2023-2025北京高三一模数学汇编：平面向量的应用

第1页/共1页2023-2025北京高三一模数学汇编平面向量的应用一、单选题1．（2025北京石景山高三一模）在中，若，则（

）A． B． C．1 D．22．（2025北京朝阳高三一模）在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．3．（2024北京门头沟高三一模）在中，，则的面积为（

）A． B．C． D．4．（2023北京东城高三一模）已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2023北京东城高三一模）在中，，，，则（

）A． B．4 C． D．二、填空题6．（2025北京通州高三一模）在中，已知，，.则.7．（2025北京顺义高三一模）在中，，，则.8．（2024北京延庆高三一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则，的面积为．9．（2024北京石景山高三一模）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为．10．（2023北京房山高三一模）在中，，则；的值为.11．（2023北京朝阳高三一模）在中，，，．（1）若，则；（2）当（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个．三、解答题12．（2025北京东城高三一模）在中.(1)求的值及的面积；(2)求证：.13．（2025北京房山高三一模）在中，.(1)求；(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.14．（2025北京丰台高三一模）在中，．(1)求；(2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．15．（2025北京西城高三一模）在中，．(1)求的值；(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．16．（2025北京海淀高三一模）在中，已知，．(1)求的值；(2)若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17．（2025北京朝阳高三一模）在中，(1)求c的值；(2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长．条件①：；条件②：AB边上的高为；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（2025北京门头沟高三一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知.(1)求；(2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：，；条件②：，；条件③：边上的高，.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19．（2025北京延庆高三一模）在中，，.(1)求b；(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使为锐角三角形，并求的面积.条件①：；条件②：AB边上中线的长为；条件③：.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.20．（2025北京平谷高三一模）在中，.(1)求的大小；(2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：边上的高为.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.21．（2024北京房山高三一模）在中，角的对边分别为，，，且．(1)求的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．条件①：，为锐角；条件②：；条件③：．22．（2024北京海淀高三一模）在中，.(1)求；(2)若，求的面积.23．（2024北京西城高三一模）在中，．(1)求的大小；(2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积．条件①：边上中线的长为；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．24．（2024北京东城高三一模）在中，.(1)求；(2)若为边的中点，且，求的值.25．（2024北京石景山高三一模）在锐角中，角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)求的取值范围．26．（2023北京门头沟高三一模）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.D是AB的中点，，.(1)求∠A的大小；(2)求a的值.27．（2023北京延庆高三一模）在中，，.(1)当时，求和；(2)求面积的最大值.28．（2023北京顺义高三一模）在中，．(1)求b；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积．条件①：；条件②：边上中线的长为；条件③：．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．29．（2023北京海淀高三一模）在中，．(1)求；(2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．30．（2023北京西城高三一模）如图，在中，，，平分交于点，．(1)求的值；(2)求的面积．31．（2023北京石景山高三一模）如图，在中，，，点在边上，.(1)求的长；(2)若的面积为，求的长.32．（2023北京平谷高三一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，求的面积．

参考答案1．A【分析】利用正弦定理计算可得.【详解】因为，即，由正弦定理，所以，所以，又，所以，所以.故选：A2．C【分析】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题.【详解】在三角形中，由余弦定理，故为钝角；又，故点在三角形底边的高线上，则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示：又，则，故，；则，设，，故，当且仅当时取得等号；也即的最小值为.故选：C.3．A【分析】先利用余弦定理求出，再利用面积公式求解.【详解】，解得，则，所以.故选：A.4．D【分析】通过建立合适的直角坐标系，设，得到的轨迹方程，最后得到的表达式，根据函数单调性即可得到其范围.【详解】以中点为原点建立如下直角坐标系；则，，，设，则，，则，即，则，其中，，则，则，故选：D.5．C【分析】利用余弦定理得到，，利用同角三角函数基本公式得到，然后利用面积公式求面积即可.【详解】，，，所以，解得，，因为，所以，.故选：C.6．/【分析】根据正弦定理求解，即可根据余弦的二倍角公式求解.【详解】由正弦定理可得，故，故,故答案为：.7．/【分析】先根据正弦定理，结合三角形内角和定理，把化成，再结合，利用二倍角公式可得，再判断角的取值范围，即可求得.【详解】根据正弦定理，.所以，又，所以.所以，所以.因为为三角形内角，所以，所以，所以.又，所以，所以为锐角，所以.故答案为：8．1/【分析】根据题意，利用正弦、余弦定理求得，再运用三角形的面积公式即可求得结果.【详解】因为，由正弦定理可得，因为，在中，由余弦定理可得：，所以，解得：；所以，由三角形面积公式可得：，故答案为：；.9．1【分析】根据题意利用平面向量的几何特征，可知当时，取得最小值.【详解】如图所示：

设，当时，取得最小值，过点作于点，即可得的最小值为，又与的夹角为，即，易知，所以.即的最小值为1.故答案为：110．/【分析】化简得到，再根据正弦定理得到，得到，计算得到答案.【详解】，，故，，；，则，即，，，则，，.故答案为：；11．（答案不唯一）【分析】（1）求出，再由余弦定理求解即可；（2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出的范围即可得解.【详解】（1），，，，由余弦定理，，即，解得.（2）因为,,所以当时，方程有两解，即，取即可满足条件（答案不唯一）故答案为：；6.12．(1)，；(2)证明见解析.【分析】（1）由正弦值得，再应用余弦定理列方程求得，最后应用三角形面积公式求面积；（2）由（1）及二倍角余弦公式得，再应用余弦定理求得，结合三角形内角的性质即可证.【详解】（1）在中,所以是锐角，.由，可得，而，所以，可得，则，故；（2）由（1）易知，则，由（1）及余弦定理有，所以，又，则.13．(1)(2)【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式计算得出余弦值进而得出角；（2）选择条件①三角形不存在；选择条件②应用同角三角函数关系得出，再应用正弦定理及余弦定理计算求出边长，最后应用面积公式计算；选择条件③先应用正弦定理得出，再应用余弦定理得出，最后应用面积公式计算.【详解】（1）由正弦定理，得.所以.所以.因为，所以.所以.所以.（2）选条件①：，，由余弦定理，得.，不存在；选条件②：.由，可得.由正弦定理，得.由余弦定理，得，整理得.解得，或（舍）.所以的面积.条件③：.因为，且，所以.由余弦定理，得.解得，或（舍）所以的面积.14．(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用余弦定理的推论，将等式进行变形即可求出的值，在由同角三角函数的基本关系即可求解；（2）选择条件①时，利用面积公式求出，再利用正弦定理得，联立求解即可；选择条件②：利用面积公式求出，利用，且，所以．进一步得出，再联立求解即可；选择条件③：不符合题意，因为，不可能．【详解】（1）在中，因为，由余弦定理，得．因为，所以．（2）选择条件①：因为，所以，．由题意得，所以．因为，，所以．由正弦定理，得，又，解得，所以．选择条件②：由题意得，所以．因为，且，所以．又，所以，又，解得或．选择条件③：不符合题意，因为中，，不可能．15．(1)(2)条件选择见解析，答案见解析【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值；（2）对于条件①，利用余弦函数的单调性求出角的取值范围，结合三角形的内角和定理推出矛盾，可值条件①，不符合要求；选择条件②，求出的值，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式结合等面积法可求出边上的高；选择条件③；求出、的值，利用两角和的正弦公式可求出的值，利用正弦定理求出的值，进而可得出边上的高为，求解即可；【详解】（1）由正弦定理，且，得，即．由，得．所以．由，得，所以．（2）选择条件①：因为，且余弦函数在上单调递减，故，又因为，从而可得，与三角形的内角和定理矛盾，故①不成立.选择条件②：由，且，得．由余弦定理，得，解得或（舍）．设边上的高为，则三角形面积，所以．选择条件③：由，且，得．由，且，得．所以．由正弦定理，得，所以边上的高．16．(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）转化已知条件求得，解得正弦定理，即可求得；（2）对条件①：求得，由其可为钝角，也可为锐角，从而判定三角形不唯一；对条件②，由，判定角唯一，且三角形唯一，再由正弦定理求得，以及，即可求得其面积；对条件③，求得，由，判定为锐角，三角唯一，同理求得，即可求得三角形面积.【详解】（1）因为，则，又，，故，也即；又，由正弦定理可得：，解得.（2）由（1）可知，，又为锐角，故，又；若选择条件①：，由正弦定理可得，解得，此时，可以为锐角，也可以时钝角，故此时三角形有两解，不满足题意，条件①不能选择；若选择条件②：，则，由正弦定理，可得；此时，两角均为锐角，故三角形唯一，且，故三角形的面积；若选择条件③：，又，解得，因为，又为锐角，故也是锐角，此时，三角形唯一，且，故三角形的面积；综上所述：条件①不能选；若选择条件②或③，三角形唯一，且其面积为.17．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合两角和的正弦公式化简求解的值；（2）根据所选条件，结合正弦定理、三角形面积公式等求出三角形的其他边，进而求得周长.【详解】（1）由正弦定理及得．所以．所以．又因为，所以．所以．（2）选条件①：因为，且，所以．因为，所以．所以．又因为，所以．所以．又，所以．所以的周长为．选条件②：因为边上的高为，所以．又因为，所以．所以．因为，所以．（1）当时，由，得．又，所以．所以．所以的周长为．（2）当时，由，得．又，所以，不符合题意．综上，的周长为．选条件③：由余弦定理，可得，即。解得或，此时不唯一，不符合要求.18．(1)(2)解答见解析【分析】（1）利用正弦定理：边化角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出答案；（2）①利用正弦定理可得为锐角或钝角；②利用基本不等式和三角形的性质可得存在且唯一确定；③利用正弦定理和余弦定理可得存在且唯一确定.【详解】（1）因为，由正弦定理得，，又，所以，得到，又，又，所以，得到，所以.（2）选条件①：，；由（1）知，，根据正弦定理知，所以存在或两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件；选条件②：，因为，即，又，所以，所以只有成立，存在且唯一确定，所以的面积为.选条件③：边上的高，；如图所示，边上的高，在中，，即，由（1）知，，根据余弦定理知，，化简得，得(舍去)或，存在且唯一确定，所以的面积为.19．(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可求解；（2）若选择①②，应用余弦定理结合锐角三角形，即可判断；若选择③应用余弦定理及同角三角函数关系，以及三角形面积公式即可求解.【详解】（1）在中，因为，再由可得.所以，即，所以.因为，所以.（2）选择条件①：，，，由余弦定理得，，因为为锐角三角形，所以不符合题意，不存在三角形；选择条件②：在中，设点为的中点，则，，中，根据余弦定理解得，所以，所以，因为，所以为锐角三角形，所以，在中，.选择条件③：在中，为锐角三角形，因为，所以，所以，，，所以，所以，所以，解得或舍.所以，所以为锐角三角形，所以，在中，.20．(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合正弦的和差角公式即可求解，或者利用余弦定理边角互化求解，（2）根据三角形存在可知不能选①，选②，利用余弦定理可求解，即可利用三角形面积公式求解，或者利用正弦定理求解，进而根据和差角公式求解,由面积公式求解，选③根据高，即可利用选②的方法求解.【详解】（1）方法一：由正弦定理及，得.①因为，所以.②由①②得因为，所以.所以.因为，所以.方法二：在中，因为，由余弦定理得，整理得所以，所以.（2）若选条件①：；，所以,而，这与矛盾，故不能选①.选条件②：方法一：由余弦定理，得即，解得.所以方法二：由正弦定理，所以，因为，所以，所以.选条件③：边上的高，所以，以下与选择条件②相同.21．(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据大边对大角，结合即可得解；（2）选①，先利用正弦定理求出，再利用余弦定理求出边，再根据三角形的面积公式即可得解.选②，先求出，再根据余弦函数的性质即可得出三角形的解的个数.选③，先利用正弦定理求出，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据三角形的面积公式即可得解.【详解】（1）因为，所以，则，所以，因为，所以，所以；（2）选①，，为锐角，由正弦定理得，所以，所以，由余弦定理得，即，解得（舍去）或，符合条件，所以.选②，，解得或，若，因为，所以，符合条件，若，因为，所以为钝角，符合条件，所以该三角形有个解，不符合条件.选③，，由正弦定理得，所以，符合条件，所以，所以，所以，所以.22．(1)(2)【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求出结果；（2）根据（1）中及条件，由余弦定理得到，再结合，即可求出，再利用三角形面积公式，即可求出结果.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，又，所以，得到，即，所以，又因为，所以，得到.（2）由（1）知，所以，又，得到①，又，得到代入①式，得到，所以的面积为.23．(1)(2)答案见解析【分析】（1）借助正弦定理计算即可得；（2）选条件①或③：借助余弦定理与面积公式计算即可得；不可选条件②，不存在这样的.【详解】（1）由，得，在中，由正弦定理得，因为，所以，又，所以；（2）选条件①：边上中线的长为：设边中点为，连接，则，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍），所以的面积为，选条件③：：在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或，当时，的面积为．当时，的面积为．不可选条件②，理由如下：若，故为钝角，则，则，，即，其与为钝角矛盾，故不存在这样的.24．(1)；(2).【分析】（1）由正弦定理可得，结合三角和为及诱导公式可得，即可得答案；（2）在中，由正弦定理可求得，从而可得，在中，利用余弦定理求解即可.【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得，即，，又因为，所以，解得，又因为，所以；（2）解：因为为边的中点，，所以,设,在中，由正弦定理可得，即，解得，又因为，所以，

在中，，在中，，由余弦定理可得：，所以，即.25．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理边化角求解即可；（2）由（1）可知，所以，所以将转化为同一个角的三角函数，最后求其值域即可.【详解】（1）因为，由正弦定理边化角得：，所以，由于在中，，所以，即，又，所以.（2）由（1）可知，所以，所以由于在锐角中，，所以，所以，所以，所以，所以的取值范围为.26．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理得，进而求得A；（2）在和中分别使用余弦定理，计算a的值.【详解】（1）因为，由正弦定理得：，因为，所以，得，因为，所以.（2）在中，由余弦定理得：，即，解得：(负值舍去)，则，在中，由余弦定理得：，所以.所以.27．(1)，(2)27【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理即可求解；（2）由余弦定理可得，结合可得，进而根据面积公式即可求解.【详解】（1）因为且，所以.由正弦定理得，即.所以.所以或.因为，，所以.所以.由，即，解得.（2）因为，

因为，所以.

所以，当且仅当为时，等号成立.所以.所以面积的最大值为.28．(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解，（2）根据题目要求可知只能选择条件②或③，根据余弦定理求解，即可根据三角函数的性质求解正弦，进而由面积公式即可求解.【详解】（1）因为，在△中，由正弦定理，可得：，又因为，所以.（2）选择条件①；由，，以及余弦定理得，该方程无解，故此时三角形不存在，故不能选择条件①选择条件②设边上的中线为，则，，在△中，由余弦定理得：，因为，，所以，所以△的面积为.选择条件③方法1：由题设，因为，所以，因为，所以因为，所以，所以，由余弦定理可得：，整理得，解得（舍），因为，，所以，所以△的面积为.方法2：由题设，因为，所以，因为，所以在△中，因为，所以，即，所以，