黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校2024-2025学年高二下学期5月期中 数学试题（含解析）

黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校2024−2025学年高二下学期5月期中数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．曲线在点处的切线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．记为等差数列的前项和，若，则=（

）A．1 B．2 C．4 D．83．5名同学去听同时进行的3个名师讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个讲座，则不同的选择种数是（

）A．53 B．35 C．5×4×3 D．5×44．已知0，1，2，3，4，5这6个数字，从中取三个不同的数字，把其中最大的数字放在个位上排成三位数，这样的三位数有（

）A．20个 B．30个 C．40个 D．55个5．已知，则（

）A． B． C． D．6．若二项式的展开式中各项的系数和为，则该展开式中含项的系数为（

）A． B． C． D．7．已知数列的首项，当时，，若，则的值可以是（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．20258．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示．则函数的零点个数不可能为（

）个．x-10451221A．2 B．3 C．4 D．5二、多选题（本大题共3小题）9．（多选题）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（

）A．若，则的通项公式B．若，则是等比数列C．若是等差数列，则D．若是等比数列，且，，则10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校计划在校本课程中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（

）A．课程“礼”不排在第一天和最后一天的不同排法共有480种B．课程“射”必须排在课程“数”前面的不同排法共有360种C．课程“乐”、“射”相邻的不同排法共有120种D．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有144种11．已知函数，则（

）．A．函数在点处的切线方程是 B．函数的递减区间为C．函数存在最大值和最小值 D．函数有三个实数解，则三、填空题（本大题共3小题）12．已知函数，曲线在点处的切线方程为.13．已知数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列.若，则.14．设，，…，，是1，2，…，的一个全排列，把排在左边且小于的数的个数称为的顺序数（，2，…，）.例如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数是1，而3的顺序数是0.则在由1，2，…，8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．16．已知函数．（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最值．17．已知数列满足，且点在直线上.(1)求数列的通项公式；(2)数列前项和为，求能使对恒成立的（）的最小值.18．已知函数.（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值；（2）若函数的极大值不小于，求实数的取值范围.19．随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．（1）数列的通项公式为，试判断数列，是否为等差数列，请说明理由?（2）数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求a的值．

参考答案1．【答案】B【详解】因为，所以，，设线在点处的切线的倾斜角为，由导数的几何意义知，即.所以曲线在点处的切线的倾斜角为.故选B.2．【答案】B【详解】先将已知式转化成关于基本量的方程，解方程得到，再写出通项公式并计算即可.【详解】等差数列的公差是d，则，，即，联立，解得，则.故选B.3．【答案】B【详解】根据题意，每名同学可自由选择其中的一个讲座，即每位同学均有3种讲座可选择，则5位同学共有种不同的选法.故选B.4．【答案】B【详解】若这三个数字里没有，则共有个，若这三个数字里有，则共有个，则共有个.故选B.5．【答案】C【详解】因为，所以.所以.故选C6．【答案】B【详解】由题设及二项式定理可得，则，由题意，即，所以展开式中含项的系数为．故选B．7．【答案】C【详解】由已知可得：，故数列的周期为3，因为，所以可以为2024．故选C8．【答案】D【详解】由导函数的图象知，函数在，上都单调递增，在，上都单调递减，，函数有最大值，函数在处取得极小值，显然，函数的零点个数即是直线与函数的图象交点个数，当时，直线与函数的图象有4个交点，C可能；当时，若，直线与函数的图象有2个交点，A可能；若，直线与函数的图象有3个交点，B可能；若，直线与函数的图象有4个交点，C可能，所以函数的零点个数不可能为5个，即D不可能.故选D9．【答案】BC【详解】A．当时，，故错误；B．当时，，当时，，符合的情况，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，故正确；C．因为是等差数列，所以，故正确；D．当时，，所以显然不成立，故错误；故选BC.10．【答案】ABD【详解】A.“礼”不排在第一天和最后一天，则排在中间4天中的1天，所以不同排法有，故A正确；B.顺序一定问题，不同的排法种数为，故B正确；C.相邻问题，采用捆绑法，不同的排法种数为，故C错误；D.不相邻问题，采用插空法，不同的排法种数为，故D正确.故选ABD11．【答案】ABD【详解】由，得,所以，又，所以函数在点处的切线方程是，即，故A正确；令，可得，解得；令，解得或，所以函数在上单调递减，在和上单调递增，且，，当时，,作出函数的图形，如图所示，可得A、B正确；所以，无最大值，故C错误；若方程有三个实数解，即与的图象有三个不同的交点，可得，故D正确..故选ABD.12．【答案】【详解】由函数可得，，∴，即切线的斜率，∴切线方程为，即.13．【答案】【详解】根据题意可知是以为首项，公比为2的等比数列；所以可得，即，因此.14．【答案】144【详解】依题意，在8的左边有2个比8小的数，在7的左边有3个比7小的数，在5的左边有3个比5小的数，由于8是最大的数，则8必排在左起的第3位，而7必须排在左起的第5位，5只能在7的右边，若6在5的右边，则5与7必相邻，共有种排法，若6在5的左边，则5必在左起的倒数第二位，共有种排法，所以总共有种排法.15．【答案】（1）（2）且【详解】（1）若等差数列公差为，则，即，由，则，所以的通项公式.（2）由题设，当为偶数，则；当为奇数，则；所以且.16．【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为（2）最小值为，最大值为1【详解】（1）．当或时，．，的变化情况如表-1+0-0+的单调递增区间为，，单调递减区间为（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增．为极小值点．，，所以的最小值为，最大值为117．【答案】(1)(2)5【详解】（1）点在直线上，得，

所以数列是以首项为，公差为2的等差数列．

故，即．（2），

所以即，因，故，故要使对恒成立，需使，即，

又，所以的最小值为5.【方法总结】裂项相消法把数列和式中的各项分别裂开后，可以消去一部分，从而计算和的方法，适用于通项为1an·an+1的前n项和，其中{an}常见的拆项方法：①12n-12n+1＝②1nn+1n+2＝12[1③1nn+k＝④kanan-1an+1-1＝ka-1(118．【答案】（1）（2）【详解】（1）解：因为，则，在直线方程中，令，可得，由题意可得，解得.（2）解：因为函数的定义域为，.当时，对任意的，，即函数在上单调递增，此时函数无极值；当时，由，可得，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，故函数的极大值为，整理可得，令，其中，则，故函数在上单调递增，且，由可得，解得.因此，实数的取值范围是.19．【答案】（1）不是等差数列；是等差数列；理由见解析（2）【详解】（1）不是等差数列；是等差数列；理由如