山西高考数学试题及答案

山西高考数学试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,4\}\)，则\(A\capB=(\)\)A.\(\{1\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{3\}\)D.\(\{4\}\)2.函数\(y=\log_2(x+1)\)的定义域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\([0,+\infty)\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则\(m=(\)\)A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)4.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，则\(a_5=(\)\)A.7B.9C.11D.135.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，则\(\cos\alpha=(\)\)A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)6.直线\(y=x+1\)与圆\(x^2+y^2=1\)的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.不确定7.函数\(f(x)=x^3-3x\)的极大值点是（）A.-1B.1C.0D.28.已知\(a=2^{0.3}\)，\(b=0.3^2\)，\(c=\log_20.3\)，则（）A.\(a\gtb\gtc\)B.\(a\gtc\gtb\)C.\(b\gta\gtc\)D.\(c\gta\gtb\)9.从\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)这\(4\)个数中任取\(2\)个数，则取出的\(2\)个数之和为偶数的概率是（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{3}{4}\)10.抛物线\(y^2=4x\)的焦点坐标是（）A.\((0,1)\)B.\((0,-1)\)C.\((1,0)\)D.\((-1,0)\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，是偶函数的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\ln(x^2+1)\)D.\(y=2^x\)2.以下说法正确的是（）A.若直线\(l_1\)：\(A_1x+B_1y+C_1=0\)与\(l_2\)：\(A_2x+B_2y+C_2=0\)平行，则\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)B.圆\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)的圆心为\((a,b)\)，半径为\(r\)C.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的离心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(c^2=a^2-b^2\)D.双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)3.已知函数\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)，则（）A.当\(\varphi=\frac{\pi}{2}\)时，\(f(x)\)是偶函数B.\(f(x)\)的最小正周期是\(\pi\)C.\(f(x)\)图象的一条对称轴方程可能是\(x=\frac{\pi}{6}\)D.\(f(x)\)在区间\((0,\frac{\pi}{2})\)上一定单调递增4.若\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=2\)，则（）A.\(ab\leq1\)B.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq2\)C.\(a^2+b^2\geq2\)D.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq2\)5.一个正方体的棱长为\(1\)，以下说法正确的是（）A.正方体的表面积是\(6\)B.正方体的体积是\(1\)C.正方体的体对角线长为\(\sqrt{3}\)D.正方体的面对角线长为\(\sqrt{2}\)6.已知\(z_1,z_2\)为复数，下列命题正确的有（）A.若\(z_1=z_2\)，则\(\vertz_1\vert=\vertz_2\vert\)B.若\(\vertz_1\vert=\vertz_2\vert\)，则\(z_1=z_2\)C.若\(z_1\overline{z_1}=z_2\overline{z_2}\)，则\(\vertz_1\vert=\vertz_2\vert\)D.若\(z_1=z_2\)，则\(\overline{z_1}=\overline{z_2}\)7.以下哪些是等比数列（）A.\(2,4,8,16,\cdots\)B.\(1,-1,1,-1,\cdots\)C.\(2,2,2,2,\cdots\)D.\(1,2,3,4,\cdots\)8.已知函数\(y=f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)对称，则有（）A.\(f(x)+f(2a-x)=2b\)B.\(f(a+x)+f(a-x)=2b\)C.若\(y=f(x)\)是奇函数且关于点\((a,b)\)对称，则\(b=0\)D.若\(y=f(x)\)是偶函数且关于点\((a,b)\)对称，则\(a=0\)9.对于空间向量\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)，下列结论正确的是（）A.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)B.\((\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}\)C.若\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则\(\vec{a}\perp\vec{b}\)D.若\(\vec{a}=k\vec{b}(k\neq0)\)，则\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)10.已知函数\(f(x)\)的导函数为\(f^\prime(x)\)，则（）A.若\(f^\prime(x)\gt0\)在区间\((a,b)\)上恒成立，则\(f(x)\)在\((a,b)\)上单调递增B.若\(f(x)\)在\((a,b)\)上单调递增，则\(f^\prime(x)\gt0\)在区间\((a,b)\)上恒成立C.\(f(x)\)的极值点处\(f^\prime(x)=0\)D.若\(f^\prime(x_0)=0\)，则\(x_0\)可能是\(f(x)\)的极值点三、判断题（每题2分，共10题）1.空集是任何集合的子集。（）2.函数\(y=\frac{1}{x}\)在定义域内是单调递减函数。（）3.若\(a\gtb\)，则\(a^2\gtb^2\)。（）4.向量\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)至少有一个为零向量。（）5.直线\(x=1\)的斜率不存在。（）6.圆\(x^2+y^2-2x+4y+1=0\)的圆心坐标为\((1,-2)\)。（）7.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，则\(\alpha=\beta\)。（）8.等差数列的前\(n\)项和公式是\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（）9.函数\(y=\cos^2x\)的最小正周期是\(\pi\)。（）10.若\(z\)是复数，\(\vertz\vert^2=z\cdot\overline{z}\)。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=x^2-2x+3\)的单调区间。答案：对\(y=x^2-2x+3\)求导得\(y^\prime=2x-2\)。令\(y^\prime\gt0\)，即\(2x-2\gt0\)，解得\(x\gt1\)，所以单调递增区间是\((1,+\infty)\)；令\(y^\prime\lt0\)，即\(2x-2\lt0\)，解得\(x\lt1\)，单调递减区间是\((-\infty,1)\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值。答案：将\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)分子分母同时除以\(\cos\alpha\)，得到\(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)，把\(\tan\alpha=2\)代入，可得\(\frac{2+1}{2-1}=3\)。3.求过点\((1,2)\)且与直线\(2x-y+1=0\)平行的直线方程。答案：已知直线斜率\(k=2\)，所求直线与之平行斜率也为\(2\)，由点斜式\(y-y_0=k(x-x_0)\)（\((x_0,y_0)=(1,2)\)）可得\(y-2=2(x-1)\)，整理得\(2x-y=0\)。4.已知椭圆方程\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，求椭圆的长轴长、短轴长、焦距。答案：由椭圆方程\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)知\(a^2=9\)，\(b^2=4\)，则\(a=3\)，\(b=2\)，\(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5}\)。长轴长\(2a=6\)，短轴长\(2b=4\)，焦距\(2c=2\sqrt{5}\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=\sinx\)与\(y=\cosx\)在\([0,2\pi]\)上的单调性及取值范围的联系与区别。答案：在\([0,2\pi]\)上，\(y=\sinx\)在\([0,\frac{\pi}{2}]\)递增，\([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\)递减，\([\frac{3\pi}{2},2\pi]\)递增；\(y=\cosx\)在\([0,\pi]\)递减，\([\pi,2\pi]\)递增。取值范围都在\([-1,1]\)，但取得最值的\(x\)值不同，如\(\sinx\)在\(x=\frac{\pi}{2}\)取\(1\)，\(\cosx\)在\(x=0\)取\(1\)。2.探讨直线与圆的位置关系的判断方法及在实际问题中的应用。答案：判断方法有几何法，比较圆心到直线距离\(d\)与半径\(r\)大小，\(d\gtr\)相离，\(d=r\)相切，\(d\ltr\)相交；还有代数法，联立直线与圆方程，看判别式\(\Delta\)。实际中可用于计算建筑物与道路的距离关系等。3.分析等比数列和等差数列在通项公式、性质及求和公式上的差异。答案：通项公式上，等差数列\(a_n=a_1+(n-1)d\)，等比数列\(a_n=a_1q^{n-1}\)。性质方面，等差数列有\(a_m+a_n=a_p+a_q(m+n=p+q)\)，等比数列\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q(m+n=p+q)\)。求和公式，等差数列\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\f