第06讲点面线面面面异面直线的距离（核心考点讲与练）-高二数学考试满分全（沪教版2020必修三）

第06讲点面、线面、面面、异面直线的距离（核心考点讲与练）方法技巧方法技巧点到平面的距离求解方法：直接作出点到平面的垂线段，然后求出垂线段的长度，而在作点面垂直时，通常先找面面垂直，然后作两个面交线的垂线，利用面面垂直的性质，即可找出垂线段。空间立体几何中的距离包括点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离.在这些距离当中，点到平面的距离显得尤为重要，在高考中也经常出现，并且线线距离、线面距离、面面距离都可以转化成点到平面的距离去求解。因此，点面距离就成了这一类距离问题的交汇点。考点考点精讲题型一：点面距离一、单选题1．（2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）若三角形三个顶点到平面的距离分别为3､6､9，记的重心为G，则点G到平面的距离为（

）A．2､6 B．4､6 C．2､4､6 D．0､2､4､6【答案】D【分析】设，，，平面为平面，根据重心坐标公式结合符号即可求解．【详解】设，，，平面为平面，则，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；综上所述：点G到平面的距离为0､2､4､6故选：D二、填空题2．（2021·上海中学高二期中）三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，空间中一点P到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP的长为______【答案】【分析】根据题设描述可得示意图，即为一个长、宽、高分别为5、3、4的长方体的体对角线，即可求的长.【详解】由题意可得如下示意图：即为一个长方体的体对角线，且长方体的长、宽、高分别为5、3、4，∴，故答案为：.3．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）我们知道，在平面几何中，已知三边边长分别为，面积为，在内一点到三条边的距离相等设为，则有.现有三棱锥的两条棱，其余各棱长均为5，三棱锥内有一点到四个面的距离相等，则此距离等于___________【答案】##【分析】求出三棱锥的体积，利用体积法可求得此距离．【详解】如图，设是中点，连接，因为，所以，，平面，所以平面，又，，所以，，，由题意四个面面积相等，设到四个面的距离为，，．故答案为：．4．（2021·上海市七宝中学高二期中）在棱长为1的正方体中，到平面的距离为________.【答案】【分析】设到平面的距离为，先求出，再利用等体积法，通过求出.【详解】如图，设到平面的距离为，，又，得.故答案为：5．（2021·上海市南洋模范中学高二期中）已知线段在平面外，、两点到平面的距离分别为1和3，则线段的中点到平面的距离为___________.【答案】1或2.【分析】根据两点与平面的位置关系，进行分类分析，利用梯形、三角形的中位线性质，可以求出线段的中点到平面的距离.【详解】解：由题可知，、两点到平面的距离分别为1和3，设线段的中点为，当线段的端点在平面的同侧，如下图：根据梯形中位线性质可知：线段的中点到平面的距离为；当线段的端点在平面的异侧，如下图：根据三角形中位线性质可知：线段的中点到平面的距离为，所以线段的中点到平面的距离为1或2.故答案为：1或2.6．（2021·上海·闵行中学高二阶段练习）在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵中，，，堑堵的顶点到直线的距离为m，到平面的距离为n，则的取值范围是________.【答案】.【分析】设，，利用等面积法和等体积法求出m，n关于a的不等式，根据a的范围得出的值．【详解】设，，则，，，且B到平面的距离为．，，，又，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了空间距离的计算，棱锥的体积公式，属于中档题．三、解答题7．（2021·上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，∠ACB=∠BCC1=90°，四边形ACC1A1是菱形，∠ACC1=120°.(1)证明：A1C⊥AB1；(2)若AC=2，求点C1到平面ABB1A1的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)连接可得平面，所以，再由，得，得平面，由平面可得答案；.(2)利用等体积法求点C1到平面AA1B1的距离，由此可得答案.(1)连接，因为四边形为菱形﹐所以，因为，，，平面，所以平面，且平面，所以，因为，所以，又因为，平面，所以平面，又平面，所以.(2)点C1到平面ABB1A1的距离与点C1到平面AA1B1的距离相等，即三棱锥的底面上的高，设点C1到平面ABB1A1的距离为，则，由(1)平面，∴三棱锥的底面上的高为，∴，∵AC=2，为等腰直角三角形，四边形ACC1A1是菱形，∴，又∠ACC1=120°∴，的面积，∴，由，∠ACC1=120°可得，∵，，∴，又，∴，∴，∴的面积，∴，∴8．（2021·上海大学附属南翔高级中学高二期中）已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成二面角的大小为60.(1)证明：；(2)求底面中心到侧面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）取BC的中点D，连接AD、PD，根据线面垂直的判定和性质可得证；（2）由（1）得是侧面与底面所成的二面角的平面角，过点O作，E为垂足，则OE的长就是点O到侧面的距离，利用棱锥的体积公式可求得答案.(1)证明：取BC的中点D，连接AD、PD，则，又，所以平面所以.(2)解：如图，由（1）得平面平面，由是侧面与底面所成的二面角的平面角，过点O作，E为垂足，则OE的长就是点O到侧面的距离，设OE为h，由题意得点O在AD上，所以又，，所以所以底面中心到侧面的距离为3.9．（2021·上海市行知中学高二期中）如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆О上一点，且AB＝BC＝5，CD＝3．(1)求该圆柱的侧面积；(2)求点B到平面ACD的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用圆柱的侧面积公式计算出侧面积.（2）利用等体积法求得到平面的距离.(1)圆柱的底面半径为，高为，所以圆柱的侧面积为.(2)是圆的直径，所以，，.根据圆柱的几何性质可知,由于，所以平面，所以.，，设到平面的距离为，则，即.题型二：线面距离一、填空题1．（2021·上海·华东师范大学松江实验高级中学高二阶段练习）正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则直线B1C1到平面ABCD的距离是_____【答案】1【分析】由直线到平面的距离转化为点到平面的距离结合正方体的性质可得.【详解】由正方体的性质可知，平面ABCD，所以直线B1C1到平面ABCD的距离即为B1到平面ABCD的距离，正方体的性质知B1到平面ABCD的距离为1，即直线B1C1到平面ABCD的距离为1.故答案为：1.2．（2021·上海·位育中学高二阶段练习）在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为___________.【答案】.【分析】根据平面，将直线B1C1到平面的距离转化为C1到平面的距离，进而解出答案.【详解】如图，在棱长为2的正方体中，取的中点E，连接，则，且，又平面，平面，所以，而，所以平面，易知平面，则C1到平面的距离即为直线B1C1到平面的距离，所以直线B1C1到平面的距离为.故答案为：.3．（2021·上海徐汇·高二期末）已知长方体的棱，和的长分别为3cm、4cm和5cm，则棱到平面的距离为____________cm【答案】3【分析】由长方体得，平面，再由平面得，棱到平面的距离为cm.【详解】依题意作图，在长方体中，有平面，又平面，所以棱AB到平面的距离为cm.故答案为：3.二、解答题4．（2021·上海静安·高二期末）如图，正四棱柱的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求A1B1到底面ABCD的距离.【答案】【分析】由，得，则线段的长为到底面ABCD的距离，然后求出即可．【详解】解：因为，所以为异面直线AD与所成的角，所以，因为正四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD，所以线段的长为线段到底面ABCD的距离，因为在中，，，所以，所以线段到底面ABCD的距离为．5．（2021·上海·高二专题练习）在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设；（1）求的值；（2）求直线到平面的距离.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由题意可得：就是异面直线与所成的角，即，根据线段的长度关系可得：为等边三角形，进而可求得答案；（2）由平面得，直线到平面的距离等于点到平面的距离，再根据求到平面的距离，分别求出两个三角形的面积即可达到答案．【详解】解：（1）∵，∴就是异面直线与所成的角，即，又连接，∵，则，∴为等边三角形，∵，，∴，∴，∴；（2）易知平面，此时有直线上的任意一点到平面的距离等于点到平面的距离，设其为，连接，又∵，，∴平面，并且，∵的面积，并且的面积，∵，∴，∴，∴直线到平面的距离为．【点睛】本题考查线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意向量法和等体积法的合理运用，属于中档题．题型三：面面距离一、填空题1．（2019·上海大学附属中学高二阶段练习）已知正方体的棱长为1，则平面和平面的距离为________.【答案】1【分析】由正方体的性质得AB为平面和平面的距离【详解】因为正方体的对面互相平行，AB均于平面和平面垂直，故AB为平面和平面的距离，即为1故答案为1．【点睛】本题考查正方体的基本性质，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是基础题．2．（2016·上海·复旦附中高二期中）已知平面平面，直线，直线，点，点，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则a、b、c的大小关系是________________________.【答案】

【分析】根据平面与平面平行的判断性质，判断c最小，再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a最大．【详解】由于平面α∥平面β，直线m和n又分别是两平面的直线，当直线m和n异面，（如图所示）则c<b<a．当直线m和n平行且其确定的平面与平面α，平面β垂直，可得c=b=a．故答案为：c≤b≤a．【点睛】此题主要考查平面间与平面平行的性质，考查点到直线距离及空间想象能力是基础题二、解答题3．（2021·上海市大同中学高二阶段练习）如图，正方体中，.（1）求证：平面平面；（2）求两平面与之间的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据正方体的性质，通过证明线面平行证明面面平行即可；（2）作出两平行平面的公垂线段，再计算公垂线段的长即可得出结论.【详解】(1)正方体中，且不在平面内，所以平面同理可得，平面又平面平面；（2）如图，设，连接，，平面，，又正方体中，平面，，又，平面，根据（1），平面平面平面，图中线段EF为两平面的公垂线段，线段EF的长即为两平面间的距离，平行四边形中，分别是的中点，是线段的三等分点，，两平面与之间的距离为.题型四：异面直线的距离一、填空题1．（2021·上海市市西中学高二期中）在长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=3，BC=4，AA1=2，则异面直线B1B与DC之间的距离为________.【答案】4【分析】利用异面直线间的距离定义即可得出答案.【详解】由长方体的性质可得是异面直线B1B与DC的公垂线，所以异面直线B1B与DC之间的距离为BC=4.故答案为：42．（2021·上海市延安中学高二期中）已知正方体的棱长为1，异面直线与的距离为____________.【答案】【分析】如图所示，连接与交于点，证明，，得到距离.【详解】如图所示：连接与交于点，则，平面，平面，故，故是异面直线与的距离，.故答案为：.3．（2021·上海·华师大二附中高二期中）若正四面体的棱长为，则异面直线与之间的距离为____________.【答案】1【分析】由题意画出图形，分别取的中点，连接，可得的长是异面直线与的公垂线，求解三角形得答案.【详解】分别取的中点，连接，，且则的长是异面直线与之间的距离，则.故答案为：14．（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）棱长为1的正四面体ABCD中，对棱AB、CD之间的距离为_________．【答案】【分析】作出并证明表示棱AB、CD之间的距离的线段，再借助直角三角形计算即得.【详解】设AB，CD的中点为E，F，连接AF，BF,因为ABCD为正四面体，各面均为等边三角形，边长为1，则AF=BF=，于是得EF⊥AB，同理可得EF⊥CD，即EF的长即为AB、CD之间的距离，此时，EF＝＝＝，即AB、CD之间的距离为.故答案为：巩固巩固提升一、单选题1．（2019·上海市嘉定区第二中学高二期中）若a，b是异面直线，则下列结论中不正确的为（

）A．一定存在平面与、都平行B．一定存在平面与、都垂直C．一定存在平面与、所成角都相等D．一定存在平面与、的距离都相等【答案】B【分析】根据异面直线的几何特征，作与异面直线的公垂线段垂直的平面，且经过公垂线段中点的平面，可以判断A，D的真假；根据线面垂直的几何特征，可以判断B的真假；过公垂线上一点做直线与、所成角都相等，分析，确定的平面与异面直线，的夹角，可以判断C的真假，进而得到答案．【详解】解：若，是异面直线，为他们的公垂线，则当平面时，平面与、都平行，故A正确；若平面与、都垂直，则，这与，是异面直线矛盾，故B错误；过公垂线上一点做直线与、所成角都相等，则，确定的平面与、所成角都相等，故C；过公垂线的中点做与垂直的平面，则平面与、的距离都相等，故D正确；故选：B．二、填空题2．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）四面体中，，，则异面直线与的距离为________【答案】【分析】分别取与的中点、，连接、、、、，证明出为、的公垂线，并计算出的长，由此可得出结果.【详解】分别取与的中点、，连接、、、、，因为，，、分别为、的中点，则，，且，为的中点，故，同理可证，故为、的共垂线段，且.故答案为：.3．（2018·上海交大附中高二阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为____________【答案】【分析】取的中点F,连接、,根据线面平行的性质可得平面,作,过作交于,作,根据四边形为矩形即知得点到直线的距离的最小值为,即的值.【详解】根据题意,取的中点F,连接、;作交于,过作交于,作,如下图所示:由题意可知,E、F分别为、的中点,所以因为平面,而平面所以平面所以求点P到直线的距离的最小值即为异面直线与公垂线的长度因为,,且则四边形为矩形所以,又因为所以平面即所以即为异面直线与公垂线因为正方体的棱长为则由等积法可知所以故答案为:【点睛】本题考查了空间中异面直线距离的求法,找到异面直线的公垂线是解决此类问题的关键,对线面平行和线面垂直的理解要求较高,属于中档题.4．（2021·上海·高二专题练习）在三棱锥PABC中，三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，且，，又M是底面ABC内一点，则M到三个侧面的距离的平方和的最小值是________.【答案】【分析】先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用柯西不等式求得结果．【详解】令M到三棱锥三个侧面的距离分别为x、y、z，∵PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝3，PC＝4，∴VP﹣ABC•（•PA•PB）•PC（•PA•PB）•z（PB•PC）•y（PA•PC）•x，即•（3×3）×4（3×3）z（3×4）y（3×4），化简可得：，∴1＝（）2≤[（）2+（）2+（）2]（x2+y2+z2），解得x2+y2+z2．当且仅当等号成立又M是底面ABC内一点，∴M到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是．故答案为：．【点睛】本题考查点到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意体积求解的转化方法的合理运用．三、解答题5．（2021·上海市中国中学高二阶段练习）已知空间四边形各边及对角线的长都是1．（1）求边、的距离；（2）求异面直线与所成角大小．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）将四面体放入正方体中，根据四面体的边长求出正方体的棱长，可证为与的公垂线，即可得解；（2）连接，可证，再由正方形的性质得到，即可得到；【详解】解：（1）依题意将四面体放入如图所示正方体中，因为空间四边形各边及对角线的长都是1，所以正方体的棱长为，在矩形中，分别为、的中点，所以，所以面，面，所以，同理可证，所以为与的公垂线，所以与的距离为；（2）连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，所以，所以异面直线与所成角为.6．（2021·上海市甘泉外国语中学高二期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1，ABB1A1均为正方形，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，点D是棱的A1C1中点.(1)求证：平面AB1D⊥平面ACC1A1；(2)求证：BC1∥平面AB1D；(3)求点A1到平面AB1D的距离.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）由题设易知ABC﹣A1B1C1为直棱柱，且两个底面都为等腰直角三角形，再由线面垂直的性质及判定可得面ACC1A1，最后根据面面垂直的判定证明结论.（2）是的交点，根据中位线的性质有，线面平行的判定证明结论.（3）利用等体积法有，即可求A1到平面AB1D的距离.(1)∵AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，∴△为等腰直角三角形，故在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1，ABB1A1均为正方形，即ABC﹣A1B1C1为直棱柱，易知：△为等腰直角三角形，又D是棱的A1C1中点，则，由面，面，则，而且、面ACC1A1，∴面ACC1A1，又平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面ACC1A1；(2)若是的交点，又ABB1A1为正方形，则为的中点，∴在△中，，又面AB1D，面AB1D，∴BC1∥平面AB1D；(3)由（1）知：，而，则，又，∴，由，则，又，若A1到平面AB1D的距离为，∴，可得7．（2021·上海中学高二期中）如图，三棱锥P−ABC中，底面ABC是正三角形，底面ABC，平面PBC，垂足为G．(1)G是否可能是的垂心？请说明理由；(2)若G恰是的重心，且的边长为2，求点C到平面ABG的距离．【答案】(1)不可能，理由见解析(2)【分析】（1）设G是的垂心，可得，与已知矛盾；（2）延长交于，连接并延长交于，连接，求出各边长，利用等体积法可求.(1)设G是的垂心，则,因为平面PBC，平面PBC，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，因为底面ABC，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，与是正三角形矛盾，所以不可能是的垂心；(2)延长交于，连接并延长交于，因为G是的重心，所以分别为，中点，且，连接，因为是边长为2的正三角形，所以，因为底面ABC，所以，因为平面PBC，所以，则，则，所以，，，设点C到平面ABG的距离为，可得到平面的距离为，由可得，解得.8．（2021·上海南汇中学高二阶段练习）如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，，，，.(1)求点F到平面ABCD的距离；(2)证明：平面平面ADF，并说明在平面EBC上，一定存在过C的直线l与直线FD平行.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面ABCD即可；（2）先证明平面平面ADF，再利用面面平行的性质定理证明.(1)解：因为，所以，又，AB､CD是相交直线，所以平面ABCD，所以点F到平面ABCD的距离；(2)证明：由题意得，平面ADF，平面ADF，所以平面ADF，同理平面ADF，又，所以平面平面ADF.设平面平面，则l过C点，因为平面平面ADF，平面平面，平面平面，所以.9．（2021·上海市松江二中高二期中）如图所示，已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，球在圆柱内，且与圆柱的上、下底面均相切.(1)求球的表面积；(2)若为圆柱下底面圆弧的中点，求平面截球所得截面的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果；（2）计算出球心到平面的距离，可求得截面圆的半径，利用圆的周长公式可求得结果.(1)解：由题意可知，球的直径为，则，因此，球的表面积为.(2)解：连接、、、，为弧的中点，则，因为平面，平面，则，，故平面，，则，，，则，因为与圆柱的上底面垂直，而为上底面圆的一条直径，则，，平面，平面，则，因为，则，设点到平面的距离为，由得，因为为的中点，所以，点到平面的距离，所以，平面截球所得截面圆的周长为.10．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二期中）如图，已知是圆柱的一个轴截面，且圆柱底面半径为1，高为.动点P从点B绕着圆柱的侧面到达点D的距离最短时在侧面留下的曲线R，如图，轴截面绕着轴逆时针旋转时与曲线R相交于点P.(1)求曲线R长度：（要有必要的文字，图形，计算过程）(2)当时，求到平面的距离.【答案】(1)(2)【分析】（1）将圆柱一半展开后得到底面的半个圆周为一边，另一边为圆柱的高的长方形，由