结整理立体图形切拼时表面积和体积的变化规律。知识点一：立体图形的表面积和体积计算常用公式：立体图形表面积体积长方体S=2：长b:宽h：高S：表面积正方体S=：棱长S：表面积圆柱圆锥注：是母线，即从顶点到底面圆上的线段长知识点二：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项（1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点.（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。2.解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：（1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积.（2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变.（3）求一些不规则物体体积时，可以通过变形的方法求体积。（4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.55（较难）一．慎重选择（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）（2021•泗洪县）准备一个刻度的容器，先注入一些水，然后把土豆放入水中，观察水面高度上升的情况，通过以上方法来测量一个土豆的体积，运用了（）数学思想方法．A．对应 B．转化 C．统计 D．倒推【思路点拨】在测量不规则物体的体积时，经常用到转化的思想，即把不规则物体的体积转化为求规则物体的体积，如本题准备一个刻度的容器，先注入一些水，然后把土豆放入水中，观察水面高度上升的情况，通过以上方法来测量一个土豆的体积，运用了转化数学思想方法．【规范解答】解：如本题准备一个刻度的容器，先注入一些水，然后把土豆放入水中，观察水面高度上升的情况，通过以上方法来测量一个土豆的体积，运用了转化数学思想方法．故选：B．【考点评析】此题主要考查通过利用转化的思想：明确土豆的体积等于上升的水的体积，是解答此题的关键．2．（2分）（2023•南京模拟）如图是测量一颗玻璃球体积的过程：①将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（）A．50cm3以上，60cm3以下 B．30cm3以上，40cm3以下 C．40cm3以上，50cm3以下【思路点拨】要求每颗玻璃球的体积在哪一个范围内，根据题意，先求出5颗玻璃球的体积最少是多少，5颗玻璃球的体积最少是（500﹣300）立方厘米，进而推测这样一颗玻璃球的体积的范围即可．【规范解答】解：因为把5颗玻璃球放入水中，结果水满溢出，所以5颗玻璃球的体积最少是：500﹣300＝200（立方厘米）一颗玻璃球的体积最少是：200÷5＝40（立方厘米）一颗玻璃球的体积最多是：200÷4＝50（立方厘米）因此推得这样一颗玻璃球的体积在40立方厘米以上，50立方厘米以下．故选：C。【考点评析】此题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：杯子里水上升的体积就是5颗玻璃球的体积，进而得解．3．（2分）（2022•南京）准备一个有刻度的容器先注入一定量的水，然后把西红柿放入水中，观察水面高度上升的情况，通过这种方法测量一个西红柿的体积，运用了（）策略。A．统计 B．倒推 C．转化【思路点拨】西红柿的形状并不规则，采用排水法求其体积，就是将西红柿的体积转化为水的体积，所以这里运用了转化的数学思想。【规范解答】解：运用排水法测量土豆的体积，就是将西红柿的体积转化为水的体积，这里运用了转化的数学思想方法。故选：C。【考点评析】本题主要考查了排水法测量实物体积时运用的数学思想，需要学生了解基本的数学思想。4．（2分）（2021•无锡模拟）准备一个有刻度的容器先注入一些水，然后把土豆放入水中，观察水面高度上升的情况，通过以上方法测量土豆的体积，运用了（）的数学思想方法．A．统计 B．倒推 C．转化 D．假设【思路点拨】土豆的形状并不规则，采用排水法求其体积，就是将土豆的体积转化为水的体积，所以这里运用了转化的数学思想．【规范解答】解：运用排水法测量土豆的体积，就是将土豆的体积转化为水的体积，这里运用了转化的数学思想方法．故选：C。【考点评析】本题主要考查了排水法测量实物体积时运用的数学思想，需要学生了解基本的数学思想．5．（2分）（2022•如东县模拟）小丽测量一个土豆的体积。她先在一个底面边长1分米，高2分米的长方体容器当中放入10厘米高的水，然后将土豆放入容器，使它完全浸没于水，发现这时水面上升了4厘米。这个土豆的体积是（）立方厘米。A．40 B．400 C．600 D．800【思路点拨】根据生活常识知上升的水的体积就是这个土豆的体积，上升的水的体积是底面边长1分米，高是4厘米的长方体的体积，据此解答即可。【规范解答】解：1分米＝10厘米10×10×4＝100×4＝400（立方厘米）答：这个土豆的体积是400立方厘米。故选：B。【考点评析】本题的重点是让学生理解土豆的体积，就是上升的水的体积，注意单位换算。6．（2分）（2022•南通）下图是测量一颗铁球体积的过程：①将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中；②将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满；③再加一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积大约在（）A．60cm3以上，70cm3以下 B．50cm3以上，60cm3以下 C．40cm3以上，50cm3以下 D．30cm3以上，403以下【思路点拨】由②可知，4个铁球的体积加上水的体积小于杯子的容积，又③可知，5个铁球的体积加上水的体积大于杯子的容积，由此判断．【规范解答】解：设一个铁球的体积为xcm3，由②可知：4x+300＜5004x＜200x＜50由③可知：5x+300＞5005x＞200x＞40答：铁球的体积在40cm3以上，50cm3以下．故选：C．【考点评析】本题主要考查了探索某些实物体积的测量方法，通过水是否满溢，判断铁球的体积和水的体积之间的关系，是本题解题的关键．二．认真填空（共11小题，满分22分，每小题2分）7．（2分）（2020•贾汪区）把一块石头，浸没在一个底面积是60平方厘米的圆柱形容器里，容器的水面上升了1.5厘米，这块石头的体积是90立方厘米．【思路点拨】这块石头的体积等于上升的水的体积，用底面积乘上升的厘米数即可．【规范解答】解：60×1.5＝90（立方厘米）；故答案为：90．【考点评析】此题主要考查某些实物体积的测量方法．8．（2分）（2018•泰兴市模拟）如图的立体图形是由棱长1厘米的小正方体组成的，它的表面积是18平方厘米，至少还需要4个这样的小正方体才能拼一个正方体．【思路点拨】根据题干可得，（1）这个图形是由4个小正方体组成的，它的表面积就是这4个小正方体的表面积之和减去重叠部分的面积．外露的3个正方体都有一个面和被挡住的小正方体的3个面互相重叠，所以表面积一共减少了6个面；由此即可求得此立体图形的表面积．（2）根据题干小正方体拼组大正方体的特点可以得出：至少需要8个这样的小正方体才能拼成一个大正方体，所以至少还需要8﹣4＝4个小正方体．【规范解答】解：根据题干分析可得：（1）表面积为：1×1×6×4﹣1×1×6＝24﹣6＝18（平方厘米）（2）8﹣4＝4（个）答：它的表面积是18平方厘米；至少还需要4个这样的小正方体才能拼成一个大正方体．故答案为：18；4．【考点评析】这个立体图形的表面积就是这4个小正方体的表面积之和减去重叠部分的面积．找出图形中重叠的面，是解决本题的关键．9．（2分）（2022•建邺区）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高6分米。做这个鱼缸至少需要196平方分米玻璃。先在鱼缸里注入128升水，再放入一些鹅卵石，浸没在水中，发现水面上升了3厘米。鹅卵石的体积一共是12立方分米。【思路点拨】（1）根据题意可知，鱼缸是没有盖的，它是由5个面围成的，根据长方体的表面积的计算方法即可求出需要玻璃多少平方分米；（2）上升的水的体积就是鹅卵石的体积，根据长方体的容积公式：V＝abh进行计算即可。【规范解答】解：（1）8×5+（8×6+5×6）×2＝40+（48+30）×2＝40+156＝196（平方分米）答：做这个鱼缸至少需要玻璃196平方分米。（2）3厘米＝0.3分米8×5×0.3＝40×0.3＝12（立方分米）答：这些鹅卵石的体积一共是12立方分米。故答案为：196；12。【考点评析】本题考查长方体体积、表面积公式的应用。解答有关长方体的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。10．（2分）（2022•如东县模拟）棱长1分米的小正方体如图所示层层堆叠放置。（1）当重叠到5层时，5层一共有35个正方体。（2）当重叠到5层时，这个5层的立体图形的表面积是90平方分米。【思路点拨】（1）一层时有1个，二层时有1+3＝4（个），三层时有（1+3+6）＝10（个），可得四层时有（1+3+6+10）＝16（个），五层时有（1+3+6+10+15）＝35（个）。（2）表面积与面有关，分别数出左面、上面、前面有多少个面，把这每三个面的面积算出来，然后相加的和再乘2即可。【规范解答】解：（1）五层时有：1+3+6+10+15＝35（个）答：当重叠到5层时，5层一共有35个正方体。（2）一个正方体的表面积是1×1×6＝6（cm2），1层时表面积是1×6cm2，2层时表面积是（1+2）×6cm2，3层时表面积是（1+2+3）×6cm2，所以5层时表面积是（1+2+3+4+5）×6＝90（cm2）答：当重叠到5层时，这个立体图形的表面积是90平方厘米。故答案为：（1）35；（2）90。【考点评析】解答本题的关键是找出物体摆放的规律，结合正方体的表面积的计算方法解决问题。11．（2分）（2019•宜兴市）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽4分米，高6分米．做这个鱼缸至少需要玻璃176平方分米．先在鱼缸里注入128升水，再放入一些鹅卵石，浸没在水中，发现水面上升了3厘米，鹅卵石的体积一共是9.6立方分米．【思路点拨】（1）根据题意可知，鱼缸是没有盖的，它是由5个面围成的，根据长方体的表面积的计算方法即可求出需要玻璃多少平方分米；（2）上升的水的体积就是鹅卵石的体积，根据长方体的容积公式：V＝abh进行计算即可．【规范解答】解：（1）8×4+（8×6+4×6）×2＝32+（48+24）×2＝32+144＝176（平方分米）答：做这个鱼缸至少需要玻璃176平方分米．（2）3厘米＝0.3分米8×4×0.3＝32×0.3＝9.6（立方分米）答：这些鹅卵石的体积一共是9.6立方分米．故答案为：176，9.6．【考点评析】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题．12．（2分）（2022•鼓楼区）如图所示，在容器中放入1个圆柱形铁块和2个与它等底等高的圆锥形零件，溢出了部分水，则每个圆锥形零件的体积是120立方厘米。【思路点拨】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，在容器中放入1个圆柱形铁块和2个与它等底等高的圆锥形零件，等于放入了5个等底等高的圆锥形零件，用溢出水的体积除以5即可求出每个圆锥形零件的体积。【规范解答】解：600毫升＝600立方厘米600÷（3+2）＝600÷5＝120（立方厘米）答：每个圆锥形零件的体积是120立方厘米。故答案为：120。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用，注意：体积单位与容积之间的换算。13．（2分）（2021•江都区模拟）图中大球体积是10立方厘米。【思路点拨】根据图示所得：大、小球的体积和是15立方厘米，1个大球和4个小球的体积和是30立方厘米，1个小球的体积是：（30﹣15）÷3，用15立方厘米减去一个小球的体积即为一个大球的体积。【规范解答】解：（30﹣15）÷（4﹣1）＝45÷3＝15（立方厘米）15﹣5＝10（立方厘米）答：大球的体积是10立方厘米。故答案为：10。【考点评析】本题考查了探索某些实物体积的测量方法，解答此题的关键是求一个小球的体积。14．（2分）（2021•东台市）如图，是两个开口朝上的容器，它们的底面积相等。把A容器中装满水后，全部倒入空的B容器中，水面距离B容器口8厘米。【思路点拨】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆锥和圆柱的底面积相等，体积相等时，圆柱的高是圆锥高的，由此可以求出B容器下面圆锥容器盛满水倒入等底的圆柱容器中水面高，也就是把A容器盛满水倒入B容器水面距离B容器口的距离。据此解答。【规范解答】解：假设底面积为S，则A容器中水的体积为20S立方厘米。B容器圆锥部分可装水的体积为：24××S＝8S（立方厘米）所以B容器的上半部分圆柱的装的水的体积为：20S﹣8S＝12S（立方厘米）所以B容器上半部分容器中水的高度为：12S÷S＝12（厘米）则水面距离容器口的距离为：20﹣12＝8（厘米）答：水面距离B容器口8厘米。故答案为：8。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱和圆锥体积之间关系的灵活运用。15．（2分）（2021•江都区模拟）根据上面信息，算一算这块石头的体积是400立方厘米。【思路点拨】往盛水的正方体的容器里放入一石块后，水溢出，说明满了，取出后水面下降了，下降了的水的体积就是这个石块的体积，下降的部分是一个长10厘米，宽10厘米，高10﹣6＝4（厘米）的长方体，根据长方体的体积计算公式列式解答即可。【规范解答】解：10×10×（10﹣6）＝100×4＝400（立方厘米）答：这块石头的体积是400立方厘米。故答案为：400。【考点评析】此题主要考查特殊物体体积的计算方法，将物体放入或取出水中，水面上升或下降的体积就是物体的体积；也考查了长方体的体积＝长×宽×高。16．（2分）（2022•溧水区）一个量杯，内有500毫升水，现把4个圆锥形铁块浸没其中，水未溢出。每个圆锥形铁块的底面积是15平方厘米，高是5厘米，现在这个量杯水面的刻度应是600毫升。【思路点拨】根据圆锥的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式求出4个圆锥形铁块的体积和，然后加上原来水的体积即可。【规范解答】解：×15×5×4＝25×4＝100（立方厘米）100立方厘米＝100毫升100+500＝600（毫升）答：现在这个量杯水面的刻度应是600毫升。故答案为：600。【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。17．（2分）（2022•蕲春县）如图，将一个圆柱削成两个同样的圆锥，则削掉部分的体积是401.92dm3。【思路点拨】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以把圆柱削成等底等高的圆锥，削掉部分的体积相当于圆柱体积的（1﹣），根据圆柱的体积公式：V＝πr2h把数据代入公式解答。【规范解答】解：3.14×（8÷2）2×12×（1）＝3.14×16×12×＝401.92（立方分米）答：削掉部分的体积是401.92立方分米。故答案为：401.92。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。三．看图计算（共1小题，满分4分，每小题4分）18．（4分）（2021•淮安）求下面图形的体积。（单位：厘米）【思路点拨】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出它们的体积和即可。【规范解答】解：3.14×（6÷2）2×10+3.14×（6÷2）2×5＝3.14×9×10+3.14×9×5＝282.6+47.1＝329.7（立方厘米）答：它的体积是329.7立方厘米。【考点评析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。四．解决问题（共12小题，满分62分）19．（5分）（2020•吴江区模拟）为了测量一个土豆的体积，小明将土豆浸没在一个底面直径是8厘米，水深5厘米的杯中，发现水面上升到7厘米，土豆的体积大约是多少立方厘米？【思路点拨】根据题意可知，土豆的体积等于上升部分水柱的体积，利用圆柱的体积公式：V＝πr2h，计数即可。【规范解答】解：3.14×（8÷2）2×（7﹣5）＝3.14×16×2＝100.48（立方厘米）答：土豆的体积大约是100.48立方厘米。【考点评析】此题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：土豆的体积等于上升部分水柱的体积。20．（5分）（2018•海门市校级模拟）一个长方体容器长50厘米、宽40厘米、高30厘米，容器内水深16厘米，把一个棱长20厘米的正方体铁块放入水中，容器内的水面升高了多少厘米？【思路点拨】首先根据正方体的体积公式：V＝a3，求出正方体铁块的体积，然后用铁块的体积除以长方体容器的底面积即可．【规范解答】解：20×20×20÷（50×40）＝8000÷2000＝4（厘米）16+4＝20（厘米）刚好没过正方体，符合题意。答：容器内的水面升高了4厘米．【考点评析】此题主要考查正方体、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．21．（5分）（2023•清江浦区）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高6分米。先在鱼缸里注入128升水，再放入一些鹅卵石，浸没在水中，发现水面上升了3厘米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？【思路点拨】根据题意，鱼缸里水上升的体积就是鹅卵石的体积，结合长方体的额体积公式：V＝abh，解答即可。【规范解答】解：3厘米＝0.3分米8×5×0.3＝40×0.3＝12（立方分米）答：鹅卵石的体积一共是12立方分米。【考点评析】此题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：鱼缸里水上升的体积就是鹅卵石的体积，进而得解。22．（5分）（2023•阜宁县）六年级数学兴趣小组的同学准备了一个无盖的圆柱容器和A、B两种型号铁球各若干个，准备做实验。（实验过程中水的损耗忽略不计）步骤一：往圆柱形容器中加入一定量的水，水面高度为40mm，保证容器内的水能够淹没所有的铁球。步骤二：先放入3个A型号铁球，经过测量水面的高度上涨了12mm；再把3个A型号铁球捞出，放入4个B型号铁球，水面的高度恰好也上涨了12mm。由此可得一个A型号铁球可以使水位上升4mm，一个B型号铁球可以使水位上升3mm。步骤三：把之前的铁球全部捞出，然后放入A型号与B型号铁球共10个，水面高度涨到72mm。（1）把“步骤二”中的数据填写完整。（2）放入水中的A、B两种型号的铁球各有多少个？（列式解答）【思路点拨】（1）根据放入3个A型号铁球，经过测量水面的高度上涨了12mm；再把3个A型号铁球捞出，放入4个B型号铁球，水面的高度恰好也上涨了12mm。由此可得一个A型号铁球可以使水位上升4mm，一个B型号铁球可以使水位上升3mm。据此解答即可；（2）设放入A型号x个，B型号铁球10﹣x个，然后根据题意列方程解答即可。【规范解答】解：（1）12÷3＝4（毫米）12÷4＝3（毫米）答：一个A型号铁球可以使水位上升4mm，一个B型号铁球可以使水位上升3mm。（2）设放入A型号x个，B型号铁球10﹣x个。4x+（10﹣x）×3＝72﹣404x﹣3x+30＝32x＝210﹣x＝8答：放入水中的A型号的铁球有2个，B种型号的铁球有8个。故答案为：4；3。【考点评析】本题考查了不规则物体的体积测量知识以及用方程解决问题知识，结合题意分析解答即可。23．（5分）（2021•灌云县）王珊利用一个底面周长25.12厘米（容器材质厚度忽略不计），高20厘米的圆柱形容器测量一个苹果的体积，他先在容器中加入8厘米高的水，再将苹果放进容器，待苹果完全浸没在水中（此过程中水没有溢出），量的水高14厘米。这个苹果的体积是多少立方厘米？【思路点拨】上升部分水的体积就是苹果的体积，先求出上升部分水的高度，再用底面周长除以π，除以2，求出这个圆柱形容器的底面半径，再根据圆柱的体积V＝πr2h，求出上升部分水的体积即可。【规范解答】解：14﹣8＝6（厘米）25.12÷3.14÷2＝4（厘米）3.14×42×6＝50.24×6＝301.44（立方厘米）答：这个苹果的体积是301.44立方厘米。【考点评析】此题考查学生灵活运用圆柱体的知识，解决实际问题的能力，要理解上升的水的体积就是这个苹果的体积。24．（5分）（2023•广陵区）晶晶的爸爸在“琉璃厂”买了一块砚台，为了测量它的体积，做了以下实验：①天平称出这块砚台的质量是1.44kg；②天平称出1立方分米砚台材料质量为2.5kg；③测量一个圆柱形玻璃容器的底面半径是8cm；④用直尺量出容器的高是10cm；⑤在容器里注入一定量的水，量出水面高度为5cm；⑥将砚台完全浸入水中（水未溢出），量出水自高度为8cm。根据信息，你能用不同的方法求出这块砚台的体积吗？（π取值3进行计算）【思路点拨】第一种方法，利用质量和体积的关系，1立方分米砚台材料质量为2.5kg，这块砚台的质量是1.44kg，根据“包含”除法的意义，用除法求出这块砚台的体积。第二种方法，利用排水法进行计算。把块砚台放入有水的圆柱形容器，上升部分水的体积就等于块砚台的体积。根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。【规范解答】解：方法一：1.44÷2.5＝0.576（立方分米）方法二：3×82×（8﹣5）＝3×64×3＝192×3＝576（立方厘米）576立方厘米＝0.576立方分米答：这块砚台的体积是0.576立方分米。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握不规则物体体积的测量方法及应用，“包含”除法的意义及应用，圆柱的体积公式及应用。25．（5分）（2020•吴江区校级模拟）小明为了测量出一只鸡蛋的体积，按如下的步骤进行了一个实验：①在一个底面直径是8厘米的圆柱体玻璃杯中装入一定量的水，量得水面的高度是5厘米；②将鸡蛋放入水中，再次测量水面的高度是6厘米．如果玻璃的厚度忽略不计，这只鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？【思路点拨】圆柱的底面是圆形，又知道底面直径是8厘米，则可以根据圆的面积公式S＝πr2算出这个圆柱的底面积；进而利用圆柱的体积公式V＝Sh算出水的体积和放入鸡蛋后水的体积，再根据“鸡蛋的体积＝放入鸡蛋后水的体积﹣水的体积”这个等量关系算出鸡蛋的体积．【规范解答】解：底面积S＝πr2＝3.14×（8÷2）2＝50.24（平方厘米）水的体积V＝Sh＝50.24×5＝251.2（立方厘米）放入鸡蛋后水的体积V＝Sh＝50.24×6＝301.44（立方厘米）鸡蛋的体积＝放入鸡蛋后水的体积﹣水的体积＝301.44﹣251.2＝50.24（立方厘米）答：这只鸡蛋的体积大约是50.24立方厘米．【考点评析】解答本题的关键是弄清鸡蛋的体积和上升的水的体积之间的关系．26．（5分）（2019•赣榆区）亮亮为了测出一个鸡蛋的体积，按如下步骤进行了一个实验：（1）在一个底面直径是8厘米的圆柱形玻璃杯中倒入一定量的水，量得水面的高度是6厘米。（2）将鸡蛋完全浸入水中，再次测量水面的高度是7厘米。请问：这个鸡蛋的体积是多少立方厘米？【思路点拨】鸡蛋的体积等于上升的水的体积，用底面积乘上升的厘米数即可。【规范解答】解：3.14×（8÷2）²×（7﹣6）＝3.14×16×1＝50.24（立方厘米）答：这个鸡蛋的体积是50.24立方厘米。【考点评析】此题主要考查某些实物体积的测量方法。27．（5分）（2021•泗洪县）一种陀螺（如图），上面是圆柱。下面是圆锥。已知圆柱的底面直径是4厘米，高是2厘米，圆锥的高是1.5厘米。（1）这个陀螺的体积是多少立方厘米？（2）要将这个陀螺装进一个长方体的包装盒，做这个包装盒至少需要多少平方厘米的包装纸？（接头处忽略不计）【思路点拨】（1）陀螺的体积＝圆柱的