2025年中考数学学科素养：从推理能力的素养角度去思考命题

专题六从推理能力的素养角度去思考命题

第53题理解命题的含义与结构的推理能力素养-----命题的真假

下列命题是真命题的是（）

A.两点之间直线最短B.多边形的外角和为360°

C.三角形的任意两边之和小于第三边D.直角三角形的两个锐角互补

第54题利用多边形的概念判定多边形的推理能力素养一正多边形的性质

一个正n边形的每一个外角都是60°,则这个正n边形是（）

A.正四边形B,正五边形C.正六边形D.正七边形

第55题能够利用直观图发现数量关系的推理能力素养一数的大小比较

有理数a,b在数轴上的表示如下图所示，则下列结论正确的是（）

甲:-b<a;乙：ab>0;丙:|b-a|=a-b.

-'oa'b

A.只有甲正确B.只有甲、乙正确

C.只有甲、丙正确D,只有丙正确

第56题知道数学概念、定理在演绎推理中的意义的推理能力素养一平行线的性质

如图，将一副直角三角板重叠摆放，其中乙4=45°,ZE=30。,2封|他,且点B在线段DE上厕41的度数为

)

A.10°B.15°C.20°D.25°

c\D

D

AJi

BC

第56题图第57题图

第57题通过观察发现图中的几何结构求得线段长度和角度的推理能力素养——矩形的性质

如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,乙4。8=60。,，若矩形对角线长为4,则线段AD的长度

为（）

A.2正B.4C.2V3D.3

变式33如图，延长矩形ABCD的边BC至点旦使（CE=8。连结AE,若匕ADB=60。,则乙E=_.

第58题能够通过推理建立所学知识的逻辑联系的推理能力素养-旋转的性质

如图，在RtAABC^,ZC=90°,AC=6,BC=8,^AABC绕点A逆时针旋转得到△使点C落在AB边上，连

结BB；则sinNBBC的值为)

A3Vs

A.-cr.—D,W

55

第58题图变式34题图

变式34如图，在△ABC中,NACB=90。,BC=4,AB=5,将△ABC绕点B顺时针旋转得到△4BC”吏点A恰好落在

BC的延长线上，则tanNAAC的值为)

A.-s.-

34

C.-D.-

54

第59题通过观察发现图中的几何结构求得线段长度的推理能力素养-圆的基本性质、切线的性质如图，

半径为四的。O中,AB是直径，点C在。O上，连结BC,D为BC的中点延长AB交。O的切线DE于点E,若B

C=4则DE的长度为)

X.V15B.4

C.3V2D.2V5

第59即图变式35题图

变式35如图,AB是。。的直径,CD是。。的弦，力8回CD,垂足为E,连结BD并延长，与过点A的切线AM

相交于点P,连结AC.若。0的半径为5,AC=8,则AP的长是)

A32

A.—B.13

3

c.-D.14

3

第60题理解演绎推理是形成命题判断真伪的基本方法的推理能力素养^一相似三角形的性质如图在AABC

中，乙4cB=90°,AC=BC=4„D为BC边上一动点（不与点B,C重合），CEI34D交AB于点E,垂足为点H,连

结BH并延长交AC于点F,则以下结论错误的是（）

A.当CD=BD时，=卓B.当CD=BO时，AF

C.BH的最小值为V5D.当BD=2CD时，AE=3V2

变式36如图，在△ABC中，乙4cB=90°,AC=8C=1,E,F为线段AB上两动点，且乙ECF=45。,过点E,F

分别作BC,AC的垂线相交于点M,垂足分别为H,G.以下结论错误的是（）

B.当点E与点B重合时，=巳

C.AF+BE=EF

D.MG-MH=-

2

第61题通过观察发现图中的几何结构求得线段长度的推理能力素养-----菱形的性质

如图，在菱形ABCD中，AC,BD为菱形的对角线，乙DBC=60°,BD=10,.F为BC中点很UEF的长为

第61题图第62题图

第62题通过观察图形中的几何结构实现问题解决的推理能力素养一平行四边形的性质

如图,在平行四边形ABCD中，点E在BC上且EB=2EC,AE与BD交于点F.若BD=5,则BF的长为

变式37如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB,BC于点F,G,分别以

点F,G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H,连结BH并延长，与AD交于点E,若AB=10,DE=6,

CE=8,贝BE的长为.

第63题通过观察发现图中的几何结构求得线段长度的推理能力素养-----直角三角形的性质

如图，在RtAABC中,NC=9（T,BC<AC,点D,E分别在边AB.BC上，连结BDE沿DE折叠，点B的对应

点为点/若点/刚好落在边AC上，目=30。,CE=m,,则BC的长为.（用含m的代数式表示）

第64题通过观察发现图中的几何结构求得角度之间的数量关系的推理能力素养一圆的基本性质如图,△AB

C是圆O的内接三角形，延长BO交AC于点D,OE_LBC,垂足为点E,F是OB上一点,OE=OF,若/ABC=m/OEF,

NACB=n/OEF,贝m,n满足的关系式是________________.

A

变式38如图GO是小ABC的外接圆,/人=62。足是BC的中点，连结OE并延长交0O于点D,连结BD,则ND

的度数为.

r~~7c

第65题能够通过操作发现物体的几何结构与度量规律的推理能力素养一一矩形的性质与七巧板1小明用图1

所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状（图2）.若A,B,C三点共线且点D,A,E,F在矩形的边上,

则矩形的长与宽之比为_____________.

第66题理解正方形的概念并利用其性质进行有逻辑的推理的推理能力素养-----正方形如图，四盼企募的直

角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形，连结EG并延长交AB于点M,交CD于

A__________D

点N,连结MF.当AM:MB=3:4时,tan/MFB=.R

变式39如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图"其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形.连结

AD

DG并延长，交BC于点P,P为BC的中点.若EF=2则AE的长为（）\HXA

B.l+V2

C.l+V5

第67题理解归纳推理是从特殊到一般的思维方式的推理能力素养-图形规律

【观察思考】

用同样大小的圆形棋子按下图所示的规律摆放第1个图形中有6个圆形棋子第2个图形中有9个圆形棋子,

第3个图形中有12个圆形棋子，第4个图形中有15个圆形棋子，以此类推.

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

【规律发现】

⑴第6个图形中有个圆形棋子.

⑵第n个图形中有个圆形棋子.（用含n的代数式表示）

【规律应用】

⑶将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完.若能摆放，是第几个图形?若不能，请说

明理由.

第68题感悟推理是数学学习中的一种基本活动的推理能力素养-------等腰三角形的性质

学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究.她过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，她发现，这两条

垂线段的和等于等腰三角形一腰上的高.她的解决思路是通过计算面积得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填

空：

用无刻度直尺和圆规，过点C作AB的垂线CD,垂足为点D,点P在BC边上.（只保留作图痕迹，不写作法）

已知:如图，在△ABC中，AB=AC,PEEL4B于点E,PFI2AC于点F.

求证:PE+PF=CD.

证明：如图，连结AP.

PE±AB,PF±AC,CD±AB,

A4PB

S=\AB-PE,S4Ape=\AC-PF,ShABC=^AB-CD

SA4PB+S^APC=SAABC，

①2fB.CD,

即ABPE+ACPF=ABCD.

.,.AB(PE+PF)=ABCD,

再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相关表述完

成下面命题填空：

过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④.

变式40学习了等腰三角形后，数学兴趣小组的小聪和小明对它进行了拓展性研究.小聪发现：在一个锐角三角

形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形.小聪的解决思路是通过证明两条高所在的两个

三角形全等，从而得出结论.请根据他的思路完成以下作图与填空：

用直尺和圆规，过点B作AC的垂线交AC于点E,交AB边上的高CD于点F.(只保留作图痕迹)

已知：如图，在锐角三角形ABC中，BE^iAC,CD回48,且BE=CD.求证：AB=AC.

证明:,•,BE_LAC,CD_LAB,入

■­■乙CDB=①1=90。.n/\

在RtABCD与RtACBE中，/....—

r②=

、CD=BE,'

•••RtABCD=/?tACBE(HL),

'•③,

.\AB=AC,BPAABC是等腰三角形.

小明再进一步研究发现，任意三角形中均有此结论.请你依照题意完成下面命题：在一个三角形中，如果有两条

边上的高相等,那么④.

第69题能够通过推理建立所学知识的逻辑联系的推理能力素养一二次函数中的代数推理

在直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=/+.+cb,c是常数)的图象与x轴交于A,B两点，与y轴

交于点C,已知B(l,0).

⑴若A(0,0),求该二次函数的最小值.

(2)求证：OA=OC.

(3)若点A位于点0,B之间,求证：一3<2b+c<-2.

变式41在平面直角坐标系xOy中，点(m,n)在抛物线y=ax2+6久(a)0)上,其中m0.

(1)当巾==0时，求抛物线的对称轴.

(2)已知当0<m<4时，总有n<0.

①求证：4a+b<0.

②点P(k，尢),(2(30%)在该抛物线上，是否存在a,b，使得当1<k<2时，都有为<%?若存在，求出a

与b之间的数量关系；若不存在，说明理由.

第70题初步掌握证明的基本形式与规则的推理能力素养一几何对象研究路径

【综合与实践】

定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.如图1所示的四边形ABCD是垂美四边形.

【概念理解】

(1)①正方形，②菱形，③矩形，三个图形中一定是垂美四边形的是________.(填序号)

【性质探究】

⑵小明说：在如图1的垂美四边形ABCD中，AD2+BC2=AB2+CD2,请你判断他的说法是否正确，并说明

理由.

【问题解决】

(3)如图2,分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE交

AB于点M,连结BG交CE于点N,连结GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.

变式42点M在四边形ABCD内，点M和四边形的一组对边组成两个三角形，如果这两个三角形都是以对边

为斜边的等腰直角三角开?，那么定义该四边形ABCD为蝴蝶四边形.例如，如图1,在四边形ABCD中，乙4MB=

乙CMD=90°,MA=MB,MC=MD,,则四边形ABCD为蝴蝶四边形.

图1图2图3

【概念理解】如图2，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点M.判断正方形ABCD是否为蝴蝶四边形，

说明理由.

【性质探究】如图3,在蝴蝶四边形ABCD中，^AMB=AMD=90。.求证：AC=BD.

【拓展应用】在蝴蝶四边形ABCD中，Z^AMB=LCMD=90°,MA=MB==MD=11,当AC=

4。时，求此时的值

专题六从推理能力的素养角度去思考命题

53.B54.C55.C56.B57.C变式3330°58.C

变式34A59.D变式35C60.C

变式36C61.562.2变式378有63.3m

64.m+n=2变式3859°

65必誓【解析】如图，线段MN的长度即为矩形的长，DP的长度即为矩形的宽.

设AB=a，可得MN=（6+/）a,

•••CH=CJ-H]=2a-V2a=（2-&）a,

DP=DB+BK+KP=a+（2-V2）a+2a=（5-V2）a

矩形的长与宽之比为器=浮簪=%詈&

DP（^5—y2）a23

66.蓑【解析】过点M作MPJ_BG于点P,MQ±AF于点Q如图所示,

贝U/MPF=NMQF=/BFA=90。,

四边形MPFQ为矩形，

.\MQ=PF,MP=FQ.

:四边形EFGH为正方形，

ZFEG=45°,.\ZMEQ=ZFEG=45°,

•••△MEQ为等腰直角三角形.

设MQ=EQ=x,：AM:MB=3:4,AM:AB=3:7.

ZMAQ=ZBAF,ZAQM=ZAFB=90°,

“Me4cLMQAMAQ3

・•・△AMQ△ABF,—=—=—=-

<BFABAF7

777

BF=-MQ=-x,・•.AE=BF=-x,

333

477428

・•.AQ=AE-EQ=-x.•・AF=-AQ=-x-x=—x,

<<3f3339

28416

.・.MP=QF=AF-AQ=-x--x=—x.

<x939

16

MP~TX16

PF=MQ=x,.-.tanzMFB=—=.

<'PFx

变式39C

67.(1)21(2)(3n+3)

(3)不能，理由如下：

由题知,3n+3=2024,解得n=等,n不为整数.

•••2024个圆形棋子不能按照题中的规律一次性摆放.

68.①|AB-PE+[ACPF；②AB=AC；③PE+PF=CD；

④这两条垂线段长度的和等于一腰上的高.图略

变式40①NBEC;②BC=CB;③/ABC=NACB;④这个三角形是等腰三角形.图略

69.(1)函数的最小值为⑵证明略⑶证明略

变式41解：(1)由题意可知，点(m,n)在抛物线y=ax2bx(a>0)±,m=4,n=0,

••・16a+4/7=0,・,•b=-4a,・•・x==2,

-2a-2a

抛物线的对称轴为直线x=2.

(2)①证明:令y=0,则(ax2+bx-0(a)0),

解得x=0或x=

a

；・抛物线y=a/+bx(a)0)与x轴交于点((0,0),(-b,0),

Va>0，，抛物线开口向上，

()当卜0时,-->0,

a

・••当0<x<一，时,y<0;当x<0或％〉时,y>0,

当0<m<4时，总有n<0,<,•—->slants,va>0,^4a+b<slantO;

a

()当60时,--<0,

a

・••当一:<%<0时,y<0;当%<-《或x>0时,y>0,

当0<m<4时,n>0,不符合题意.综上不+bWO.

②存在a,b,使得当l<k<2时都有力<y2，理由如下：

设抛物线的对称轴为直线x=t=T

2a

由①知，—224,?22,即G2.

a>0,.\当x>t时,y随x的增大而增大;当x<t时,y随x的增大而减小.；l<k<2,/.3<3k<6,k<3k,

⑴当t=2时

设点P(k,yx)关于抛物线对称轴直线x=t的对称点为点P'(x0,yi),JU!J.x0>t,t-k=x0-^t,x0=2t-k.

*.*l<k<t,t=2,2t-k<3,t<x0<3.

3<3k<6,t<x0<3k,「.yi<y2，，当t=2时，符合题意.

止匕时---=2,**•4。+b=0.

2a

(ii)当2<t<3时，令fc=ft,

3fc=11,贝！］yi=y2，不符合题意，

(iii)当3<t<6时，令3k=t，则k<3k=t,

•'•yi>y2，不符合题意；

(iv)当仑6时,：k<3k<t,；.yi>y2，不符合题意.

综上，存在a,b,使得当l<k<2时都有％<y2,a与b之间的数量关系为4a+b=0.

70.解：(1)：菱形、正方形的对角线互相垂直，，菱形、正方形都是垂美四边形，故答案为①②.

⑵说法正确，理由如下：

如图.设AC,BD交于点O,D

四边形ABCD是垂美四边形，