2025年人教A版高考数学专项复习：解三角形【十大题型】

专题6.6解三角形【十大题型】

【人教A版(2019)]

A题型梳理■

【题型1余弦定理边角互化的应用】............................................................4

【题型2余弦定理解三角形】...................................................................5

【题型3正弦定理边角互化的应用】............................................................7

【题型4正弦定理解三角形】...................................................................8

【题型5正弦定理判定三角形解的个数】.......................................................10

【题型6正、余弦定理判定三角形形状】.......................................................12

【题型7三角形面积公式的应用】..............................................................14

【题型8正、余弦定理在几何图形中的应用】...................................................16

【题型9求三角形中的边长或周长的最值或范围】...............................................20

【题型10距离、高度、角度测量问题】........................................................24

A举一反三

【知识点1余弦定理、正弦定理】

i.余弦定理

(1)余弦定理及其推论的表示

三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它

文字表述

们夹角的余弦的积的两倍.

公式表述a2=b1+c1-2bccosA,b1=(fi+c1-2accosB,c2=tz2+fe2-2<7/?cosC.

222222222

.b-\-c—a_a-\-c—b万a+b—c

推论COSA="，cos5=c,COSC=cT.

2bclaclab

(2)对余弦定理的理解

①余弦定理对任意的三角形都成立.

②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量.

③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题用余弦

定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角.

④余弦定理的另一种常见变式：b2+c2-a2=2.bccosA,a2+c2-b2=2accosB,a2+b2-c2=2abcosC.

2.正弦定理

(1)正弦定理的表示

在A43C中，若角&B,C对应的边分别是。力,以则各边和它所对角的正弦的比相等，即二、

sinC.

(2)正弦定理的常见变形

nr)c

在A45C中，由正弦定理得二一-=—一-=——«=k(k>0),贝1!〃=左sinZ,b=ksinB,c=isinC,由此可得

sinAsinsinC

正弦定理的下列变形:

sinAasinC_csin3_b

6zsinB=bsmA,tzsinC=csinAZ?sinC=csinB；

sinBbsinAasinCcf

b_c_a+b_a+c_b+c_a+b-\-c

sinAsinBsinCsinA+sinBsinA+sinCsinB+sinCsinA+sinB+sinC

③。:b:c=sin4:sin5:sinC；

ab

④=2R,(尺为△ZBC外接圆的半径).

sinAsinBsinC

(3)三角形的边角关系

由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系.

3.解三角形

(1)解三角形的概念

一般地，三角形的三个角4民C和它们的对边。也c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个

元素求其他元素的过程叫做解三角形.

(2)余弦定理在解三角形中的应用

利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：

①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角;

③已知三边，求三角形的三个角.

(3)正弦定理在解三角形中的应用

ab

公式萧^反映了三角形的边角关系

sinAsinB

b_ca

由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为:.上述的

sinBsinCsinAsinC

每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方

程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：

①已知两角和任意一边，求其他的边和角，

③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角.

4.对三角形解的个数的研究

已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三

角形不能被唯一确定.

(1)从代数的角度分析“己知两边和其中一边的对角，求另一边的对角“时三角形解的情况，下面以已知

a力和解三角形为例加以说明.

由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：

①若sing=04>l,则满足条件的三角形的个数为0；

a

②若缥1=1,则满足条件的三角形的个数为1；

③若sinB=24<l,则满足条件的三角形的个数为1或2.

a

显然由0<sin3=&/■<：!可得2有两个值，一个大于90。，一个小于90。，考虑至广大边对大角”、“三

a

角形内角和等于180。”等，此时需进行讨论.

(2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知。力

(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；

(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.

无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意

挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.

6.三角形的面积公式

(1)常用的三角形的面积计算公式

①=ha=^b-hh=­c-瓦(瓦，瓦也分别为边a,b,c上的高).

②将瓦=bsinC,hb=csmA,Ac=asin3代入上式可得旌皿；=5。/山。=爹灰^11/=万的$亩2,即三

角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半.

(2)三角形的其他面积公式

①旌""=1『(。+6+。尸|rZ,其中r,/分别为aABC的内切圆半径及的周长.

2sinBsinCsinAsinCsinAsinB

②S&ABC=5a，SAABC=5b2，^AABC=°2

sinAsin5sinC

【题型1余弦定理边角互化的应用】

【例1】（23-24高一下・甘肃天水•期中）在A45C中，角4,B,。所对的边分别为Q,b,c,且2acos

B—c—2a,b—2a,则（）

A.2a=3cB.3a=2cC.b=2cD.2b=c

【解题思路】根据余弦定理边角互化即可求解.

【解答过程】由2acosB=c—2a得2a°:°一）=c—2a=>a2—b2=—2ac,

2ac

由于b=2a,所以小―4Q2=-2qc,故3Q=2C,

故选：B.

【变式1-1]（23-24高一下•贵州黔西•期中）在△ABC中，已知（a+b+c）（b+c—a）=3bc,则角4等于

（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

【解题思路】根据题意结合余弦定理运算求解.

【解答过程】因为(a+b+c)(b+c-d)=3bc,整理得扶+c2-a2=be,

由余弦定理可得cos/="戏-。2=票=[

2bc2bc2

且0°<力<180。，所以4=60。.

故选：C.

【变式1-2](24-25高一下•全国•课后作业)在锐角三角形ABC中，a=l,b=2,则边c的取值范围是

()

A.l<c<V3B.1<c<V5

C.V3<c<V5D.V3<c<3

【解题思路】由锐角三角形及余弦定理列不等式组，结合三角形三边关系即可结果.

【解答过程】由题意cosC=之器贮>0,即。2+板=5>©2,贝心〈迷，

同理｛/2=2；，2,即C2>3,则C>®又b-a=1<c<b+a=3,

综上，V3<c<V5,

故选：C.

【变式1-3](24-25高一下•安徽滁州•阶段练习)若钝角△4BC的内角4B,C满足4+C=2B,且最大边

长与最小边长的比值为小，则根的取值范围是()

A.(1,2)B.(2,+8)C.[3,+8)D.(3,+8)

【解题思路】先利用三角形内角和结合条件求得B=60。，然后利用余弦定理及钝角三角形得£>2,即可求

解.

【解答过程】设三角形的三边从小到大依次为a,b,c,

因为力+C=2B,则4+B+C=3B=180。，故可得8=60。，

根据余弦定理得：cosB==于是/=a2+c2-ac,

"f2a-c'2

因为△ABC为钝角三角形，故a2+b2-c2<0,于是2Q2-QCV0,即2>2,

则Tn=(>2,即mG(2,+co).

故选：B.

【题型2余弦定理解三角形】

【例2】(23-24高一下•天津•期中)在△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,若a=b=

遮，c=2,则角A=()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【解题思路】根据余弦定理即可求解.

【解答过程】由余弦定理可得cosA=三芸|=-哼，

••・ae(om)­A=q，即150°,

故选：D.

【变式2-1](23-24高一下•河南洛阳・期中)△ABC中，内角/,B,C所对的边分别为a,b,c,cosf=

率BC=2,AC=5,则4B=()

A.2V3B.V17C.V29D.V41

【解题思路】先利用二倍角余弦公式求解cosC,再利用余弦定理转化求解即可.

【解答过程】因为3号=看所以cosC=2cos2|-1=2x：-l=-|，

又BC=2,AC=5,

所以4B2=BC2+AC2-2xBCxACxcosC=22+52-2x2x5x(-|)=41,

所以48=V44.

故选：D.

【变式2-2](23-24高一下•浙江•期中)已知△ZBC的三条边长分别为a,b,c,且(a+b)：(b+c)：(a+c)

=12:13:15,则此三角形的最大角与最小角之和为()

A-B.rC.4D.

3346

【解题思路】根据题意由边长比例关系可求得Q=7k力=5k,c=8k,再由余弦定理可得即可得出结

论.

(a+b=12fc

【解答过程】根据题意不妨设(b+c=13k,k>0；解得。=7k力=5/c,c=8k,

la+c=15k

所以可得此三角形的最大角与最小角分别为NC和乙&

由余弦定理可得cos4=丝喘这=缴!=今又4E(0jr),

可得

所以C+B=n-A=与.

故选：B.

【变式2-3](23-24高一下•山西长治・期末)在△ABC中，角力，B,C所对应的边分别为a,b,c,

a—2c—2,+tan|=4,则6=()

A.V2B.V3C.2D.V5

【解题思路】先根据tan等+tan5=4求出C,然后利用余弦定理求出A

【解答过程】由tan等+tanq=4得tan^+tan|=4,

.n—C.ccc

TT—CCsm-----sin-cos-sin—

tan——Ftan-=—WrH-r=~~hH------------i=4,

2Zcos--cos-sin-cos-

2222

1

:.sm"r-cos—r=45

22

・•・sinf=*

又a=2c=2,

所以a=2>c=1,

所以ce(o(),

・.“c--6-,

••・3。=苧=*=崎二解得6=但

故选：B.

【题型3正弦定理边角互化的应用】

【例3】(23-24高一下•青海海东•期中)在△4BC中，角4SC所对的边分别为a,b,c,若B=242=

争贝必=()

nnnIT

A.7。B.q7C.37D.z7

【解题思路】根据题意利用正弦定理可得COS4=¥，即可得结果.

【解答过程】因为急=白，则合12=黑=益3=多

可得cos/=浮且4G(0,71),所以4=

故选：B.

【变式3-11(23-24高一下•北京通州•期中)在△ABC中,角4B,C的对边分别为a,b,c,则S＞中是

“asinZ>bsinB”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据正弦定理分别判断充分性和必要性即可.

【解答过程】若4>B,则a>6>0,由正弦定理可知高=熹=2凡

贝！Jsin/>sinB>0,

则asinA>bsinB,则可得“/>是“asinA>bsinB”的充分条件，

再由asinZ>bsinB,由正弦定理得次>按,则a>b,则4>8,

则“asin/>bsinB”是“4>8”的必要条件，

所以“>B^asinA>bsinB”的充要条件.

故选：C.

【变式3-2]（23-24高一下•吉林长春•期末）已知内角4B,C的对边分别为a,b,c,若

A'.B\C=1:1:4,则a:b:c等于（）

A.1:1：V3B.2:2：V3C.1:1:2D.1:1:4

【解题思路】根据正弦定理求解即可.

【解答过程】因为4&C=1:1:4,故/=B=]+；+4=*C=if~4=夸，

由正弦定理，a\b\c=sin4sinB:sinC=sin^:sin^:sin^==1：1：V3.

故选：A.

【变式3-3]（23-24高一下•江苏淮安•阶段练习）在△ABC中，若4=30。,a=1,则不蒜彳=（）

sinoTZsinL

A.2B.|C.YD.V3

【解题思路】由同角的三角函数关系求出sinA,再根据正弦定理边化角，即可求得答案.

【解答过程】根据正弦定理边角互化可知高=盘=爵=2R,

olllzlOlIlL*

所”"2c_2R(sinB+2sin0_?口?

sinB+2sinCsinB+2sinCsin/3'

故选：A.

【题型4正弦定理解三角形】

【例4】（23-24高一下•江苏常州•期末）在△ABC中，内角4,B,。所对的边分别为a,b,c,若/=今

tanB=~Y，a=yp7,贝必=()

A.2B.V5C.3D.V7

【解题思路】利用同角的三角函数的基本关系可求得sinB,利用正弦定理可求解.

【解答过程】由tanB亭可得舞=容又sin2B+cos2B=l,

后22

所以(/cosB)+cos2^=1,解得cosB=±厉,

又因为tanB=遑>0,0<B<TI,所以OvBv1所以sinB=Qos8=g

2z2V7

由正弦定理可得就=白，所以当=圭，解得b=2.

sin/ismo-a

故选：A.

【变式4-1］（23-24高一下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）在△ABC中，角/,B,C的对边分别是a,b,c

1

已知acosC=3ccos4且tanC=§,则人=()

71n_3n

A-6B-4C.3D-T

【解题思路】由正弦定理可得sinAcosC=3sinCcos4从而得当：=［吟，即有tanC=〈tan4,再结合tanC=

COSCJCOSA5

（及ae（o,ir）,求解即可.

【解答过程】解：因为acosC=3ccos/,所以cosCW0,cosZH0,

所以sin/cosC=3sinCcosZ,

i,sinCsinZ

从而Zl=得t年=而7

即tanC=[tan4

又tanC=

所以tanZ=1,

又因为/6(0,ii),

所以

故选：B.

【变式4-2］（23-24高一下•山东聊城•期中）已知△48C的内角4B,C的对边分别为a,b,c,若sin/=

419

W，cosC=—,a=2,则b=()

A33c63-33*3

AB."D-五或元

-元65

【解题思路】由题意求出cos4=±，inC=备，再根据两角和的正弦公式求得sinB,利用正弦定理即可求得

答案.

【解答过程】由题意知：在A42C中，sin4=1,cosC=||,a=2,贝iJC为锐角，

所以sinC==差因为sinH>sinC>0,且sinAKl,所以4为锐角或钝角,

当Ae（0,},贝Ijcos4=J1一=|,

T曰.c./“一、.4.^412,3563

十是sinB=sinM+G=smA4cosC+cosZsmC=TX—+-x—=—,

、J51351365

v由，_=」_

人RsinZ-sinBa=2,

―rzt=ijasinB2x^|63

可得6=—V=T=h

sinZ-26

5

当4eg,Tt),贝I]cosA=Jl-Q)2=-|,

于是sinB=sinM+C)=sirL4cosc+cos/lsinC=7X71+(—-)x-77=77

vy513\5，1365

v由，—=」_

人RsinZ-SinBa=2,

―,asinB

可rZ得t=Ib=

故选：D.

【变式4-3]（23-24高一下•山西大同•期中）在△ABC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,若

c=3,b=V6,C=60°,则/=()

A.45°B.75°C.105°D.135°

【解题思路】利用正弦定理求出B,即可求出4

【解答过程】由正弦定理得爵=荒，所以sinB=^=乎义乎=乎,

因为c>b,所以C>B,所以B=45。,

则4=180°-60°-45°=75°,

故选：B.

【题型5正弦定理判定三角形解的个数】

【例5】（23-24高一下•天津西青•期末）由下列条件解△ABC,其中有两解的是（）

A.b=20M=45°,C=80°B.a=30,c=28,B=60°

C.a=11,b=6,A=45°D.a=9,c=10,A=30°

【解题思路】根据三角形内角和为180°及三角形三边关系，结合正弦定理和余弦定理逐项判断即可.

【解答过程】对于A,由6=20/=45°,C=80°,B=180°—4—C=55°,由正弦定理可得白=号=白，

0111/1sinifoiiiL.

由。=驾和©=驾可知a和c只有唯一解，所以△ABC只有唯一解，因此A不正确；

smBsmb

对于B,因为a=30,c=28,8=60°,由余弦定理/=a2+c?—2accosB可知b只有唯一解，

所以三角形的三个边唯一确定，即只有唯一解，因此B不正确；

对于C,因为a=11力=6,4=45°,由正弦定理得常］=《万，

即5比8=等=得*¥=¥<乎，又b<a,所以B<45°,

所以角B只有唯一解，即△4BC只有唯一解，因此C不正确；

对于D,因为a=9,c=10/=30°,由正弦定理得矣?=肃，

所以sinC=^=弓x：=|>:,又c>a,所以C>2=30°,所以角C有两个解，即△ABC有两个解，因此D

正确.

故选：D.

【变式5-1］（23-24高一下•江苏扬州•期中）在△ABC中，若a=l,cos4=q，b=2,则三角形解的个

4

数为（）

A.0个B.1个C.2个D.不确定

【解题思路】先求出sinA=；,再由正弦定理求出角B即可得解.

【解答过程】由题a<6,所以4<8/6（0弓），

又cos4=孚，所以sin"=Vl-cos24=（手）

所以0<力且由正弦定理矣j=-^nsinB=也吧=%=3，

osmAsinFa12

所以由Be（0,7t）得B=,或弓，故三角形解的个数为2.

故选：C.

【变式5-2］（23-24高一下•河北张家口•期末）在△ABC中，内角N,B,C所对的边分别为a,b,c,sinB=

争:=3,若△ABC有两解，则6的取值范围为（）

A.（V3,3）B.（V3,3］C.（8,+8）D.［3,+8）

【解题思路】根据题意得到三角形有两解的条件，进而得解.

【解答过程】三角形中，sinB=掾,c=3,如图,

当△4BC有两解时，csinB<b<c,

即3x曰<6<3,即遮<6<3.

故选：A.

【变式5-3］（23-24高一下•湖北•期中）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中有两解的是（）

A.b=1,A=45°,C=60°B.a=l,c=2,B=60°

C.a-3,b=1,B=120°D.a=3,6=4,A=45°

【解题思路】根据已知结合正弦定理判断各个选项即可.

【解答过程】A项是角角边类型的三角形，有唯一解；

B项解两边夹一角类型的三角形，是唯一解；

C项是两边一对角类型的三角形，角B为钝角，也是三角形的最大角，对应三角形最大边，但是b<a,故

该三角形无解；

D项是两边一对角类型的三角形，=JsinB=^>^=sin45°,B有两个解，此三角形有两

解.

故选：D.

【题型6正、余弦定理判定三角形形状】

【例6】（23-24高一下•福建龙岩•期中）在中，内角/,B,C所对的边分别是a,b,c,cosB=-

I，asinB=bsinC,则该三角形的形状是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

【解题思路】根据特殊角的三角函数值可得8=与，即可结合正弦定理求解.

【解答过程】由cosB=-f86（0刀）,则8=三，

由asinB=bsinC,贝Usin/sinB=sinBsinC,

由于sinBW0,贝!JsinZ=sinC,

•・・/,C均为三角形的内角，A=C,即。=<7,

故该三角形的形状是等腰三角形.

故选：B.

【变式6-1］（23-24高一下•安徽马鞍山•期末）在△ABC中，角B,C所对的边分别是a,b,c,若6cos

A+acosB=csinC,则△ABC为（）

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【解题思路】由正弦定理和正弦和角公式化简得到sinC=l,求出C=?得到答案.

【解答过程】由正弦定理得sinBcosA+sinXcosB=sin2C,

其中sindcosB+cosAsmB=sin（4+B）=sinC,

所以sinC=sin2C,

因为Ce（0,p）,所以sinCKO,

故sinC=1,

因为Ce（O,n）,所以c=5，

故△ABC为直角三角形.

故选：C.

【变式6-2］（23-24高一下•天津•阶段练习）在aABC中，已知片条=京鬻/，则△ABC的形状为

（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰或直角三角形D.等边三角形

【解题思路】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦及正弦函数性质推理判断即可.

asin74bsinB

【解答过程】在aABC中，由高爱记而量下及余弦定理，得

2accosB2bccosA'

整理得sinAcos力=sinBcosB,即sin24=sin2B,

而0<24<2TT,0<2B<2it,0<2A+2B<2n,因此24=2B或24+2B=n,

所以4=B或4+B=,即△ABC为等腰三角形或直角三角.

故选：C.

【变式6-3］（23-24高一下•江苏镇江•期中）在△ABC中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,若a—ccosB=b—c

cos4则△ZBC的形状是（）三角形

A.等腰B.直角C.等腰直角D.等腰或直角

【解题思路】利用余弦定理将等式整理得到呼卫=四尸，对a2+b2-c2=0或a?+b2-c2力。分类讨论

即可判断.

【解答过程】由Q-CCOSB=b-ccos4,

由余弦定理得a—cx号卫=b-cx竺一,

2ac2bc

222222

化zb间待a+Zj—ca+6-c

当a?+b2-c2=0时,BPa2+h2=c2,则△ABC为直角三角形;

当a2+62-c2Ho时，得。=匕，则△ABC为等腰三角形；

综上：△ABC为等腰或直角三角形，故D正确.

故选：D.

【题型7三角形面积公式的应用】

【例7】(23-24高一下•内蒙古赤峰•阶段练习)已知在△4BC中，角4,B,C的对边分别为a,6,c,若

b=2,c=2V3,且2sin(B+C)cosC=1-2cos4sinC,则△ABC的面积是()

A.2V3B.亨C.亨或孚D.V3^2V3

【解题思路】由sin(B+C)=sin(n-X)=sin4结合题意先求出8,再由余弦定理求出a的值即可由面积公式

SAABC=gacsinB得解.

【解答过程】因为sin(B+C)=sin(Tt-X)=sinX,

所以由2sin(B+C)cosC=1—2cosAsinC得2sirh4cosc+2cosAsinC=2sin(4+C)=2sin(n—B)=2sinB=1,

所以sinB=2，因为b<c,又Be(Om),则8为锐角，所以8=也

所以扶=a2+c2—2accosB,BP22=a2+(2V3)2—2ax2V3x日，

化简为小―6a+8=0=a=4或a=2,

所以=/csinB=-x2x2V3sin-=遮或S&BC=^acsinB=-x4x2V3sin-=2g,

故选：D.

【变式7-1](23-24高一下•山西吕梁•期末)在△ABC中，内角48C的对边分别为a,瓦c,若缶+人一。)

(a+h+c)=3ab,a=4力=2,则△ABC的面积是()

A.2B.4C.2V3D.3

【解题思路】由余弦定理求出c,再由面积公式求解即可.

【解答过程】若（a+Z?—c）（a+b+c）=3ab,则小+b2-c2=ab,

ab_1

由余弦定理得cosC=

吆:/2ab2'

因为OVCVir,所以c=T，

则△4BC的面积是地sinC=打8X曰=2点

故选：C.

【变式7-2]（23-24高一下•山东聊城•期末）在△ABC中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,c=2,a2+

b2=竽absinC+4,则△ABC面积的最大值为（）

A.字B.1C.V3D.2V3

【解题思路】根据题意利用余弦定理可得C=今进而可得a?+炉=+4,再利用基本不等式结合面积公

式运算求解.

【解答过程】因为c=2,且a2+炉=Z^3absinC+4,即a2+〃=Z^3absinC+c2,

整理可得a?+b2—c2=^-absmC,

由余弦定理可得2abeosC=^-absmC,则tanC=V3,

且Ce（0,it）,可知C=3则a?+炉=i^absinC+4=ab+4,

又因为a?+炉22ab,当且仅当a=b=2时，等号成立，

贝!|ab+422a6,BPah<4,

所以△力BC面积的最大值为打4x^=倔

故选：C.

【变式7-3]（23-24高一下•海南海口・期末）△48C中，角4B,C的对边分别为a,b,c,sin2B+sin2C-

sin2i4=sinfisinC,a=4,BC边上的中线为遥，则△ABC的面积为（）

A.V3B.2V3C.3D.4

【解题思路】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出4再用向量的方法表示中线，再由余弦定理可得

be的值，进而求出该三角形的面积.

【解答过程】因为sir^B+sin2C-sin24=sinBsinC,由正弦定理可得〃+©2-。2=6c,

22

由余弦定理可得接+c—a=2bccosA9可得cos/=p

而4E(0,ir),可得

由余弦定理可得小=62+c2-2bccosA=b2+c2—bc,

即16=〃+02—be,①

因为BC边上的中线为遥，设中线为4。，

贝!J2而=获+正，

两边平方可得4前2=AB2+AC2+2AB.正=启+笈+2函.西cos/,

即4X6=h2+c2+bc,(2)

②一①可得2bc=8,即儿=4,

所以SA4BC=^besinA=：x4X乎=V3.

【题型8正、余弦定理在几何图形中的应用】

【例8】(23-24高一下•北京•期中)如图，在梯形45c。中，AB//CD,=2诟CD=痣34=^,cos乙4DB=

1

3J

⑴求cos/ABD；

(2)求5C的长.

【解题思路】(1)计算出sin/、sin乙408,利用两角和的余弦公式可求得cos乙48。的值.

(2)在△48。中，利用正弦定理可求出80的长，然后在△BCD中利用余弦定理可求得的长.

【解答过程】⑴在△4BD中，cos4=半，cos^ADB=贝必、均为锐角，

则sin/=Vl—cos2i4=亨，sinZ.ADB=yj1—cos2Z-ADB=竽，

cosZ-ABD=cos(ji—A—Z.ADB)=—cos(4+乙ADB)=sinAsinZ.ADB—cosAcosZ.ADB

_V3.2«_五£_V6

"V-s"V3~-9-,

/-、+.zABBD__ABsinA2A/6X^

(2)在△A4BD中，由正弦定m理n得有据=瓦/80=菽痂==^=3,

3

由4B//CD,得乙BDC=4ABD,在△BCD中，由余弦定理得：BC2=BD2+CD2-2BD-CDcos

Z.BDC=9+6-2•3-V6--=11,

所以BC=V1T.

【变式8-1](23-24高一下•广东佛山•期中)在四边形4BCD中，AB//CD,记乙4CD=a,AD-sinD=V3XC-

cosa,ABAC的角平分线与BC相交于点E,且4E=1,AB=43.

(1)求cosa的大小；

(2)求BC的值.

【解题思路】(1)由正弦定理化简得到力DsinD=4Csina,再由2。•sin。=四4。•cosa,两式相除求得

tana=V3,即可求解;

⑵根据题意，利用S.E+S皿E=SAB3求得"=浮结合余弦定理，即可求解.

【解答过程】(1)在△"£＞中，由正弦定理得照=含，所以4DsinD=4Csina,

因为/D•sin。=g/C•cosa,两式相除得1=]?，所以tana=板，

又因为OVaVn,可得仇=1所以cosa=g.

(2)因为所以4=a=*

又因为/E平分可得NB/E=/.CAE=J,

因为+SACAE=SZ\BAC，且/8=遍,AE=1,

所以,B/Esin]+3c.AEsxx^=-TlCsinp

即:x遍x1xg+^ACx1x|=|xWACx孚，解得ac=苧，

在△2BC中，由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AB-ACcos^BAC

=(^)2+(V3)2-2x^xV3x|=p所以BC=|.

【变式8-2](23-24高一下•内蒙古•期中)如图，在平面四边形2BCD中，BC=2/BCD=*△BCD的面积

为孚

C

⑴求BD；

(2)若/。=2y[2,^-ABD=今，求sinZJlDB.

【解题思路】(1)由三角形面积公式求出CD的长，再由余弦定理可求出BD

(2)根据已知条件可由正弦定理优先求出sinNBAD=¥，进而可由内角和为IT,以及诱导、三角恒等变换公

式可求出sin乙40&

【解答过程】(1)因为SABCDuTBOCD-sinNBCOuEi,又BC=2,4BCD",

所以CD=V^+1.在△BCD中，由余弦定理得：

BD2=BC2+CD2-2BC-CDcos乙BCD=22+(V3+1)2-2x2x(V3+1)x=2,

所以8。=好.

(2)在△ABD中，由正弦定理得占=总而，即T=/系，

解得siMB4D=乎，又所以cos4B2D=当，

所以sin4408=sin(ji-z.ABD-/LBAD)=sm(z_ABD+4BAD),

=sinZ.ABDcosZ.BAD+cosZ.ABDsinz.BAD,

=鼻西+返义遐=玄+；=工故sin乙4DB=X

24244444

【变式8-3］（23-24高一下•河南•阶段练习）如图，。为△ZBC所在平面内一点且点&。位于直线AC的

两侧，在△ADC中，24D-DC=空士噜

⑴求“DC的大小；

(2)若NB4D=5，^ABC=^,4B=l,DC=2,求4C的长.

【解题思路】(1)由已知条件得|4。|2+|DC|2—x|DC|,在△力DC中，由余弦定理得cos乙4DC=

押可；

(2)设NC4D=a,AC^x,在△ACO和△ABC中都由正弦定理得x=正，％=公夫不，即巫=

sinazsin^a--jsina

1

2sin(J)最后化简即可•

【解答过程】(1)因为在△4DC中，2|/W|—|DC|=阻音繇阻，

22

所以|4D|2+\DC\-\AC\=\AD\x\DC\,

在△4DC中，由余弦定理得|AD|2+|DC|2_/C|2=?X\AD\X\DC\XCOS^ADC,

所以cos4WC=1,

因为在△ADC中，Z71DCG(O,Tt),所以乙4DC=?

(2)在△AC。中，设NC4D=a,AC^x,

则由正弦定理得笔彳=即x=—^xsin乙4DC=巫，①

smZ.ADCsmZ.CADsmz.CADsina

又在中，Z.CAB=-^—a,=兀一,一(g—a)=a—3

贝U由正弦定理得标=—，即比二反xsin〃BC=^blJ,②

则由①②两式得,2sin(aY>即2V^sin(q-。=sina,

展开并整理得2sina=V3cosa,即4sin2a=3cos2a=3—3sin2a,所以sin2a=

因为在△/CD中，sincr>0,所以sina=¥^,

把sina=今代入①式得，\AC\=—=禁=V7.

7JsinaV21

【题型9求三角形中的边长或周长的最值或范围】

【例9】(23-24高一下•湖北武汉•期中)在锐角△4BC中，角4,B,C的对边分别为a,hc,S为△力BC的面积,

a=4,且2S=a2—(b—c)2,则△ABC的周长的取值范围是()

A.(8,4A/5+4]B.(12,275+2]C.(8,2而+21D.(12,475+4]

【解题思路】利用面积公式和余弦定理可得ta《=)ana=，然后根据正弦定理及三角变换可得6+c=5

(sinB+sinC)=4代sin(g+<p),再根据三角形是锐角三角形，得到B的范围，转化为三角函数求值域的问

题.

【解答过程】12s=a2—(6—c)2=a2—b2—c2+2bc=2bc—2bccosA,

・••S=bc—bccosA=jhcsinyl,

.-.1-cosX=jsinTl,即2sin2?=sin^cosp4为锐角,

A1A14.4,3巾，

•••tan-=-,tanA=7TI=4=",C0Si4=又a=4,

由正弦定理可得白=盘=焉=5,

olllziS111£5o1iIC/

所以b+c=5(sinB+sinC)=5[sinB+sin(i4+8)]

/34\

=5IsinB+ysinB+gcosBI=8sinB+4cosB

=4V^sin(B+0),其中tan0=g(p=g

因为△ABC为锐角三角形，

所以万一4<B贝!J]—4+(p<B+(p+0

ranA_,TTA

即：2~2<B+(P<2+2'

/A2

所以cos]<sin(B+卬)W1,又cos^=石，

.-.8<4V5sin(B+<p}<4V5