2025年中考数学压轴题：特殊四边形压轴题2（原卷版+解析）

压轴题07特殊四边形压轴题2

部盘重点•抓核心

四边形这个中考考点在中考数学中包含平行四边形、矩形'菱形、正方形，因为四边形与三角形基础

知识'特殊三角形、相似三角形等的紧密结合性，所以常出对应压轴题，特别是正方形，更容易出选择填

空压轴题。对应压轴题牵涉考点有以下几个方面：

1、平行四边形：①平行四边形因为自带“〃二所以常可以和与“平行”相关的模型结合，如角平分

线、平行线、角平分线组合的“知二得一”；再比如因为“〃”得到的“A字图相似”、“8字图相似”也是

平行四边形结合的重点；②根据平行四边形的性质——对角相等、对角线互相平分，这些角的等量关系、

线段的等量关系因为与三角形全等结论相同，故常将平行四边形的问题转化为全等三角形的问题来思考解

决；③等腰三角形的存在性问题也可以在平行四边形的问题背景下出题。

2、矩形、菱形：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形有的结合及转化方式，它们也有，

而且更特殊。如：矩形和菱形还可以转化为直角三角形和等腰三角形解决问题，矩形有直角，所以矩形的

存在性问题也可以转化为直角三角形的存在性问题来思考，同理，菱形存在性问题因为菱形的四条边相等，

也可以转化为等腰三角形的存在性问题。

3、正方形：正方形在压轴题中常考考点包括：①正方形的半角模型；②正方形与勾股定理；③正方形

与三角函数等。另外，正方形的问题常转化为等腰三角形问题思考。最后，平行四边形的考点结合类型，

正方形也有。

压轴题型一：平行四边形简单题压轴题

1.(2024•北京)如图，在四边形A8CD中，E是A8的中点，DB,CE交于点、F,DF=FB,AF//DC.

(1)求证：四边形AFCO为平行四边形；

(2)若/£7咕=90°,tanZF£B=3,EF=\,求BC的长.

'F

AE

2.（2024•兰州）综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景.探究动点运动的几何问题.如图，在

△ABC中，点N分别为AB,AC上的动点（不含端点），且AN=8M.

【初步尝试】（1）如图1,当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120。得到

MD,连接B。，则请思考并证明；

【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=

90°,于点E,交BC于点R将"A绕点〃逆时针旋转90°得到连接D4,DB.试猜

想四边形AEB。的形状，并说明理由；

【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3,在AABC中，AB=AC=4,ZBAC=90°,连接

BN,CM,请直接写出BN+CM的最小值.

3.（2024•包头）如图，在同48c。中，NA8C为锐角，点E在边4D上，连接BE,CE,且SAABE=SADCE.

（1）如图1,若尸是边BC的中点，连接ER对角线AC分别与BE,相交于点G,H.

①求证：X是AC的中点；

②求AG：GH-.HC；

（2）如图2,8E的延长线与CD的延长线相交于点连接AM,CE的延长线与AM相交于点N.试

探究线段40与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论.

'M

图1图2

4.（2024•盐城）如图1,E、F、G、H分别是回ABC。各边的中点,连接ARCE交于点M,连接AG、CH

交于点N,将四边形AMCN称为团ABC。的“中顶点四边形”.

图1图3

（1）求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形;

（2）①如图2,连接AC、BD交于点、O,可得M、N两点都在8。上，当回A8CD满足时,

中顶点四边形AMCN是菱形;

②如图3,已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边

形.（保留作图痕迹，不写作法）

压轴题型二：矩形简答题压轴题

1.（2024•五华区校级模拟）如图，在菱形ABC。中，对角线AC,BD交于点。，过点A作AEL8C于点E,

延长到点孔使CF=BE,连接DR

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）若AC・8O=80,3CE=2CF,求0E的长.

2.（2025•松江区一模）在矩形48CZ）中，AB=8,AD=10.点E、F分别在边A3、BC_L,AF1,DE,垂

足为点H.

（1）求AF：Z5E的值；

（2）当班'=2EH时，求AE的长；

（3）联结CH,如果归是等腰三角形，求/即C的正切值.

A

E

B

备用图2

3.（2024•淅川县一模）综合与实践

【问题背景】

如图（1）,在矩形ABCZ）中，AB=5,BC=4,点、E为边BC上一点,沿直线。E将矩形折叠，使点C落

在AB边上的点C'处.

图（1）图（2）图（3）

(1)【问题解决】

填空：AC的长为；

(2)如图(2),展开后，将△OC'E沿线段AB向右平移，使点C'的对应点与点8重合，得到△£>'

BE',D'E'与BC交于点尸,求线段EP的长.

(3)【拓展探究】

如图(3),在△OC'E沿射线向右平移的过程中，设点C'的对应点为C",则当△/)'C"E'在

线段上截得的线段尸。的长度为1时，直接写出平移的距离.

压轴题型三：菱形简答题压轴题

1.(2024•哈尔滨)四边形ABC。的对角线AC,8。相交于点O,AD//BC,OA^OC,AB=BC.

(1)如图1,求证：四边形ABC。是菱形；

(2)如图2,AB=AC,CH_LA。于点”，交BD于点、E,连接AE,点G在48上，连接EG交AC于点

F,若NFEC=”。，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四条与线段CE相等的线段(线段CE除

外).

AK_____________DA_HD

BC

图2

2.(2024•威海)如图，在菱形ABC。中，AB=10cm,ZABC=60°,E为对角线AC上一动点，以。E为

一边作/。m=60°,EF交射线BC于点F,连接BE,DF.点E从点C出发，沿CA方向以每秒2cm

的速度运动至点A处停止.设aBEF的面积为ycv后,点E的运动时间为x秒.

(1)求证：BE=EF；

（2）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围;

（3）求x为何值时，线段。尸的长度最短.

备用图

3.（2024•青海）综合与实践

顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形.数

学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用.

以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究.

【探究一】

原四边形对角线关系中点四边形形状

不相等、不垂直平行四边形

如图1,在四边形A8C。中，E、F、G、”分别是各边的中点.

求证：中点四边形EFGH是平行四边形.

证明：•:E、F、G、X分别是A3、BC、CD、D4的中点，

EF、GH分别是AABC和△AC。的中位线，

：.EF=^AC,GH=^AC（®）.

:.EF=GH.

同理可得：EH=FG.

中点四边形EFGH是平行四边形.

结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形.

（1）请你补全上述过程中的证明依据①.

【探究二】

原四边形对角线关系中点四边形形状

不相等、不垂直平行四边形

AC=BD菱形

从作图、测量结果得出猜想I：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形.

(2)下面我们结合图2来证明猜想I,请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程.

【探究三】

原四边形对角线关系中点四边形形状

不相等、不垂直平行四边形

AC±BD②

(3)从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②.

(4)下面我们结合图3来证明猜想II,请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程.

【归纳总结】

(5)请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形.

r

原四边形对角线关系中点四边形形状

③④

।__

।__

图4

结论：原四边形对角线③时，中点四边形是④

4.(2025•深圳模拟)定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的

折中线.例如，如图1,在菱形A8C。中，E是C£)的中点，连接AE,BE,则折线AEB叫做菱形ABC。

的折中线，折线AEB的长叫做折中线的长.

已知，在菱形ABCD中，AB=a,E是CD的中点，连接AE,BE.

(1)如图1,若a=8,ZC=60°,求折中线AEB的长；

(2)如图2,若请探究折中线AEB的长与菱形的边长。之间满足的等量关系式，并说明

理由;

(3)若a=8,且折中线中的AE或BE与菱形ABC。的一条对角线相等，求折中线AEB的长.

压轴题型四：正方形简答题压轴题

1.(2024•甘肃)【模型建立】

(1)如图1,已知aABE和△BCD,AB±BC,AB=BC,CD±BD,AE1BD.用等式写出线段AE,DE,

CO的数量关系，并说明理由.

【模型应用】

(2)如图2,在正方形A8CD中，点E,尸分别在对角线8。和边C。上，AELEF,AE=EF.用等式

写出线段BE,AD,ZJF的数量关系，并说明理由.

【模型迁移】

(3)如图3,在正方形ABC。中，点E在对角线8。上，点尸在边C。的延长线上，AE=EF.用

等式写出线段BE，AD,。尸的数量关系，并说明理由.

2.(2024•扬州)如图，点A、B、M、E、厂依次在直线/上，点4、8固定不动，且42=2,分别以A8、

EF为边在直线/同侧作正方形A8CD、正方形EFGH,ZPMN=90°,直角边MP恒过点C,直角边MN

恒过点H.

(1)如图1,若BE=10,EF=12,求点M与点8之间的距离；

(2)如图1,若BE=10,当点M在点3、E之间运动时，求HE的最大值；

(3)如图2,若BF=22,当点E在点2、尸之间运动时，点M随之运动，连接CH,点。是C7?的中

3.(2024•通辽)数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF和一个正方形纸板ABC。如图1摆放，

若AE=1,AB=2.将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转a(0°WaW90°)角，观察图形的变化，完

成探究活动.

【初步探究】

如图2,连接BE,。尸并延长，延长线相交于点G,BG交AD于点M.

问题1BE和。尸的数量关系是，位置关系是.

【深入探究】

应用问题1的结论解决下面的问题.

问题2如图3,连接BD,点。是8。的中点，连接。4,OG.求证：OA=OO=OG.

【尝试应用】

问题3如图4,请直接写出当旋转角a从0。变化到60°时，点G经过路线的长度.

图4

压轴题07特殊四边形压轴题2

3盘重点•抓核心

四边形这个中考考点在中考数学中包含平行四边形、矩形、菱形、正方形，因为四边形与三角形基础

知识、特殊三角形、相似三角形等的紧密结合性，所以常出对应压轴题，特别是正方形，更容易出选择填

空压轴题。对应压轴题牵涉考点有以下几个方面：

1'平行四边形：①平行四边形因为自带“〃二所以常可以和与“平行”相关的模型结合，如角平分

线'平行线、角平分线组合的“知二得一”；再比如因为“〃”得到的“A字图相似”、“8字图相似”也是

平行四边形结合的重点；②根据平行四边形的性质——对角相等、对角线互相平分，这些角的等量关系、

线段的等量关系因为与三角形全等结论相同，故常将平行四边形的问题转化为全等三角形的问题来思考解

决；③等腰三角形的存在性问题也可以在平行四边形的问题背景下出题。

2、矩形、菱形：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形有的结合及转化方式，它们也有，

而且更特殊。如：矩形和菱形还可以转化为直角三角形和等腰三角形解决问题，矩形有直角，所以矩形的

存在性问题也可以转化为直角三角形的存在性问题来思考，同理，菱形存在性问题因为菱形的四条边相等，

也可以转化为等腰三角形的存在性问题。

3、正方形：正方形在压轴题中常考考点包括：①正方形的半角模型；②正方形与勾股定理；③正方形

与三角函数等。另外，正方形的问题常转化为等腰三角形问题思考。最后，平行四边形的考点结合类型，

正方形也有。

压轴题型一：平行四边形简单题压轴题

1.(2024•北京)如图，在四边形ABC。中，E是4B的中点，DB,CE交于点F,DF=FB,AF//DC.

(1)求证：四边形为平行四边形；

(2)若NE产3=90°,tanZFEB=3,E尸=1,求8C的长.

C

D.

/\

AEB

【分析】(1)根据三角形中位线定理得到E/〃A。，根据平行四边形的判定定理得到结论；

(2)根据三角形中位线定理求得AO=2Eb=2,根据三角函数的定义得到5/=3跖=3,求得

=3,根据勾股定理得到A尸=VI"不律=履，根据平行四边形的性质得到CD=AF=g,根据线

段垂直平分线的性质得到结论.

【解答】(1)证明：YE是A3的中点，

：.AE=BE,

•：DF=BF,

・・・EF是△A3。的中位线，

：.EF//ADf

：.CF//AD,

9：AF//CD,

・・・四边形AFCD为平行四边形；

(2)解：由(1)知，族是△A3。的中位线，

：.AD=2EF=2,

■:/EFB=90°,tanZFEB=3,

；・BF=3EF=3,

•;DF=FB,

:・DF=BF=3,

9

：AD//CEf

：.ZADF=ZEFB=90°,

：.AF=y/AD2+DF2=V13,

・・・四边形AFCD为平行四边形，

：.CD=AF=413,

•；DF=BF,CELBD,

：.BC=CD=V13.

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌

握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键.

2.（2024•兰州）综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景.探究动点运动的几何问题.如图，在

△ABC中，点N分别为A3,AC上的动点（不含端点），且AN=BM.

【初步尝试】（1）如图1,当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120。得到

MD,连接则请思考并证明；

【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=

90°,于点E,交BC于点F,将AM绕点M逆时针旋转90°得到ATO,连接ZM,DB.试猜

想四边形AEBO的形状，并说明理由；

【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3,在△ABC中，AB=AC=4,NBAC=90°,连接

BN,CM,请直接写出BN+CM的最小值.

【分析】（1）证明0（SAS）,得到

（2）证明AD〃B凡DB//AF,得出四边形APB。为平行四边形；

（3）过点A作NR4G=45°,使AG=C2,连接GM、GC,BG,延长CB,过点G作G0_LC8于点。，

当点G、M、C三点共线时，BN+CM的值最小，最小值为CG的值，在RtAGOC中，GC=

J（2V2）2+（6/尸=4V5,得出BN+CM的最小值为4曲.

【解答】（1）证明：•••△A8C为等边三角形，

/.ZA=60°,AB=AC,

,：MA绕点M逆时针旋转120°得到MD,

：.DM=AM,ZAMD=120°,

：.ZDMB^60°,

•:AN=BM,ZDMB=ZA=60°,

AAANM^AMBD(SAS),

；.MN=DB；

(2)解：四边形AFB。为平行四边形，理由如下：

VAB=AC,ZBAC=90°,

AZABC=45°,

•「MA绕点M逆时针旋转90°得到MZ),

：.MA^MD,ZMAD=ZMDA=45°,ZDMA=ZDMB=90°,

AZMAD=ZABF=45°,

贝ljAD//BF,

在AANM和AMBD中,

MA=DM

乙MAN="MB,

、AN=MB

：.AANM^AMBD(SAS),

ZAMN=NMDB,

*：AELMN,

:・NAMN+/MAE=9U°,

•：NMDB+/MBD=9U°,

ZDBM=ZMAF,

：.DB//AF,

・・・四边形AFBD为平行四边形；

(3)解：如图，过点A作NBAG=45°,使AG=C3,连接GM、GC,BG,延长C5,过点G作GO_L

CB于点O,

,：AB=AC=4,ZBAC=90°,

AZABC=ZACB=45°,

；・/GAM=NBCN=45°,

•：AN=BM,

:・AM=CN,

y.'：AG=CB,

:公GAM沿ABCN(SAS),

：.GM=BN,

：.BN+CM=GM+CMNCG,

.•.当点G、M,C三点共线时，BN+CM的值最小，最小值为CG的值,

'：ZGAM=ZABC=45°,

：.AG//BC,

：.ZBAC=ZABG=90°,

.*.ZGBO=180°-ZABG-ZABC=45°,

/.ZGB6»=45°,

OG=OB,

：.GB=V2OB=V2OG,

：.OG=OB=2A/2,

：.OC=6vL

在RtZ\GOC中，GC=J(2V2)2+(6V2)2=475,

C.BN+CM的最小值为4瓶.

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋

转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，BN+CM的值最小,

最小值为CG的值是解题的关键.

3.(2024•包头)如图，在12ABe。中，NA8C为锐角，点E在边上，连接BE,CE,MS^ABE=S^DCE.

(1)如图1,若尸是边的中点，连接£/，对角线AC分别与BE,相交于点G,H.

①求证：”是AC的中点；

②求AG：GH-.HC；

(2)如图2,8E的延长线与CD的延长线相交于点连接AM,CE的延长线与AM相交于点N.试

探究线段AM与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论.

M

图1图2

【分析】（1）①由平行线之间是等距的以及可得AE=OE,再证△AEH也△€77H（AAS）

4GAE1

即可得证；②先证△AG£IS2\CG8,得出—=—=一，再根据AH=5”即可求解；

CGCB2

（2）由第（1）问思路可知可构造8字型相似或者全等，从而过M作MQ〃5C交CN延长线于点。,先

EMED1

证嬴=~BC=5得至UEM=BE,再证△MQE之△BCE得到MQ=BC,最后证AMQNsLAEN即可得证.

【解答】（1）①证明：•・,四边形ABC。是平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC,

・・・A。和之间是等距的，且NEAH=/FCH,

•S/\ABE=SACDE?

:.AE=DE=^AD,

•尸是BC中点,

1

・・・CF=BF=^BC,

：.CF=AE,

在AA即和△CFH中，

Z.EHA=乙FHC

^EAH=乙FCH,

AE=CF

：.AAEH^ACFH(A4S),

：.AH=CH,

・・・H是AC中点.

②解：■:/EAH=/FCH,/AGE=/CGB,

：.AAGEsACGB,

tAGAE1

…CG-CB-2’

设AG=2〃，则CG=4〃,

・・AC=6Q,

：.AH=CH=3af

:・GH=AH-AG=a,

•'•AG：GH：HC=2a：a：3。=2：1：3.

(2)AM=3AN.

证明：过"作MQ〃BC交CN延长线于点。

■:ED//BC,

.EMED1

••BM-BC一2,

1

：.EM=考BM=BE,

,:MQ〃BC,

；・NMQE=NBCE,

VZMEQ=ZBEC,EM=BE,

：.AMQE^ABCE(AAS),

:・MQ=BC,

9：MQ//AD,

：・/MQE=/AEN,

・.,ZMNQ=ZANE,

：.丛MQNs丛AEN,

.MN_MQ

••——2,

ANAE

：.MN=2AN,

：.AM^MN+AN=3AN.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判判定和性质、相似三角形的判定和性质等

知识，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键.

4.（2024•盐城）如图1,E、F、G、X分别是EL4BC。各边的中力,连接ARCE交于点连接AG、CH

交于点M将四边形AMCN称为团ABC。的“中顶点四边形”.

U

M1-----1c

图3

（1）求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形；

（2）①如图2,连接AC、BD交于点O,可得M、N两点都在8。上，当回ABC。满足ACL8D时,

中顶点四边形AMCN是菱形；

②如图3,己知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边

形.（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】（1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形AECG,四边形APC”均为平

行四边形，进而得到：AM//CN,AN//CM,即可得证；

（2）①根据菱形的性质结合图形即可得出结果；

②连接AC,作直线MN,交于点。，然后作ND=2ON,MB=2OB,然后连接A3、BC、CD、ZM即可

得出点M和N分别为的重心，据此作图即可.

【解答】（1）证明：

J.AB//CD,AD//BC,AB=CD,AD=BC,

•.•点E、F、G、H分别是团ABC。各边的中点,

11

：.AE=^AB=^CD=CG,AE//CG,

...四边形AECG为平行四边形，

同理可得：四边形AFCH为平行四边形，

J.AM//CN,AN//CM,

，四边形AMCN是平行四边形；

（2）解：①当平行四边形ABC。满足ACL2。时，中顶点四边形AMCN是菱形，

由（1）得四边形AMCN是平行四边形，

VACXBD,

C.MNLAC,

，中顶点四边形AMCN是菱形，

故答案为：AC1BD；

②如图所示，即为所求，

连接AC,作直线交于点。，然后作MD=20N,MB=2OM,然后连接AB、BC、CD、D4即可,

...点M和N分别为AABC和△AOC的重心，符合题意;

证明：矩形AMCN,

:.AC=MN,OM=ON,

,:ND=20N,MB=20M,

：.OB=OD,

四边形ABCD为平行四边形；

分别延长CM、AM,AN、CN交四边于点E、F、G、”如图所示:

:矩形AMCN,

：.AM//CN,MO=NO,

由作图得

丛MBFs&NBC,

,BFBM1

"BC~BN~2

，点尸为BC的中点,

同理得：点E为AB的中点，点G为DC的中点，点X为A。的中点.

【点评】本题主要考查了四边形综合，平行四边形及菱形的判定和性质，三角形重心的性质，理解题意,

熟练掌握三角形重心的性质是解题关键.

压轴题型二：矩形简答题压轴题

1.(2024•五华区校级模拟)如图，在菱形ABC。中，对角线AC,BD交于点O,过点A作AEL8C于点E,

延长BC到点孔使CF=BE,连接。R

(1)求证：四边形AEFD是矩形；

(2)若AC・BO=80,3CE=2CF,求OE的长.

【分析】(1)由菱形的性质得AZ)〃8C,AD=BC,进而证明EV=BC,则AZ)=EF,再证明四边形AEFD

是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；

(2)设CE=2cz(a>0),则BE=b=3a,BC=BE+CE=5a,由菱形的性质得。4=OC,OB=OD,AC

±BD,再由锐角三角函数定义求出。7=近4,则。8=2近°,然后求出a=VL即可得出结论.

【解答】(1)证明：•••四边形A8C£>是菱形，

J.AD//BC,AD=BC,

"：CF=BE,

：.CF+CE=BE+CE,

即EF=BC,

：.AD=EF,

...四边形AEFD是平行四边形，

'：AE±BC,

AZA£F=90°,

平行四边形AEFD是矩形；

(2)解：设CE=2a(。>0),贝！］BE=CF=3。，BC=BE+CE=5a,

:四边形ABC。是菱形，

C.OA^OC,OB=OD,ACLBD,

.*.ZBOC=90°,

'：AE±BC,

：.ZAEC=90°,

：.OE=^AC=OC,

..CEOC

•cos/ACE=前=前，

.2aOC

2OC5a

解得:0C=岛,

：.OB=y/BC2-OC2=J(5a)2-(V5a)2=2>/5a,

VAC-80,

：.OA-OC=20,

即限,2届=20,

解得：a=V2(负值已舍去)，

OE=V5a=V10,

即OE的长为VTU.

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中

线性质以及锐角三角函数定义等知识，掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键.

2.(2025•松江区一模)在矩形A8CZ)中，A2=8,4。=10.点£、厂分别在边42、BC±,AF±DE,垂

足为点H.

(1)求AE：OE的值；

(2)当“尸=2EH时，求AE的长；

(3)联结CH,如果△CDH是等腰三角形，求/EOC的正切值.

备用图1备用图2

4FAB84

【分析】解：(1)先证明△反1尸得出一=—=一=一；

DEAD105

(2)设EH=x,tan/AEH=k,贝！JFH=2x,AH=kx,DH=J^x,DE=(F+l)x,AF=(Z+2)x,根

据777=77^~T~==，求出k值，即可得到AE的长；

(3)分情况讨论即可：①HC=HD=8时；②当HC=HD=8时，③当CD=C"=8时.

【解答】解：(1)・・,四边形A3CD是矩形，

：.ZB=ZBAD=90°,

：.ZBAF-^ZAFB=90°,

VAF±DE,

；・NAHE=90°,

.\ZBAF+ZAEH=90°,

・•・ZAFB=ZAEH,

：.ABAF^AADEf

tAFAB84

・'DE~AD~10~5；

(2)设EH=x,tanZAEH=k,则FH=2x,AH=kx,DH=l^x,DE=(F+l)x,AF=(4+2)x,

ttAF(k+2)x4

・DE~(/c12+*4l)x-5'

・・・4M-5左一6=0,

Q

解得:4=2或左=-了4,(舍)，

1

即AE=^AD=5；

(3)由题意，需分类讨论，

1)当。C=Z)H=8时，

4

tanZEDC=tanZAED=tanZHAD=手

2）当HC=HD=S时，联结OR易得H为Ab中点,

：.DF=AD=10,

：.CF=6,BF=4,

tanZEDC=tanZAED—tanZAFB=2；

3）当CD=C”=8时，过。作CM_L。"交AO于M,交OH于N易得CM〃A/且CM=ARDG=HG,

：.N为DH中点,M为AZ）中点,

：.DM=^AD=5,

o

tanZ-EDC=tanZ-DMC=5；

48

综上所述：tanZ.EDC=弓或2或一.

J5

【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数等，掌握相似三角形的性质与判

定是解题的关键.

3.（2024•淅川县一模）综合与实践

【问题背景】

如图（1）,在矩形ABC。中，AB=5,BC=4,点E为边BC上一点,沿直线。E将矩形折叠，使点C落

在A8边上的点。处.

填空：AC'的长为3；

（2）如图（2）,展开后，将△OC'E沿线段AB向右平移，使点C'的对应点与点8重合，得到△/）'

BE',D'E'与BC交于点F,求线段EF的长.

（3）【拓展探究】

如图（3）,在△DC'E沿射线向右平移的过程中，设点C'的对应点为C〃，则当△£>‘C"E'在

线段8C上截得的线段P。的长度为1时，直接写出平移的距离.

【分析】（1）由矩形的性质得NA=90°,AB=CD=5,BC=AD=4,再由折叠的性质得C'D=CD=5,

然后由勾股定理求解即可；

（2）由折叠的性质得C'E=CE,设则C'E=CE=4-x,在RtZ^BEC'中，由

B烂+BC2=05求出BE=|,=|,连接团，根据相似三角形的判定可得△式团sAFCD，

s^ECD,即可求解；

E，E4

（3）分类讨论：当C〃在A8内（8的左侧）时，连接应'，根据相似三角形的判定和性质可得一==，

E，Q5

根据平移的性质和等角对等边的性质可得尸。=。戌=1,即可求得；当。〃在射线A3上（5的右侧）

时，连接团，根据相似三角形的判定和性质可得C。'=2CP,CD'=lcQ,求解可得CP=I，即可

求得.

【解答】解：（1）,••四边形ABC。是矩形，

；.44=/2=90°,AB=CD=5,BC^AD=4,

由折叠的性质得：CD=CD=5,

•\ACr=ylCD2—AD2=V52-42=3,

故答案为：3.

（2）由（1）得：ACf=3,

：.BCr=BC-AC'=2,

由折叠的性质得：CE=CE,

设8£=尤，贝！IC'E=CE=4-x,

在R3BEC'中，BEr+BC2=CE2,

X2+22=(4-x)2,

解得x=

,?7t-

即BE=j,CE=4-1=I，

连接EE',如图所示：

由平移的性质得：E'E=BC'=2,EE'//AB//CD,D'E1//DE,

.'.△FEE'S^FCD'S^ECD,

EFCE21

"EE'—CD-5-2’

：.EF=^EE'=1,

(3)当C"在A8内(8的左侧)时，连接EE',

如图所示：

由平移的性质得：E'E=CC",EE'//AB,C"E'//CE,

:.△QEE，s^c"BQSACBQ,

E/EC'B24

:,丽==|=?

•：/CPD'=ZEPE'=ZCED=ZD'E'Q,

：.PQ=QE'=1,

44

：.EfE=^EfQ=1,

当C〃在射线AB上（5的右侧）时，连接成'，如图

Ps^CDE,△C。'Q^/\CAD,

CPCE21CD，ACt3

"CDr~CD~5~2CQ~AD~4

即C。'=2CP,CD1=^CQ,

q

3

\・PQ=1,-{CP+PQ）=2CP,

r3

即一（CP+1）=2CP,

4

求解得CP=i，

."»=|,DD'=5-^=^-,

,419

故答案为：g或g.

【点评】本题考查四边形综合，矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰

三角形的判定与性质、平移的性质、平行四边形的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、

折叠的性质、平移的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型.

压轴题型三：菱形简答题压轴题

1.（2024•哈尔滨）四边形ABCD的对角线AC,8。相交于点O,AD//BC,OA=OC,AB=BC.

（1）如图1,求证：四边形ABC。是菱形；

（2）如图2,AB=AC,CH_LAO于点”，交BD于点E,连接AE,点G在4B上，连接EG交AC于点

F,若/FEC=75°,在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四条与线段CE相等的线段（线段CE除

外）.

【分析】(1)利用菱形的判定定理解答即可；

(2)利用菱形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一的性质，等腰三角形的判定定理和等

腰直角三角形的判定定理解答即可.

【解答】(1)证明：•••AO〃8C,

ZADO=ZCBO,

在△AOO和△C8。中，

/.ADO=乙CBO

Z.AOD=Z.COB,

OA=OC

：.AADO^/\CBO(A4S),

：.OD=OB,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

・・・四边形ABC。是菱形；

(2)解：与线段CE相等的线段有：AE,DE,AG,CF.理由：

由(1)知：四边形A3CD是菱形，

：.AB=BC=CD=ADfAC.LBD,

VAB=AC,

：.AB=BC^CD=AD=AC,

：.AABC和△AOC为等边三角形，

•；CH_LAD,

：.AH=DH,

即C"为A。的垂直平分线，

；・AE=DE.

同理：CE=AE,

：.AE=DE=EC.

•「△AOC为等边三角形，S_LAO,

AZACH=^ZACD=30°,

,：ZFEC=75°,

：.ZEFC=180°-ZACH=ZFEC=75°,

ZEFC=ZFEC,

：.CF=CE,

・・・AABC和△ADC为等边三角形，

AZBAC=ZCAD=60°,

CE=AE,

：.ZEAC=ZECA=30°,

ZBAE^ZBAC+ZCAE=90°,ZAEC=180°-ZEAC-ZECA=120°,

：.ZAEG=ZAEC-ZFEC=45°,

・・・AAGE为等腰直角三角形，

：.AE=AG,

：.AG=EC.

【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质，平行线的性质，全是三角形的判定与性质，等腰三角形的

判定与性质等边三角形的判定与性质等腰三角形的三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟

练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

2.(2024•威海)如图，在菱形A5CD中，AB=10cm9ZABC=60°,E为对角线AC上一动点，以DE为

一边作N。跖=60°,成交射线3C于点R连接BE,OF.点E从点C出发，沿C4方向以每秒2on

的速度运动至点A处停止.设43石方的面积为yen?,点石的运动时间为％秒.

(1)求证：BE=EF；

(2)求,与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

(3)求x为何值时，线段。方的长度最短.

ADAD

备用图

【分析】(1)设CD与EP相交于点M,证明△BCE丝△OCE(SAS),可得/CBE=/CDE,BE=DE,

利用三角形外角性质可得NCOE=/CFE,即得/CBE=NCFE,即可求证；

(2)过点E作EN_LBC于M解直角三角形得到EN=CE・sin60°,CA^=CE«cos60°,可得BN=8C-

CN,由等腰三角形三线合一可得BE即可由三角形面积公式得到y与x的函数表达式，最后由0<2x

W10,可得自变量尤的取值范围；

(3)证明△/)£尸为等边三角形，可得BE=DF,可知线段Z)厂的长度最短，即2E的长度最短，当BE

LAC时，BE取最短，又由菱形的性质可得aABC为等边三角形，利用三线合一求出CE即可求解；

【解答】(1)证明：设C。与£尸相交于点

:四边形A8C£)为菱形，：.BC-=DC,ZBCE=ZDCE,AB//CD,

VZABC=60°,

：.ZDCF^60°,

在△BCE和△DCE中,

BC=DC

Z-BCE=Z.DCE,

CE=CF

：.ABCE^/\DCE(SAS),

：.ZCBE=ZCDEfBE=DE,

'：ZDMF=ZDEF+ZCDE=NDCF+/CFE,

又•：NDEF=NDCF=6U°,

：.ZCDE=ZCFE,

：・NCBE=NCFE,

:.BE=EF；

(2)解：过点E作甚于N,

则/ENC=90。，

,:BE=EF,

：.BF=2BN,

••,四边形ABC。为菱形，NABC=60°,

：.BC^AB=10cm,ZACB^ZBCD=60°,即NECN=60°,

*.*CE=2xcm,

V3r~1

EN=CE9sin60°=2x・一=y3x(cm),CN=CE9cos60°=2x•一=x(cm),

22

：.BN=BC-CN=10-x(cm),

BF=2(10-x)cm,

；.y=±BF・EN=1x2(10-x)x信=一次/+10回，

JLL

V0<2x^l0,

・・・0<xW5,

•'•y=-A/3X2+10V3X(0VXW5)；

(3)解：•:BE=DE,BE=EF,

:・DE=EF,

'：ZDEF=60°,

•••△D所为等边三角形，

:・DE=DF-EF,

；・BE=DF,

・•・线段。厂的长度最短，即班:的长度最短，当8ELAC时，35取最短，如图,

AD

・・•四边形ABC。是菱形，

：.AD=BC,

VZABC=60°,

・•・△ABC为等边三角形，

：.AE=AB=AC=10cm,

VBEXAC,

1

CE=]AC=5CM,

.CE5

••X-2=2，

.•.当x=3时，线段。B的长度最短.

【点评】本题是菱形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，解直

角三角形，求二次函数解析式，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，解题的关

键是掌握菱形的性质及等边三角形的判定和性质.

3.（2024•青海）综合与实践

顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形.数

学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用.

以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究.

【探究一】

原四边形对角线关系中点四边形形状

不相等、不垂直平行四边形

如图1,在四边形4BC。中，E、F、G、H分别是各边的中点.

求证：中点四边形EFG”是平行四边形.

证明：F、G、H分别是AB、BC、CD、D