河南省开封市五校2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省开封市五校2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A，B两所大学分别有7，8个自己感兴趣的专业，若这名同学只能从这些专业中选择1个，则他不同的选择种数为（）A.56 B.15 C.28 D.30【答案】B【解析】不同的选择种数为.故选：B.2.函数在处的导数等于（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】函数，求导得，所以.故选：A3.据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，故当时，，即时，“高原版”复兴号动车的加速度为，故选：B4.中国体育代表团在2024年巴黎奥运会获得40金27银24铜共91枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一､创造了参加境外奥运会的最佳战绩.巴黎奥运会中国内地奥运健儿代表团于8月29日至9月2日访问香港､澳门.访问期间，甲､乙､丙3名代表团团员与4名青少年站成一排拍照留念，若甲､乙､丙互不相邻，则不同的排法有（）A.2880种 B.1440种 C.720种 D.360种【答案】B【解析】第一步先排4名青少年共有种排法，第二步把甲､乙､丙插在4名青少年中间有种排法，所以根据分步乘法计数原理共有种排法，故选：B.5.函数的极小值点为（）A. B. C.0 D.1【答案】C【解析】，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值点为0．故选：C6.某5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（）A.21 B.30 C.42 D.60【答案】C【解析】7位同学排成一排准备照相时，共有种排法，如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则有种排法.故选：C7.已知函数存在单调递增区间，则实数取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知的定义域为，又，由题意可知上有解，即在上有解，可得，所以．故选：C．8.将7名身高不同的学生从左往右排成一列，记第名学生的身高为，当时，由于学生的身高变化像字母，所以也叫“数列”，则满足条件的“数列”共有（）A.61个 B.65个 C.68个 D.71个【答案】D【解析】记这7名学生的身高由低到高分别为数字1，2，3，4，5，6，7，因为都比大，所以只能为，或.当时，有种选法，剩余数字中的最大值作为，所以有种选法，剩下一个数作为，共有个“数列”；当时，有种选法，剩余数字中的最大值作为，剩余两个数排，有种选法，共有个“数列”；当时，，从4，5，6，7中选2个数作为有种选法，剩余2个数为，共有6个“数列”.综上所述，满足条件的“数列”共有个.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则满足不等式的的值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】AB【解析】因为，所以，即，又，所以或4.故选：AB.10.已知，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】对于A选项，令，得，故A正确；对于B选项，令，得，故B错误；对于C选项，令，得，故C错误；对于D选项，将，两式相加，得，即，故D正确.故选：AD11.已知是函数的极值点，则（）A.有3个零点B.当时，C.曲线关于点对称D.过点与曲线相切直线有2条【答案】CD【解析】，则，解得，则，当时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，极大值为，所以有1个零点，A错误；由，得，所以，又在上单调递增，所以，故B错误；因为，所以曲线关于点对称，C正确；设过点的直线与曲线相切于点，所以切线方程，将点代入切线方程为，整理得，即，解得，或，过点的直线与曲线相切于点或，因此过点与曲线相切的直线有2条，D正确．故选：CD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则__________．【答案】【解析】由，得，所以，解得．故答案为：13.某班组织一次认识大自然的活动，有6名同学参加，其中有3名男生，3名女生，现要从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽取的3名同学中既有男生又有女生的抽取方法共有______种．【答案】18【解析】抽取的3名同学中既有男生又有女生包含2种情况：1名男生，2名女生；2名男生，1名女生.所以满足要求的抽取方法共有（种）.故答案为：1814.设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______．【答案】【解析】，设，则，所以，，所以，因为与的图象若恰有3组对称点，所以有三组解，可得即有三个解，令，即函数与的图象有3个不同的交点，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递减，所以，，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求曲线在点处切线的方程；（2）求函数的极值．解：（1）由，得，因为，所以，所以曲线在点处切线的方程为，即．（2）令，得或，当变化时，的变化情况如下表：300单调递减极小值单调递增极大值单调递减又，所以函数的极小值为，极大值为13．16.在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64.（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中二项式系数最大的项.解：（1）由题意可得，解得，所以该二项式，则通项公式为：．令，解得，所以该二项式的展开式中的常数项为．（2）因为，易知：展开式第四项二项式系数最大，即,所以展开式中二项式系数最大的项.17.已知等差数列满足成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：（1）因为数列为等差数列，则，即，又因为成等比数列，则，联立方程，解得或，且，则，可知公差，所以数列的通项公式.（2）由（1）可得：，所以.18.已知椭圆的两个焦点坐标分别为、，且椭圆经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知圆，过圆上任意一点作圆的切线，若与椭圆交于、两点，求的面积的最大值．解：（1）设椭圆的标准方程为，由题意可得，解得，因此，椭圆的标准方程为.（2）当切线的斜率不存在时，易知点的坐标为或，若点的坐标为时，则直线的方程为，联立可得，不妨取点、，此时，；当切线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，易知圆的圆心为原点，半径为，因为直线与圆相切，则，可得，联立可得，，由韦达定理可得，，，当且仅当时，即当时，等号成立，此时，，且，因此，面积的最大值为.19.已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为0．（1）求的值；（2）证明：对；（3）已知数列的前项和,证明:．解：（1）由，得，因为函数的极