2025年上海市杨浦区高考数学二模试卷+答案解析

2025年上海市杨浦区高考数学二模试卷

一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.「.1"「中，一、加。”是“八一4”的I条件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

2.3名同学报名参加社团活动，有4个社团可以报名，这些社团招收人数不限，但每位同学只能报名其中1

个社团，则这3位同学可能的报名结果共有：।种.

A.6B.24C.64D.81

3.已知N、B、C是单位圆上的三个点，若1无丽—v”，则的最大值为（）

v'5

A.V,12B.1+C.v2-1D.-i

4.设/是由左个二次函数组成的集合，对于连续的正整数1,2,3,2025,存在二次函数

“f।,■-V1-2H2V.•.门一可重复|,使得jh,上2，（不，…,，「巾2K是等差

数列，则后的最小可能值是（）

A.507B.1013C.1519D.2025

二、填空题：本题共12小题，共53分。

5.已知集合』;{L2.；，」）,H-1,•I＞，则」〕.

6.不等式'’，"的解集为____.

JT-2

7.函数4-"I的最小正周期是.

8.已知、in…,，贝！］一।.

5

9.已知“•（I,八.”且“♦。-2,则的最大值为.

10.在（工+白）’的二项展开式中，常数项的值为.

11.已知复数z满足|一1一I,其中i为虚数单位，贝！I的最小值为.

12.不等式，，,对一切实数x恒成立，则实数。的取值范围为.

13.植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度“单位：厘米）与生长期一单位：天，之间

的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表：

生长期X391117

植物高度y214>■,

第1页，共19页

由表中数据可得回归方程“=6中“一”2,试预测生长期是30天时，植物高度约为______厘米

).x,jfi—njry.

.(a=；-------,6=y—ox)

14.如图，点分别是直角三角形NBC的边上的点，斜边/C与扇形的弧/7Z

相切，己知」「一，川」，则阴影部分绕直线N3旋转一周所形成的几何体的体

积为.

15.如图，阿基米德椭圆规是由基座、带孔的横杆、两条互相垂直的空

槽、两个可动滑块/、2组成的一种绘图工具，横杆的一端C上装有铅

笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块/、8固

定在带孔的横杆上，令滑块/在中一条空槽上滑动，滑块3在另一条空

槽上滑动，铅笔C随之运动就能画出椭圆.当/、8之间的距离为14厘

米时，若需要画出一个离心率为'的椭圆，则B、C之间的距离为

厘米.

16.C由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图

中，梯形/CDE是.I”，与矩形的并集.已知〃是正整数，在平

面直角坐标系xOy中，直线人的方程为［/=-2)•〃，若直线r交x

轴于点交y轴于点&，则/AtOBi.,AQBj、…、L

的并集，其面积为.

三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题14分)

已知函数“人」।是定义在火上的偶函数.

第2页，共19页

I1I当"IL,、」时，…."一一II,求，、."，时，"—，的表达式；

⑵当j•I」J时，…「-2n2r.,若实数/满足/："-2：-f!-\求f的取值范围.

18.本小题14分）

座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱,

既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，C：、。分别为正八棱柱的上下两个底面

的中心，已知（，,lI,th>

小求证：'/；

「求点。到平面.4（,<；的距离.

19.।本小题14分，

为弘扬中华民族传统文化、增强民族自豪感，某学校开展中华古诗词背诵比赛，分为初赛和复赛.全校同学

都参加了初赛，并随机抽取一个班级进行初赛成绩统计，已知该班级共有40位学生，他们的初赛分数的频

率分布直方图如图所示：

I，计算b的值，并估计该校这次初赛的平均分数.

j初赛分数达到80及以上的同学，称为优秀参赛选手，现从班级中随机选出2位同学，用X代表其中的

优秀参赛选手人数，求X的分布；

」为增加比赛的趣味性，复赛规则如下：复赛试题将从题库中随机抽取，每位参赛选手将有机会回答填空、

选择和简答各1题；每答对1题得1分，答错或不答得0分，每位选手可以自行选择回答问题的顺序，若答

对一题可继续答下一题，直到3题全部答完；若答错或不答则比赛结束.例如：选手甲可自行按“简答一填

空一选择”顺序答题，甲答对第一题得1分，并继续回答第二题且答错得0分，结束比赛，总分为1分.

小杨作为优秀参赛选手，代表班级参加复赛.根据他初赛的答题正确频率，可估计他填空、选择和简答的答

题正确概率分别为：

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题型填空选择简答

答题正确概率5r;

若小杨每次答题的结果都相互独立，那么为尽量在比赛中获得较高分数，小杨应该采用怎样的答题顺序？

请说明理由.

新

20.本小题18分）

已知双曲线【的标准方程为.’厂I，点尸是双曲线r右支上的一个动点.

2

11求双曲线「的焦点坐标和渐近线方程；

」，过点P分别向两条渐近线作垂线，垂足为点匕，求，八八八的值；

小若"八如图，过尸作圆。：,:?的切线/,切点为交双曲线「的左支于点。，分别

交两条渐近线于点/、8设十。求实数、的取值范围.

21.।本小题18分।

已知函数V/一的导函数为I，，，若函数"/，”的定义域为及，且不等式：，对任意

，-"成立，则称函数”—『一是“超导函数”.

11判断/--，"1是否为“超导函数”，并说明理由；

12）若函数v，八”与，/「都是“超导函数”，且对任意了=",都有从r,I）、，，/•：n,记

第4页，共19页

F(J-|，…刖门，求证：函数u=F(I)是“超导函数”；

⑶已知函数！//”是"超导函数”且.I，，若有且仅有一个实数/满足“mr+I

求°的取值范围.

第5页，共19页

答案和解析

1.【答案】c

【解析】【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，同时考查了三角函数与正弦定理等知识，属于基础题.

根据充分条件和必要条件的定义，以及正弦定理、三角函数的性质即可得到结论.

【解答】

解：在1〃「中，角/、B、C的对边分别是a、b、C,

若、i「l由正弦定理可得“L,则.1一“成立.

若八一8，贝kiu.Irinb成立,

所以"dnA=aaB"是“A=b”的充要条件.

故选（:

2.【答案】C

【解析】解：3名同学报名参加社团活动，有4个社团可以报名，每位同学只能报名其中1个社团,

则这3位同学可能的报名结果共有|,”种.

故选：「

根据分步乘法计数原理可解.

本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

3.【答案】D

【解析】解：由题意，/、2、C是单位圆上的三个点，且I?.\」，

不妨设.111.⑴，//Hl,1,1,（siu"）,We[0.2*1.

则加i-1.li，BC=（00»£由0-1），

则」行11（'>■>-->>-s：tinI—\--I,

当xih：”-।时，/“.取得最大值为、？一1.

故选：I）

利用单位圆上点的坐标设出/,B,C的坐标，将向量数量积转化为坐标运算即可求解.

本题考查平面向量数量积运算，单位圆上点的坐标表示等知识，属基础题.

4.【答案】B

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【解析】解：设等差数列的首项为。，公差为力

则第，项满足51:J,

每个二次函数!।<1I•一,..，满足/'*I'-1'H1,

变形为n,J4M-4,-I<-fj4r/；—II,

对于固定的小，〃l，，，d,这是一个关于，的二次方程，最多有两个整数解，

因此，每个二次函数最多能覆盖两个不同的，值.

所以总共2025个i值需要覆盖，因此需要个，但z.为整数，所以需要1013个.

>

故选：H

由等差数列的基本量法求出通项，结合题意与二次函数4一的表达式合并后由二次方程解的个数求解.

本题考查等差数列的应用，属于中档题.

5.【答案】{2.3}

【解析】解:集合.1■；1.2.4,I',i<r1I,

则.1工（2.3}.

故答案为：{2,3

结合交集的定义，即可求解.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

6.【答案】I-1.2）

【解析】解：不等式”，即「1，？，」），解得11-2,

X2

故不等式的解集为；I--'!.

故答案为：Il.2i.

根据已知条件，结合分式不等式的解法，即可求解.

本题主要考查分式不等式的解法，是基础题.

7.【答案】T

【解析】解：函数，，一川「3•的最小正周期是*-，

•>

故答案为：

由条件根据函数“，l、i川一,.的周期为？L可得结论.

3

本题主要考查函数“1一川一.•.的周期性，利用了函数,,，I.的周期为二，属于基础题.

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8.【答案】言

【解析】【分析】

本题考查二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题.

利用।工i1即可得出结论.

【解答】

解：.、111，，:，

故答案为：L

25

9.【答案】1

【解析】解：〃•I）,小：.力且〃,A2,

则“小-1,当且仅当“，，，时，等号成立，

4

故ab的最大值为I

故答案为：1.

根据已知条件，结合不等式的公式，即可求解.

本题主要考查不等式的运算，属于基础题.

10.【答案】15

【解析】解：二项展开式通项为：＜，，■

当（＞-＞“时，I1,

■常数项为：，-

故答案为：|二

写出二项展开式通项，通过，，:（，得到II,从而求得常数项.

本题考查二项式定理的应用，属于基础题.

11.【答案】、殳-1

【解析】解：设一/l,

|二-।，—19

；

则5：!1-1.t|（_J,表示以|1.1।为圆心，1为半径的圆，

-表示圆上的点到原点的距离,

第8页，共19页

故I的最小值为1r1.।1-lie11v21.

故答案为：、1

结合复数的几何意义，以及复数模公式，即可求解.

本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题.

12.【答案】「，\I或“，",”I

【解析】解：一用表示x到：；的距离，-r表示x到。的距离.

所以它们的和为x至UJ和x至U。的距离之和，

当x位于-」和a之间时，距离和取得最小值，

即两点之间的距禺H-1「—<1+3，

若最小值1，，，」,则原式对所有x恒成立.

解得：<<-3,6或〃-3•-li,

即：J或“(»

故答案为："•：.、-XI或“,(-\"L

解题核心思路：将表达式，,：,，：.理解为点X到-；，的距离与点X到。的距离之和，通过分析其最小

值来确定。的范围.

本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，需要结合绝对值的几何意义和最值分析，属于中档题.

13.【答案】7.7

【解析】斛：由就思可知，」=10,*=4.1,

44

因为线性回归方程“一_，，过点什.”，

所以工7it2-10-6,

解得4.17

所以线性回归方程”uLI7,

当小，时，寸7.7,

即预测生长期是30天时，植物高度约为77厘米.

故答案为：77

根据线性回归方程过点|「力求出”进而得到线性回归方程，进行预测即可.

本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题.

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14.【答案】八:、

3

【解析】解：由题意可知，［〃、『2,八：*

设扇形的半径为厂，则，2x28=、j,

一阴影部分绕直线N5旋转一周所形成的几何体的体积为I.2'.2V3-'.\.iA3

323

故答案为：入

3

由题意可得的长度及扇形的半径，再由圆锥的体积减去半球的体积得答案.

本题考查圆锥与球体积的求法，是基础题.

15.【答案】21

【解析】解：依题意，当滑块3在两条空槽的交点处时，8C长为椭圆的短半轴长6,

当滑块/在两条空槽的交点处时，NC长为椭圆的长半轴长a,

则〃11+力,

由椭圆的离心率为:，

5

zv'7"，/b-»I

传BU1()--，

<iVa«)

解得h2,

oo

即/

11-/，■>

解得b・21，

所以3、C之间的距离为21厘米.

故答案为：口

根据给定条件，确定椭圆的长短半轴长，再利用椭圆离心率求法列式计算得解.

本题考查了椭圆的方程，重点考查了椭圆离心率的求法，属基础题.

16.【答案】更

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【解析】解：如图,

当n=1时，।”n,当”时，।-I),即“।f।-,

则随着三角形的个数增加，所有三角形围成的图形每次增加一个小三角形，

设直线，..与直线/.的交点为「，联立I，解得/_I-l,gp,1

Iy=2*.r4(n4I132f

则•凡.il,K.■zx(w4*1-n)x—■—：,

设前〃个三角形围成图形的面积为、，则$,,「、，s?.,,

日C11.1

且、s'1>

£/

则、，-$=1,、-=,=：…，、，一I=："“3

由累加法可得，、、，♦二,

1

则、：':，〃・2,而、：-।符合上式，贝I)、',((.,¥<,

42”442°

第11页，共19页

767

故、,

910M)24

则〃九,…，的并集，其面积为

1021

故答案为：—.

根据所给直线/的方程，求出点A,点打的坐标，分析由、”〃心、…组成的图形的并集的

变化特点，得到面积的变化规律，再由累加法求出面积s的表达式，求出.、"，即

G"”的并集.

本题主要考查数列的应用、两直线的交点坐标，属于中档题.

17.【答案】1//।【”二，r-11;

l3,

叱fJ1<，<».

【解析】解：11因为“-『…是定义在R上的偶函数，

当JtU\I时，/>.irj,•II,

则I、.山时，-0,

所以J।'J>',■/-I/：,1,

即」时，U'''JiLr-1।；

I，当"II.、」时，…单调递增，

又小〃为偶函数，故，U时，J，单调递减，

若实数t满足了「W2I，：，则|；U2-fl,

解得:，,，即不等式解集为了：’:，

2424

||由已知函数解析式，结合偶函数定义即可求解；

;，先判断函数的单调性，结合单调性及奇偶性即可求解.

本题主要考查了函数奇偶性及单调性的综合应用，属于中档题.

18.【答案】证明见解答.

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【解析】解：；1，证明：如图,

连接CF,因为底面为正八边形，所以lie,

又正八棱柱侧棱底面NBCDEFGH/'/,底面N3CDMG”,

所以，，I［，，「'/（',<（',CI平面，/】'，

所以〃「L平面（，

又（"・平面「/・,一,所以

如图，

连接。C,（）（；x,

因为（）」—1，14।，

3nop

由正八边形/BCDEFGX的性质可得，45,0C=04=l，

8

（“；,为G到底面/。。的距离，（；（；:I,

所以I।…'1'1,,>

由勾股定理可得，」「：40--f/>2，

又士；--」「'_J，所以1<,、二，I，，-\1>—h/，

又C（；2.in3所以-II,\211入

第13页，共19页

因为一「(；：’，所以V.W；.,即'.，:Is23,

设点。到平面.的距离为力

则I\"，，二I,,.!■,,即.；・.、'、、，，,-</-；•S3v,।>即.内2>解得〃=；，

所以点。到平面u(;的距离为

3

U结合图中几何关系由线面垂直的判定定理证明平面「人即可；

I’结合图中几何关系由等体积法即I,I,.....求解即可.

本题考查空间位置关系，属于中档题.

19......该校这次初赛的平均分数为68分；

分布列见解析；

答案见解析.

【解析】解:1)由频率分布直方图中小矩形的面积和为1可得：20x(0.005+b+(H)20+Q0I5)

解得八n.niu；该校这次初赛的平均分数为

20x(30x0.(105+SOx0.010+70x0.(120+90x0.015)-68.

1初赛分数达到80及以上的同学为…」一W:人，

非优秀为28人，由题意可得X的可能取值为0,1,2,

12x11

门、21亲=孩焉=d'所以x的分布列为:

X012

11

P5

65130

3按照不同题目顺序分类讨论：填空，选择，简答：

得零分的概率：1“.、M2,得一分的概率：•「II'IIIIS,

得两分的概率：0.8x0.9-II2=0.144,

得三分的概率：比、.G.'IXIIs=o,*>7(i，

第14页，共19页

期望为I-11-1-IIH''-2-II.1I-1«:u.-，7i,二分；

因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，选择，填空”的期望与之相同；

填空，简答，选择：得零分的概率：1“、H2,

得一分的概率：0.8•11.201(；,

得两分的概率：0.8xOKx010.064,

得三分的概率：0.8-0.90.576>

期望为EOxO.2+1x0.16+2x0064+3.().576=2.016分;

因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，填空，选择”的期望与之相同；

选择，填空，简答：得零分的概率：1(L”JL1,

得一分的概率：0.9x(I-Q.8)=0」8,

得两分的概率：09x(18x0.20.144.

得三分的概率：0.9xOKX0.8=0.576,

期望为11-111*1-*2.II111-I-o-,；•»=分；

因为填空和简答的正确率相同，所以“选择，简答，填空”的期望与之相同；

所以/、「「小杨应采用“选择，填空，简答”或“选择，简答，填空”的顺序.

I।由频率分布直方图的面积和为1计算可得6值，由区间的中值乘以纵坐标值再乘以区间宽度后相加可得

平均数；

21先由频率分布直方图计算出优秀与非优秀人数，再由组合数结合古典概率求出相应的概率，然后列出分

布列即可；

同।按照答题顺序分六种情况，由乘法公式计算相应概率，然后求出期望比较即可.

本题考查离散型随机变量的均值；数学期望，，属于中档题.

20.【答案】焦点坐标为।\1<一渐近线方程为“：、3；IIv?

9

【解析】解：；h双曲线7的标准方程为，『1，

2

贝1L一4，

所以双曲线7的焦点坐标为I：\JJ,渐近线方程为"-rv12.r;

I，设/Im.”I,则小」，

第15页，共19页

y=代工

m+v2n

\/2m+2n

"-3—

所I以，,

33

m二

解得‘，工孰

所以/.,(〃―图—氏+吗,

33

所以西二(⑶+色V2m-n｝丽.(-2m-4n-Vim-n)

.I-I

所以FT7KP(^/2»-2m)(-2m-y/2n)(>/2rri-n)(-V^m-n)

1J9+g-

2产+2J

4m-2,Fl?—2m：2--n-1--—--n--二一2，

999

即用小.，；

印设切点”、/,则切线/的方程为、，，"2,且、一”•」，

第16页，共19页

消去y得I”-1・，

，(1I+工2厂-工2\~2t2—

所以'1〃

/人+川，-3用

+(16+8"乂2,_阴_J32t2+16"-由小2

0(M2+16(2P-il)-=y/S2fl

又、：＞-t2,

第17页，共19页

grpiI1,,12/11,1,,i113,

所以।1—r■—->■t1--r---12—r-<-—卜，

V24V2ffV24

因为Y"..、•，，所以‘，所以1.1-2,

31324

所以I.'.l'、2，

V21

即'

1「根据双曲线方程求出C,从而求出焦点坐标与渐近线方程；

I*设为川.”1,则-求得双曲线的渐近线方程分别与相应的垂线方程联立