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第1页/共1页2023-2025北京高三一模数学汇编平面向量的运算一、单选题1．（2025北京平谷高三一模）已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024北京门头沟高三一模）在中，，，且，则（

）A． B． C． D．3．（2023北京朝阳高三一模）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（

）

A．26 B．13 C．10 D．54．（2023北京延庆高三一模）为坐标原点，点，的坐标分别为，，则等于（

）A． B． C． D．5．（2023北京顺义高三一模）如图，在矩形中，，点P为的中点，则（

）A．0 B．C． D．二、填空题6．（2025北京东城高三一模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则；.

7．（2024北京房山高三一模）如图．已知矩形中，，，分别是，的中点，则．

8．（2023北京门头沟高三一模）在边长为的正三角形中，点是边上的中点，则.9．（2023北京丰台高三一模）已知正方形的边长为，则．三、未知10．（2023北京门头沟高三一模）已知非零向量，，则“与共线”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件

参考答案1．D【分析】根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断.【详解】若，，所以，，当时，，当时，，此时故“”是“”的不充分条件，因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故，但两个向量间的系数不确定，不能推出“”；综上可知，，那么“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D2．B【分析】将两边平方，即可得到，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为，所以，即，所以，即，所以.故选：B3．B【分析】由中点关系可得，利用为的外接圆的圆心，可得，同理可得，即可得出结论．【详解】由于是边的中点，可得，是的外接圆的圆心，，同理可得，．故选：B4．B【分析】利用向量的夹角公式可得，进而确定.【详解】由已知点，的坐标分别为，，则，，所以，又，所以，故选：B.5．B【分析】利用向量的线性加减法法则运算与数量积公式运算即可求解.【详解】\故选：B.6．【分析】根据网格写出向量的模，再平移向量求出与的夹角的余弦值，应用向量的数量积公式求解即可.【详解】平移向量与共起点，易看出的夹角为，；，，，的夹角的余弦值，的夹角为，.故答案为：；.7．【分析】用、作为一组基底表示出，，再根据数量积的运算律计算可得.【详解】依题意，，所以.故答案为：8．【分析】将用、表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】因为为边上的中点，则，因为，所以，，所以，.故答案为：.9．【分析】根据正方形的性质及数量积的定义计算可得.【详解】因为正方形的边长为，所以，，，所以.故答案为：10．B【分析】取为方向相反的单位向量，得到不充分，根据得到，得到必要性，得到答案.【详解】若与共线，取为方向相反的单位向量

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