湖南省衡阳市祁东县第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试 数学试题（含解析）

湖南省衡阳市祁东县第一中学2024−2025学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知的值是（

）A．2 B．1 C． D．2．国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（

）A．65 B．125 C．780 D．15603．已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．4．现从男、女共8名学生中选出2名男生和1名女生分别参加学校“资源”“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女学生的人数分别是（

）A．2，6 B．3，5 C．5，3 D．6，25．在区间上的最大值是（

）A． B． C． D．6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．7．已知，则下列结论正确的有（）A． B．C． D．8．已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则（

）A．恰好有1件是不合格品的抽法种数为B．恰好有2件是不合格品的抽法种数为C．至少有1件是不合格品的抽法种数为D．至少有1件是不合格品的抽法种数为10．已知函数f(x)=x3-3lnx-1，则（

）A．f(x)的极大值为0 B．曲线y=f(x)在（1，f（1）)处的切线为x轴C．f(x)的最小值为0 D．f(x)在定义域内单调11．已知函数，则以下结论正确的是（

）A．在上单调递增，在上单调递减B．C．函数只有1个零点D．存在实数k，使得方程有4个实数解三、填空题12．曲线在点的切线方程为．13．中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有种（要求：用数字填空，用式子填空不给分）14．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是四、解答题15．已知函数在处取得极小值.（1）求a，b的值;（2）当时，求的最大值.16．在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.

（1）求的值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项.17．某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元．（1）试写出y关于x的函数关系式．（2）问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费y有最小值？最小值是多少？（参考数据：）18．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值；（3）若在上恒成立，求实数a的取值范围．19．设.（1）讨论在上的单调性；（2）令，试证明在上有且仅有三个零点.

参考答案1．【答案】A【详解】依题意，.故选A2．【答案】D【详解】6人分成4组有两种方案：“”、“”共有种方法，4组分配到4个大门有种方法；根据乘法原理不同的分配方法数为：.故选:D.3．【答案】C【详解】由图象知的解集为，的解集为，或，所以或，解集即为．故选C4．【答案】B【详解】设男生有人，则女生有人，且．由题意可得，即，得，故，即男、女学生的人数分别是3，5.故选B．5．【答案】D【详解】，，令，解得.所以，，为减函数，，，为增函数，又因为，，所以函数在的最大值为.故选D6．【答案】B【详解】令，则，令，解得，所以在上单调递增，令，解得，所以在上单调递减.，，，因为，所以，即.故选B7．【答案】D【详解】对于A，取，得，故A错误；对于B，的展开式中第7项为，所以，故B错误；对于C，取得，所以，故C错误；对于D，由，取得，取得，所以，故D正确.故选D8．【答案】D.【详解】因为当时，，所以，因此当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，，当时，有，所以函数在上单调递减，在上单调递增，作出函数的图象，如图所示：由此可得，当时，令，解得或，所以，又因为，所以，所以.由题意可得，，是方程的三个根，即是的三个根，所以，即，所以，即，所以．故选.9．【答案】ACD【详解】由题意知，抽出的3件产品中恰好有1件不合格品，则包括1件不合格品和2件合格品，抽法种数为，故选项A正确；恰好有2件不合格品，则包括2件不合格品和1件合格品，抽法种数为，故选项B不正确；根据题意，至少有1件不合格品可分为有1件不合格品与有2件不合格品两种情况，则抽法种数为，故选项C正确；至少有1件不合格品的对立事件是3件都是合格品，3件都是合格品的抽取方法有种，则至少有1件是不合格品的抽法种数为，故选项D正确.故选ACD.10．【答案】BC【详解】f(x)=x3-3lnx-1的定义域为，令，得，列表得：x(0,1)1(1,+∞)-0+f(x)单减单增所以f(x)的极小值，也是最小值为f（1）=0，无极大值，在定义域内不单调；故C正确，A、D错误；对于B:由f（1）=0及，所以y=f(x)在（1，f（1）)处的切线方程，即.故B正确.故选BC11．【答案】BCD【详解】对于选项A：由题意可知：函数的定义域为，因为，当，则；当，则；可知在上单调递减，在上单调递增，故A错误；对于选项B：因为，且在上单调递增，所以，故B正确；对于选项C：令，解得，所以函数只有1个零点，故C正确；对于选项D：令，则，若，，方程成立；若，则，构建，则，当时，；当或时，；可知在内单调递减，在内单调递增，且，当趋近于，趋近于0，可得的图象如图所示：当时，则与有3个交点，即方程有3个根；综上所述：存在实数k，使得方程有4个实数解，故D正确；故选BCD.12．【答案】【详解】因为，所以，又过点，所以切线方程为，即.13．【答案】【详解】由题意得，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到，当“立春”和“惊蛰”、“惊蛰”和“清明”均相邻时，只有2种排法，即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布两侧，此时再用捆绑法，将三者捆在一起即，所以最终满足题意的排法为.14．【答案】【详解】因为不等式在上恒成立，所以两边同除以得在上恒成立，令，定义域为，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.令，则，即在上恒成立，即在上恒成立，所以只需即可，令，则，令，则在上恒成立，单调递增，又因为，所以当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，所以，即.15．【答案】（1）（2）5【详解】（1）因为，则，由题意可得：，解得，当时，则，，当或时，；当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，则函数在处取得极小值，符合题意，所以.（2）因为，由（1）可知：在内单调递减，在内单调递增，且，即，所以当时，求的最大值为.16．【答案】（1）；（2），，，；（3）.【详解】（1）由题意知：，则第4项的系数为，倒数第4项的系数为，则有即，.（2）由（1）可得，当时所有的有理项为即，，，.（3）设展开式中第项的系数最大，则，，故系数最大项为.17．【答案】（1）（2）需建19座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为44.72万元【详解】（1）（1）由题意知，需要新建的高压线塔为座．

所以，

即．（2）由（1），得，

令得或（舍去）．

由，得；由，得，所以函数y在区间上单调递减；在区间上单调递增．

所以当时，函数y取得最小值，且，此时应建高压线塔为（座）．

故需建19座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为44.72万元．18．【答案】（1）（2）增区间为；减区间为；极小值为，无极大值；（3）【详解】（1）由题意知函数，故故，故曲线在点处的切线方程为；（2）由（1）可知：令，解得，故的单调递减区间为；令，解得，故的单调递增区间为；则为函数的极小值点，则函数极小值为，无极大值；（3）在上恒成立，即，此时，即在上恒成立，令，则，故在上单调递增；故，故.19．【答案】（1）的单调递增区间是，递减区间是；（2）证明见解析.【详解】（1）首先求导得到，再根据导函数的正负性即可得到函数的单调区间.（2）首先根据，得到是的一个零点，再根据是偶函数得到在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可，再求出在时的单调性和最值，确定其零点个数即可.【详解】，令，则