2025年江苏中考数学压轴题分项汇编：中点问题的探究（原卷版+解析）

压轴专题08中点问题的探究

9技法全归纳

知识考点与解题策略

模型一：倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形

如图①,AD是4ABC的中线，延长AD至点E使DE=AD,易证:ADC0△EDB(SAS);

如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE=FD,易证：△FDBgAEDC(SAS);

当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，

目的是对已知条件中的线段进行转移.

模型二：已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”

AA

模型解读

等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”

的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想

到：“边等、角等、三线合一”.

模型三：已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理

模型解读

在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性

质定理:DE//BC,且DE=;BC来解题，中位线定理中既有线段之间的位置关系又

有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题.

模型四：已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线

模型分析

在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三

角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD二;AB,来证明线段间的数量关系，而

且可以得到两个等腰三角形:AACD和aABCD,该模型经常会与中位线定理一起

综合应用.

模型4.与垂径定理相关的中点模型

模型解读

1）条件：如图1,已知点P是A3中点，连接0P,结论：OP±AB;

2）条件：如图2,已知点P是AS中点，过点P作MN〃AB,结论：MN是圆0的切

线；

3）条件：如图3,点P是中点，连接BP、AP,若NBPN=NA,结论：MN是圆

0切线。

模型5：与圆周角定理相关的中点模型（母子模型）

模型解读

1）条件：如图1,已知点P是筋中点，点C是圆上一点，结论：ZPCA=ZPCB.

2）条件：如图2,已知点P是半圆中点，结论：ZPCA=ZPCB=45°.

3）条件：如图3,已知点P是AS中点，结论：ZPBA=ZPCA=ZPCB=ZPAB;APDA

s/kPAC;APDB^APBC;ACAP^ACDB；ACAD^ACPBo

模型6.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型

条件：如图，AB是直径，点P是AC中点，过点P作PH_LAB交AB于点H,连结

PB交AC于点F。

结论：AD=PD=FD,PQ=AC,AP2=ADXAC=AHXAB=PFXPB.

等：

典题固基础

例题1（24-25九年级上•江苏扬州•阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，4（0,5）、8（5,0）,以点8为圆

心、3为半径的8上有一动点P.连接AP,若点C为竹的中点,连接OC,则OC的最小值为（）

D.一^2—1

c.2

例题2（24-25九年级上•江苏镇江•期中）“关联”是解决数学问题的重要思维方式.角平分线的有关联想就有

很多…

【问题提出】

【尝试应用】

(2)如图②，在Rt^ABC中，ZACB=90°,。是边A3上一点，连接C。，将ACD沿C。所在直线折叠，

使点A恰好落在边BC的中点E处.若OE=5,求AC的长；

【拓展提高】

(3)如图③，VABC中，AB=6,AC=4,AD为/B4C的角平分线.AO的垂直平分线所交2C延长

线于点R连接AF,当即=3时，AF的长为.

例题3

14.(24-25九年级上•江苏南京•阶段练习)问题提出

如图①，AB、AC是。的两条弦，AC>AB,M是BAC的中点，MD，AC，垂足为。，求证：CD^BA+AD.

图①图②

小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：

如图②，延长C4至E,使AE=4B,连接加4、MB、MC、ME、BC.

（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程.）

推广运用

如图③，等边VABC内接于（0,AB=2,。是AC上一点，ZASD=45°,AE±BD,垂足为E,则BDC

的周长是

拓展研究

如图④，若将“问题提出”中“四是BAC的中点”改成“M是8c的中点”，其余条件不变，“8=胡+4）”这

一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出C。、BA、AD三者之间存在的关系并说明理由.

s新题型特3

1、如图，已知E,尸分别为正方形ABCD的边AB,3c的中点，AF与DE交于点。为3。的中点，则

2

下列结论：①/AME=90。，②Zfl4F=ZEDB,③AM=QMF,@ME+MF=6MB.其中正确结论的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

2、（24-25九年级上•江苏无锡•阶段练习）如图，在矩形ABCD中，M是A。边的中点，BM1AC,交直线

AC于点N,连接ON,则下列结论中：①CN=2AN；②DN=DC；③AD=sfiCD;④£\AMNsACAB.正

确的有（）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④

3、如图，48是的直径，A5=4,点C是上半圆A8的中点，点。是下半圆A8上一点，点E是8£）的

中点，连接AE、CD交于点F.当点。从点A运动到点8的过程中，点厂运动的路径长是（）

C.兀D.2折:

4、如图，正方形ABC。边长为4,点G是以AB为直径的半圆上的一个动点，点/是边C。上的一个动点,

点E是AD的中点，则EF+FG的最小值为

5.（24-25九年级上•江苏宿迁•阶段练习）如图，。是Rt^ABC的外接圆，点。是半圆弧的中点,

交CB延长线于点E,连结A£）,CD.若，ACD与CDE的面积比为2:9,贝|包=.

6.（24-25九年级上•江苏无锡•阶段练习）如图，VABC中，AC=BC,CD是VABC的高，AB=8,CD=3,

则3C=;若以点C为圆心，半径为2作。C,点E是'C上一动点，连接AE,点尸是AE的中点,

则线段DF的最小值是.

E

C

ADB

7.（24-25九年级上•江苏无锡•期末）如图，在正方形A3CD中，4）=4,点、E,尸分别为AB,2C上的动

点，且AE=3-，AF与DE交于点、0,点P为EF的中点.

（1）若AE=1,则跖的长为；

（2）在整个运动过程中，OP长的最小值为.

8.（24-25九年级上•江苏扬州•阶段练习）【推理证明】

（1）如图①，在四边形ABCD中，ZB=ZD=90°,求证：A、B、C、。四点共圆.小明认为：连接AC,

取AC的中点0,连接02、OD即可证明，请你按照小明思路完成证明过程.

【尝试应用】

（2）如图②，在正方形ABC。中，点E是边48上任意一点，连接。E,交AC于点歹，请利用无刻度的直

尺与圆规在线段C尸上确定点P,使NDPE=90°.（不写作法，保留作图痕迹）

【拓展延伸】

（3）在（2）的基础上，若AB=6,BE=2AE,直接写出线段£＞尸的长.

D

9.（24-25九年级上•江苏无锡・期中）如图，VABC中，ZACB=90°,CB=2,C4=4,点。，E分别在AC,

AB边上，AE=-45AD,连接OE,将VADE沿DE翻折得至UVEDE,连接CE,CF.

⑴若点E是AB的中点，求CP的长;

⑵若△CEF的面积是V8EC面积的2倍，求AD的长.

10.(24-25九年级上•江苏南通期中)如图1,VA3C的顶点在C。上，点E,尸分别为边AB,AC的中点.

(1)求证：点A,E,O,尸在同一个圆上，并在图中画出该圆的圆心；

(2汝口图2,。的直径MN=4,点A固定，点8在半圆弧上运动.在点8从点M运动到点N的过程中，求

点E的运动路径的长.

11.(24-25九年级上•江苏无锡•阶段练习)【定义】

如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该

点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”

如图1,在।ABCD中，3尸工AC于点E,交AT＞于点R，若F为AD的中点，贝％ABCD是垂中平行四边

形，E是垂中点.

AD

图3图3备用图1图3备用图2

【应用】

(D如图1,在垂中平行四边形ABC£＞中，E是垂中点.若AF=ECE=2,则AE=；AB=；

(2)如图2,在垂中平行四边形中，E是垂中点.若AB=BD,试猜想AF与CD的数量关系，并加以证

明；

(3)如图3,在VABC中，3£'_14。于点瓦。£1=2隹=12,5£1=5.

①请画出以为边的垂中平行四边形，使得E为垂中点，点A在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工

具，不写画法及证明，在图上标明字母）

②将VABC沿AC翻折得到VAB'C,若射线CB，与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点P,连接PE,

请直接写出PE的长.

12、（24-25•江苏苏州•模拟预测）【问题初探】如图1,在＜。的内接四边形ABC。中，DB=DC,/DAE

是四边形ABCD的一个外角.求证：ZDAE=ZDAC.

【拓展研究】如图2,己知。内接VABC,AOBC,点〃是ACB的中点，过点M作垂足为

点。.求证：BC+CD=AD.

【解决问题】如图3,已知等腰三角形ABC内接于。，AB=AC,。为AB上一点，连接OB、DC,

图1图2图3

13.（2024•江苏扬州•三模）（1）观察猜想：如图1,已知C,D,G三点在一条直线上QCD＞DGl,正方

形A3CD和正方形。EfG在线段CG同侧，H是CG中点，线段。"与AE的数量关系是,位置关系是

（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形DEfG绕点。旋转。度（0。＜口＜360。），试判断（1）中结

论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由.

（3）拓展延伸：如图3,矩形MCD和矩形DEPG中，缘=/,DE=3,将矩形。所G绕点。旋转任意

CDDCJ

3

角度，连接AE,CG,〃是CG中点，若DH=：AE,求点H运动的路径长.

14、给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角

形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”.

（1）如图①，YABC和VADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一点（不与点2重合），AB=AC,AD=M,

ZBAC=ZZME=60°,连接CE,则CEBD（填或“=”或“>"）,ZBCE=°；

（2）如图②，VABC和VADE互为“友好三角形”，点。是BC边上一点，AB=AC,AD=AE,

ABAC=ZDAE=120°,M、N分别是底边3C、的中点，请探究MN与CE的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，VABC和VADE互为“友好三角形”，点。是BC边上一动点，AB=AC,AD=AE,

ZBAC=ZDAE=a,M、N分别是底边BC、DE的中点，请直接写出MN与CE的数量关系（用含a的式子

表示）

15.（24-25九年级上•江苏无锡・期末）在矩形ABC。中，点E,F分别在边AO,上，将矩形A3C。沿

图1图2图3

⑴若点A的对应点P落在边C。上，点8的对应点为点G,PG交BC于点、H.

①如图1,当尸为C。的中点，且4?=2,AD=3时，则G//的长为_；

4D

②如图2,连接2G,当P,X分别为CD,BC的中点时，求^的值.

⑵若点A的对应点P落在边BC上，如图3,点8的对应点为点G.当AB=2,AD=3时，则AE的最小

值为一，BF的最大值为

16、请阅读下列材料，并完成相应的任务：

三角形中线定理

三角形中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是一种平面几何的定理之一，指三角形三边和中线长度关系.

阿波罗尼奥斯(约公元前262-190年)，古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期

的三大数学家.

中线定理:三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍.如图1,在VABC中，

点。为的中点，根据“阿波罗尼奥斯”，nf^AB2+AC2=2AD2+2BD2.下面是该定理的证明过程(部

分)：

证明：过点A作AEL5c于点E,如图2,在RtAABE中，AB2^AE2+BE2,

同理可得：AC2=AE2+CE2,AD2=AE2+DE2>

证明的方便，不妨设Br>=CD=x,DE=y,

AB2+AC2AE2+BE2+AE2+CE2

任务:

(1)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

(2)如图3,在VABC中，点。为2c的中点，AB=4,AC=10,BC=8,则AO的长为；

(3)如图4,已知平行四边形A5CD中，AC和80相交于点0,设AC=a,30=6,请直接用含。，6的代

数式表示2(4笈+3。2)的值；

⑷如图5,已知平行四边形A3CD内接于。，点尸为I。内一点，若AB=6,BC=8,PB=4,PD=1,

请直接写出。尸的长.

17、已知：AB为圆。的直径，点。为弦AC上一点，连接OD并延长交圆。于点E,连接BE,BE交AC于

点尸，且NCFE+」/54c=135°.

2

⑴如图1,求证：AE=CE;

(2)如图2,连接30,点H为80中点,射线C"交圆。于点M,G为8/上一点，连接GM,BG,求证:

NG=NBDE；

(3)如图3,在(2)的条件下，在。E上取一点N,连接EG,BN,使NGEO=NEBN,BD=BG,连接AN,

4

若2ZNAD=ZONB,GM=1,0D=-,求线段AC的长.

3

18、已知CD为RfAABC斜边AB上的高，以CD为直径的圆交BC于E点，交AC于歹点，G为80的中点.

(1)求证：GE为(。的切线；

(2)若tanB=J,GE=5,求AZ)的长.

压轴专题08中点问题的探究

9技法全归纳

知识考点与解题策略

模型一：倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形

如图①,AD是4ABC的中线，延长AD至点E使DE=AD,易证:ADCgAEDB(SAS);

如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE=FD,易证：△FDBgZkEDC(SAS);

当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，

目的是对已知条件中的线段进行转移.

模型二：已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”

连接中线

BDCBDC

等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”

的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想

到：“边等、角等、三线合一”.

模型三：已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理

模型解读

在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性

质定理:DE//BC,且DE=;BC来解题，中位线定理中既有线段之间的位置关系又

有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题.

模型四：已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线

AA

构造直角三角形斜边上的中线

模型分析

在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三

角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD二;AB,来证明线段间的数量关系，而

且可以得到两个等腰三角形:AACD和aABCD,该模型经常会与中位线定理一起

综合应用.

模型4.与垂径定理相关的中点模型

模型解读

1）条件：如图1,已知点P是A3中点，连接0P,结论：OP±AB;

2）条件：如图2,已知点P是AS中点，过点P作MN〃AB,结论：MN是圆0的切

线；

3）条件：如图3,点P是中点，连接BP、AP,若NBPN=NA,结论：MN是圆

0切线。

模型5：与圆周角定理相关的中点模型（母子模型）

模型解读

1）条件：如图1,已知点P是筋中点，点C是圆上一点，结论：ZPCA=ZPCB.

2）条件：如图2,已知点P是半圆中点，结论：ZPCA=ZPCB=45°.

3）条件：如图3,已知点P是AS中点，结论：ZPBA=ZPCA=ZPCB=ZPAB;APDA

s/kPAC;APDB^APBC;ACAP^ACDB；ACAD^ACPBo

模型6.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型

模型解读

条件：如图，AB是直径，点P是4c中点，过点P作PH_LAB交AB于点H,连结

PB交AC于点F。

结论：AD=PD=FD,PQ=AC,AP2=ADXAC=AHXAB=PFXPB.

学典题固基础

例题1（24-25九年级上•江苏扬州•阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，4（0,5）、8（5,0）,以点8为圆

心、3为半径的8上有一动点P.连接AP,若点C为竹的中点,连接OC,则OC的最小值为（

D.一^2—1

c.2

【答案】A

【分析】在y轴负半轴上取OQ=OA=5,连接。8,PQ.证明OC是△AP。的中位线得OC=gp。，可得当尸。

取得最小值时，OC的值最小，当点尸在线段。8上时，P。的值最小，即OC的值最小，求出尸。=5血-3,

可得以oc的最小值是:夜-g.

【详解】解：在y轴负半轴上取。。=。4,连接QB,PQ.

7点C为小的中点，

/.OC是APQ的中位线，

OC=；P。，

...当P。取得最小值时，OC的值最小，当点P在线段Q8上时，尸。的值最小，即OC的值最小.

•••4(0,5)、3(5,0),

/.OA=OB=OQ=5,

QB=yl52+52=5A/2.

V8的半径为3,

/.加=50-3,

：.OC=-PQ=-^[2--.

222

故选A.

【点睛】本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、圆的性质、三角形中位线，确定出OC最小时点P的位

置是解题关键，也是本题的难点.

例题2(24-25九年级上•江苏镇江•期中)“关联”是解决数学问题的重要思维方式.角平分线的有关联想就有

很多…

【问题提出】

(1)如图①，PC是_JR钻的角平分线，求证：W=芸.

PBBC

小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点2作BD〃9，交PC的延长线于点。，利

用“三角形相似

(2)如图②，在Rt^ABC中，ZACB=90°,。是边AB上一点，连接C。，将「ACD沿CD所在直线折叠，

使点A恰好落在边BC的中点E处.若DE=5,求AC的长；

【拓展提高】

(3)如图③，VABC中，AB=6,AC=4,AD为的角平分线.AD的垂直平分线E尸交8C延长

线于点尸，连接,,当3。=3时，■的长为.

【分析】(1)小明的思路：过点3作〃上4,根据平行线的性质可证/APC=/BPC,根据对顶角相等

可得ZACP=/BCD,所以可证ACPsBCD,根据相似三角形对应边成比例可证结论成立；

小红的思路：过点C作CDLAP,过点C作CEL3P,过点尸作尸尸_LAB,根据高相等的两个三角形的面

SAPSAC

积比等于它们的底边之比可得：1组=,，正，从而可证结论成立；

,BCP"卜BCPU

AM

(2)根据(1)中的结论可得"，根据折叠的性质可知：AC=CE,AD=OE=5,从而得到AB=15,

nCDD

设AC=x,则有BC=2x,在RfABC中利用勾股定理可以求出AC的长度；

(3)根据垂直平分线的性质可证NA切=ZFDA,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得

ZFDA=ZB+ZBAD,从图中可以看出/E4D=/E4C+NC4D,所以可证/E4c=/8,再根据

ZAFC=/BFA,可证AFCs5E4,根据相似三角形对应边成比例即可求解.

【详解】解：（1）小明的思路：

过点5作如下图所示,

:.ZAPC=ZBPC,

又BD"Ph,

ZAPC=ZD,

:"D=/BPC,

:.BD=BP,

又'ZACP=/BCD,

ACPsBCD,

.PA—

一茄一法’

.PAAC

*BC；

选择小红的思路:

过点。作CD_LAP,过点C作CEL5?，过点P作尸尸，AB,如图所示,

尸。平分/AP5,

:.ZAPC=ZBPC,

CE=CD,

「

SMAL厂p=—2AP'CD,SDi-r=—2BP,CE,

C-APCD

3ACP_2AP

q1BP

DBCP—BPCE

2

又s4CP=LACPF,s^~BCPF,

/ICr2DL.rBC2P

c-ACPF

3ACP__2______AC

q1~BC

'BCP-BCPF

2

PAAC

PB-BC

(2)如下图所示,

根据折叠的性质可知：AC=CE,AD=DE=5,

点E为2C的中点,

.ACCE_1

"BC~BC~2'

AD_CE_j_

…BD-BC~3'

又•.AD^5,

BD=10,

:.AB=15,

设AC=x,则3c=2x,

在RCABC中，AC2+BC2=AB-,

.-.x2+（2x）2=152,

解得：x=3^5,

AC的长为3石；

(3)解：如下图所示,

A

AD为—A4C的角平分线,

»,八iBDAB

由（1）可知而二法

AB=6,AC=4,BD=3,

.3_6

,Be-4

:.DC=2,

£F是AD的垂直平分线,

:.AF=DF,

:.ZFAD=ZFDA,

ZFAD=ZFAC-^-ZCAD,ZFDA=ZB-^-ZBAD,

:.ZFAC=ZB,

又•，ZAFC=ZBFA,

AFCsBFA,

.A3一b_6

,AC-CF-4?

AF=DF,CD=2,

AB_AF_6

'^C~AF-CD~4,

.AF_6

"AF-2"4?

解得：AF=6.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线、中垂线、等腰三角形的性质及勾股定理，解决

本题的关键是根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质找出图中相等的角，从而得到相似三角形，再

利用相似三角形对应边成比例解决问题.

例题3

14.（24-25九年级上•江苏南京•阶段练习）问题提出

如图①，A3、AC是：。的两条弦，M是3AC的中点，AC,垂足为。，求证：CD=BA+AD.

图①图②

小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：

如图②，延长C4至E,使AE=4B,连接加4、MB、MC、ME、BC.

(请你在下面的空白处完成小敏的证明过程.)

推广运用

如图③，等边VABC内接于(0,AB=2,。是AC上一点，ZASD=45°,AE±BD,垂足为E,则BDC

的周长是

拓展研究

如图④，若将“问题提出”中“四是BAC的中点”改成“M是8c的中点”，其余条件不变，“8=胡+4)”这

一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出C。、BA、AD三者之间存在的关系并说明理由.

【答案】问题提出：见解析；推广运用：20+2;拓展研究：不成立，CD、BA、AD三者之间的关系为：

AD=BA+CD,见解析

【分析】问题提出：首先证明EAM^BAMBAS),进而得出ME=MC,再利用等腰三角形的性质得出

ED=CD,即可得出答案；

推广运用：首先证明aABP空ACD(SAS),进而得出AF=">,以及CD+DE=BE,进而求出DE的长即可

得出答案；

拓展研究：连接E4,EF,ED,EB交AC于N,根据已知条件得到=,根据全等三角形的

性质得到CD=NE>,ZECD=ZEND,根据等腰三角形的判定得到AN=AB,于是得到结论.

【详解】问题提出：证明：如图2,延长C4至E,使AE=AB,连接加4、MB、MC,ME、BC,

:.MB=MC.ZMBC=ZMCB,

ZMAB=1SO°-ZMCB,

ZEAM=180°-ZCAM=180°-ZMBC,

ZEAM=ZBAM，

在AE4M和4M中，

AE=AB

<ZEAM=ZBAM,

AM=AM

/.£W^BAM(SAS),

；・ME=MB,ZE=ZMBA,

丁ZMCE=ZMBA,

:・ZMCE=/E,

：.MC=ME,

：.MC=ME=MB,

又二MD±AC,

ED=CD,

/.DC=AD+AE=BA-\-AD；

推广运用：解：如图3,截取收=CD,连接AF,AD,CD,

由题意可得：AB=AC,ZABF=ZACD,

在A4郎'和ACD中

AB=AC

<ZABF=ZACD,

BF=DC

ABb乌ACD(SAS),

:.AF=AD,

AE±BD,

:.FE=DE,则CD+DE=BE,

ZABD=45°f

:.BE=#=啦,

V2

则43。。的周长是5。+。。+3。=5石+。石+。。+5。=25£+3。=20+2,

故答案为：2加+2;

拓展研究：不成立，CD、BA.AO三者之间的关系：AD=BA+CD,

证明：延长皿D交I。于点E,连接E4,EC,EB,EB交AC于N,

M是的中点,

.\ZBEM=ZCEM,

/BEM=ZCEM

在和△E»C中，\DE=DE

/EDN=/EDC=90°

:.EDN^tEDC(ASA)

.\CD=NDfZECD=ZEND,

ZECD=ZABE,ZENC=ZANB,

:.ZANB=ZABE,

:.AN=AB,

:.AD=AN+ND=BA+CD.

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形以及

等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键.

S新题型特3

1、如图，已知E,尸分别为正方形ABCD的边AB的中点，AF与DE交于点、M,。为3。的中点，则

2

下列结论：①/AME=90。，®ZBAF=ZEDB,③AM=-MF,®ME+MF=^MB.其中正确结论的有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，证

明，均ZME(SAS),得出=通过导角证明NAME=90。，可判断①；根据/4DEw

可判断②;证明一AMES_ABF,根据对应边成比例可判断③;过点M作MV1AB于点N,证明..NAM^BAF,

结合勾股定理可判断④.

【详解】解：在正方形ABCD中，AB=BC=AD,ZABC=ZBAD=90°,

E,尸分别为边AB,3c的中点，

.-.AE=BF=-BC.

2

BF=AE

在尸和_/ME中，＜NABF=ND4E,

AB=DA

ABF^DAE(SAS),

:.ZBAF=ZADE.

ZBAF+ZDAF=ZBAD=90°=ZADE+ZDAF,

:.ZAME=90°,

故①正确；

OE是的中线，

:.ZADE^ZEDB,

:.NBAFANEDB,

故②错误；

设正方形ABC。的边长为2a,则昉=。,

在RtABF中,AFZAB。+BF?=&.

ZBAF=ZMAE,ZABC=ZAME=90°,

:.AAMEsAABF,

MEAMAEBnMEAMa

…BFABAF'alay/5a

解得ME=—a,

55

：.MF=AF—AM=-a=^-a,

55

,AM=-MF,

3

故③正确；

如图，过点M作肱VIAB于点M

ZNAM=ZBAFZANM=ZABF=90°,

:.NAMsBAF,

MN_AN_AM

即MNAN

BF~AB-NF

a2a小a

24

解得MN=—d!,AN=—<2,

46

:.BN=AB-AN=2a——a=-a.

55

根据勾股定理，得MB=yjBN2+MN2=3普a,

"一八"木的亚4君r-r-2M4^5

ME+MF=——a+---a=a,72MB=72乂--------a=a,

55555

:.ME+MF=6MB.

故④正确.

综上所述，正确的结论有①③④共3个，

故选B.

2、（24-25九年级上•江苏无锡•阶段练习）如图，在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BMLAC,交直线

AC于点N,连接。N,则下列结论中：①CN=2AN；②DN=DC；③AD=y^CD;④^AMNsNAB.正

确的有（）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④

【答案】A

【分析】通过证明△AAWS/XCBN,可得坐=跑，可证CN=24V；过。作。〃〃3加交AC于G,可

BCCN

证四边形5MDH是平行四边形，可得=由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得

DN=DC；由平行线性质可得NZMC=/ACB,ZABC=ZANM=90°,可证△AAWs4C4B；通过证明

AABM^ABCA,可得4"=4亘，可求AB=1BC,即可得乌=受，则可求解.

ABBC2AD2

【详解】解：在矩形ABCD中，

AZD|BC,

.•.-AMNSbCBN,

.AM_AN

一记一府’

M是AD边的中点，

：.AM=MD=-AD=-BC,

22

AN_1

~NC~2,

CN=2AN,故①正确;

如图，过。作8M交AC于G,

DH//BM,BMLAC,

s.DH^AC,

DH//BM,AD//BC,

••・四边形5Mz汨是平行四边形,

:.BH=MD=-BC,

2

:.BH=CH,

ZBNC=90°,

:.NH=HC,且OH_LAC,

：.DH是NC的垂直平分线，

：.DN=CD,故②正确；

・四边形ABC。是矩形，

.'.AD//BC,ZABC=90°,AD=BC,

,\ZDAC=ZACBfZABC=ZANM=90°,

AMNsCAB,故④正确；

AMNs二CAB,

.MN_AB

AD//BC,

：.ZDAC=ZBCA,且NB4C+NACB=90。，ZDAC+ZAMB=90°f

.\ZBAC=ZAMB,>ZBAM=ZABC,

/.ABMsBCA,

.AMAB

,•=，

ABBC

1

/.AB?2=-BC27,

2

/.AB=—BC,

2

AB42

/.--——,

BC2

・・・乌=也，即：ADfCD，故③正确.

AD2

故选：A.

【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，斜边上的中线，中垂线的

性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键.

3、如图，48是。的直径，/R=4,点C是上半圆A8的中点，点。是下半圆A8上一点，点E是80的

中点，连接AE、CD交于点F.当点。从点A运动到点8的过程中，点厂运动的路径长是（）

71

A.兀B.V2TIC.D.2-\/27r

【答案】B

【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，作出正确的辅助线是解题的关键.连接

圆周角定理，推出C4=C产，进而得到点厂只在AB上运动，求解即可.

【详解】解：连接ACBCB3OE,

：回是:，O的直径，点C是上半圆AB的中点,

•••AC=BC，NACB=90。，

：.AC=BC=—AB=2A/2,

2

ZBCD=ZCAB=45°,

设=贝!I：ZBOE=2a,ZBDE=a,ZCAF=450+a,

BE的度数为2。，NCDE=450+a,

:点E是go的中点，

・・・50的度数为4a,

・•・AD的度数为180。-40,

AZDEF=90°-h,

・•・ZAFC=ZDFE=1800-ZDEA-ZCDE=45°+af

：.ZCAF=ZAFC,

：.AC=CF=BC

工点厂在以点。为圆心，以C4长为半径的圆上，且只在I。的A8上运动,

点F的轨迹为AB的长=9。。"=岳.

180°

故选B.

4、如图，正方形A3CD边长为4,点G是以AB为直径的半圆上的一个动点，点/是边上的一个动点,

点£是AD的中点，则所+FG的最小值为.

【答案】2丽-2/-2+2M

【分析】本题考查了轴对称一最短距离问题，圆的有关性质，勾股定理等知识；解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题.作点E关于C。的对称点连接此时，防+产G最小，最小值为总的长，再利用

勾股定理即可求解.

【详解】解：作点E关于C。的对称点”，设A8的中点为O,连接OH,交C。于点死交圆。于点G,如

图:

H

则EF+FG=HF+FG=HG,此时，£F+FG最小，最小值为庞的长;

:正方形ABCD边长为4,点E是4。的中点，

ADE=DH=2,贝I|AH=6,

:点G是以为直径的半圆上的一个动点，

OG=OA=2,

在RtACMH中，OA=2,AH-6，

OH=y/OA'+AH2=A/22+62=2厢，

HG=OH-OG=2^10-2,

：.石尸+尸3的最小值为2拈-2,

故答案为：2JQ-2.

5.（24-25九年级上•江苏宿迁•阶段练习）如图，。是RtZXABC的外接圆，点。是半圆弧的中点,

DE〃AB交CB延长线于点E,连结AD,CD.若,ACD与CDE的面积比为2:9,贝U色=.

4

【答案】I

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，解一元二次方程，过。作DM，3c于

DNJ.AC交直线AC于N,连接£>8,先由点。是半圆弧的中点，得到加=。3,

ZDAB=ZDBA=ZDCB=ZDCA=45°,即可证明四边形DMCN是正方形，设AC=a,AN=b,贝|

DM=DN=CN=CM=a+b,再证明RtADNmRtBDM（HL）,得AN=BM=b,由，ACD与CDE■的面

积比为2:9,得至I尝=，，解得EM=与丝,最后根据得到ABCs.DEM,代入翌=警

CE92DMEM

整理得5储_8仍—4〃=0,解得1=26,最后代入土二厂“二”,计算即可.

BEEM-BM

【详解】解：过。作DM,5c于M,ON1AC交直线AC于N,连接。3,则

ZN=ZDMC=ZDMB=ZACB=90°f

•・•点。是半圆弧AB的中点，

：.DA=DB,ZDAB=ZDBA=ZDCB=ZDCA=45°,

：.。。平分—AC3,

DM=DN,

J四边形。MCN是正方形，

:・DM=DN=CN=CM,

设AC=a,AN=b,典\DM=DN=CN=CM=a+b,

VDM=DN,DA=DB,

：.Rt.AD^Rt.BDM（HL）,

：.AN=BM=b,

：.BC=CM+BM=a+2b,

・・・©AS与石的面积比为2:9,

--J22

即——-——

*CE~9a+b+EM9

la—1b

解得四=

2

'：DE//AB,

/E=ZABC,

工一ABCsDEM,

aa+b

.AC_BC

即a+2b7a-2b,

''DMEM

2

整理得5a2—8小4/=0,

（5a+2b）（a-2b）=0,

:•a=2b,

EM=——―=6b,BC=a+2b=4b,

2

・CB4b_4Z?_4

…BE~EM-BM~6b-b~5?

4

故答案为：—.

6.（24-25九年级上•江苏无锡•阶段练习）如图，VABC中，AC=BC,CD是VABC的高，AB=8,CD=3,

则3C=；若以点。为圆心，半径为2作。C,点石是（上一动点，连接AE,点尸是AE的中点,

则线段DF的最小值是.

J7

【分析】由等腰三角形的性质得8。=3^=4,CDLAB,由勾股定理即可求得2C长度；连接BE,CE,

则。F=：BE,当BE最小时，Z）户最小，此时E点在线段BC上时，BE最小，从而。尸，最后求得最小值

即可.

【详解】解：：AC=3C，CD是VA5c的高，

/.BD=-AB=4,CD±AB,

2

由勾股定理得：BC=^BEr+CD1=5；

如图，连接BE,CE,

丁点尸是人石的中点，点。是A5中点，

J。尸是©AES的中位线，

・・・DF=-BE,

2

当BE最小时，DF最小，

当E、C、3三点共线，且E点在线段5c上时，砥最小，从而。尸最小,

^BE=BC-CE=5-2=3,

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线，圆外一点与圆上点的最值等知识，构

造辅助线，运用中位线定理是解题的关键.

7.（24-25九年级上•江苏无锡・期末）如图，在正方形ABC。中，AD=4,点、E,尸分别为AB,上的动

点，且AE=5/，AF与DE交