2025年中考数学一轮复习：相似三角形-动点问题训练（含答案）

2025年中考数学一轮复习相似三角形一动点问题训练小专题

1.如图，在等腰RtZXASC中，ZABC=90°,AB=BC=4cm,点。为3c延长线上一点，且

CD-2cm.现有一动点尸从点/出发，沿方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，动点。

从点/出发，沿AC方向匀速运动，速度为J5cm/s.过点。作庞〃/「，交P。的延长线于

点、E,连接BE.设运动时间为f(s).(0<r<4)

⑴试猜想P。与BC的位置关系，并证明.

(2)当f为何值时，DE±BE?

(3)直接写出四边形BCQP的面积S(cm)与f(s)之间的函数关系式.

(4)取5E中点连接加并延长，交BC于点、N,随着时间f的变化，N点位置是否发生变

化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出的值.

2.直线丁=-工+2与x轴、>轴分别交于点A、点C,抛物线经过点A、C,且无轴的另一

个交点为3(-1，。).

图1图2

答案第1页，共51页

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。为第一象限内抛物线上的一动点.

①如图1,若CD=AD,求点。的坐标；

②如图2,8。与AC交于点E,求Sc°E：SCBE的最大值.

3.如图所示，四边形ABC。是矩形，E是BC的中点，射线AE与OC的延长线交于点尸，

(1)判断/产与/G4E是否相等？并说明理由；

(2)若AB=4,BC=6.

①求sinZDAG的值；

②线段AF上有一动点尸(不与端点重合)，线段AG上有一点。，ZQPG=ZF,若PQG是

等腰三角形，求AP的长.

答案第2页，共51页

4.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,动点P从点3出发，沿线段8A以

每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点。从点A出发，沿折线AC-CB以每秒2

个单位长度的速度向点8运动.当点尸到达终点时，点。也停止运动，设运动的时间为f秒.

(1)求AB的长;

(2)当。在AC上运动时，若以点A、P、。为顶点的三角形与VABC相似，求f的值.

5.【问题情境】在矩形A3。中，点E为边BC上一个动点，连接AE.将ABE沿AE翻折,

图1图2备用图

【探究发现】

(1)如图1,若BC=®B,求NAFD的度数;

(2)如图2,当AB=4,且砂=EC时，求3C的长.

【拓展延伸】

(3)若矩形ABCD满足A3:3C=2:3,点E为边BC上一个动点，将矩形ABCD沿AE进行

答案第3页，共51页

翻折，点C的对应点为C',当点E,C,。三点共线时，求/BAE的正切值.

6.如图，在菱形中，/ABC为锐角，E是对角线AC上的一个动点(0<AE<(AC),

连接BE,DE.

BCBM

图2图3

(D如图1,求证：BCE当DCE；

(2)如图2,在AB左侧作=延长OE分别交AB5产于点RG.

2

①当8歹=4,cosNC8E='时，求FG的长;

②如图3,在BC上截取3M=瓦"连接交班于点连接DW交对角线AC于点N,

求证：四边形MNEH是平行四边形.

7.图1,在平面直角坐标系中，RtOAB的直角边04在y轴的正半轴上，且。4=6,斜边

08=10,点P为线段上一动点.

答案第4页，共51页

(1)请直接写出点8的坐标；

⑵若动点P满足NPOB=45°,求此时点P的坐标；

(3)如图2,若点E为线段02的中点，连接PE,以PE为折痕，在平面内将VAPE折叠，点

A的对应点为A,当PAU08时，求此时点尸的坐标；

(4)如图3,若尸为线段AO上一点，且A尸=2,连接尸尸，将线段尸尸绕点尸顺时针方向旋

转60。得线段FG,连接OG,当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段尸P扫

过的面积.

8.如图，RtZXABC中，ZACB=90°,AC=3cm,A5=5cm,动点P从点8出发，8A边

上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点。从点C出发，在C8边上以每秒2cm的速

度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜，＜；),连接尸Q.

(1)当/为何值时，以8、P、。为顶点的三角形与VABC相似;

(2)当f为何值时，2尸。为以尸Q为腰的等腰三角形；

答案第5页，共51页

(3)连接AQ,CP,若AQLCP,直接写出t的值.

9.在VABC中，已知/3=45。,/。=30。,47=8,点T是射线CB上一动点，联结AT,在AT

右侧作等腰直角ATK,即AT=AK,NA1K=9O。.

⑴如图(a),当点K落在线段AC上时，求线段BT的长度;

(2)如图(6),当点7在线段BC上且点K在VABC内部(不包括边界)时，联结CK,设BT=尤,

AKC面积为乃即5AA~求>关于x的函数解析式及定义域;

(3)若点K落在VABC某一边垂直平分线上时,具体求出线段的长度.

10.在等边VABC中，AM为中线，。是线段上的动点(不与点M、C重合)，将线段DM

绕点。顺时针旋转120。得到线段DE.

答案第6页，共51页

①求证：。是MC的中点；

②AE与EN的位置关系是,NE与的数量关系是；

⑵如图2,若在线段所上存在点尸(不与8、M重合)使得C、尸两点关于点。中心对称,

连接AE、EF,线段AE、EF存在怎样的关系，请说明理由.

11.如图，已知点A(2,0),8(0,4),NAOB的平分线交AB于C,一动点P从。点出

发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点8作匀速运动，过点P且平行于的直线

交x轴于Q,作点P、Q关于直线OC的对称点〃、N.设点尸运动的时间为f(0<1<2)

(1)用含f的代数式表示点M,N的坐标，M点的坐标为N点的坐标为

答案第7页，共51页

⑵求。点的坐标.

⑶设MNC与△OA^重叠部分的面积为S.试求S关于％的函数关系式.

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与》轴交于点Z,与反比

3

⑵点。是X轴正半轴上一点，连接5C交反比例函数y=丁(%>0)于点。，连接AD,若

2x

的面积为1,求黑；

⑶在(2)的条件下，点£是x轴上的一动点，点尸在y=2x+2图象上，当DEF为等边三

角形时，请直接写出点E的坐标，并写出其中一个点E坐标的求解过程.

答案第8页，共51页

13.如图，已知梯形ABCD中，AD//BC,ZBAD=90°,AD=1cm,AB=BC=4cm,P

为一动点从点B出发，沿Aj£＞方向，以Icm/s的速度向由点B向点。运动；Q为另一

动点，从C出发，沿C＞£＞方向，以lcm/s的速度向由点C向点。运动，当其中一动点到达

图1图2

⑴如图1,当P运动f秒时，恰好有PADsCBP,求f的值；

(2)如图2,过点。作QE，于点E.

①在运动过程中，是否存在f秒时，使得以尸、A、。为顶点的三角形与ACQE相似？若存

在，请求出所有符合条件的f的值；若不存在，请说明理由.

②在运动过程中，是否存在f秒时，使得以P、。、。为顶点的三角形恰好是等腰三角形？

若存在，请求出所有符合条件的f的值(直接写出答案)；若不存在，请说明理由.

14.【综合与实践】

如图，在Rt^ABC中，点。是斜边上的动点(点。与点A不重合)，连接C。，以CD为

直角边在8的右侧构造RSCDE,NDCE=90°,连接8E,柒=等=根.

【特例感知】

(1)如图1,当机=1时，BE与AD之间的位置关系是一，数量关系是一.

【类比迁移】

(2)如图2,当相学1时，猜想班与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想.

答案第9页，共51页

【拓展应用】

(3)在(1)的条件下，点歹与点C关于。E对称，连接DF,EF,BF,如图3.已知AC=8,

设AD=x,四边形COPE的面积为九

①求y与X的函数表达式，并求出y的最小值；

②当B尸=2时，请直接写出AD的长度.

图1图2图3

15.已知抛物线y=-2Y+4x+6与x轴相交于2、B两点，与>轴相交于点C,点。为顶点.

(1)直接写出A、B、C、。四个点的坐标；

⑵如图1,点尸为抛物线对称轴(直线/)上的动点，求当点P在什么位置时，|P8-PC|取

答案第10页，共51页

得最值？最值是多少？

⑶如图2,在第一象限内，抛物线上有一动点交BC于点E,求黑MF的最大值.

答案第11页，共51页

《2025年中考数学一轮复习相似三角形一动点问题训练小专题》参考答案

1.(l)PQ//BC,证明见解析

(2)当f值为1时，DE±BE

_12

⑶S四边形BC°P-8-]f

(4)N点位置不发生变化，BN=2cm,理由见解析

【分析】(1)证明APQ-ABC,得出NAPQ=NABC=90。即可证明结论；

(2)先求出AP=PQ=rcm,3P=PE=(4-f)cm,证明四边形CDE。是平行四边形，得出

QE=CD=2cm,进而列方程求出结论；

(3)根据S四边形BCQP=SABC-SAPQ即可求出；

(4)证明BMN9EMQ,得出8N=QE=2cm,即可得出结论.

【详解】(1)解：PQ//BC,理由如下：

由题意得：AP=fem,AQ=V2fcm,

AB=BC=4cm,

\AC='42+42=4&cm，

、AP_AQ_t

AB-AC-4?

ZA=ZA,

\APQsABC,

\1APQ?ABC90?,

/.PQ//BC.

(2)解：」？ABC90?,ABBC=4cm,

ZA=ZACB=45°,

DELBE,DE//AC,

BEA.AC,

:.ZCBE=45°f

\?PBE45?,

1APQ90革巴A=45?,

\1PBE1PEB45?,AP。是等腰直角三角形，

/.AP=PQ=tcm,BP=PE=(4—/)cm,

答案第12页，共51页

PE//BC,DE//AC,

.•.四边形⑺£。是平行四边形，

\QE=CD=2cm,

PE=PQ+QE,

\4-t=t+2,

解得：t=l,

「•当，值为1时，DELBE；

(3)解：ZAP。=/ABC=90。，AP=PQ=tern,AB=BC=4cm,

\S四边形BC°P=1■仓珞4-g创r=8-52；

(4)解：N点位置不发生变化，BN=2cm,理由如下：

如下图：

\?BNM征QM,NBM=?QEM,

〃是班中点，

BM=EM,

\BMN乌EMQ,

\BN=QE=2cm,

，随着时间/的变化，N点位置不发生变化，BN=2cm.

【点睛】本题考查的是相似三角形判定与性质、全等三角形判定与性质、平行四边形的判定

与性质，勾股定理的应用，求函数解析式等知识，熟练掌握这些知识是解题关键.

2.(1)y——X2+%+2

(2)①点O的坐标为(四,夜)；②g

【分析】(1)先利用一次函数解析式求点C和点A的坐标，再设出交点式，将点C的坐标代

入求解；

答案第13页，共51页

(2)①先利用等腰直角三角形的性质可判定点。在直线y=x上，则可设设D(〃z,m)(根>0),

然后把。代入y=-r+x+2中求出点。的坐标；②作。尸〃》轴交AC于尸，BG〃y轴交

DF

直线AC于G,先证明DEFsBEG,再结合三角形面积公式得到S：S，设

BCJ

。0，-产+t+2)(O</<2)得到尸(04+2),求出£)尸，进而求解.

【详解】(1)解：当x=0时，y=-x+2=2,

则C(0,2),

当y=0时，-x+2=0,

解得x=x=2,

则A(2,0),

设抛物线解析式为>=a(x+D(x-2),

把C(0,2)代入得axlx(-2)=2,

解得〃=-1,

・•・抛物线解析式为y=-(x+D(尤-2),

即y=-炉+/+2；

(2)角军：©-OA=OC,

・•.(MC为等腰直角三角形，

DC=DA,

・••点。在AC的垂直平分线上，

即点。在直线、二%上，

设。(帆m)(m>0),

才巴D(m,根)代入y=-x2+x+2

得-m2+m+2=m,

解得叫=6,恤=-V2(舍去),

.•.点。的坐标为(0,0);

②作。尸〃y轴交AC于尸，8G〃y轴交直线AC于G,如图2,

答案第14页，共51页

DF//BG,

：./\DEFs^BEG,

DEDF

BE-BG

DE

~BG

DF

…0CDE•°

当x=_l时，y=-x+2=3,

则G(-l,3).

设+1+2)(0<r<2),

则F(t,-t+2),

DF~~~t~+/+2-(—t+2)---t~+2t,

_DF—+Z_

,•°CDE-°CBE_BG_3_3VI

当t=l时，sCDE:SCBE的最大值为~.

EX'

F

旧O\

图2

【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数

的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；把三角形面积的比转化为线段的比和利用相

似比表示线段之间的关系是解决此题的关键；理解坐标与图形性质.

3.(1)ZF=ZGAE,理由见解析

【分析】(1)由折叠可知ZBAE=NG4E,由平行线可知/BAE=/尸，等量代换即可得解；

(2)①先求出CO=A2=4,AO=3C=6,ZD=90,在RtADG中，利用勾股定理建立方

程求得DG,再求得AG=FG=325,根据三角函数的定义即可得到答案；

4

②分尸G=GQ,PQ=GQ和PQ=PG三种情况分别进行解答即可.

答案第15页，共51页

【详解】（1）解：/F=/GAE,理由如下:

・・•将ABE沿AE翻折，得到ABrE,

・・・NBAE=/GAE,

・・•四边形ABC。是矩形，

ABCD,

/BAE=ZF,

・・・ZF=ZGAE；

（2）解：①由（1）知NF=NG4E,

：.GA=GF,

・・・石是3C中点，

:.BE=CF,

在ABE^中，

'ZBAE=ZF

<ZAEB=ZFEC,

BE=CE

：.ABEmFCE（AAS）,

・・・AB=CF,

・・•四边形A3C。是矩形，

CD==4=CF,AD=BC=6,/D=90°,

:.DF=CD+CF=8,

设OG=x,贝I]AG=FG=8—

在RtAOG中，AD2+DG2=AG2,

即x2+62=（8-x）2,

解得％=：7，

4

25

/.AG=FG=8-x=—,

4

•/八

sinNZ）/4lGc-.D...G..=—7•

AG25

②在RtADF中，AF=^AD2+DF2=A/62+82=10-

•；尸。G是等腰三角形，分三种情况讨论：

答案第16页，共51页

当尸G=G。时，此时,P与斤重合，舍去;

当PQ=G。时，如图,

ZQGP=ZQPG=ZF=ZFAG,

APGsAGF,

.AP-AG

**AG-AF?

4八AG2125

二.AP=------=——

AF32

当尸。=PG时，如图,

NPAQ=ZQPG=NF,

ZPQG=ZPAQ+ZAPQ=ZQPG+ZAPQ=ZAPG,

ZAPG=ZPGQ,

25

/.AP=AG=—

4

综上所述，若PQG是等腰三角形，人尸1=2等5或亍25.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判的和性质、等腰三角形的

判定与性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，分类讨论是解题的关键.

4.(1)10

c20T25

⑵"豆或豆

【分析】本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关

答案第17页，共51页

键.

(1)根据勾股定理直接求解；

(2)根据题意列出代数式，分当/PQA=90。和/QPA=90。时两种情况，根据相似三角形

的性质列出比例式，解方程即可求解.

【详解】(1)解：在RtZXABC中，由勾股定理，得A32=BC2+AC2,

43=&2+82=10,

故答案为：10;

(2)解：由题意，得AP=10-2LAQ=2t,

①当NPQA=90°时，APQsABC,

.AP_AQ

.10-2/_2r

••=，

108

解得，w20，

②当NQP4=90。时，AQPsABC,

.AP_AQ

**AC-AB?

.10—2/2t

••—,

810

解得:亍25，

综上所述，当方=520■或2三5时，以点力、尸、。为顶点的三角形与VABC相似.

5.(1)120°；(2)40;(3)或1.

【分析】(1)由矩形的性质和锐角三角函数定义，得乙钻。=60。，再由折叠性质得：=

故AABF是等边三角形，即可得结论；

(2)由折叠性质得：BF1AE,EF=EB,则3c=2£8,再证ABE^BCD,根据相似

的性质可得BC的长；

(3)分类讨论且结合作图，当点E在B、C之间时，得DE=AD=BC=3n,运用勾股定理

得CE7DE?-CD。=岛，BE=g-布)n,故tanZBAEn”,；当E与C重合时，

BE=BC=3n,tanN8AE=空=一，即可作答.

AB2

【详解】解：(1)四边形ABC。是矩形，

答案第18页，共51页

AD=BC,ZBAD=9Q°,

BC=MAB,

AD=也AB,

Ari「

/.tanZABD=—=<3,

AB

ZABD=6Q°,

由折叠的性质得：AF=AB,

△A3尸是等边三角形，

ZAFB=60°,

/.ZAFD=180°-ZAFB=120°；

(2)由折叠的性质得：BFLAE,EF=EB,

/BGE=90。,

EF=EC,

EF=EC=EB,

・•.BC=2EB,

四边形A5CD是矩形，

ZABC=ZBCD=90°,AB=CD=4,

ZBAE+ZAEB=90°,ZCBD+ZAEB=90°,

・•.NCBD=/BAE,

/BCD=ZABE,

ABEsBCD,

，丝=型，即41J

BCCD~^=—

BC=472(负值已舍去)，

即BC的长为4夜；

(3)设AB-2rl,BC=3n,

分两种情况：当点E在2、C之间时，

答案第19页，共51页

由折叠的性质得：ZAEC=ZAECf

■:/BEC=ZDEC,

ZAEB=ZAED,

9：AD//BC,

：.ZAEB=ZDAE,

NDAE=/AED,

DE=AD=BC=3〃，

在Rt^CDE中，CE=^DE--CD2=>BE=(3-^n,

3-J5

・•・tanZBAE=—―;

2

当月与C重合时，BE=BC=3n,

：.tanZBAE=—=~；

AB2

综上所述，/BAE的正切值为三史或之.

【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，相似三角形的判定

与性质，折叠性质，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

6.(1)证明见解析

(2)①歹G=3；②证明见解析

【分析】(1)根据菱形的性质利用SAS即可求证；

(2)根据全等三角形的性质和菱形的性质可得NCBE=/CDE=/ABP=/BFG,即得

2

BG=FG,过点G作GH_L8尸于H,由cos/ABP=—求出BG即可求解；

3

(3)延长BC至Q,证明FBMsABC得NBMF=NBCA,即得M尸〃AC,再由

DAF^DCM(SAS)和ABE也AD£(SAS)可得=,即得BE〃DM,即可求

证.

【详解】(1)证明：•••四边形A2CD是菱形，

答案第20页，共51页

BC=DC,ZBCE=ZDCE,

又・・・CE=C-

.・・BCE空DCE(SAS)；

(2)解:①•・,BCE沿DCE,

：.ZCBE=ZCDE,

・.・ZABP=ZCBE,

：.ZCBE=ZCDE=ZABP,

・・•四边形ABC。是菱形，

:.AB//CD,

：.ZBFG=ZCDE,

：.ZABP=ZBFG,

：.BG=FG,

过点G作G”_L5产于H,则BH=FH=；BF=2,NBHG=90。,

图2

2

cosACBE=—,

3

2

cosZABP=—,

3

・BH_2

••二一—f

：.BG=3,

：.FG=3；

②延长BC至Q,

图3

答案第21页，共51页

・・•四边形MCD是菱形，

：.BA=BC=CD=AD,ZDAF=ZDCM,ABDC,

u：BM=BF,

BFBM——

----=------,AF=CM,

BABC

又•:ZFBM=ZABC,

/.FBMsABC,

NBMF=NBCA,

：.MF//AC,

即MH//EN,

在ADAF和△DCM中,

AD=CD

<ZDAF=ZDCM,

AF=CM

：.DAF^DCM(SAS),

：.ZADF=ZCDM,

在ABE和VAO石中，

AB=AD

<ZBAE=ZDAE,

AE=AE

；.ABE沿ADE(SAS),

/.ZABE=ZADE,

：.ZABE=ZCDM,

•：ABCD,

；.ZABC=ZDCQ,

：.ZABE+ZEBC=ZCDM+ZDMC,

:・NEBC=/DMC,

：.BE//DM,

即HE〃肱V,

MH//EN,

答案第22页，共51页

四边形MNE”是平行四边形.

【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，相似三角形的判定

和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定，正确作出辅助线是解题的关键.

7.(1)3(8,6)

⑵*，6)

⑶

(4)OG的最小值为4,

【分析】(1)利用勾股定理求出AB即可；

(2)如图1中，过点P作尸H1.03于点7/.设PH=OH=x,构建方程求出x,再利用相似

三角形的性质求出尸8即可；

(3)如图2中，设P4交08于点T.利用相似三角形的性质求出ET,再求出P8,可得结

论；

(4)如图3中，以AF为边向右作等边△AFK,连接KG,延长KG交无轴于点R,过点K

作于点J.KQLOR于点。，过点。作OWLKR于W.证明AKP/狂G(SAS),推

出NPAF=NGKF=90。，推出点G在直线KR上运动，当点G与W重合时，OG的值最小.

【详解】(1)解：如图1中，在Rt498中，ZOAB=90°,0A=6,03=10,

.-.AB=VOB2-OA2=V102-62=8-

..8(8,6)；

(2)解：如图1中，过点P作/WL08于点

PH=OH,

设PH=OH=x,

,ZB=ZB,ZBHP=ZBAO=90°,

BHPsBAO,

答案第23页，共51页

.PH_BH_PB

"AO-BA-OB'

,x_BHPB

45

/.BH=—x,PB=—x

33f

4

XH--X=10.

3

:.PA=AB-PB=S--=-,

77

图2

:.EA=EO=EB=5,

NEAB=ZB,

由翻折的性质可知ZEAB=ZA\

ZA=ZB,

ArP±OB,

/.ZETAr=ZBAO=90o,

△NXEsXBAO,

.A宏ET

•5_ET

,,一，

106

:.ET=3,BT=5-3=2,

「BTAB

cosB==,

PBOB

•2_8

.•诟一记‘

答案第24页，共51页

PB=-

2

AP=AB-PB=S--=—

22

喂，6，;

（4）解：如图3中，以AF为边向右作等边△AFK,连接KG,延长KG交x轴于点R,过

点K作KJJ.AF于点J.KQLOR于点Q,过点。作OWLKR于W.

ZAFK=ZPFG=60°,

FA=FK,FP=FG,

AFP^在G(SAS),

NPAF=NGKF=90。,

二.点G在直线KR上运动，当点G与W重合时，OG的值最小,

KJ.LOA,KQLOR,

Z.KJO=ZJOQ=ZOQK=90°,

.•・四边形WQK是矩形，

/.OJ=KQ,JK=OQ,

KA=KF,KJ±AF,

AJ=JF=1,KJ=6,

KQ=OJ=5,

ZKRQ=360°-90°-90°-120°=60°,

邯=£即=当,

OR=g^=迫,

33

/.OW=ORsin600=4,

・•.OG的最小值为4,

答案第25页，共51页

OF=OW=4,ZFOW=60°,

•••尸ow是等边三角形,

:.FW=4,BPFG=4,

.•・线段FP扫过的面积=6°爰：42=?

3oO5

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相

似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全

等三角形解决问题，属于中考压轴题.

„八、10-16

8.(1)一或——

1123

.32

⑵行或三

(3)”

-24

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的定义等知识点,

由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键.

(1)先根据勾股定理求出BC,分BPQsBAC、BPQs2CA两种情况，再根据相似三

角形的性质列出比例式即可求解；

(2)根据VBPQ是以PQ为腰的等腰三角形分PB=PQ,=两种情况讨论，根据平行

线分线段成比例，相似三角形的性质列出比例式，即可求解；

(3)如图：过P作于点跖AQ,CP交于点N,则PMAC,可证BPMBAC,

根据相似三角形的性质可得Wf12PM=9"再根据ACQsCMP得出A妥C=*CO,

55CMMP

然后代入数据计算即可.

【详解】(1)解：ZACB=90°,AC=3,AB=5,

/.BC7AB2-AC?=525-9=4,

与VABC相似，且N3=N5,

，当BPQs历IC时,BPBQ

3t_4-2t

T-4

10

t=—,

11

BPBQ

当BPQs3cA时,

答案第26页，共51页

.3t_4-2t

••=，

45

16

，，r-23；

综上，r=g或t=*时，以8、P、。为顶点的三角形与ABC相似;

(2)①当PB=PQ时如图1,过点尸作PELBC于£,

②当8。=尸。时，如图2,过。作QGLA8于G,

综上所述：当r="或、时，VBPQ是等腰三角形；

(3)过点尸作尸于点M,AQ,CP交于点N,如图3所示:

答案第27页，共51页

B

/A\TQAC1BC,

图3

/.PMBsACB.

PB_BM_PM

129

BM=—t,PM=­t

55

12

:.MC=4-—t,CQ=2t,

ZNAC+ZNCA=9009ZPCM+ZNCA=90°,

:"NAC=/PCM,

ZACQ=ZPMC,

ACQsCMP,

.CQ_AC

,•PM-CM'

•2t_3

9.(1)BT=4-1V3；

(2)y=—2A/3.X+8V3-8,。(尤＜4-1A/3,

(3)27=46-4或BT=4.

【分析】(1)如图，过工作AE,8c交BC于点E,先求出三角形的另两边长，根据勾股定

理得至IJCT=?石，进而即可解；

(2)如图，过K作修，BC交3c于点过T作TGLA8交AB于点G,先证ATG^THK,

ATTG]

得出行===K，进而可得出AT,GT,K”与X的关系，用三角形面积的和差即可表示

1KKH72

出AKC面积，最后利用K在VABC内部(不包括边界)的条件即可得出定义域；

(3)点K落在VABC某一边垂直平分线上时，分三种情况讨论即可得解.

答案第28页，共51页

【详解】（1）解：如图，过N作4ELBC交3C于点E,

,/NB=45°,ZC=30°,AC=8,

AE=BE=-x8=4,

2

根据勾股定理得，AB=A6,CE=46,

：.BC=4+4A/3,

•..在瓦CAT中，ZC=30°,AC=8,NE4K=90°,

AT='-TC,

2

,根据勾股定理得，CT?=82,

CT=—V3,

3

57=4+473-—V3=4--V3；

33

(2)解：如图，过K作交BC于点”，过7作TG_LA3交A8于点G,

AATK=ZAKT=45°,

根据勾股定理得，TK=6AT，

'：4=45。，

ZBAT+ZBTA=ZKTH+ZBTA=180°-45°=135°,

ZBAT=ZKTH,

,/ZAGT=ZKHT=9Q°,

：.ATGsTHK,

答案第29页，共51页

ATTG1

••天―初_忑，

VZB=45°,

・••根据勾股定理得，BT=y/2GT=x^

：.KH=x,GT=BG=-x,

2

AG=AB-BG=4®—Jx,

2

工根据勾股定理得，4f2=%2—8%+32,

••UAKC-uABC°ABT°CKT

=^4+4\/3jx4-^-x4V2x^-x-^-x^4+4^-xjxx-^x2-8x+32)

=-2氐+8石-8,

y——2*\/3x+85/3—8,

由(1)知，当点K落在线段AC上时，BT=x=4-；C,

当点K落在线段8c上时，BT=x=O,

.••函数的定义域为0<x<4-

(3)解：点K落在VABC某一边垂直平分线上时，可分三种情况，

①如图，当点K落在A8边垂直平分线上时，过点7作771/_LAB交的延长线于M点，设

AB的垂直平分线交AB于点N,

:•AN=BN=2C，^TAM+ZMAK=ZMAK+ZAKN=90°,ZAMT=ZANT=9Q°,

：.ZTAM=ZAKN,

;AT=AK,

；.ATM^KAN(AAS),

：.AN=TM=2A/2，

ZABC=45°,

答案第30页，共51页

NTBM=ZABC=45°,

BM=MT=20，

■­BT=0x2及=4，

②如图，当点K落在AC边垂直平分线上时，过点T作:TO,AC交AC于M点，设AC的垂

直平分线交AC于点。，

AQ=CQ=4,

由①可证得ATD咨KAQ(AAS),

：.TD=AQ=4,

在RtC£>T中，ZACB=30°,

：.CT=8,

：.87=4指+4-8=4百-4,

③如图，当点K落在3c边垂直平分线上时，过N作3C的平行线，与过点K作KRJ.BC交

8c于R点的直线交于点尸，过点T作7。，4「交尸4的延长线于。点，

KPAE,

；.K在直线KP上运动，

由①可证得AT。也KAP(AAS),

TO=AP=ER=4,

：.RC=BC-ER—EA=4y^-4<g(4+46

答案第31页，共51页

不是BC边的中点，

4=45。,"=30。，

ABAC=180°-30°-45°=105°,

/.VA8C为不等腰三角形，

.••K不可能落在2C边的垂直平分线上，

综上所述：取=46-4或87=4.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理,

等腰直角三角形的性质，垂直平分线的性质，一次函数的解析式等知识点，熟练掌握其性质，

准确作出辅助线是解决此题的关键.

10.(1)①见解析；②AE1EM,AEfEM

(2)AE±EF,AE=^3EF,见解析

【分析】⑴①旋转，得到4TOE=120。，DM=DE,进而得到NEDC=60。，证明CDE为

等边三角形，得到CD=DE,进而得到C£)=。"，即可得证；

②等边对等角，得至U/MED=N£MZ)=gx(180°-120°)=30°,角的和差关系求出

AMEC=ZMED+ZCED=90°,进而得到根据三线合一结合含30度角的直角三

角形的性质，推出4£=石雨即可；

(2)过点E作AC平行线，交BC于点G,交AM于点“，证明△£»G为等边三角形，得

到==NDEG=60。,连接EM,推出=90。，三线合一结合教的和差

关系推出=根据含30度角的直角三角形的性质，推出即

HM=也MG,进而得到—=™=V3,等量代换网=空■=6,证明△AHE^FME,

CGMGFMEM

即可得出结论.

【详解】(1)解：①证明：•••将线段。M绕点。顺时针旋转120。得到线段OE,

AZMDE=no0,DM=DE,

：.NEDC=180°-ZMDE=60°,

：VA8C为等边三角形，

ZC=60°,

ZCED=180°-NEDC-ZC=60°,

答案第32页，共51页

CZJE为等边三角形，

CD=DE,

：.DM=CD,即。为MC中点.

②；NMDE=120°,DM=DE,

：.ZMED=ZEMD=|x(180°-120°)=30°,

：CUE为等边三角形，

，ZCED=60°,

AMEC=/MED+ZCED=90°,

AELEF,

•.•等边VABC中，AM为中线，

ZMAC^-ZBAC^30°,

2

：.ME=-AM,

2

AE=MME；

(2)过点K作AC平行线，交BC于点G,交AM于点”,

ZEGD=ZC=60°,

又,/ZEDG=180°-ZMDE=60°,

△EOG为等边三角形，

DG=DE=DM,ZDEG=6Q°,

连接EM,

VZMDE=120°,DM=DE,

：.NDME=ADEM=30°,

ZMEG=ZMED+NDEG=90°,NFME=180。—ZDME=150°,

ZMEH=90°,

•；VA8C为等边三角形，AM为中线，

答案第33页，共51页

...AMLBC,

：.ZAHE=AAMC+AEGD=150°,ZHME=90°-ZDME=60°,

ZAHE=ZFME,

在中，/HME=60。,

：.ZMHE=30°,

/.EH=6EM,

VC,厂两点关于。中心对称，

・・・CD=DF,

：.CD-DG=DF-DM,^FM=CG,

在RtZXHMG中，NMHE=30。，

HM=6MG,

GH//AC,

AHCG

HM~MG

AH

~CG

”FM=CG,,

AH

FM

Z\AHES/\FME,

AE

2AEH=NMEF,

~EF

AE=拒EF,ZAEF=ZAEH+ZHEF=NMEF+NHEF=ZMEH=90°,

即AE_L£F.

综上，AE±EF,AE=6EF.

【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，

勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形,

是解题的关键.

11.（l）M（2?,0）,N（0j）.

答案第34页，共51页

44

⑵C

3,3

-z2+2/(0<r<1)

⑶s=<J?-2/+|(l<?<2)

【分析】本题是运动型综合题，涉及二次函数与一次函数、待定系数法、相似、图形面积计

算、动点问题函数图象等知识点，正确地进行分类讨论，是解决本题的关键.

(1)根据平行线分线段成比例得出空=至，进而得出OP=202,进而得出P,。的坐标，

OBOA

根据轴对称的性质可得ON==OP,即可求解；

(2)证明四边形CE0P是正方形，设正方形的边长为无，证明BECsBOA,根据相似三

角形的性质列出比例式，即可求解；

(3)所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论：图2,图3表示出运动过程中重叠部分(阴

影)的变化，分别求解即可.

【详解】(1)：点4(2,0),5(0,4),

OA=2,OB=4

PQ//AB,

OP_OQpnOP_OQ

OBOA42

OP=2OQ

动点P从。点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点8作匀速运动,

P(02),

••.2(^0).

ZAOB的平分线交48于C,即对称轴OC为第一象限的角平分线,

ON=OQ,OM=OP

(2)解：过点C作CP,无轴于点尸，CELy轴于点£,

答案第35页，共51页

图1

・・•ZAOB的平分线交A5于C,即对称轴OC为第一象限的角平分线,

ACE=CF,ZEOC=ZFOC=45°

又・.・。/，九轴于点尸，上,＞轴于点石，

・・・ZCEO=ZCFO=ZAOB=90°

・・・四边形CEO尸是矩形

,/CE=CF

・・・四边形CEO尸是正方形，设正方形的边长为斗

・・・BE=4-x

.CE〃1轴

BECsBOA

.BECE口口4—xx

..——=——即---=—

BOOA42

4

解得：X=§,

(3)当0UV1时，如图2所示，点M在线段。4上，重叠部分面积为S.N

图2