2025年中考数学一模试题分类汇编：圆（解析版）

专题07圆

|题型概览

题型01垂径定理

题型02圆心角'圆周角

题型03切线的判定与性质

题型04三角形的外接圆、内切圆

题型05弧长与面积

题型06圆与其他图形的综合

01垂径定理

1.（2025•山东聊城•一模）如图，A3为。。的弦，直线跖与＜。相切于点C,且AB〃跖，连接OC,

NAOC=70。，若点。为弦A8所对弧上一点，则/CD3为（）

A.35°B.70°C.35°或145°D.70°或110°

【答案】C

【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，由切线的性质得OCLEF,由垂径定理得AC=BC，

然后分两种情况求解即可.

【详解】解：1.直线所与。相切于点C,

OCLEF.

AB//EF,

：.OC±AB,

AC=BC-

当点。在优弧48上时，

ZBDC=-ZAOC=35°.

2

D

c

当点。在劣弧A8上时，

ZBD,C=180°-35°=145°.

故选C.

2.（2025・辽宁・一模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，EF=CD=6cm,

【分析】本题考查了垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键.

过作OMJ_AZ）,延长MO交于点N,连接，EM=FM=-EF=3cm,ZOMF=90°=ZC=ZD=90°,

2

则有四边形MNCD是矩形，故有MN=CD=6cm,设球的半径为rem,则。0=（6-r）cm,然后通过勾股

定理即可求解.

【详解】解：如图，过作延长V。交BC于点N,连接Ob,

EM=FM=-EF=3cm,ZOMF=90°=ZC=ZD=90°,

2

四边形MVCD是矩形，

MN=CD=6cm,

设球的半径为rem,则ON=（6-r）cm,

由勾股定理得：OM'+FM2=OF1,

o15

（6-r）2+32=r2,解得：〃=

故答案为：字.

4

3.（2025•河北石家庄•一模））。是VA3C的外接圆，在弧8c上找一点M,使点〃平分弧BC.对图中的

三种作法，下列说法正确的是（）

C.只有作法二和作法三正确D.只有作法二正确

【答案】A

【分析】本题考查角平分线作法及性质,垂直平分线作法及性质，垂径定理等.根据题意逐一对作法进行

分析即可得到本题答案.

【详解】解：甲：由作图可知A尸平分/B4C,

ZBAF=ZCAF,

:-BM=CM，即作法一正确，

乙：由作图可知Q0平分/BOC,

.OB=OC,

OM±CB,

■-O”经过圆心。，

BM=CM，即作法二正确，

丙：由作图可知31垂直平分选段2C,经过圆心0,

BM=CM＞故作法三正确，

故选：A.

4.（2025•河南驻马店•一模）如图，在半径为10的。中，AB.CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,且

AB=CD=16.则。尸的长为.

【分析】作。暇，AB于M,ONLCD于N,连接OP,OB,OD,根据垂径定理可得9/=DN=8,再根

据勾股定理可得。0=ON=6,再证明四边形MONP是正方形

则MP=OM=6,根据勾股定理即可求出OP的长.本题主要考查了垂径定理，勾股定理和正方形的判定和

性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

【详解】解：作OM_LAB于ONLCD于N,连接OP,OB,OD,

Afi=CD=16，

:.BM=DN=8,

:.OM=ON=yll02-82=6>

AB±CD,

:.ZDPB=90°,

。“，他于加，ONLCD于N,

ZOMP=ZONP=90°,

•四边形MONP是矩形，

OM=ON,

.四边形MONP是正方形，

：.MP=OM=6,

.-.OP=762+62=65/2•

故选：B.

5.（2022•黑龙江鸡西•一模）如图，A8是。的弦，半径于点C,AE为直径，AB=8,CD=2,

则线段CE的长为

【答案】2713

【分析】连接BE,先根据垂径定理求出AC的长，设C。的半径为r,在RtmOAC中利用勾股定理求出r的

值，易得AE=2r,连接8E,根据圆周角定理得到ZABE=90。，由三角形中位线定理得到BE=2OC=6,

然后在RtACBE中由勾股定理可求出CE.

【详解】解：连接BE,如图所示：

2

设(。的半径Q4=r,

:.OC=OD-CD=r-2.

在RtQ4C中，由勾股定理得：r2=(r-2)2+42,

解得：r=5.

；.A£=2r=10.

OD=5,CD=2,

.-.0C=3.

AE是直径，

:.ZABE=90°.

「点O,C分别AE,A8是的中点，

.:。。是_川龙的中位线.

:.BE=2OC=6.

在RtaCBE中,

CE=^CB2+BE2=A/42+62=2^-

故答案为：2屈.

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理以及三角形中位线定理等知识，作出恰当的辅助线

是解答此题的关键.

6.（2025•江苏常州•一模）如图，A3是。的直径，弦CD_LA3于点E,AC=CD,如果AC=2jL则AE

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握垂径定理是解题的关键;

连接AD,判定VABC为等边三角形，进而求解CE的长度，进而根据勾股定理求解即可;

。的直径，弦CDLAB,

AC=CD,

,-.AC=CD=AD,

：.ABC为等边三角形,

.-.ZACD=60°,

ZC4E=90°-60o=30°,

:.CE=-AC=43,

2

AE=y/AC2-CE2=小可一（可=d=3;

故答案为：3.

7.（2025•陕西西安•一模）如图，在。中，C。是垂直于直径A3的弦，垂足为E,若/4BC=22.5。，。。=6,

C.5A/3D.4班

【答案】B

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的

应用是解题的关键.由C®=OC,则/OCB=NABC=22.5。，根据外角性质可得/CO4=2NABC=45。，又

。的直径A3垂直于弦CD,ZCEO=90°,CE=DE=-CD,然后证明OE=CE,最后由勾股定理即可求

2

解.

【详解】解：；OB=OC,

：.NOCB=ZABC=22.5。,

ZCOA=2ZABC=45°,

。的直径AB垂直于弦CO,

ZCEO=90°,CE=DE=-CD,

2

ZOCE=90°-45°=45°=ZCOE,

：.OE=CE,

■-OE2+CE2=OC2,

■.OC=6,

.­-2CE2=62,

CE=OE=3近,

CD=2CE=6A/2-

故选：B.

墓喳02圆心角、圆周角

1.（2025・海南•一模）如图,8C是的直径，且AC=A5,AD=BD，则的度数为

【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，等边对等角，圆周角定理，掌握知识点的应用是解题的关键.

由弧、弦、圆心角的关系得=则通过等边对等角得出NZMB=NDBA,由圆周角定理得NC4B=90。,

则有/AD5=/ACS=45。，最后由等边对等角和角度和差即可求解.

【详解】解：:AD=BD，

•.AD—BD，

..ZDAB=ZDBA,

是。的直径，

/.NC4B=90。，

AC=AB,

/.ZACB=ZABC=45°,

..ZADB=ZACB=45°f

ZDAB=ZDBA=6r1.5°,

：.ZCBD=ZABD-ZABC=67.5°-45°=22.5°,

故答案为：22.5°.

2.（2025・山东日照•一模）已知锐角-496如图，①在射线，4上取一点C,以点。为圆心，OC长为半径

作尸Q,交射线于点。，连接8;②分别以点C,。为圆心，CO长为半径作弧，交尸Q于点M,N；

③连接。暇，MN.根据以上作图过程及所作图形，若OM=MN,则2AO5的度数为°.

oB

半

【答案】20

【分析】本题考查了尺规作图以及圆的基本性质，解题的关键是根据等弧或等弦所对的圆心角相等得到

“沏是等边三角形.连接QV,根据作图，结合已知可得“W是等边三角形，进而根据作图可得

CM=CD=DN,即可得到NCQ0=COD=/OON=20。，即可求解.

【详解】解：如图，连接ON,由作图可知：OM=ON,

又OM=MN

二沏是等边三角形，

:.ZOMN=60°,

由作图可知：CM=CD=DN,

:.ZCOM=COD=/DON=20°,

故答案为：20.

3.（2025•江苏苏州•一模）如图，点A,B,C,D,E在。上，。是A8的中点，CB=CE.若NA03=100。,

ZOBC=55°,贝ZDCE=°.

【答案】85

【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，等腰三角形的性质.连接

oaOD、OE,由三角形内角和定理与等腰三角形的性质得NQ5C=NOCB=NOCE=55。，由圆心角、弧、

弦的关系求出ZBOD的度数，根据圆周角定理求出/3CD的度数，从而求出/OCE的度数即可.

【详解】解：如图，连接OC、OD、OE.

.CB=CE,

：.ZBOC=ZEOCf

.OB=OC=OE,

：.ZOBC=ZOCB=1(1800-ZBOC),ZOCE=ZOEC=1(180°-ZEOC),

ZOBC=ZOCB=ZOCE=55°,

。是AB的中点，

…DB=AD，

•/=100°,

/.ZBOD=-ZAOB=50°,

2

：./BCD=L/BOD=25。,

2

..NOCD=/OCB-/BCD=55。-25。=30。,

・•.ZDCE=ZOCD+ZOCE=300+55°=85°.

故答案为：85.

4.(2025•山东临沂•一模)如图，A,B,C,。为一个正多边形的顶点，点。为正多边形的中心，若

ZADB=22.5°,则这个正多边形的边数为()

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键.

连接。4,08,根据圆周角定理得到NAOB=2NAD3=45。，即可得到结论.

【详解】解：连接。4,OB,

■.A.B、C、。为一个正多边形的顶点，。为正多边形的中心，

.•.点4、B、C、£＞在以点。为圆心，为半径的同一个圆上，

ZADB=22.5°,

：.ZAOB=2ZADB=45°,

这个正多边形的边数=3630°=8,

45°

故选：B.

5.（2025•山东临沂・一模）如图，。的直径平分弦C。（不是直径）.若/。=36。，则/C=

【答案】54。/54度

【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，垂径定理以及圆周角定理，先根据的直径平分弦CD

（不是直径），得ABLCD,再结合NO=36。，得/ABD=54。，最后由同弧所对的圆周角是相等的，得

ZC=ZABD=54°,即可作答.

【详解】解：；。的直径A3平分弦C。（不是直径），

ABLCD,

-：ZD=36°,

：.ZABD=90o-36°=54°,

AD=AD

：.ZC=ZABD=54°,

故答案为：54°.

6.（2023・重庆江北•一模）如图，VABC内接于《。，ZABC=120°,AC=4y/3,贝U。的半径为（）

A.4B.473C.26D.百

【答案】A

【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，在弦AC所对优弧上取一点O,

连接DA,DC,OA,作。"LAC于由圆内接四边形的性质求出/£）的度数，由圆周角定理求出，AOC

的度数，由锐角的正弦求出。4的长.关键是求出NAOC的度数，圆的半径长，并掌握弧长公式.

【详解】解：如图，在弦AC所对优弧上取一点。，连接ZM,DC,Q4,作O"_LAC于

ZD+ZABC=180°,

r.ND=180。-N4BC=180。-120。=60°,

ZAOC=2ZD=120°,

OH±AC

ZAOH=-ZAOC=60°,AW=-AC=-x4V3=2^,

222

sinZAOH=sin600=—=—,

AO2

AO=4,

AQ的半径为4.

B

7.（2025•辽宁葫芦岛•一模）如图，AB为（。直径，弦CE交半径08于点。，连接AE,若AC=BC，则NAEC

的度数为.

【答案】45°

【分析】本题考查了圆周角定理，连接BE,可得NAEB=90。，进而由AC=BC可得

ZAEC=ZBEC=-ZAEB=45°,即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

2

【详解】解：连接8E,

AB为。直径,

ZAEB=90°,

AC=BC>

ZAEC=ZBEC=-ZAEB=-x90°=45°,

22

故答案为：45°.

8.（2025•广西河池•一模）据史料记载，马车的发明者是4000多年前生活于夏王朝初年的奚仲.马车的发明

是中国科技史上的一大创举.如图是古代马车的侧面示意图，A3是车轮。的直径，过圆心O的车架AC

的一端点C着地时，水平地面CO与车轮.。相切于点D,连接AD,BD.

(1)若NC=20。，求/A的度数；

(2)若0)=2有，CB=3,求车轮的半径长.

【答案】⑴35。

(2)车轮的半径长［米

【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，掌握相关性质定理成为解题的关

键.

(1)如图：连接OD,由切线的性质可得ODLCD,即NCOD=90。-NC=70。，再根据圆周角定理即可

解答；

(2)由切线的性质可得ODLCD,设车轮的半径为厂，则OD=r,OC=BC+r=3+r,然后根据勾股定

理列方程求解即可.

【详解】(1)解：如图：连接OD,

・地面CD与车轮(。相切于点

ODVCD,即/ODC=90°,

ZCOD=90°-ZC=70°,

ZA=-ZCOD=35°.

2

(2)解：1,地面CO与车轮。相切于点O,

ODLCD,即NODC=90。，

设车轮的半径为厂，则OD=r,OC=BC+r=3+r,

OC2=OD2+CD2,

(3+4=产+(26了，解得：r=1.

车轮的半径长3米.

9.（2025・河北•一模）如图，球员分别在点A,B,C处定点射门，"N表示球门，点A在圆上，点8在圆

内，点C在圆外，若仅从射门的位置考虑，进球概率最大的是（）

A.点A处B.点8处

C.点C处D.都一样

【答案】B

【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，延长交圆于。，设与圆交于

E,连接ZW,EN,则/MAN=NMDN=NMEN,只需要比较出NMAN,ZMBN,NMQV三个角的大小

关系即可得到答案.

【详解】解;如图所示，延长交圆于Q,设MC与圆交于E,连接AMEN,则NMAN=NMDN=NMEN,

■：ZMBN=ZMDN+ZBND,ZMEN=ZMCN+Z.CNE,

ZMBN>ZMAN>ZMCN,

,仅从射门的位置考虑，进球概率最大的是2处，

故选：B.

10.（2025•陕西咸阳一模）如图，五边形ABCDE内接于;。，点8为弧AC的中点，若ZA£B=30。，则ZABC

的度数为（）

A.90°B.150°C.120°D.110°

【答案】C

【分析】连接EC,根据题意，得4B=BC，ZAEB=ZBEC=30°,根据NAEC+ZABC=180。，解答即可.

本题考查了圆的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键.

【详解】解：连接EC,如下图，

•点8为弧AC的中点,

AB=BC，

：.ZAEB=ZBEC=30°,

：.ZAEC=ZAEB+ZBEC=60°,

,•・四边形ABCE是10内接四边形，

ZAEC+ZABC=180°,

ZABC=120°,

故选：C.

11.（2025•山西吕梁•一模）如图，四边形ABCD内接于＞O,A8为。的直径，点C为80的中点，若

"=125。，则/MB的度数为。.

【分析】本题考查圆内接四边形对角互补，等腰三角形性质，外角和定理等.根据题意连接CO,。。，利用

圆内接四边形对角互补，得/3=180。-125。=55。，继而得/。。3=180。-110。=70。，再利用圆周角定理得

NCOB=ZDOC=10。,再利用外角和定理即可得到本题答案.

【详解】解：连接C。,。。，

.•.四边形ABC。内接于O,ZADC=125°9

/.ZAZ）C+ZB=180°,

ZB=180°-125°=55°,

.OB=OC,

；ZOCB=ZOBC=55°9

：ZCOB=180°-55°-55°=70°,

丁点。为50的中点，，

•DC=BC，

：.ZCOB=ZDOC=70°,

Z£>OB=140°,

.OD=OA,

ZDAB=ZADO=70°,

故答案为：70.

12.（2025•浙江•一模）如图，已知四边形A5CD内接于。，延长B4,交于点P.若AD=2,BC=5C，

【答案】7

【分析】过点A作钻〃CP,交I。于点E,连接AC,OBQE,BE,CE,由题意易得

ZBOE=2ZEAB=60°,AD=CE,则有AOb不是等边三角形，CE=AD=2,过点E作石H15C于点H,

然后可得E“=；CE=1,CH={CE2-EH2=6,进而根据勾股定理可进行求解.

【详解】解：过点A作/场〃CP,交（0于点E,连接AC,。氏OE,BE,CE,如图所示:

ZEAB=ZP=30°,ZDCA=NEAC,

ZBOE=2ZEAB=60°,AD=CE,

.OB=OE,AD=2,

△Q5E是等边三角形，CE=AD=2,

.1.OB=BEf

过点E作团IBC于点H,

ZBCE=NBAE=30°,

EH=-CE=1,

2

CH7CE，-EH2=£，

BC=5s/3,

.BH=BC-CH=46,

BE=^EH~+BH~=1=OB'

即圆的半径为7；

故答案为7.

【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理及含30度直角

三角形的性质，熟练掌握平行线的性质、圆周角的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理及含30度直

角三角形的性质是解题的关键.

13.（2025•广东惠州•一模）如图，A3是。的直径，点C在A3的延长线上，C。与（。相切于点。，若

CD=2^/3,AB=4,则CB=.

【答案】2

C'R

【分析】连接OD,BD,证明人⑺不-皿），得出/=上£,则CD2=GVCB=（CB+AB）CB,即

CACD

（273）2=（C5+4）CB,求解即可.

【详解】解：如图，连接OD,BD,

CD与。相切于点。，

OD1CD

：.ZCDB+ZBDO=ZODC=90°

A5是）。的直径，

ZADO+NBDO=ZADB=90。

.OD=OA

..ZADO=ZOAD

/.ZCDB=ZOAD

,/zc=zc

..CDBsCAD

.CD_CB

一~CA~~CD

..CD2=C4CB=（CB+AB）GB

即（2班『=（C5+4）C8

・•.CB=2^CB=-6（舍去），

故答案为：2.

【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，余角

的性质等，解一元二次方程等知识，正确作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键.

14.（2025•四川南充•一模）如图，在。中，直径与弦5c交于点P,AC=BC过点。作

与50的延长线交于点£

⑴求证：CE是(0的切线；

(2)^AB=6,AC=3V10,求CP的长.

【答案】①证明见解析

(2)^|A/W

【分析】(1)连接O8,OC,先判断出OC垂直平分A8,再根据圆周角定理可得？ABD90?,根据平行线

的判定可得CE〃AB,从而可得CELOC,然后根据圆的切线的判定即可得证；

(2)连接。氏OC,延长CO,交A3于点尸，先利用勾股定理可得CP的长，再设。的半径为r(r>0),

则OB=OC=r,A£>=2r,OF=9—r,利用勾股定理可得『的值，从而可得OC,AZ)的长，利用勾股定理可

得30的长，然后证出。COP。BOP,利用相似三角形的性质求解即可得.

【详解】(1)证明：如图，连接OB,OC,

「AC=BC，

AC=BC,

又OA=OB,

・••OC垂直平分A3,

AD是］。的直径，

；?ABD90?,即

,/CE1BD,

CE//AB,

CE±OC,

又：。(7是(。的半径，

CE是。的切线.

(2)解：如图，连接O8,OC,延长CO,交AB于点尸，

由（1）已得：C/垂直平分A3,

BF=-AB=-x6=3,CFLAB,

22

AC=BC^AC=3丽，

BC=AC=3V10,

CF=VflC2-BF-=9＞

设〈。的半径为r（r＞。），则O8=OC=r,AD=2r,

OF=CF-OC=9-r,

在RtaBO尸中，O尸2+BF?=OB?,即（9-rf+32=产,

解得r=5,

OC=5,AD=2x5=10,

AE＞是工。的直径，

•••1ABD90?,即ABJLBD,

BD=\lAD2-AB2=8，

又；CF1AB,AB±BD,

CF//BD,

：.COPSBDP,

.CPPC_5

-Bp—BDl飞'

o

BP=-CP,

又：CP+BP=BC=3屈,

CP=—x37io=—Tio.

1313

【点睛】本题考查了圆的切线的判定、弧与弦的关系、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、线段垂直

平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定和圆周角定理是解题关键.

15.（2025,黑龙江齐齐哈尔•一模）如图，正方形ABC。中，AB=2,点E为正方形A3CD内部一点，连接

AE,BE,CE,且=当-BCE为等腰三角形时，AE的长为.

--------------------\D

---------

【答案】0或|石

【分析】由已知可得NA£B=90。，即得点E在以AB为直径的圆上，再分BE=CE,CE=CB=2和BE=BC

三种情况解答即可求解，

【详解】解：；四边形ABC。是正方形，

ZBAD=ZABC=90°,

：.ZBAE+ZDAE^90°,

ZABE=ZDAE,

：.ZBAE+ZABE^90°,

：.ZAEB=90°,

点E在以AB为直径的圆上，

••­3CE为等腰三角形，

当BE=CE时，点E为正方形对角线AC的中点，如图，

--------1。

AC=y)AB2+BC2=722+22=2^

A£=-AC=-X2A/2=A/2；

22

当CE=CB=2时，如图，过点C作CH_LBE于H,则BH=EH=LBE,ZBHC=ZAEB=90°,

2

■：ZABE+ZBAE=90°,ZABE+ZCBH=90°,

：.ZCBH=ZBAE,

又rBC=AB,

BCH^ABE(AAS),

BH=AE,

•.BE=2AE,

设AE=x,贝i]5E=2x,

AE2+BE2=AB2,

：.x2+(2x)2=22,

._2五

••x----,

5

.AQ非

••A.E----；

5

当BE=3C时，如图，仅当点E和点A重合时BE=BC,

•••点E为正方形ABCD内部一点，

此种情况不符合；

综上，的长为也或竽,

故答案为：血或寺.

【点睛】本题考查了正方形的性质，点和圆的关系，圆周角，等腰三角形的定义全等三角形的判定和性质,

勾股定理等，运用分类讨论思想解答是解题的关键.

16.（2025•山东潍坊•一模）如图，在VABC中，NACB=90。，。是BC上任意一点，连接A。，过C作CE_L4）

于E,连接BE.若3c=4,AC=6,则郎的最小值为.

【答案】2cm

【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，由NAEC=90。知E在以AC

为直径的］"的CN上（不含点C、可含点N）,从而得郎最短时，即为连接与。〃的交点（图中点E

点），BE长度的最小值1逢旌.

【详解】解：如图，

由题意知，NAEC=90。，

在以AC为直径的：M的CN上（不含点C、可含点N）,

.­•BE最短时，即为连接与《的交点（图中点E点），

在中，BC=4cm,CM=AC=3cm,则BM=d8c。+CM，=5cm,

■/ME0=MC=3cm,

BE长度的最小值BEi工ME=2cm,

故答案为：2cm.

17.（2025•江苏淮安•一模）如图，A,B,C,。是：。上的四个点，ZC=130°,^\ZBOD=度.

C

B,D

\\O/

A

【答案】100

【分析】本题考的查圆周角定理和圆内接四边形性质，解题的关键是明确它们各自内容，灵活运用，解答

问题.

根据圆内接四边形对角互补求出NA=50。，然后根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍求解即可.

【详解】解：A,B,C,D是。上的四个点，ZC=130°,

四边形ABCD是圆内接四边形，

.-.ZC+ZA=180°,

:.ZA=50°,

BD=BD，

:"BOD=2ZA,

.-.ZBOD=100o,

故答案为：100.

18.（2025•江苏盐城•一模）如图，A3是半圆。的直径，点C是弧上的一点，ZC=132°,则/的

度数为度.

【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键.

由圆的内接四边形的性质求得再由圆周角定理得出"）3=90。，由三角形内角和定理进而可直接

答案.

【详解】解：；A8是半圆。的直径，

:.ZADB^90°,

■:ZC=132°,

ZDAB=180°-ZC=180°-132°=48°,

，ZAaD=90°-48°=42°

故答案为：42°.

败理03切线的判定与性质

1.（2025•浙江•一模）已知。的半径是5,直线/与3。相交，则圆心0到直线/的距离可能是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线/和I。相交即d<r，即可判断.

【详解】解：1,直线/与、。相交,

•••圆心。到直线/的距离小于5,

符合要求的为4,

故选：A.

2.（2025•山东临沂・一模）如图，VABC内接于。，。是3C上一点，AD=AC.E是:。外一点,

ZBAE^ZCAD,ZADE^ZACB,连接BE.

(1)若8=2,DE=6,求BO的长;

⑵求证：£B是」。的切线.

【答案】（1）4

⑵见解析

【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，切线的判定，掌握切线的判定是关键.

(1)证明MDE^AACB(ASA),得到3C=DE=6,即可求解;

（2）连接2。并延长交1。于点尸，可得ZAFB+N4B尸=90。，ZAFB=ZACB,ZABE=ZAFB,所以

AABF+AABE=9Q°,结合切线的判定即可求解.

【详解】（1）解：ZBAE=ZCAD,

:.ZBAE+/BAD=/CAD+/BAD,即NE4D=NBAC,

又'ZADE=ZACB,AD=AC,

:._ADE=^ACB(ASA)f

BC=DE=6,

:.BD=BC-CD=6-2=4；

(2)证明：连接5。并延长交C。于点尸，连接AF,

BF是。的直径，

...NAFB+/AB尸=90。，

AB=ABf

/.ZAFB=ZACB,

由(1)知—AC3(ASA)

/.AE=AB,

,\ZAEB=ZABE,

又ZBAE=/CAD,

:.ZABE=ZACB,

:.ZABE=ZAFB,

.\ZABF+ZABE=90°,

：.OB工BE,

..EB是。的切线.

3.(2025•辽宁葫芦岛•一模)VABC内接于。，CO的延长线交于点。，交于点尸，连接AF,AB

平分/E4C,过点3作班〃CD,CELBE,垂足为点E.

⑴求证：BE为。的切线;

(2)若AB=5,BE=3,求3。的长度.

【答案】①证明见解析

(2)T

【分析】(1)连接03、BF,由圆周角定理得NCB/=90。，进而由N&F=/54C,即得加1=3C,得到

ZBCF=ZBFC=45°,进而得NO3C=NOCB=45。，由根据平行线的性质得/ECF=90。，得ZBCE=45。,

即得/£BC=45。，即得到/O8E=90。，即可求证；

(2)过点。作明，钻于H,过点A作AGL3。的延长线于G,可得A8=28=』A2=$,由四边形

22

BOCE是正方形得OB=BE=3,即得OH=后/二瓦K=叵,再由器=空=的得BG=§,

2BGAGBA6

AG=%叵，进而由〈BODSBG4得。。=生叵，最后利用勾股定理解答即可求解.

65

【详解】(1)证明：连接03、BF,

■■CP是；，。的直径,

NCBF=90。,

■■■AB平分NE4C,

NBAF=ZBAC,

BF=BC，

•.BF=BC,

..NBCF=NBFC=45。，

.OB=OC,

/.ZOBC=ZOCB=45°,

■「CELBE,

ZE=90°,

又「BE//CD,

/.ZECF=180°-ZE=90°,

ZBCE=90°-45°=45°,

Z£BC=90°-45°=45°,

：ZOBE=ZOBC+ZEBC=45°+45°=90°,

即OB_LBE,

05是：。的半径，

二BE为。的切线；

(2)解：如图，过点。作于"，过点A作AG,30的延长线于G,

则==ZBHO=ZBGA=9Q°

22f

由(1)得，NECF=/OBE=NE=90。,

「•四边形8OC石是矩形，

.OB=OC,

「•四边形80CE是正方形，

..OB=BE=3fZBOC=ZBOD=90°,

ZOBH=ZABG,NBHO=NBGA,

..BHOsBGA,

.BHOHBO

BG-AG-BA?

5Tn

即_2_=2=3,

^G~~AG~5

・”一竺“_5而

••D^J_fAG_------,

66

.BOLCF,AG1BO,

・.OD//AG,

•.BODsBGA,

.DOBO

AG~BG

DO3

即5而一名

66

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，弧弦圆心角的关系，等腰三角形的性质，勾股定理,

正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键.

4.（2025•浙江湖州•一模）如图，已知。的半径长是1,PA,尸8分别切。于点A,B,连结PO并延长

交〈。于点C,连结AC,BC.若四边形上4cB是菱形，则尸C的长是（）

A.272B.3C.2丛D.4

【答案】B

【分析】本题考查菱形的性质，切线的性质，含30度的直角三角形，掌握圆的切线的性质是解题关键.连

接AO,8。，根据切线的性质得到NQ4P=NO6P=90。，再根据等边对等角的性质推出ZAO尸=2ZAPC,

进而得到NAPO=30。，则。尸=2。4=2,即可求出尸C的长.

【详解】解：如图，连接AO,BO,

PA,尸8分别切。于点A,B,

:.ZOAP=ZOBP=90°,

OA=OC=1,

ZOCA=ZOAC,

ZAOP=ZOCA+ZOAC=2ZOCA,

四边形PACB是菱形，

:.AC=AP,

:.ZAPC=ZACP,

:.ZAOP=2ZAPC,

ZAOP+ZAPO=3ZAPO=90°,

:.ZAPO=30°,

:.OP=2OA=2,

PC=OP+OC=2+1=3,

故选B.

5.（2025・四川达州•一模）如图，在。中，BC是切线，3为切点，直线CO交1。于点。,4,点E为iQ上

的一点，连接22。万.若NC=24。，则NE的度数为（）

A.76°B.66°C.38°D.33°

【答案】D

【分析】本题主要考查了切线的性质、直角三角形锐角互余、圆周角定理及推论，如图所示，连接首

先由切线得到NC®C=90。，然后求出/3。。=90。-/。=66。，最后利用圆周角定理求解即可.

【详解】解：如图所示，连接08,

•••2C是:，。的切线，切点是8,

OB1.BC,

■：在RtAOBC中,Z.OBC=90°,ZC=24°,

/3OD=90。—/C=66°,

•••圆周角/E与圆心角/30D所对的弧是BO,

?E-?BOD33?.

2

故选：D.

6.（2025•辽宁鞍山•一模）如图，48是，。的直径，AM是,：。的切线，AC,CZ）是；。的弦，且CD1.AB,

垂足为E,连接8。并延长，交A〃于点P.

(1)求证：Z.CAB=ZAPB；

⑵若，。的半径r=5,AC=8,求线段尸。的长.

【答案】⑴证明见解析

32

2—

3

【分析】(1)根据切线的性质得/SAM=90。，推出AM〃CD,得NCD3=NAP3,根据同弧所对的圆周

角相等得NCAB=NCZ)3,即可得证；

(2)如图，连接AD,根据是直径得NCD5+NADC=NADB=90。，继而推出/ADC=/C,得

AD=AC=8,由勾股定理得证明得空=空，求出尸2=竺-=包,

PBABBD3

可得答案.

【详解】(1)证明：:AM是。的切线，

ZBAM=90°,

.CDLAB,

：.ZCEA=90°=ZBAM,

AM//CD,

/.ZCDB=ZAPB,

NC4B和/CD5所对的弧为C5，

/.ZCAB=ZCDB,

/.ZCAB=ZAPB；

(2)解：如图，连接AD,

APM

A5是直径，。的半径r=5,AC=8,

丁./CDB+ZADC=ZADB=90。,

,/ZCAB+NO=90°,ZCDB=ZCAB,

/.ZADC=ZC,

AD=AC=8,

.BD=YIAB2-AD2=A/102-82=6,

•・ZBAD+ZDAP=90°=ZDAP+ZAPD,

ZBAD=ZAPD,ZBAD=ZBPA,

・•・ZBDA=90°=ZBAP,

•・AADB^APAB,

.ABDB

,1PB~~AB,

.DA_A52_100_50

BD63

5032

..PD=PB-BD=——6=—,

33

••・线段尸。的长为方32.

32

故答案为：y.

【点睛】本题考查切线的性质定理，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，等角对等

边，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识点，掌握切线的性质及相似三角形

的判定和性质是解题的关键.

7.（2025・重庆江津•一模）如图，A5是.。的直径，点C,E在。上，过E作；。的切线交A5的延长线于

4

点F,/CAB=2/EAB,过。作COLAB于点。，交AE于点"，BF=1,sinZAFE=-9则AB=,

DH=

HE

128

【答案】

75

【分析】连接。石，过点E作石于点可得NOEF=90。，可证明/3=/4,^OB=OE=x,则

QFx4

OF=OB+BF=x+l,由sinNA/E=—=——=一，解得:x=4,那么=5,AB=2x=8,贝l]EF=3,

OFx+15

解直角三角形得到画/=9,,贝IJAM=AO+OM=E，而cosN4=cosN3=(,解直角三角形得

q,11OR

到AC=M'A八三,再由3s*'求得D*行

【详解】解：连接OE,过点E作成于点M,如图:

「.NO跖=90。，

.OA=OE,

Z1=Z2,

N3=N1+N2=2N1,

VN4=2N1,

/3=/4，

^OB=OE=x,则O9=。5+5/=%+1,

OFx4

：.sinZAFE=——

OFx+15

解得：x=4,

OF=5,AB=2x=8,

EF=』OF2—OE2=3,

3EM4_OM

5454

55

1636

AM=AO+OM=4+——=——，

55

N4=N3,

cosZ4=cosZ3=—

5

---AB是直径，

：ZACB=90°,

•••CDLAB,

.AC_M_4

一~AB~~AC~5'

.AC_AD_4

…32f128

..AC——,AD-,

525

.CDLAB,EMLAB,

DH//EM,

「•AADH^AAME,

DHAD

EMAM

PH=25

1236

/.DH=

故答案为：8；

【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角

形的性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键.

8.（2025•山东淄博•一模）如图，四边形ABCD是O的外切四边形，且AS=10,CD=12,O的半径r=5,

则四边形ABC。的面积为（）

C.100D.110

【答案】D

【分析】本题考查的是切线长定理的应用，如图,连接。4,OB,OC,OD,作出过切点的半径OE,OF,

OG,OH,证明AB+CD=AD+3C=22,再利用割补法求解面积即可.

【详解】解：如图，连接。4,OB,OC,OD,作出过切点的半径OE,OF,OG,OH,

1,四边形ABCD是。的外切四边形,

AH=AE,DH=DG,CF=CG,BE=BF,

AB+CD=AD+BC,

-：AB=10,CD=U,

：.AB+CD=AD+BC=22,

•••四边形458的面积为：

cj_e_i_e_i_e

^.AODFaBOC-°AOB丁uCOD

=1（AB+C£））r+1（A£）+BC）r

=-x5x22+-x5x22

22

=110；

故选：D

9.（2025•北京•一模）如图，PA,尸8分别与：。相切于点A,B,OP交于点C,四边形AEOP是平行

四边形，若尸3=8,则PC=,劣弧EC=

【答案】8V2-8/-8+8V26兀

【分析】根据切线长定理得24=尸3,结合平行四边形的性质推得NAOP=45。、ZEAP=ZEOP=135°,通

过三角函数可求得PC的长，通过弧长公式可求得劣弧EC的长.

PA,P8分别与。相切于点A,B,

.•四边形AEOP是平行四边形,

:.PA=OE=OA=OC=8,EA//OP,

ZAOP=ZAPO=18。。―/。”=o=,

45ZEAO

2

NEAP=ZEAO+ZOAP=ZEOP=45°+90°=135°,

二劣弧左一与萨=6,，

「在RtZiOA尸中，