高数第十章试题及答案解析

高数第十章试题及答案解析

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.下列级数中，收敛的是（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}1$D.$\sum_{n=1}^{\infty}n$2.幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径为$R$，则幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-2)^n$的收敛半径为（）A.$R$B.$R+2$C.$R-2$D.$2R$3.级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛的必要条件是（）A.$\lim_{n\to\infty}u_n=1$B.$\lim_{n\to\infty}u_n=0$C.$\lim_{n\to\infty}u_n$不存在D.$\lim_{n\to\infty}u_n\gt0$4.设级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛，$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$发散，则$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)$（）A.收敛B.发散C.不一定D.绝对收敛5.若级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$绝对收敛，则该级数（）A.条件收敛B.发散C.收敛D.可能收敛可能发散6.幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收敛域为（）A.$(-1,1)$B.$[-1,1)$C.$(-1,1]$D.$[-1,1]$7.已知级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，那么下列级数一定收敛的是（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+1)$B.$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n+1}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}na_n$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}$8.正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛的充要条件是（）A.部分和数列有界B.通项$u_n\to0$C.部分和数列单调递增D.部分和数列单调递减9.幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$的和函数是（）A.$\frac{1}{1-x}$，$|x|\lt1$B.$\frac{1}{1+x}$，$|x|\lt1$C.$1-x$，$|x|\lt1$D.$1+x$，$|x|\lt1$10.若级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$与$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$都发散，则（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)$一定发散B.$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n-v_n)$一定发散C.$\sum_{n=1}^{\infty}u_nv_n$一定发散D.以上都不对二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列级数中，收敛的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$2.幂级数的性质包括（）A.幂级数在收敛区间内可逐项求导B.幂级数在收敛区间内可逐项积分C.两个幂级数在公共收敛区间内可相加D.幂级数的收敛半径一定大于03.关于级数敛散性的判别方法，正确的有（）A.比较判别法B.比值判别法C.根值判别法D.莱布尼茨判别法（针对交错级数）4.下列说法正确的是（）A.绝对收敛的级数一定收敛B.条件收敛的级数一定发散C.若$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛，$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)$收敛D.若$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛，$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$发散，则$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)$发散5.幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$收敛半径的求法有（）A.公式法（$R=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$，当极限存在时）B.根值法（$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$）C.试值法D.图像法6.正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛的判别方法有（）A.比较判别法B.比值判别法C.根值判别法D.积分判别法7.对于交错级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$（$u_n\gt0$），满足下列哪些条件时收敛（）A.$u_n\gequ_{n+1}$（$n=1,2,\cdots$）B.$\lim_{n\to\infty}u_n=0$C.$u_n$单调递增D.$u_n$无界8.下列幂级数中，收敛半径为1的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}nx^n$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}x^n$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$9.若级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛，则（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n+1}$收敛B.$\sum_{n=1}^{\infty}ku_n$（$k$为非零常数）收敛C.$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n)^2$收敛D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u_n}{n}$收敛10.关于级数和函数，正确的是（）A.幂级数的和函数在收敛区间内连续B.幂级数的和函数在收敛区间内可导，导函数的幂级数收敛半径不变C.幂级数的和函数在收敛区间内可积，积分后的幂级数收敛半径不变D.求幂级数的和函数只能用已知的幂级数展开式来推导三、判断题（每题2分，共10题）1.若$\lim_{n\to\infty}u_n=0$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$一定收敛。（）2.幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径为$R$，则在区间$(-R,R)$内一定绝对收敛。（）3.正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$与$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$，若$u_n\leqv_n$，且$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛。（）4.级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n$收敛。（）5.幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$在其收敛区间端点处一定发散。（）6.若级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$绝对收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$收敛。（）7.用比值判别法判断级数敛散性时，若$\lim_{n\to\infty}|\frac{u_{n+1}}{u_n}|=1$，则级数一定收敛。（）8.交错级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$（$u_n\gt0$），只要$u_n\to0$就一定收敛。（）9.两个收敛级数相减得到的级数一定收敛。（）10.幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$的和函数为$\frac{1}{1-x}$，$x\inR$。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述级数收敛的必要条件，并举例说明不满足该条件则级数发散。答案：级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛的必要条件是$\lim_{n\to\infty}u_n=0$。例如$\sum_{n=1}^{\infty}n$，$\lim_{n\to\infty}n\neq0$，所以该级数发散。2.求幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收敛半径和收敛域。答案：由公式$R=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$，这里$a_n=\frac{1}{n}$，$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}$，则$R=1$。当$x=1$时，级数为$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散；当$x=-1$时，级数为$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$收敛，所以收敛域为$[-1,1)$。3.用比较判别法判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}$的敛散性。答案：因为$\frac{1}{n^2+1}\lt\frac{1}{n^2}$，而级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$收敛（$p=2\gt1$的$p-$级数），根据比较判别法，小的收敛大的收敛，所以$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}$收敛。4.简述绝对收敛与条件收敛的区别。答案：若$\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$绝对收敛；若$\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$发散，但$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$条件收敛。绝对收敛的级数一定收敛，条件收敛是收敛但不绝对收敛。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}$（$p\gt0$）的敛散性。答案：当$p\gt1$时，$\sum_{n=1}^{\infty}|\frac{(-1)^n}{n^p}|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$收敛，原级数绝对收敛；当$0\ltp\leq1$时，$u_n=\frac{1}{n^p}$单调递减且$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p}=0$，由莱布尼茨判别法，原级数收敛，但$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$发散，所以原级数条件收敛。2.讨论幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-1)^n$在$x=3$处收敛，在$x=4$处发散，求其收敛半径和收敛区间。答案：因为幂级数在$x=3$处收敛，在$x=4$处发散，所以收敛半径$R$满足$R\geq|3-1|=2$且$R\leq|4-1|=3$，即$R=2$。收敛区间为$(1-2,1+2)$，即$(-1,3)$。3.讨论正项级数敛散性判别方法的适用情况。答案：比较判别法适用于通项与已知敛散性级数通项有大小关系的；比值判别法适用于通项含阶乘、指数形式；根值判别法适用于通项含$n$次幂形式；积分判别法适用于通项可看作某个函数值且该函数在$[1,+\infty)$有良好性质的情况。4.讨论如何利用已知幂级数展开式求其他幂级数的和函数。答案：先将目标幂级数通过变形（如变量代换、求导、积分等）转化为已知展开式的形式，再利