江苏省无锡市青山高级中学2024-2025高二下学期期中考试 数学试卷（含解析）

江苏省无锡市青山高级中学2024−2025高二下学期期中考试数学试卷一、单选题1．若，则（

）A．2 B．4 C．2或4 D．2或32．已知随机变量服从正态分布，则（

）A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.843．在的展开式中，的系数是（

）A． B． C．20 D．804．2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合再次以获胜的概率为（

）A． B． C． D．5．已知函数的导函数为，且，则（

）A． B． C． D．6．甲､乙､丙､丁､戊､己共6名同学进行数学文化知识比赛，决出第1名到第6名的名次.甲､乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名.”对乙说：“你和丙的名次是相邻的.”从对这两人回答分析，这6人的名次排列的所有可能不同情况有（

）种.A．144 B．156 C．168 D．1927．已知函数，若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．8．如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钓着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，若从顶端投入1024粒小球，则落入3号格子的小球的均值为（

）A．93 B．120 C．210 D．300二、多选题9．已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列结论正确的是（

）-213A． B．C． D．10．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），记“男生甲被选中”，“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．11．对于函数，下列结论正确的（

）A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点C． D．若恒成立，则三、填空题12．一质点的运动方程为（s的单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为.13．展开式中的系数为．14．已知函数有三个不同的零点，其中则的值为.四、解答题15．3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．（1）从中选出1名男生和3名女生排成一列；（2）全体站成一排，男生必须站一起；（3）全体站成一排，甲不站排头，乙站在排尾．16．已知，求解：（1）；（2）；（3）．17．已知函数．（1）当时，求的单调区间与极值；（2）若在上有解，求实数的取值范围．18．DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．19．已知函数（1）当时，求曲线)在点处的切线方程;（2）讨论函数的单调性；（3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值.

参考答案1．【答案】D【详解】因为，所以或，解得或.故选D.2．【答案】C【详解】由题意得，由正态曲线的对称性知，所以．故选C3．【答案】D【分析】先求出展开式中的通项，再求出值即可．【详解】展开式中的通项公式为：，令，则，展开式中的系数为，故选D．4．【答案】B【详解】“莎头”组合再次以获胜，即前局“莎头”组合胜局、负局，第局“莎头”组合获胜，所以“莎头”组合再次以获胜的概率.故选B5．【答案】D【详解】由可得，令可得，即.故选D6．【答案】C【详解】依题意，甲､乙都不能排第一名，乙和丙的名次相邻，当丙是第一名时，则第二名肯定是乙，则共有种不同名次排列情况；当丙不是第一名时，甲､乙都不能排第一名，乙和丙的名次相邻，则共有种不同名次排列情况，故共有种不同名次排列情况.故选C7．【答案】D【详解】由可得，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即，即，令，则，当时，，则单调递增，所以，所以，即.故选D8．【答案】B【详解】由于小球是等概率的向左或向右下落，则最后落入格子的号码数，所以，又1024个小球落入第三个格子的球数，所以，即落入第三个格子的球数均值为120.故选B.9．【答案】BD【详解】对于，由分布列的性质可得，解得，故错误；对于，故B正确；对于，故C错误；对于D，，故D正确.故选BD.10．【答案】ACD【详解】由题意，总情况数为，符合事件的情况有先选定男生甲，再从剩下的人种选出人，则情况数为，所以，对于事件“男生甲被选定，且男生乙和女生丙至少一个被选中”，符合事件的情况有①先选定男生甲，再选定男生乙，最后再除男生甲乙与女生丙之外的人中选出人，则情况数为，②先选定男生甲，再选定女生丙，最后再除男生甲乙与女生丙之外的人中选出人，则情况数为，③先选定男生甲，再选定男生乙与女生丙，则情况数为，所以，对于事件，易知其对立事件“男生乙与女生丙都不选”，则事件的情况有从除男生乙与女生丙之外人选人，则情况数为，所以，由条件概率公式可得．故选ACD．11．【答案】ACD【详解】由函数，可得，令，解得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，所以A正确；当时，，当时，，则函数的图象，如图所示，所以函数有且仅有一个零点，所以B错误；由函数的图象，可得，因为，所以，所以C正确；若在恒成立，则在恒成立，令，可得，当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以，所以，所以D正确.故选ACD.12．【答案】12【详解】因为质点的运动方程为，所以，所以当时的瞬时速度为.13．【答案】【详解】因为展开式通项，所以展开式中项为：，所以展开式中的系数为.14．【答案】1【详解】设，，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且时，；时，，∴，作出的图象，如图要使有三个不同的零点，其中令，则需要有两个不同的实数根（其中）可得，∵，∴，则∴，则，且∴.15．【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）从3名男生中任选1名有种选法，从4名女生中任选3名有种选法，再将选取的4人全排列有种排法，由分步乘法计数原理可得共有种排法．（2）将3个男生看作一个整体，然后与4个女生全排有种，再将3个男生全排列有种，由分步乘法计数原理可得共有种排法．（3）乙站在排尾，对于甲有种排法，其他人有种排法，由分步乘法计数原理可得共有种排法．16．【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）令，得①．令，得②，由①②，得，.（2）求，即相当于求二项式的系数和，令，得．（3）因为，两边分别求导，得，令，得．17．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值；（2）【详解】（1）当时，，所以，当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时函数有极小值，无极大值；（2）当时恒成立，所以；当，在上有解，即在上有解，即在上有解，令，，则由（1）知时，即，所以当时，当时；所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以，综上可知，实数的取值范围是.18．【答案】（1）分布列见解析，1（2）（ⅰ）；（ⅱ）1100【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．的分布列为012的数学期望．（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，，即每位员工经过培训合格的概率为．（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，，则（万元），即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．19．【答案】（1）（2）答案见解析（3）3【详解】（1）当时，