河北省唐山市百师联盟2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省唐山市百师联盟2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．这10人成绩的第百分位数是85，则（）A.65 B.70 C.75 D.80【答案】B【解析】因为10人成绩的第百分位数是，而，即第位与第位的平均值，所以是这10人成绩的第百分为数.故选：B.2.集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，故.故选：A.3.如图，中，为边的中点，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在中，为边的中点，为的中点，则.故选：A.4.下列函数中，是奇函数且是增函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】选项A，因为且定义域为R，函数为偶函数，故A不合题意；选项B，由且定义域为R，函数为奇函数，由指数函数单调性及解析式，知函数在定义域上单调递增，符合题意；选项C，函数为奇函数且，可知函数在定义域上单调递减，故C不合题意；选项D，函数定义域为1,+∞，不关于原点对称，不具有奇偶性，故D不合题意故选：B.5.已知等差数列，前项和为，则（）A.20 B.25 C.30 D.35【答案】C【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，化简得，故选：C.6.在三棱锥中，已知底面，CA=CB=PA=2，，则三棱锥外接球的体积为（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，将三棱锥补形成正方体，如图，则该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，因为CA=CB=PA=2，则该正方体的体对角线长为，所以外接球的直径，，则外接球的体积．故选：C7.已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（）A.2 B. C.8 D.【答案】D【解析】圆，圆心，半径为3，如图，为弦的中点，，共线时等号成立，.故选:D.8.已知（其中为自然对数的底数），则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据的形式转化可得，从而构造函数，则，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在，上单调递增，，即，又，所以，即.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线过点，则（）A.拋物线标准方程可能为B.抛物线的标准方程可能为C.过点与抛物线只有一个公共点直线有一条D.过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条【答案】ABD【解析】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线中得，则拋物线的方程为，故A正确；对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线中得，则抛物线为，故B正确；对于C、D选项，过点与对称轴平行的直线，以及抛物线在点处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确.故选：ABD.10.已知是虚数单位，若，则（）A.复数的虚部为； B.复数对应的点在第二象限；C.； D.复数是关于的方程的一个根.【答案】ABD【解析】由题意可得，，复数的虚部为，故A正确；，对应的点在第二象限，故B正确；，故C错误；由可得复数是关于的方程的一个根.故D正确.故选：ABD11.已知点是正方体表面上的一个动点，则以下说法正确的是（）A.当在平面上运动时，四棱锥的体积不变B.当在线段上运动时，与所成角的取值范围是C.若点在底面上运动，则使直线与平面所成的角为的点的轨迹为椭圆D.若是的中点，点在底面上运动时，不存在点满足平面【答案】AB【解析】不妨设正方体棱长为.A选项，当在平面上运动时，点到平面的距离为2，所以四棱锥的体积，故A正确；B选项，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，如图，，设与所成角为，则，当时，.，则，，，，即，当时，，所以，又因为，所以，故B正确；C选项，若点在底面上运动，设，平面的法向量取，则直线与平面所成的角为时，有，化简为，则点的轨迹为四分之一圆，故C错误；D选项，如图，，因为，且平面，所以平面，即向量是平面的法向量，，若平面，则，即，因为直线与正方形有公共点，即存在点满足平面，故D错误；故选：AB.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数在点处的切线的斜率为1，则__________.【答案】1【解析】由题可知，所以.故答案为：1.13.楷书也叫正楷，真书，正书，是从隶书演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范，线条平直自然，结构匀称方正，运笔流畅有度，《辞海》解释楷书“形体方正，笔画平直，可作楷模”，故名楷书.楷书中笔画“竖”的写法主要有垂露竖､悬针竖和短竖三种.小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随机选用其中任意一种，现在小君在一行内写了5个“十”字，若只比较5处竖的写法，不比较其它笔画，且短竖不超过3处，则这5个“十”字的不同写法共有__________种.（用数字作答）【答案】232【解析】当短坚为3处时，不同写法有40种，当短坚为2处时，不同写法有种，当短坚为1处时，不同写法有种，当短坚为0处时，不同写法有种，所以一共有种不同写法.故答案为：232.14.如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为__________.【答案】3【解析】以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，，则，因为，所以当时，取最大值，最大值为3.故答案为：3.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知为数列的前项和，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）在数列中，，当时，，两式相减得，即，当时，，解得，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，所以数列的通项公式是.（2）由（1）得：，所以.16.某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，数据如下：单位：人男生女生合计同意7050120不同意305080合计100100200（1）能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关？（2）现有足球、篮球、跳绳供学生选择．①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响．已知在甲学生选择足球的前提下，两人的选择不同的概率为．记事件为“甲学生选择足球”，事件B为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件、是否独立，并说明理由．②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟跳182个以上人数（结果四舍五入到整数）．参考公式和数据：，其中；0.0250.0100.0055.0246.6357.879若，则，，．解：（1）提出假设：学生对该问题的态度与性别无关．根据列联表中的数据可求得，．因为当成立时，的概率约为，所以有的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关．（2）①事件、独立．理由如下：因为，，所以，所以，即事件、独立．②记经过训练后每人每分钟跳绳个数为，由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数．因为，所以．所以（人）．所以经过训练后该校每分钟跳个以上人数约为．17.在锐角中，内角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）当时，求面积的最大值.解：（1）因为，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，又因为，故.（2）由正弦定理得，所以，所以，因为为锐角三角形，所以解得，所以，所以，故，所以的取值范围为，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.18.已知椭圆经过点和点，椭圆的焦距为2.（1）求椭圆的方程；（2）和是椭圆上异于的两点，四边形是平行四边形，直线分别交轴于点和点是椭圆的右焦点，求四边形面积的最小值.解：（1）由已知，所以，所以椭圆的方程为.（2）如图所示，因为四边形是平行四边形，所以线段与线段的中点重合，所以关于原点对称.设Px1,y1，则且所以直线的方程为y=y1令，得，即.又，直线的方程为，令，得，即.四边形面积为，①，因为点在椭圆上，所以且，所以②，将②代入①得，所以当时，.所以四边形面积的最小值为.19.已知函数.（1）若方程有两解，求实数的取值