2025版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式练习含解析新人教A版选修4-5

PAGEPAGE4二一般形式的柯西不等式基础巩固1设a,b,c>0,且a+b+c=1,则aA.1 B.解析：由柯西不等式,得[(a)2+(b)2+(c∵a+b+c=1,∴(a+b+c当且仅当a=b=c=13∴答案：B2设a,b,c,x,y,z是正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则aA.解析：由柯西不等式,得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=400,当且仅当ax答案：C3已知aA.1 B.2 C.3 D.4解析：(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(当且仅当ai=xi=nn(i=故a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是1.答案：A4已知实数a,b,c,d满意a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,则a的最大值是()A.1 B.2 C.3 D.4解析：由柯西不等式,得(2b2+3c2+6d2)12+13+16≥(b+c+d)2,即2b2+3c2+当且仅当2b又b+c+d=3-a,2b2+3c2+6d2=5-a2,故5-a2≥(3-a)2,解得1≤a≤2,即a的最大值是2.答案：B5n个正数的和与这n个正数的倒数的和的乘积的最小值是()A.1 B.n C.n2 D.解析：设n个正数为x1,x2,…,xn,由柯西不等式,得(x1+x2+…+xn)≥x=(当且仅当x1=x2=…=xn时,等号成立.答案：C6若x,y,z∈R+,且1答案：97设a,b,c为正数,则(a+b+c)4解析：(a+b+c)当且仅当a2答案：1218设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为.

解析：2x+2y+z+8=0⇒2(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.考虑以下两组向量:u=(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(u·v)2≤|u|2·|v|2;即[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2≤(22+22+12)·[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2].所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥(-当且仅当x=-1,y=-4,z=2时,等号成立,此时取得最小值9.答案：99已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为.

解析：由柯西不等式,得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)≥(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c2≥12,当a=2b=3c=2时,等号成立,所以a2+4b2+9c2的最小值为12.答案：1210设x1,x2,x3,…,xn都是正实数,且x1+x2+x3+…+xn=S.求证:分析：本题须要构造出S-x1+S-x2+…+S-xn.证法一：依据柯西不等式,得不等式左边=[(S-x1)+(S-x2)+…+(S-xn)]·1=1(x=1(n-=1(n-1故原不等式成立.证法二：∵a>0,∴a+1∴a≥2-1a,当且仅当∴xi2n个式子相加,有x1实力提升1若实数x+y+z=1,则2x2+y2+3z2的最小值为()A.1 B.6 C.11 D.解析：∵(2x2+y2+3z2)≥2=(x+y+z)2=1,∴2x2+y2+3z2≥112+1+1∴2x2+y2+3z2的最小值为答案：D2已知a+b+c=1,且a,b,c>0,则2A.1 B.3 C.6 D.9解析：∵a+b+c=1,∴=2(a+b+c)=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·1a+b+1b+c当且仅当a=b=c=13答案：D3若aA.-25 B.-5 C.5 D.25解析：由柯西不等式,得(a12+a22+…+an2)(a22+a32+…∴|a1a2+a2a3+…+an-1an+ana1|≤5.∴-5≤a1a2+a2a3+…+an-1an+ana1≤5.故所求最小值为-5,应选B.答案：B4已知2x+3y+z=8,则x2+y2+z2取得最小值时,x,y,z形成的点(x,y,z)=.

解析：由柯西不等式,得(22+32+12)(x2+y2+z2)≥(2x+3y+z)2,即x2+y2+z2≥8214又2x+3y+z=8,解得x=故所求点为答案：85已知实数x,y,z满意x+2y+z=1,则x2+4y2+z2的最小值为.

解析：由柯西不等式,得(x2+4y2+z2)(1+1+1)≥(x+2y+z)2.∵x+2y+z=1,∴3(x2+4y2+z2)≥1,即x2+4y2+z2≥1当且仅当x=2y=z=即x=13故x2+4y2+z2的最小值为答案：16已知二次三项式f(x)=ax2+bx+c的全部系数均为正数,且a+b+c=1,求证:对于任何正数x1,x2,当x1x2=1时,必有f(x1)f(x2)≥1.证明：f(x1)f(x2)=(a≥[a(=f2(x1x2)=f2