河南省郑州市十所省级示范性高中2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省郑州市十所省级示范性高中2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，所以.故选：B2.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，则，解得且，所以函数的定义域为故选：B3.已知，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由，得或，由，得或，因为或成立推不出或成立，反之也不成立，所以既不是的充分条件，也不是的必要条件.故选：D4.若为偶函数，为奇函数，且，则的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由得：，即，由解得：，由，排除BC．由指数函数的性质（指数爆炸性）排除D．故选：A5.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，即，解得或，令，则的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，又是增函数，在上单调递减，在上单调递增.故选：B.6.若函数是上的增函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为函数是上的增函数，所以，解得：，故选：.7.已知的定义域为，且满足，对任意，都有，当时，.则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设且，对任意，都有即，,，，又当时,，,在上是增函数，令,则,令,，则，，结合的定义域为，且在上是增函数，又恒成立，，，不等式的解集为，故选：B.8.已知函数是上的奇函数，对任意的，，设，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，即，故函数在上单调递增，是上的奇函数，故是上的偶数，，，.，故.故选：A二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.至少有一个实数，使B.“”是“”的充分不必要条件C.命题“”的否定是假命题D.“集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件【答案】BD【解析】对于A，在实数范围内，，，故A错误；对于B，若，则，充分性成立，若，如，此时，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；对于C，命题“”的否定是，由二次函数的性质可得开口向上，，所以恒成立，故C错误；对于D，若集合中只有一个元素，当时，；当时，可得，所以必要性成立，故D正确；故选：BD.10.已知正实数满足，则下列说法不正确的是（）A.的最大值为 B.的最小值为2C.的最大值为2 D.的最小值为2【答案】AC【解析】对于A，因为，所以，因为为正实数，所以，解得：，，由二次函数的性质可知的无最大值，故A错误；对于B，，当且仅当时取等号，故B正确；对于C，，当且仅当时取等号，所以的最大值为1，故C错误；对于D，因为，所以，，当且仅当，即时取等，故D正确.故选：AC.11.给出定义：若，则称为离实数最近的整数，记作.在此基础上给出下列关于函数的四个结论，其中正确的是（）A.函数值域为B.函数是偶函数C.函数在上单调递增D.函数图象关于直线对称【答案】ABD【解析】根据的定义知函数的定义域为,又，则即所以故函数值域为，正确；函数的图象如下图所示，有图可知函数是偶函数，正确；函数在上有增有减，错误；由图可知的图象关于对称，正确.故选：三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.【答案】3【解析】〖祥解〗将代入分段函数中即可得出答案.【详析】因为，所以.故答案为：3.13.已知函数，计算_________．【答案】【解析】〖祥解〗先求出，再观察所求，倒序相加即可得解.【详析】由，得，所以.故答案为：.14.下列结论中，正确的结论有__________（填序号）.①若，则的最大值为②当时，函数的最大值为1③若正数满足，则的最小值为④若为不相等的正实数，满足，则【答案】③④【解析】对①：由，则，故当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为，故①错误；对②：，当且仅当时，等号成立，故函数的最大值为，故②错误；对③：由，故，又为正数，故，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故③正确；对④：若为不相等的正实数，满足，则由，则，又为不相等的正实数，故，则，当且仅当，或，时，等号成立，故④正确.故答案为：③④.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤.15.（1）求值：；（2）已知，求值：.解：（1）（2），16.设全集，集合.（1）若时，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）当时，，则，或，故；（2）因为，所以，若，则，即，若，则，无解；综上，当时，的取值范围是.17.已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，求的值；（2）当时，（i）若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围；（ii）解关于的不等式.解：（1）依题意，关于的方程的两个根为1和2，于是得，解得，所以.（2）当时，，（i）函数的对称轴为，因函数在上为单调递增函数，则，解得，所以实数的取值范围是；（ii）不等式为，即，当时，解得或，当时，解得，当时，解得或，综上可知，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.18.在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．解：（1）因为，所以；（2）当时，，由函数性质可知当时单调递增，所以当时，，当时，，由不等式性质可知，当且仅当，即时，等号成立，所以，综上当时，.19.已知函数在区间上有最大值4和最小值1．设．（1）求的值;（2）若不等式在上有解,求实数的取值范围;（3）若有三个不同的实数解,求实数的取值范围．解：（1）由题知,因为,所以为开口向上的抛物线，且有对称轴为,所以在区间上是单调增函数,则，即，解得;（2）由（1）得，则,因为在上有解，即,使得成立，因为,所以有成立,令,因为,所以,即,使得成立,只需即可,记,因为,得,所以的取值范围是;（3）因为有三个不同实