2025年人教B版高中数学必修第二册 数据的直观表示 导学案

5.1.3数据的直观表示

【课程标准】了解柱形图、折线图、扇形图的定义；利用茎叶图解决实际问题；根据

实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重

要性.

/\»＞突破基础性

教材要点

知识点一柱形图（也称为条形图）

作用形象地比较各种数据之间的________

（1）一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例

特征

（2）每一矩形都是等宽的

知识点二折线图

作用形象地表示数据的________

特征一条轴上显示的通常是时间，另一条轴上是对应的数据

知识点三扇形图（也称为饼图、饼形图）

作用形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的________

特征每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比

知识点四茎叶图

i.概念

一般来说，茎叶图中，所有的茎都排列，而叶沿方向排列.茎叶图也

可以只表示一组数.从茎叶图中可以看出一组数的最值、中位数等数字特征，还可以看出一

组数的分布情况.

2.茎叶图的画法步骤：

第一步：将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分；

第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；

第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧.

（1）如果每一行的数都是按从大到小（或从小

作用

到大）顺序排列，则从中可以方便地看出这组

数的最值、中位数等数字特征

(2)可以看出一组数的分布情况，可能得到一

些额外的信息

(3)比较两组数据的_______或_________程度

特征所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列

茎叶图的缺点：当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了，这是因为每

一个数据都要在图中占据一定的空间，如果数据很多，枝叶就会很长.另外，茎叶图只方便

记录一组或两组的数据，两组以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两组数据那么直观、

清晰.

知识点五画频数分布直方图与频率分布直方图的步骤

即一组数据中___________________

组数k=睦,若&6Z,则组数为

组距一

若丘Z,则组数为

各组均为区间,最后一组是

一区间

一般分四列：、、

—,最后一行是其中频数合计

应是,频率合计应是

在频率分布直方图中，纵轴表示____,

数据落在各小组内的频率用

来表示，各小长方形的面积

的总和等^_

频数分布

纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的_______成正比

直方图

频率分布纵坐标是________,每一组数对应的矩形高度与频率成正比，每个矩

直方图形的面积等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为—

知识点六频数分布折线图和频率分布折线图

把频数分布直方图和频率分布直方图中每个矩形上端的中点用线段连接起来，且画成与

横轴相交.

状元随笔表示频率分布的几种方法的优点与不足

优点不足

频率分

布表表示数量较确切分析数据分布的总体态势不方便

频率分布

直方图表示数据分布情况非常直观原有的具体数据信息被抹掉了

频率分布

折线图能反映数据的变化趋势不能显示原有数据信息

基础自测

1.用统计图描述某市某一周内每天最高气温的变化趋势，最合适的是（）

A.柱形图B.扇形图

C.折线图D.茎叶图

2.甲、乙两个班各随机选出15名同学进行测验，所得成绩的茎叶图如图.从图中看,

.班的平均成绩较高.

甲乙

64

857

9416259

87642172589

7448149

692

7

47

3.如图是2021年至2025年我国5G宏基站建设投资额预算（单位：亿元）的折线图，则

以下结论不正确的是（）

2021-2025年中国5G宏基站建设投资额预算

A.5年比较，2023年投资额预算达到最大值

B.逐年比较，2022年投资额预算增幅最大

C.2021年至2023年，投资额预算逐年增加

D.2021年至2023年，投资额预算增幅逐年增加

4.对某校高一年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩分为1分，2分，3分，4

分4种情况，将调查结果绘制成如图所示的柱形图和扇形图.根据图中信息，这些学生成绩

的平均数是分.

4分

3分\30%

42.5%

2分

/般片♦»＞强化创新性

题型1柱形图、扇形图及其应用［直观想象］

例1（1）为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容

量为100的样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体

中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾

向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）

A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关

B.是否倾向选择生育二胎与性别无关

C.倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同

D.倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数

（2）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了

解该地区农村的经济收入变化情况，统计该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，

得到如下饼图：

、第三产业收入

艘（广60%/^^其他收入

\八瞅%殖收入

建设前经济收入构成比例

第三产业收入

'\28%\

种植包其他收入

收入

/30%/

7:4?殖收人

建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是()

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

状元随笔(1)根据柱形图的构成特点读取图中信息，逐个判断，对于C,D要注意计算.

(2)根据饼图的构成特点读取图中信息，逐个计算作出判断.

方依羽病

1.画柱形图的步骤和注意问题

(1)步骤：第一步确定坐标系中横轴和纵轴上坐标的意义，第二步确定横轴上各部分的间

距及位置，第三步根据统计结果绘制柱形图.

(2)注意问题：在柱形图中，各个矩形图的宽度没有严格要求，但高度必须以数据为准,

它直观反映了各部分在总体中所占比重的大小.

2.画扇形图的步骤和注意问题

(1)步骤：第一步计算各部分所占百分比以及对应圆心角的度数；第二步在圆中按照上述

圆心角画出各个扇形并恰当标注.

(2)注意问题：扇形图表示总体的各部分之间的百分比关系，但不同总量下的扇形统计图,

其不同的百分比不可以作为比较的依据.

跟踪训练1(1)如图是某手机商城中A,B,C三种品牌的手机各季度销量的百分比条形

图，根据该图，以下结论中一定正确的是()

A.四个季度中，每季度B品牌和C品牌总销量之和均不低于A品牌的销量

B.B品牌第二季度的销量小于第三季度的销量

C.第一季度销量最大的为C品牌，销售最小的为B品牌

D.A品牌的全年销售量最大

(2)某班级在一次数学竞赛中为全班学生设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各

个奖品的单价分别为：一等奖18元、二等奖8元、三等奖4元、参与奖2元，获奖人数的分

配情况如图，则以下说法不亚做的是()

A.获得参与奖的人数最多

B.各个奖项中参与奖的总费用最高

C.购买每件奖品费用的平均数为4元

D.购买的三等奖的奖品件数是一、二等奖的奖品件数和的二倍

题型2折线图及其应用［数据分析］

例2某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是

)

A.收入最高值与收入最低值的比是3：1

B.结余最高的月份是7月份

C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同

D.前6个月的平均收入为40万元

状元随笔读取折线图的信息，逐项判断.

方法归的

绘制折线图的步骤和注意问题

(1)步骤：先整理和观察数据统计表，建立直角坐标系，用两坐标轴上的点分别表示数据,

再描出数据的相应点，顺次连接相邻的点，得到一条折线.

(2)注意问题：画折线统计图时，横轴、纵轴表示的实际含义要标明确.

跟踪训练2(多选)某班三位同学的数学测试成绩及班级平均分的关系图如图所示.

王伟

—j张诚

一一班级平均分

一*-赵磊

方次

其中说法正确的是()

A.王伟同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定

B.张诚同学的数学学习成绩波动较大

C.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平

D.在6次测试中，每一次成绩都是王伟第1,张诚第2,赵磊第3

题型3茎叶图及其应用［数据分析］

例3某篮球运动员的投篮命中率为50%,他想提高自己的投篮水平，制定了一个夏季训

练计划.为了了解训练效果，执行训练计划前，他统计了10场比赛的得分，计算出得分的中

位数为15分，平均得分为15分，得分的方差为46.3.执行训练后也统计了10场比赛的得分,

成绩茎叶图如图所示:

O89

1244568

213

(1)请计算该篮球运动员执行训练计划后统计的10场比赛得分的中位数、平均得分与方

差；

(2)如果仅从执行训练计划前后统计的各10场比赛得分数据分析，你认为训练计划对该

运动员的投篮水平的提高是否有帮助？为什么？

状元随笔(1)由茎叶图能计算该篮球运动员执行训练计划后统计的10场比赛得分的中位

数，根据平均数公式可得平均得分，由方差公式可得方差;

(2)尽管中位数训练后比训练前稍小，但平均得分一样，训练后方差小于训练前方差说明

训练后得分稳定性提高了，由此能求出结果.

方法归他

茎叶图中的三个关注点

(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一.

(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏.

(3)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下

移者平均数较大，数据集中者方差较小.

跟踪训练3某工厂为提高生产率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两

种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组

20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任

务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图:

第一种生产方式第二种生产方式

8655689

976270122345668

98776543321445

2110090

根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高,并说明理由.

题型4频率分布直方图、频率分布折线图的绘制及频率分布直方图的应用［经典例题］

例4(1)在拜登上任之前的美国历届总统中，就任时年龄最小的是罗斯福，他于1901年就

任，当时年仅42岁；就任时年龄最大的是特朗普，他于2016年就任，当时70岁.下面按时

间顺序(从1789年的华盛顿到2016年的特朗普，共45任)给出了历届美国总统就任时的年龄：

57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,

51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,

64,46,54,47,70.

①将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图；

②用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况.

(2)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的统计图如图所示，则以下四种

说法中，正确的个数为()

，频数

3.|-|

2-

'L,l.ln..n.

345678910环r数

乙

①甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数

②甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数

③甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

④甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差

A.1B.2

C.3D.4

状元随笔根据频数计算平均数、中位数、方差、极差，判断结果.

(3)[2024•海南海口中学高一检测]某次数学考试后，抽取了20名同学的成绩作为样本绘

制了频率分布直方图如图所示.

①求频率分布直方图A的值；

②求这20名同学成绩的平均数；

③估计样本数据的第一四分位数和80%分位数(保留三位有效数字).

状元随笔频数分布直方图与频率分布直方图相似度极高，唯一的差异就是纵轴的意义

不同，频数分布直方图中纵轴表示的是频数，频率分布直方图中纵轴表示的是黑.

组距

方法核的

绘制频率分布直方图应注意的问题

(1)在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高.一般地，频

率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位

长度”(没有统一规定)，然后以各组的“需』”所占的比例来定高.如我们预先设定以

组距

一.一为1单位长度，代表“0.1”，则若一个组的禁为0.2,则该小矩形的高就是

组距

一.一1"(占两个单位长度)，依此类推.

(2)数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30〜100个时，应分成5〜

12组，在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成

正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和为1.

频率分布直方图的意义

(1)频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各组内频率大小.

(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.

(3)频数/相应的频率=样本容量.

跟踪训练4(1)有一个容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：[—20,-

15),7；[-15,-10),11；[-10,-5),15；[-5,0),40；[0,5),49；[5,10),41；[10,

15),20；[15,20],17.

①列出样本的频率分布表；

②画出频率分布直方图和频率分布折线图；

③求样本数据不足0的频率.

(2)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方

图(如图所示)，由图中数据可知人=.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,

150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内

的学生中选取的人数应为.

频率/组距

0.010

0.005

100110120130140150身高/厘米

状元随笔(1)①求极差；②组距及组数；③分组；④列表；⑤画直方图.

能力提升练

1.(多选)［2024•安徽省滁州市高一月考］某品牌为了研究旗下某产品在甲、乙两个平台的销

售状况，统计了2023年7月到12月在甲、乙两个平台的月营业额(单位：万元)，得到如图

所示的折线图.下列说法正确的是()

7月份‘8月份‘9月份’1()月份n月份’12月份

A.乙平台的月营业额的平均值在［31,32］内

B.甲平台的月营业额总体呈上升趋势

C.乙平台的月营业额极差比甲平台的月营业额极差小

D.10,H,12月份的总营业额甲平台比乙平台少

2.［2024•北京市昌平区高一月考］某市统计局就2023年毕业大学生的月收入情况调查了

10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，每个分组包括左端点，不

包括右端点，如第一组表示［2000,2500).

(1)求毕业大学生月收入在［4000,4500)内的频率；

(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；

(3)为了分析大学生的收入与所学专业、性别等方面的关系，还要再从这10000人中依月

收入按分层抽样的方法抽出100人进一步分析，则月收入在［3500,4000）内的毕业大学生应

抽取多少人？

温馨提示：请完成课时作业（十三）

5.1.3数据的直观表示

新知初探咱主学习

知识点一

数量关系

知识点二

变化趋势

知识点三

比例情况

知识点四

1.竖直水平

2.集中分散

知识点五

最大值与最小值的差k不小于k的最小整数左闭右开闭分组频数累计频

数频率合计样本容量1器各小长方形的面积1高度与频数禁1

组距组距

［基础自测］

I.解析：因为折线图反映的是数据增减变化的情况，所以折线图比较合适，故选C

答案：c

2.解析：结合茎叶图中成绩的情况可知，乙班平均成绩较高.

答案：乙

3.解析：对于A,由折线图知，5年比较，2023年投资额预算达到最大值，为1400

亿元，所以A中说法正确；对于B,由折线图知，逐年比较，2022年投资额预算增幅最大,

为1100—670=430（亿元），所以B中说法正确；对于C,由折线图知，2021年至2023年投

资额预算逐年增加，所以C中说法正确；对于D,由折线图知，2021年至2022年投资额预

算增幅为430亿元，2022年至2023年投资额预算增幅为300亿元，投资额预算增幅不是逐

年增加的，所以D中说法错误.故选D.

答案：D

4.解析：参加体能测试的学生人数是12+30%=40,成绩为3分的学生人数是40X42.5%

=17,成绩为2分的学生人数是40-3-17-12=8,所以这些学生成绩的平均数是

3X1+8X2+17X3+12X4195

40•,

答案：2.95

课堂探究•素养提升

例1解析：（1）由题图，可得是否倾向选择生育二胎与户籍有关、与性别无关，倾向选

择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男

性人数为60X60%=36（人），女性人数为40X60%=24（人），不相同.

（2）解析：设新农村建设前的收入为M,而新农村建设后的收入为2M,则新农村建设前

种植收入为0.6M,而新农村建设后的种植收入为0.74M,所以种植收入增加了，所以A项

符合题意；新农村建设前其他收入为0.04M,新农村建设后其他收入为（MM,故增加了一倍

以上，所以B项不符合题意；新农村建设前，养殖收入为0.3M,新农村建设后为0.6M,所

以增加了一倍，所以C项不符合题意；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经

济收入的30%+28%=58%>50%,所以超过了经济收入的一半，所以D项不符合题意.

答案：（1）C（2）A

跟踪训练1解析：（1）对于A,第四季度中，A品牌销量大于50%,B品牌和C品牌总

销量之和小于50%,故A错误；

对于B,因为B品牌每个季度的销量不确定，所以无法判断，故B错误；

对于C,第一季度销量最大的是A品牌，故C错误；

对于D,由图知，四个季度A品牌的销量都最大，所以A品牌的全年销量最大，故D

正确.

（2）解析：由题意，设全班人数为A,由扇形统计图可知，一等奖占5%,二等奖占10%,

三等奖占30%,

参与奖占55%.获得参与奖的人数最多，故A正确；各奖项的费用：一等奖5%aX18=

0.9a,二等奖10%X8=0.8a,三等奖占30%aX4=1.2a,参与奖占55%aX2=l.la,

可知各个奖项中三等奖的总费用最高，故B错误；

平均费用5%X18+10%X8+30%X4+55%X2=4元，故C正确；

一等奖奖品数为5%a,二等奖奖品数为10%a,三等奖奖品数为30%a,故D正确.

答案：（1）D（2）B

例2解析：由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1,

故A正确，不符合题意;

由题图可知，结余最高为7月份，为80—20=60(万元)，故B正确，不符合题意；

由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确,

不符合题意；

由题图可知，前6个月的平均收入为:(40+60+30+30+50+60)=45(万元),故D错误，

6

符合题意.

答案：D

跟踪训练2解析：从题图中看出王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学

习情况比较稳定而且成绩优秀.张诚同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，

而且波动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋

势，表明他的数学成绩在稳步提高，第6次测试张诚没有赵磊的成绩好.

答案：ABC

例3解析：(1)训练后得分的中位数为二竺=14.5(分)；

平均得分为

8+9+12+14+14+15+16+18+21+231一八、

-----------W-----------=15(分)；

方差为卷[(8—15)2+(9—15)2+(12—15>+(14—15>+(14—15>+(15—15>+(16—15>

+(18-15)2+(21-15)2+(23-15)2]=20.6.

(2)解析：尽管中位数训练后比训练前稍小，但平均得分一样，训练后方差20.6小于训

练前方差46.3,说明训练后得分稳定性提高了，这是投篮水平提高的表现.故此训练计划对

该篮球运动员的投篮水平的提高有帮助.

跟踪训练3解析：第二种生产方式的效率更高.

理由如下：

(i)由茎叶图可知用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至

80min-,用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79〃访2,

因此第二种生产方式的效率更高.

(ii)由茎叶图可知用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5min,

用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5根血.因此第二种生产方式的

效率更高.

(垣)由茎叶图可知用第一种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间高于80min,用

第二种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间低于80相加.因此第二种生产方式的效率

更高.

(iv)由茎叶图可知用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，

关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的

最多，关于茎7大致呈对称分布，又因用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的

区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成

生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.

(以上给出了四种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可)

例4解析：(1)①以4为组距，列频率分布表如下：

分组频数频率

[42,46)20.0444

[46,50)70.1555

[50,54)80.1778

[54,58)160.3556

[58,62)50.1111

[62,66)40.0889

[66,70]30.0667

合计451.0000

画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图，如图所示.

②从频率分布表中可以看出，将近60%的美国总统就任时的年龄在50岁至60岁之间，

45岁及45岁以下和65岁以上就任的总统所占的比例相对较小.

(2)解析：在①中，元乙=置(5+5+5+6+9)=6,漏=：X(4+5+6+7+8)=6,故甲的

成绩的平均数等于乙的成绩的平均数，故①正确；在②中，甲的成绩的中位数为6,乙的成

绩的中位数为5,故甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数，故②正确；在③中，甲的成

绩的方差为：X(22X2+12X2)=2,乙的成绩的方差为：X(12X3+32X1)=24,故甲的成绩的

方差小于乙的成绩的方差，故③正确；在④中，甲的成绩的极差为4,乙的成绩的极差也为4,

故甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差，故④正确，故正确的个数为4.

(3)解析：①由题图可得(2a+3a+7a+6a+2a)X10=1,解得a=0.005.

②根据题意得，这20名同学成绩的平均数为(55X2a+65X3a+75X7a+85X6a+

95X2a)X10=76.5.

③由图可知，分组区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]对应的频率

分别为0.1,0.15,0.35,0.3,0.1,前两组频率之和恰为0.25,故第一四分位数为70.0,

前三组频率之和为0.6,前四组频率之和为0.9,所以80%分位数在第四组.

设80%分位数为x,则0.6+(尤一80)X0.03=0.8,解得x-867

答案：⑴见解析(2)D⑶见解析

跟踪训练4解析：(1)①频率分布表如下: