2025年九年级数学中考复习 相似三角形综合解答题 考前冲刺训练

2025年春九年级数学中考复习《相似三角形综合解答题》考前冲刺训练(附答案)

1.如图所示，在RtAABC中，乙B=90°,AB=6cm,BC=8cm,点尸由点/出发，沿48边

以lcm/s的速度向点8移动；点0由点2出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动.如果

点尸，0分别从点3同时出发，问:

(1)经过几秒后，APBQ的面积等于8cm2?

⑵经过几秒后，PQ=同cm；

⑶经过几秒后，两个三角形相似？

2.己知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=久+3与x轴交于点4,与y轴交于点

点C的坐标是(1,0),连接BC.

(1)求△4BC的面积；

(2)如果动点。在直线BC上，使得4CB0=NC4D,求点。的坐标；

⑶如果动点P在直线y=久+3上，且AABC与APOB相似，求点P的坐标.

3.如图，在矩形4BCD中，AB<BC,AB=3,E是射线CD上一点，连接BE,BC沿BE折

叠，点C恰好与射线上的点尸重合.

kjnn

(1)如图，当点E在边CD上时.

①若BC=5,贝MF的长为

②若力F-DF=3时，求EF的长；

⑵作N4BF的平分线交射线。4于点M,当BC=3MF时，求DF的长.

4.如图，已知△ABC内接于。。，AB=AC,过圆心。作。DIAC,交4C于点D,交。。于

点E,射线AE交BC的延长线于点F.

⑴求证：乙ACB=2ZC4F；

(2)若。4=5,AB=6,求EF的长;

⑶若直线。D与直线BC交于点G,且BG=CF,求N4BC的度数.

5.在菱形ABC。中，DE垂直于4B,垂足为E,将三角形4DE绕点。逆时针方向旋转得到三

角形FDG,点4的对应点为点F,点E的对应点为点G,旋转角为a(0°<a<180°).

国②

(1)如图①，DF过点B,FG的延长线与边DC交于点H,

①当NF=40。时，a=.

②求证：DB=DH.

(2)如图②，旋转过程中，点G在2。的延长线上，边DF与边BC交于点M,若4。=5,AE=4,

则的长为.

6.已知，如图1,在回2BCD中，点E是4B中点，连接OE并延长，交CB的延长线于点足

⑵如图2,点G是边BC上任意一点(点G不与点8、C重合)，连接力G交OF于点〃,连接HC,

过点/作4KIIHC,交DF于点K.

①求党的值.

Ln

②当点G是边BC中点时，恰有=求〃的值.

7.如图1,等边△ABC中，4B=4,点0,E分别是4B,BC边上一点，且BD=2CE,以DE为

边在直线8C的同侧作等边△DEF,分别交AC于点G,H.

⑴求证：&BDES&CEH；

(2)如图2,^DELAB,求CE的长;

（3）如图3,连接CF,当点。为中点时，求CF的长.

0D,乙4。。=2乙48c.

(2)如图2,弦4F交CD于点G,若4F=2CE,求证：AG=DG；

⑶如图3,在（2）的条件下，延长。。交。。于点“，连接4"交CD于点K,若HK=

V13FG,CK=2,求。。的半径.

9.【问题背景】（1）如图1,AB||CD,BC与4D交于点0,过点。的直线分别与力B,CD交于E,F

两—r-r；点[―，求[、.、证丁：A-E=-BE

【问题探究】（2）如图2,点E,尸分另IJ是平行四边形A8CD边4。，CD上的点，连接AF,BE交

于点M,连接CM并延长交AD于点N.

①如图3,若平行四边形28CD为正方形，E,F分别是边力的中点.求证：CF=2AN；

②如图2,求证：色=张

图1图2图3

10.在四边形4BCD中，点E为2B的中点，分别连接CE,DE.

(1)如图1,若乙A=AB,乙ADE=LBEC.

①求证：AE2=AD-BC；

②若DE平分”DC,求证：AAED=乙DCE；

(2)如图2,若N/MB+NB=90°,ADEC=90°MD=3,BC=1,求CD的长.

11.如图抛物线y=32_Ax_4与x轴交于4B两点(点4在点B的左侧)，与y轴交于点C.

(1)求点4,B,C的坐标；

(2)如图1,点P(1,M),Q(l,机一2)是两动点，分别连接PC,QB,请求出|PC-QB|的最大

值，并求出小的值；

⑶如图2,NB4C的角平分线交y轴于点D,过。点的直线2与射线4B,AC分别于E,F,当直

线1绕点。旋转时，2+2是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

AEAF

12.综合与实践

【经典再现】

人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1,四边形48CD是正方形，点E是边BC的

中点，乙4EF=90。且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证4E=EF.(提示：取力B的

中点“，连接HE.)

(1)请你思考题中的"提示"，这样添加辅助线的目的是构造出，进而得到4E=EF.

【类比探究】

(2)如图2,四边形ABCD是矩形，且线=几，点E是边BC的中点，^AEF=90°,且£7咬

BC

矩形外角的平分线CF于点F，求芸的值(用含n的式子表示)；

EF

【综合应用】

(3)如图3,P为边CD上一点，连接力P,PF,在⑵的基础上，当n=|,^PAE=45°,

PF=V^时，请直接写出8C的长.

13.小溢同学在复习圆中的垂径定理时，进行变式、探究与思考：如图1,。。的直径CD垂

直弦AB于点E,且CE=8,DE=2.

(1)复习回顾：求的长.

⑵探究拓展：如图2,连接4C,点G是BC上一动点，连接力G,延长CG交4B的延长线于点F.

①当点G是BC的中点时，求证：AGAF=ZF；

②如图3,连接。F,BG,当ACDF为等腰三角形时，请直接写出BG的长.

14.如图1,正方形4BCD的边长为4,点E是BC边上任意一点(不与端点重合)，在CD边上

任一点F,连接EF,过点E作EG1EF交AB边于点G,连接GF.

(1)求证：AGBEs&ECF；

(2)点E为BC的中点时，

①如图2,试猜想GB,CF,GF的数量关系，并证明结论.

②如图3,连接4C交GF于点Q,交EF于点P.当A4GQ与△CEP相似，求线段4G的长.

15.已知在。。中，力B是。。的直径，点8为弧CD中点，连接CD交4B于点E.

(1)如图1,求证：AB1CD；

(2)如图2,在弧4。上有一点G,连接GC、GA,GC,求证：2/4GC+ADGC=180。；

⑶在(2)的条件下，GC交48于点尸，在弧AC上取一点〃，连接HC、HD,使tan/HDC=：,

当EF=EC,CD=8,4G=VIU时，求线段CH的长.

16.已知四边形ABCD中，E,尸分别是4B、4D边上的点，DE与CF交于点G.

⑴如图1,若四边形力BCD是矩形，且DE1CF,求证：?=?；

DEAD

(2)如图2,若四边形2BCD是平行四边形，乙48。=60。，Z.EGC=120°,AE=2,AB=

3,AD=6,求CF的长；

⑶如图3,若NB4D=90。，AB=BC,AD=CD,AD=2AB,DE1CF,求生的值.

DE

17.如图，四边形ABC。内接于O。，AC为O。的直径，DE，力C于点产交BC于点E.

(1)设ADBC=a,试用含a的代数式表示“DE；

⑵如图2,若BE=3CE,求处的值；

DE

⑶在(2)的条件下，作EQ1BD交BD于Q,若BC=BD,求出黑的值.

18.如图①，在正方形4BCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结2M、2N、MN,NM4V=45°,

将△AMD绕点4顺时针旋转90。，点。与点B重合，得到AZBE.

【实践探究】

(1)在图①条件下，若。M=4,BN=6,则MN的长为.

(2)如图②，点M、N分别在边CD、4B上，且BN=DM,点E、F分别在BM、DN上,NEAF=45°,

连接EF，猜想三条线段EF、BE、。尸之间满足的数量关系，并说明理由.

【拓展应用】

(3)如图③，在矩形4BCD中，AB=6,AD=8,点M、N分别在边DC、BC上，连结

AN,已知NM4N=45。，BN=2,求四边形4NCM的面积.

19.如图1,直线y=-刀-3与X、y轴分别相交于4、B两点，抛物线y=a/-2x+c的图

象经过点B,与x轴交于D、E两点(点。在点E左侧)，且顶点C(l,m)也在直线4B上，P为抛

物线上第四象限内一动点且不与点C重合.

(2)如图2,连接B。、BE,直线。P与BE相交于点尸，若以E、0、F为顶点的三角形与△48。相

似，请求出点F的坐标；

⑶如图3,点Q也为抛物线一动点，连接PQ交抛物线对称轴于点M.若CP1CQ,点M是否

是一定点？若是，请直接写出点M坐标；若不是，请说明理由.

20.【综合与实践】

【问题背景】

在平行四边形4BCD中，E是CD边上一点，延长BC至点尸使得CF=CE,连接OF,延长BE交

DF于点G,

【特例感知】

（1）如图1,若四边形2BCD是正方形时，求证：ABCEmADCF；

【深入探究】

（2）如图2,若四边形2BCD是菱形，AB=2,当G为DF的中点时，求CE的长；

【拓展提升】

（3）如图3,若四边形A8CD是矩形,4B=3,AD=4,点H在BE的延长线上且满足BE=5EH,

当AEF”是直角三角形时，请直接写出CE的长.

BB

（备用图1）（备用图2）

参考答案

1.(1)解：设经过x秒后，AP8Q的面积等于8cm2,

由题意得］x2%x(6—%)=8,

0%2—6%+8=0,

解得匕=2,&=4,

答：经过2秒或4秒后，APBQ的面积等于8cm2.

(2)解：设经过加秒后，PQ=V53cm,而PB=6—BQ=2m,

团(6—m)2+(2m)2=(V53),

整理得：5m2-12m-17=0,

0(m+l)(5m—17)=0,

解得：m=—1(不符合题意舍去)，m=y=3.4,

团设经过3.4s秒后，PQ=宿cm,

(3)解：设经过y秒后，ABPQ与ABAC相似，

团=乙B,

①当霁=震时，ABPQ^ABAC,

D/iDC

即匕=?，

68

解得y=y;

②当案=篙时，△HPQ〜△BC4

DCD/i

即匕="，

86

解得y=

答：经过守常秒后，两个三角形相似.

2.(1)解：国直线y=x+3与％轴交于点4,与y轴交于点B,

令％=0,则y=3,

团8(0,3),

回。8=3,

令y=0,则％=—3,

回同(-3,0),

团。Z=3,

团点C的坐标是(1,0),

团。C=1,

团4c=。4+。。=4,

[?]△ABC的面积=1AC-OB=1x4x3=6；

(2)解：设直线的解析式为y=TH%+九,

站(0,3),点C的坐标是。0),

国+H=0，解得｛,二£3

In=3

回直线BC的解析式为y=-3%+3,

乙CBO=AAD,分两种情况：

①当点。在久轴上方时，如图1,设4。与y轴交于点E,由题意得/COB=NEOA=90。,

尸oTcx

图1

又回。A=OB=3,乙CBO=ACAD,

CBO=△EAO(ASA),

回。E=OC=1,

团E(0,l),

设直线ZE的解析式为y=kx+b,

4-nvr°，解得

b=1

回直线/E的解析式为y=1x+1,

联立y=—3%+3和y=+1得

fy=—3x+3

(y=]+1，

解得《

y=E

0点D的坐标为(|，D；

同理得，£z（0,-l）,直线49的解析式为y=—1x—1,

联立y=—3x+3和y=—|x—1得，

0=-,-1,

ly=—3x+3

（3

x=2-

解得|3,

y=——

V2

回点o的坐标为（I，—1!）；

综上，点。的坐标为（K）或（I，—I）；

（3）解：在中，

团。Z=0B=3,

^\AB=^JOA2+OB2=3V2,

同理可得BC=y/OC2+0B2=V10,

团乙AB。=/-BAO=45°,

团PE1y轴，

国乙BPE=90°-45°=45°=/.ABO,

团PE=BE,

尸在直线y=%+3上，设产（与％+3）,

团PE=BE=\x\,

回PB=V2|x|,

当△ABC7B0P时,

^ABAC

回一二—,

BOBP

畔二品，

回％=±2,

团一3VXV0,

取=-2,

团P(-2,l)；

当△ABC泊“。时，

^ABAC

0-=—，

BPBO

嚅，

9

以=±-,

-4

0-3<%<0,

回％=一—9,

4

吟，!).

综上所述：点P的坐标为(—2,1)或

3.(1)解：①由题可知，BF=BC=5,

在RtAABF中，由勾股定理得，

AF=y/BF2-AB2=V25-9=4,

EL4F的长为4；

故答案为：①4；

②由题可知，^BFE=ZC=90°,

^AFB+4DFE=90°,

又•••NDFE+NDEF=90。，

•••Z-AFB=乙DEF,

Rt△ABF~Rt△DFE，

.AF_AB

''DE~DF1

・•・AF-DF=AB-DE=3,

・•.DE=1,

EF=EC=CD-DE=3-1=2；

(2)解：

①如图，当点F在边40上时，过点M作MN1BF于点N,

•••BM平分乙ABF,乙4=90°,

・•.MN=AM,"=乙BNM=90°.

•・•Z-AFB=乙MFN,

FMNFBA.

.MN_MF

''AB~BF'

MF1口厂cn

——=一,BF=BC,

BC3

.MN_MF_1

''AB~BF~3

•••AB=3,

・•.MN=1.

•・•MN=AM,BM=BM,LA=乙MNB=90°,

Rt△ABM=RtNBM(HL).

・•.BN=AB=3.

设MF=%,贝！JBF=BC=3%.

・•・FN=3x-3.

在RtaMN尸中，由勾股定理得，

MN2+FN2=MF2,

・•・1+(3x-3)2=x2.

解得%1=：，%2=1（舍去）.

•••BC=3x=—.

4

•・•矩形中，AD=BC=—.

4

3

・•.DF=AD-AM-MF=

2

②

如图，当点尸在边延长线上时，

同①可得AM=MN=^AB=1,BN=AB=3,BC=AD=^.

：.MF=-BC=

34

9

・•.AF=-,DF=6.

4

二综上所述：DF=|或6.

SAB=AC,4ABC=^ACB,。4垂直平分BC,

SAABC=-AA0C,AAHB=4AHe=90°,

2

团。。1AC,

团AE=CE,乙ADO=90°,

I

团乙4OE=-乙4OC,

2

^\Z-AOE—Z-ABC—Z-ACB,

设NAOE=乙ABC=乙ACB=x,

^BAO=Z.CAO=/-OAC=90°-x,

团。A=OE,

I

^OAE=AOEA=90。——%,

2

^CAF=AOAE-Z.OAC=90°-|x-（90°-%）=|x=

团4ACB=2zCi4F；

（2）解：连接EC,

团=CD=-AC=-AB=3,乙EDC=90°,

22

回。D=y/OA2—AD2-V52-32=4,

团OE=OE-OD=5-4=1,

团CE=VCD2+DE2=V32+I2=V10,

由（1）得：乙ABH=^AOD,^AHB=AADO=90°,

团△ZB”~AAOD,

^AHAB

回一=—,

ADAO

AH6

丁n丁

团A”=

团=7AB2—AH?=J62一谭了=g,

团。Z1BC,

48

团BC=2BH=y,

^ACB=2/.CAF,4ACB=^CAF+乙F,

团4cz尸=乙F,

团4c=FC=6,

团BF=^C+FC=y+6=y,

团四边形Z8CE是圆内接四边形，

+/-AEC=180°,

^CEF+AAEC=180°,

团48=Z.CEF,

^\Z-EFC=Z-BFA,

0AEFC—△BFA,

^ECEF

团——=—,

BABF

回返—空

臼OV---78，

5

回EF=等；

(3)解：①如图，当G在线段BC上时，连接4G,

团乙尸=匕CAF,

设乙9=Z.CAF=a,

团4AC8=ZF+Z.CAF=2a,

团48=AC,

团乙4BC=Z-ACB=2a,

回。。1AC,0E为。。半径,

团。E垂直平分AC,

团4G=CG,

团NACG=Z-GAC=2a,

^\Z-AGB=Z.ACG+Z-GAC=4a,

回BG=CF,

^1Z-BGA—Z-BAG—4a,

^ABG+乙AGB+/-BAG=180°,

团2a+4a+4a=180°,解得：a=18°,

^ABC=2a=2x18。=36°；

②如图，当G在CB延长线上时,

A

由上可得：AC=CF,

0ZF=zCXF,

设NF=^CAF=b,

^\Z-ACB=Z-F+Z-CAF=2b,

团48=AC,

^\Z-ABC=Z.ACB=2b,

WDLAC,OE为。。半径，

团。E垂直平分4C,

团4G=CG,

团乙4CG=Z-GAC=2b,

团BG=CT,AB=AC,AC=CF,

团48=BG,

团4AGB=/-BAG,

^1Z-ABC=Z-AGB+Z-BAG=2b,

团乙4GB=Z-BAG=b,

^BAC=/LGAC-/-BAG=2b—b=b,

0Z71BC+々ACB+^BAC=180°,

S2b+b+b=180°,解得：b=36°,

0ZXBC=26=2x36°=72°；

综上可知：乙4BC的度数为36。或72。.

5.(1)解：①菱形4BCD中，AB=AD,

•••Z.ADB=Z.ABD,

・・•三角形ADE绕点。逆时针方向旋转得到三角形FDG,根据旋转的性质得,

Z-A=Z.F=40°,

1

・•・乙ADB=j(180°-乙4)=70°,

••・a=70°,

故答案为：70。

②三角形FDG是由4DE绕点。逆时针方向旋转得到的，

DFG=△DAE,

Z.A=Z.F,AD—FD,

•••Z.ADB=Z.CDB,

/.△ADB=AFDH(ASA),

••・DB=DH.

⑵在山△ADE中，AD=S,AE=4,

DE=y/AD2-AE2=7s2—42=3,

过点D作。N1BC于点N,

S菱形48co=48-DE=BC-DN,AB=BC,

・•.DN=DE=3,

由旋转的性质可知，DG=DE=3fGF=AE=4,

•••DN—DG,

•・•FGLAD,AD||BC,

GF_LBC,

令GF交BC于点0,

乙DNC=乙DGF="ON=90°,

二四边形DNOG是矩形,

.・.NO=DG=3,GO=DN=3

22

在Rt^DNC中，DC=5fDN=3NC=V5-3=4,

；.OC=NC-NO=4-3=1,

FO=GF-GO=1,

•・•MO||DG

,*,△FOMs'FGD,

.MO_FOB[]M0_1

DGFG34

3

・•.MO=

4

Q1Q

BM=BC-CO-MO=5-1--=—,

44

6.(1)证明：•・•团ABC。中，AD\\BCf

Z-A=乙EBF,Z.ADE=乙BFE,

又・・•点E是中点，

AE=BE,

・•・LADE三△BFE(AAS)；

(2)①解：如图，作8NIIHC交ET于N,

0AADE=△BFE,

团BF=AD=BC,

^BF1

团--=-f

CF2

^BNWHC,

・•・乙FNB=乙FHC,乙FBN=乙FCH,

•••2FNB-AFHC,

「

团-B-N=-B-F=一1,

CHCF2

团HC=2BN.

由(1)的方法可知，AAEKZABEN,

团4K=BN,

^回AK一=1

CH2

②团点G是边中点，

团CG=-CF,

4

团40ICE,AK\\HC,

回匕ADK=4F,(AKF=LCHD,

^AKD=乙CHF,

0AADKCFH,

「DKAD1

团--=--=-j

HFCF2

WK^-FH,

2

^\AD\\FC,

[HAAHDGHF9

「

团-D-H=-A-D=一2,

HFGF3

2

⑦DH=5H,

3

「DH|F“4

团71=—=i-=

DK蚪3

7.(1)证明：回是等边三角形，

0ZX==LC=乙DEF=60°,AB=BC=AC=4

^BED+乙BDE=180°一乙B=120°,

^BED+乙DEF+Z.CDH=180°,

^BED+乙CEH=180°-乙DEF=120°,

^\Z.BDE=Z.CEH,

0ABDECEH；

(2)解：团OE1=60°,

^BED=30。,BE=2BD,

^\BD=2CE,

团设CE=x,贝=2%,BE=2BD=2x2x=4%,

团BC=BE+CE=5%=4,

团久=4

0CF=£

(3)解：当点。为AB中点时，AD=BD=^AB=2,

^IBD=2CE,

SCE=-BD=1,

2

团BE=BC-CE=4-1=3,

由(1)可得，ABDE八CEH,

「目口

回B一D二—BE=D—E,即2一=3——=D—E,

CECHEH1CHEH

3

0CH=DE=2EH,

2

如图所示，过点。作DM1BC于点M,过点“作“N1BC于点N,过点F作FP1于点P,

团乙8=(BCA=60°,

国匕BDM=30°,

国BM=^BD=1,DM=>JBD2-BM2=V22-l2=V3,

^1EM=BE-BM=3-1=2f

团OE=VDM2+EM2=J(V3)2+22=近=EF=DF,

团由DE=2E“，则=

在RtZkCHN中，Z.BCH=60°,CH=I，

13

^CHN=30°,CN=-CH=-

24f

31

团EN=CE-CN=1--=-,

44

在RtAEN”中，EH=—,EN

24

回HN=VHE2-EN2=—(I=乎，

团"N||FP,

0AEHNEFP,

0—=—=—,DE=EF=®EP=EN+NP—+NP,

FPEFEP4

373V71

团」一=券=x-，

FPV711r+NP

0FP=—,NP=

24

111

团PC=EC—EN—NP=1-±一±==

442

在Rt△CFP中，CF=7FP2+CP2=+(J?=小.

8.(1)解：如图1,连接B。，

r

团乙人。。=2(ABD,

^AOD=2^ABC,

^Z-ABD=Z-ABC,

团4c=AD,

回48为O。的直径，

EL4B1CD；

(2)解：如图2,连接a。，OC,OF,

AB1CD,

CD=2CE,

团4F=2CE,

BAF=CD,

团4F=CD,

^Z.COD=/-AOF,

回OC=OD=OA=OF,

180°-乙4OF

呢。8=乙ODC=^OFA=^OAF

2

^ODC=Z.OAF,

团。。=OAf

回N。/。=/-ODA,

^OAD-/.OAF=乙ODA-"DC,

团4GAD=NGD4,

团4G=DG；

(3)解:如图3,连接CH,AD,

设EK=%,贝IJCE=DE=CK+EK=x+2,

0CD=2CE=2%+4,

团OK=C。-CK=2%+2,

团直径D”，AB,

^DCH=^DAH=90°,

^GAD=/-GDA,

团4GAK=乙GKA,

团4G=GK

团4G=DG=GK=-DK=x+1,

2

团EG=DE-DG=(x+2)-(%+1)=1,

团"K=V13EG=V13,AE=yjAG2-EG2=V(x+l)2-l2=Vx24-2x,

团CH=y/HK2-CK2=J(V13)2-22=3,

⑦乙HCK=/-AEK=90°,Z.CKH=/AKE,

CKHfEKA,

「CKCH

瞌=布，

0-=y^=,

xVX2+2X

解得X=l，

经检验x=£是方程的解，

0CD=2x+4=—,

0DW=VCD2+CH2=J偿了+32=g,

回。。的半径[DH=工.

9.(1)证明：EL4F||CD,

[?]△AOE^△DOF,△BOE^△COF,

AE_OEBE_OE

UDF-OF'CF~OF

"EBE

回——二—

DFCF

（2）①证明：延长ZF交BC延长线于点G,

国4。IIBG,

[HAAMN-△GMC,AMNE~AMCB,

厘=吧NE=NM

CGMC'CBMC

^AENE

回--=---

CGCB

团CDIIBA,

[?]△GFC-△GAB,

「GCFC

回一=——

BGAB

团四边形ZBCD为正方形，瓦尸分别是边A。CD的中点.

C=5=?AE=CF=^AB,

团BC=CG,

回AN=NE==1AE=：1CF,即CF=2AN.

②证明：延长4F交BC延长线于点G,

SAD||BG,

[?]△AMN-△GMC,△MAE-△MGBf

团出=竺AE=AM

CGMG'GBMG’

逐=丝①，

CGGBJ

MDIIBA,

GFC~△GAB,

曜若②，

①+②得，"X剪=^x空，即处义剪="

JJCGFCGBGCCGFCGC

"NAECGAE

0-=—X——=——.

CFCGABAB

10.(1)证明：①乙4==N8EC,

0AAEDBCE,

AEAD

回y—=—

BCBE

SE为力B的中点，

EWE=BE,

E^=—,BPXE2=AD-BC；

BCAE

@^AED+乙DEC+乙CEB=180°,^AED+乙ADE+4%=180°,

团NA+/.ADE=乙DEC+乙CEB,

^\Z-ADE=Z-BEC,

团Z_A=Z-DEC,

团DE平分4ADC,

团乙4DE=Z.CDE,

团NODE+Z.CED+乙DCE=180°,

^\Z-AED=Z.DCE；

(2)解：如图，过点/作AFIIBC,连接DF,

^\/-FAE=乙B,

团4E=BE,Z.AEF=Z-BEC,

回△ZEF=△BEC(ASA),

团4F=BC,EF=EC,

^DAB+ZB=90°,

^DAB+Z-BAF=90°,

^DAF=90°,

^DEC=90°,

团。F=DC,

在RtZkADF中，AD2+AF2=DF2,

团4。=3,BC=1,

团4F=1,

团CD=DF=V10.

11.(1)解：当％=0时，y=-4,

••・。(0,-4),

当y=0时，—X2——X—4=0

J1515

解得：%!=-3,%2=5

•••71(-3,0),B(5,0)

将点B向上平移2个单位至9(5,2),作点C关于直线x=1的对称点乃(2,-4),贝UPQ=BB'=

2

SBQ=PB'

作直线B'C'交直线比=1于点P,|PC-BQ\=\PC'-BQ\=\PC-PB'\=\P'B'-P'C'\<

B'C,则IPC-BQI最大值是:BC，的长,

；

•B'G=J(5—2:+(2+4,=3A/5

|PC-QB|的最大值为3逐，

・・•直线9L的解析式为：y=2x—8,

二当x=1时，y=2xl—8=-6,

.・.m=—6；

(3)2为定值白理由如下：

AEAF15

过点D作DG||X轴，交AC于点G,过点F作FT||OA,交射线4D于点7,过点C作CQ||OA,

交射线4。于点Q,

•••DG||FT||CQIIOA,

••.△COG〜△COZ,△ACQSZGD,

DG_CGDG_AG

OA~AC'CQ-AC9

DGDG_CGAG_

CQOA~ACAC~

11_1

“CQOA~DG

•・•CQWOA,

Z.Q=Z-QAO,

•・•乙CAD=Z.OAD,

•••乙CAD="，

AC—CQ,

11_1

AC'^OA~DG9

同理可呜+》1

DG

由（1）得OA=3,OC=4,^AOD=90°,

・•・AC=y/OA2+OC2=5,

1_11_11_8

QG一AC+OZ-5十3-15’

1।1_1_8

AFAE~DG_

团++尚为定值卷.

A匕Ar

12.解：⑴如图1,

ffll

取4B的中点H连接EH,

回四边形2BCD是正方形，

0XB=BC,"BE=乙BCD=90°,

回£是BC的中点，

11

团BE=CE=BH=AH=-BC=-AB,

22

国乙AHE=乙ECF=135°,

回乙B=90°,

^Z.BAE+乙AEB=90°,

^AEF=90°,

国匕AEB+乙CEF=90°,

国匕BAE=Z.CEF,

[?]△AHE三△ECFQ4AS),

故答案为：xAHE任ECF：

(2)解：如图2,

AD

图2

在ZB上截取B”=CE,连接E”，

回£时BC的中点，

团BE=CE,

不妨设BH=BE=CE=1,则=2,

团——=H,

BC

^AB—2n,

^\AH=2n-1,

由(1)得：乙BAE=^CEF,AAHE=AECF=135°,

0AAHEECFf

(3)如图3,

团可设=6%,BC=4%,贝ijBE=CE=2%,

延长EF,APf交于点R,作RH1ZD,交40延长线于H交BC的延长线于G,作FT_LCO于

T,

^AEF=90°,乙PQE=45°,

回△?!£/?是等腰直角三角形，

团4E=ER,

由(1)知：Z.BAE=Z.CEF,

回乙8=Z,G=90°,

[HAABE=△EGR(AAS),

团EG=AB=6%,GR=BE=2%,

WH=CG=EG-EC=6x-2x=4x,HR=GH-GR=6x-2x=4%,

团CDIIGH,

^APDARH,

团^P-D-=-A-D=一1,

HRAH2

SPD=-HR=2x,

2

团CP=CD—PD=6x—2x=4%,

由(2)知:.=称,

CFCE

回也=如=2,

CF2x

回CF=yj2x,

回CT=FT=x,

团PT=CP-CT=3x,

2

由PT2+FT2=PF2得，（3x）2+x2=（岔），

回久1=亨，%2=一¥（舍去）,

回BC=4x=2V2.

13.（1）解:连接04如图1,

图1

回O。的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=8,DE=2,

0CD=CE+DE=10,AE=BE,

回。2=OD=-CD=5,OE=OD-DE=3,

2

在RtA04E中，AE=Vox2-OE2=V52-32=4,

SAB=2AE=8；

（2）解：①证明：连接DG,如图，

图2

团点G是BC的中点，

0CG=BG,

回匕GAF=Z-D,

0O。的直径co垂直弦于点E,

^CGD=乙CEF=90°,

团4F=90°-Z.DCG=乙D,

^\Z-GAF=zF；

②当CF=CD=10时，

在RtACEF中，EF=VCF2-CE2=V102-82=6,

^\BF=EF—BE=2,

^AE=4,CE=8,

团AC=V42+82=4V5,

^FGB=180°-乙BGC=/.FAC.

0AFGBFAC,

「BGBFBG2

团一=——，即nn一^=一，

ACCF4V510

当OF=CD=10时,

图3

在Rt△DET中，EF=yjDF2-DE2=V102-22=4A/6,

在Rt△CEF中，CF=y/CE2+EF2=^82+(4V6)2=4V10,

团BF=EF—BE=4V6—4,

同理△FGB-LFAC,

.BGBFBG4V6-4

aB4—=—,n即nr=—=,

ACCF4V54V10

团BG=4V3-2V2.

综上，BG的长为等或48-2/.

14.(1)解：如图L团正方形4BCD,

回乙8=Z,C=90°,

0ZEFC+乙FEC=90°,

回EG1EF,

^BEG+乙FEC=90°,

^\Z-BEG=Z-EFC,

团48=ZC=90°,

[?]△GBEECF；

(2)解：①FG=BG+FC,证明如下：

团点E是BC的中点，

团BE=CE=2,

[?]△GBEECF,

「口口

回B一G=—BE,即B一G=—2,

ECFC2FC

团BG•FC=4,

回48=Zf=90°,

22222222

0EG=BG+BE=BG+4fEF=FC+EC=FC+4,

团EG1EF,

团巾=EG2+FE2,

0FG2=BG2+4+FC2+4

=(BG+FC)2-2BG-FC+8

=(BG+")2-2x4+8

=(BG+FC)2,

团FG>0fBG+FC>0,

团FG=BG+FC.

②解：如图1,延长FE交的延长线于F，，

团点£是8。的中点,

团BE=CE=2,

SABWCD,

国斤=Z.CFE,

在^CEF中，

AF'=乙CFE

乙BEF'=Z.CEF,

.BE=CE

BEF'^△CEF(SSA),

^BF'=CF,EF'=EF,

团NGEF=90°,

EGFZ=GF,

E1NBGE=乙EGF,

a4c是正方形ZBCD的对角线,

^BAC=^BCA=45°,

ISA4GQ与ACEP相似；

回①△力GQs△CEP,

El乙4GQ=乙CEP,

ISAGBE—△ECF,

团NCEP=乙BGE

回乙4GQ=乙BGE,

^BGE=乙EGF,

团N/GQ=乙BGQ=乙FGE,

国乙AGQ+乙BGQ+乙FGE=180°,

国乙BGE=60°,

回/BEG=30°,

在&△BEG中，BE=2,

0GF=2BG,GE2=BG2+BE2,即2(2BG/=BG?+4,解得：BG=竽；

SAG=AB-BG=4--.

3

②△ZGQs△CPE,

团N/QG=乙CEP,

团4CEP=乙BGE=乙FGE,

回乙AQG=Z.FGE,

团EGIIZC,

0ABEG〜△BCA,

「BEBG

回一二—，

BCBA

能的

44

©BG=2,

囿4G=AB-BG=2.

综上，当△AGQ与△CEP相似，线段4G的长为2或4一手.

15.(1)证明：国43是。。的直径，点6为弧CD中点，

^AB1CD；

(2)证明：连接0C,。0,

B

匿4c=AC,

回乙/OC=2/.AGC,

aCD=CD,

团4BOC=2乙CGD,

团点8为弧中点，，

也乙DOE=2COE,

团48。。=(DOE+乙COE=2(COE,

^CGD=乙COE,

⑦乙AOC+乙COE=180°,

B2/.AGC+A.CGD=180°.

(3)解：连接4D,71C,连接DF并延长至点M,使得DM=DG,连接力M,过点G作GK14。

于点K,

A

B

fUAB1CD,

团由圆的对称性可知41=z2,

团4G=AG9

回21=43,

0z2=43,

^DA=DA,

皿DMA=△DGA,

SAM=AG=V10,4GAD=Z.MAD,

^\EF=EC,AB±CD,

0AEFC是等腰直角三角形，

由对称性知△DEF也为等腰直角三角形，

团乙5=46=47=45°,

WG=DG,

回乙。AG=乙5="AM=45°,

团乙OAM=z7,

团4M=ZM,

MAFMDA,

lMzMF

团1--=---,

MDMA

团直径ZB1CD,

1

^\DE=-CD=4,

2

团等腰RtaEDF中，由勾股定理得DF=4鱼

团--=——4V2+一MF

MFV10

0MF=鱼或MF=-5V2(舍),

0DG=DM=4V2+V2=5V2,

在RtZkAGK中，zDXG=45°,

^KG=KA,

回由勾股定理得KG=KA=^-AG=V5,

El在RtADGK中，由勾股定理得DK=A/GD2-GK2=3V5,

「一GK1

0tanz3=-=^==-

1

团tan/4=

3

0z4=N3,

ECH=XG=V10.

16.(1)证明：回四边形ABCD是矩形,

团AB=DC,LA=匕CDF=90°,

^DFC+乙DCF=90°,

团。E1CF,

^ADE+^LDFC=90°,

^ADE=/-DCF,

0AADEDCF,

^CFDC

0—=—，

DEAD

CFAB

sm-=——；

DEAD

(2)解:作DH1BA交BA的延长线于点H,在4D的延长线上取点M,连接CM,使CM=CF,

如图，

H

回四边形4BCD是平行四边形,

SAD||BC,

^HAD=乙ABC=60°,

团4ZD”=90。-60。=30。，

^\AH=^AD=3,DH=3A/3,

团E”=AE+/”=2+3=5,

团DE=yjDH2+EH2=2713,

团CM=CF,

团乙M=乙CFD,

回四边形ZBCO是平行四边形，

团48||CD,AD||BC,

^DAE=ZCDM,Z.CFD=Z.FCB.

^ABC=60°,乙EGC=120°,

^BEG+乙FCB=180°,

^BEG+A.AED=180°,

^AED=乙FCB,

团乙AED=乙CFD,

团4AED=ZM,

0AADEDCM,

「回C一M=—DC=一3=一i,

DEAD62

0CM==V13,

0CF=CM=V13；

(3)解：连接AC、BD交于点O,如图,

A

团48=BC,AD=CD,BD=BD,

0AABD=△CBD(SSS),

^BCD=^.BAD=90°,乙ABD=乙CBD,

^BD1AC,

团NC/F=90°-/-BAO=Z-DBE,

团DE1CF,

团4C。。=乙CGD=90°,

回乙4CF=乙BDE,

0AACF—△BDE,

^CFAC

回--=--,

DEBD

团4BAD=乙BOA=Z-AOD=90°,Z-ADB=Z-OAB=4ODA,

OBAOADBAD,

团4。=2ABf

团。。=20A=4OB,

设OB