2025年中考数学重难点题型专练：锐角三角函数的实际应用（含答案）

2025年中考数学重难点题型锐角三角函数的实际应用

1.如图，在四边形ADBE中，对角线AB,瓦＞相交于点凡且A尸=3尸，EF=DF.过点

/作AC〃EO,交8。的延长线于点C,.

请从“①AF=EF；②AB=4C”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序

号)，再解决下列问题：

(1)求证：四边形ADBE是矩形；

12

(2)若tanC=(，AE=5,求线段。尸的长.

2.综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动.

在矩形4BCD中，AB=8,AD=6,将矩形A3。绕点N顺时针旋转得到矩形AEPG,其

中点E,尸分别是点8,C的对应点.

备用图

⑴如图1,连接OG,BE则签的值为

BE

答案第1页，共55页

(2)如图2,当点E恰好落在边CD上，连接BG交AE于点O,连接BE.

①求证：EB平分/AEC；②求证：OG=OB.

(3)若直线EB,DG交于点“，当BE=8时，请直接写出BH的长.

3.在VA5C中，ABAC=90°,AB=AC.点尸是VA5C所在平面内的一点，连接PA,PB,

且PB=6PA.

(1)如图1,点尸在VABC内，ZABP=30°,求/PA3的大小；

(2)如图2,点P在VA8C外，连接尸C,设/APC=a,NBPC=p,用等式表示a,6之间

的数量关系，并证明你的结论.

4.在口抽。0中，AC为对角线，点G在AB的延长线上，连接CG,点尸在CG上，线段AF

交BC于点、E,若FA=FC,如图1.

答案第2页，共55页

(1)已知/C4D=NG,求证：AC?=CEBC;

(2)如图2,已知AB1BC,垂足为点E.

①若/GCB=/DAC,求证：AE=FE；

②若AB=右，AD=4,tanZABC=2,求BG的长.

5.如图，在矩形A3。的8c边上取一点E,将n4BE沿直线AE折叠得到△AFE,此时点

8的对称点尸恰好落在边CD上，G为AD中点，连接3G分别与AE,AF交于M,N两点，

且ZBEM=ZBME,连接FM.

(1)求证：四边形8EPM为菱形；

⑵若AD=4,求线段CE的长和sinZDAF的值.

答案第3页，共55页

6.如图1,在正方形ABCD中，点M,N分别是AB,CO上的点，MN//BC,点E是BC

上一点，将nABE沿AE折叠，使点8落在N上的点尸处.

图1图2

⑴若NE4B=60°,证明：点M是AB上的中点.

(2)如图2,延长E尸与AD的延长线交于点G,EG交CD于悬H,延长4尸交CO于点P.

①求证：AFHP=APHF；

②当点E是8C的中点时，探究尸N与。V的数量关系，并证明.

4

7.如图1,在平行四边形A3CD中，AB=7,sin8=w，CELA8于点E,且CE=4.点P

从点E出发，沿£3-3<?向终点C运动，设点P在该折线上运动的路径长为无(尤>0),连接

EP.

(1)8C的长为,当点尸在BC上运动时，呼的最小值为:

答案第4页，共55页

(2)点/是AE的中点，如图2,

①请用无刻度的直尺和圆规过点尸作2C的垂线FG,垂足为点G(保留作图痕迹，不写作

法)；

②求证：△3CE四△BWG；

(3)延长PE到点M,使得EM=2PE,以CE,ME为邻边作平行四边形CEMN.

①当点尸在2C上，平行四边形CEMN对角线EN所在的直线恰好经过点。时，如图3,求x

的值；

②当点A落在平行四边形CEMN的边上或内部时，直接写出x的取值范围.

8.折纸是数学课中常见的操作活动，同学们可由此进行观察、猜想和证明.如图1,在矩

形纸片ABCD中，点E在边上，沿CE折叠矩形ABCD,点B落在点M处，连接BM交CE

于点0.

⑴小明发现，在图1中如果延长9交AO边于点N,如图2,则有丁7=不，请说明理由；

BNAB

(2)若矩形是一张A4纸］且点E是边的中点，如图2所示进行折叠与

连线，求N嘤O的值；

D(J

(3)在矩形纸片ABC。中，点E、尸分别在边43和AD上，连接CE、CF、EF,且EC平

答案第5页，共55页

BF

分5EF,CE=CF,s"ECF=k,求正的值.

9.已知：口。的切线C尸交直径A8所在的直线于F。为直径AB上一点，连接C。并延长

交口。于点及NCDF=NDCF,

⑴求证：AE=BE；

(2)过点。作CG，AS于〃，交于口。于点G,连接EG、DG,求证：ZDGE=90°；

(3)在(2)的条件下，HB-.BF=4:5,=1时，求线段EG的长.

10.如图，矩形OABC的顶点4C分另U在x轴和y轴上，点8的坐标为(4,6),。是边CB上

的一个动点(不与C、3重合)，反比例函数>=?(x>0)的图象经过点。且与边AB交于点

E,连接DE.

答案第6页，共55页

(1)如图1,若点。是C3的中点，求£点的坐标；

(2)如图2,若直线DE与x轴、y轴分别交于M点，N点，过。作。轴交于P点，过E

作EQJ.，轴交于。点，DP与EQ交丁点H,连接P。，求证：DE//PQ.

(3汝口图3,将V3OE沿DE折叠，点3关于DE的对称点为点b，当点8’落在矩形。ABC内

部时，求上的取值范围.

11.如图，四边形ABCO的对角线AC,8。交于点E,ABAD=ZBCD=90°.

A

图1

(1)如图1,若NCBD=NEAD,求证:AECE=BEDE.

(2)如图2,过点A作APLCD于点P,作AHL8C,交C3的延长线于点若AC垂直平

分BF,AC与8尸交于点G.

①求证：AB=AD.

答案第7页，共55页

②若BC=1,tanZBAC=1,求AC+BD的值.

12.在等边VA8C中，点。在直线BC上，连接AD,过点5作8/7工AO于点

(1)如图1,点。在CB的延长线上，AB=4,tanZADB=^,求的长度；

2

(2)如图2,点。在BC边上，点E在AC边上，且AE=CD,BE与AD交于点尸,若点尸恰

是A/f的中点，请用等式表示AB与的数量关系，并证明；

(3)如图3,点。在BC边上，过点、H作HM〃BC,HM=BC.连接AM、CM,将△ACM沿

CD

AC翻折至△C4N,连接。N,BN,请直接写出当4V取得最大值时工的值.

AM

答案第8页，共55页

13.△ACF是口。的内接三角形，连接0C,过点。作OHLAC于点

图3

(1)如图1.求证：ZCOH=ZAFC；

(2)如图2.若OC平分/ACF,求证：AC=CF；

(3汝口图3.在(2)的条件下，AF=0CP时，连接收，FH交弦LC于点、N,AF交弦CM

于点R,R在线段0尸上，连接AN、LF,若CM=44i,LF〃AN,SQLCF=12,求线段RF的

长.

14.如图1,NB4c=90°,以直角三角形ABC的三条边为边分别向外作等边三角形.

图1图2

答案第9页，共55页

⑴求证：4ABD+S[]4CF=S[]BCE；

(2)如图2,连接AE、BF、CD,已知三线交于点G,

①求证：AE=BF=CD；

②若BC=2币,BG=2,求AE的长.

15.如图，等腰VABC中，AB=BC,/A3C=120。，点。、E、尸分别在边AC、AB.CB上,

§LDE=EF,ZDEF=120°

(1)求证：AADEsACFD；

(2)试猜想C尸与BE的数量关系，并说明理由;

(3)连接CE交。产于点G,若CG=EG,求不的值.

答案第10页，共55页

《2025年中考数学重难点题型锐角三角函数的实际应用》参考答案

1.（1）见解析;（2）6.5

【分析】本题考查矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟

练掌握矩形的判定方法是解答的关键.

（1）先证明四边形ADBE的是平行四边形，若选择①，可证明=根据矩形的判定

可得结论；若选择②，先证明四边形ACDE的是平行四边形，可得到区>=AC=4?,再根

据矩形的判定可得结论；

（2）根据矩形性质可得/£»£>=90。，BD=AE=5,再根据平行线的性质和正切定义可求

12

得BE=BDtanNBDE=5x—=12,进而利用勾股定理求得DE即可求解.

【详解】解：（1）方法一：选择①=

证明：：四边形ADBE的对角线AB,相交于点尸，且A尸=8尸，EF=DF,

，四边形ADBE的是平行四边形，

\AF=-AB,EF=-ED,

22

又：AF=EF,

AB=ED,

，四边形ADBE为矩形.

方法二：选择②AB=AC.

证明：•.•四边形ADBE的对角线AB,相交于点尸，且A尸=8尸，EF=DF,

，四边形ADBE的是平行四边形，

:.AE//CD,

又AC//ED,

，四边形ACDE的是平行四边形，

AC-DE,

又•:AB=AC,

/.AB=ED,

，四边形ADBE为矩形.

（2）解：由（1）已证明四边形4DBE矩形，

:.ZEBD=9Q°,BD=AE=5,

又；AC//ED,

答案第11页，共55页

\?EDB?C.

・・•在Rt：］EO3中，BE=BD.tanNBDE=5义石=12,

:.DE=^BE1+BD1=7122+52=13,

1113

:.DF=-DE=-xl3=—.

222

3

2.(D-；

(2)①证明见解析；②证明见解析；

(3)5”的长为36-4或36+4.

【分析】(1)由旋转的性质得到AO=AC=6,AB=AE=8,NDAG=NBAE,,求得

AD_AG6_3根据相似三角形的性质得到等=泰=%

AB~AE-8_4

(2)①过点B作BM_LAE于点Af,由旋转可知AB=AE,得到NABE=NAEB,根据

平行线的性质得到ZABE=ZCEB，推出8E平分/AEC；

②根据角平分线的性质得到BC=BM,由旋转可知，AG=AD=BC,根据全等三角形的性

质得到OG=O8；

(3)根据旋转的性质得到AD=AG,AB=AE,ZDAG=ZBAE,求得ZADH+ZABH=180°,

得至【J/DHB=90°,得到nABE为等边三角形，同理△AOG为等边三角形，如图2,根据三

角函数的定义得到BH=B/-sin600=如图3,同理可得

H£=373-4,得出由/=3指+4.

【详解】(1)解：由旋转的性质知，AD=AG=6,AB=AE=8,/DAG=NBAE,

.AP_AG_6_3

"ASAE-8-4*

:.ADAG^ABAE,

DGAG_3

"BE~AE~^'

3

故答案为：—；

4

(2)证明：①由旋转可知，AB=AE,

/ABE=ZAEB,

■:AB//CD,

答案第12页，共55页

ZABE=/CEB,

・・・ZCEB=ZAEB,

・・・班平分/AEC,

②如图，过点3作于点M,

图1

•・•四边形A5CD是矩形，

・・・ZC=90°,

又•；上AE,郎平分/AEC,

・・・BC=BM,

由旋转可知，AG=AD=BCf

：.AG=BM,

在二AOG和△MOB中，

ZGAO=ZBMO=90°

<ZAOG=ZMOB

AG=BM

；.JAOG^MOB(AAS),

OG=OB；

(3)解：由旋转得AO=AG,AB=A2NDAG=NBAE,

・・・ZADG=ZAGD=ZABE=ZAEB.

'：ZABE+ZABH=180°,

ZADH+ZABH=180°,在四边形中，ADAB90°,

：./DHB=90。,

・.・AB=AE=BE=8,

・・・1A8E为等边三角形，

・・・ZDAG=ZBAE=60°,

答案第13页，共55页

△ADG为等边二角形，

ZADG=60°,

如图，令OH与的交点为/

，一__________1c/，

ZIDC=90°-ZADG=30°,

/E

图2

NBIH=ZDIC=90°-ZIDC=60°,

3

；•8/=BC-/C=6-迪，

3

:.BH=BIsm60°=6一丫）岑=36一4,

如图，

图3

同理可得HE=3石-4,

/•BH=HE+BE=3y/3-4+8=3y5+4

综上所述，出/的长为3石-4或33+4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等

边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识,熟练掌握各知识点是解题的关键.

3.(1)45°

答案第14页，共55页

(2)a+，=45。，理由见解析

【分析】(1)如图，过点尸于点，结合ZABP=30。可得=结合PB=梃PA

可得如=坐尸4,由此即可得至。/尸48=四=正，结合S43是锐角即可得到

2PA2

NPAB=45°；

(2)如图，把口ABP绕点/逆时针旋转90。得到nAC。，连接OC,DP,则由旋转的性质

可得：Zl=Z2,PB=CD,ZDAP=90°,AD=AP,由此可得PD=0PA,结合PB=61PA

可证得PO=£>C,从而得到/PC£>=NC尸。=45。+打，由此可得

N3=180°—2NCED=90°—2a,结合4=N2=a-(3,可得Nl+/3=90°-a-B=/A£)P=45°,

变形即可得到：a+p=45°.

【详解】(1)解：如图，作PD_LAB于。，］^NPDB=NPDA=9。。,

ZABP=30°,

：.PD=-BP.

2

PB=V2PA，

PD=—PA.

2

•./DAD_PDV2

•,sinN/VU5=-=—•

PA2

又•.,/PM是锐角，

:.ZPAB=45°.

(2)解：a+£=45。，理由如下:

如图，把DABP绕点/逆时针旋转90。得到口48,连接DC,DP,

D

则由旋转的性质可得：N1=N2,PB=CD,/D4P=90°,

AD=AP,

答案第15页，共55页

PD=®PA,ZA£>P=ZAPZ)=45°.

又「PB=4iPA，

PD=PB=CD.

/DCP=NDPC.

•/ZAPC=a,NBPC=p,

...ADPC=a+^°,Zl=Z2=a-(3,

.・.Z3=180°-2/DPC=90°-2a.

.・.ZAZ)尸=N1+N3=9O。-a—4=45。.

a+/3=45°.

【点睛】本题主要考查了应用“旋转的性质”和“等腰直角三角形的性质”来解决相关几何问题

的能力，在解题中，抓住条件"03=亚QA"、“PB=024”通过旋转或作垂线段构造等腰直

角三角形，把相关线段集中到一个等腰直角三角形中去，利用“等腰直角三角形中，斜边是

直角边的四倍”结合已知条件进行推理、计算就可解决所求问题了.

4.(1)见解析

⑵①见解析；②且的

19

【分析】(1)根据平行四边形的性质得到ZABC=/D,AD//BC,求得/C4D=ZAC8,

推出NABC=/ACG,得到E4=bC,求得/ABC=NC4人根据相似三角形的性质即可得

到结论；

(2)①由(1)得NC4O=ZACB,等量代换得到/GC3=ZACB,根据全等三角形的判定

和性质定理得到AE=FE;

②过点/作出，AC于点〃，延长/。与GC的延长线交于点K,如下图所示：根据平行四

边形的性质得到AB=CO=有，BC=AD=4,AB//CD,BC//AD,根据三角函数的定义

得到AE=2BE,根据勾股定理得到BE=1,求得AE=2BE=2,得至!]CE=3C-BE=3,

由勾股定理得AC=JAE?+CE?=屈，根据勾股定理得到/尸的值，然后根据相似三角形

的判定和性质定理即可得到结论.

本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股

定理，熟练掌握各知识点是解题的关键.

【详解】(1)证明：•.•四边形A2CD是平行四边形，

答案第16页，共55页

・・・AD//BC,

：.ZDAC=ZACB,

•・・/CAD=/G,

：./G=ZACB,

・・•FA=FC,

：.ZFAC=ZFCA

在」ACG中，ZBAC=1800-ZG-ZACF,

在入轨;片中，ZAEC=1800-ZFAC-ZACB,

：.ZBAC=ZAEC

■:ZACE=/BCA,

：.△ACEsMCA,

.ACCE

**BC-AC?

・•・AC?=CEBC;

(2)①证明：\-ZGCB=ZDAC,由(1)得NCW=NACB,

ZGCB=ZACB,

QAFtBC,

,\ZFEC=ZAEC=90°,

•：CE=CE,

.•□FEC^nAEC(ASA),

AE=FE；

②解：过点尸作切，AC于点X,延长AD与GC的延长线交于点K,如下图所示:

四边形ABCD为平行四边形,

图2

：.AB=CD=5BC=AD=4,AB//CD,BC//AD,

AE

又・.・A£_L5C,在RtZkA5E中，tanZABC=——=2,

...AE=2BE,

答案第17页，共55页

由勾股定理得让2+3石2=钳2,

即（25为2+582=（石）2,

/.BE=\,

.\AE=2BE=2,

：.CE=BC-BE=3,

在RtQACE中，由勾股定理得4。=，4£2+。片2=瓦,

\-FA=FC,FH.LACf

iITQ

AH=CH=-AC=­

22f

•：S.=-AC-FH=-AFCE,

rGFArC22

e,AFCE3AF

FH=---------=—j=^,

ACV13

在RtAAFH中，由勾股定理得AF2-FH2=AH2，

A/=:（负值舍去），

4

:.FE=AF-AE=-,

4

-,-CE//AK,

：DCEF^CKAF,

EFCE

••一，

AK

AF5

一4

3

13

一4~~AK"

：.A/C=y,

-CD//AG,

:QKDC^[]KAG,

KDCD

*AG?

答案第18页，共55页

394

,y-4正

■39~AG)

5

:.AG=^l

19

-G-团警

5.(1)见解析

(2)CE=4—20，sinZDAF=V2-l

【分析】(1)由折叠的性质得/在M=/BEM,BE=EF,再推出/FEM=,证明四

边形BEWW为平行四边形，由3M=BE,即可证明四边形8EWW为菱形;

(2)利用HL证明RtZ\C£F0RtZ^VMF,推出CE=MN；设CE=MN=x,则

BE=FM=4—x,GN=2-x,证明人46^64用冲，推出任=型，解方程即可求得

FMMN

CE=4-2逝，在RtVAGN中，利用正弦函数的定义即可求解.

【详解】(1)证明：•.•□ABE沿直线AE折叠得到△人££,

:.Z\ABE^/\AFE,

ZFEM=ZBEM,BE=EF,

ZBEM=ZBME,

.­.BM=BE,NFEM=ZBME,

/.EF//BM,BM=EF,

，四边形跳/M为平行四边形，

又BM=BE,

E为菱形；

(2)解：连接BF,

•.•AABE^/\AFE

ZAFE=ZABE=90°,

•：EFUBM,

答案第19页，共55页

:"GNF=ZAFE=90°,即尸?UBN,

在矩形ABCD中尸C_LBC,

又；BEFM是菱形，

FM=EF,BF平分NMBE,

FN=FC,

v在RtACEF和RANMF中，

[EF=FM

\FC=FN'

RtDCEF^RtUNMF（HL）,

CE=MN；

•.•G为AD中点，AD=4,

AG=DG=-AD=2

2

•.•在菱形中bM〃BC,且在矩形ABCD中3c〃9，

FMnAD,BC=AD^4,ZAMG=NBME,NGAM=NBEM,

ZAMG=ZGAM^GA=GM,

且ZAGN=NFMN,ZGAN=ZMFN,

:.^AGNsAMFN,

—,即AG-MN=GN-FM,

FMMN

设CE=MN=x,则BE=FM=4—尤，GN=2—x,

2x=（2-x）（4-x）,

解得与=4+2血（舍去），x2=4-2A/2,

r.CE=4-2夜，

GN=2-x=2-\/2—2，

...在RtVAGN中，sinZDAF=—=.

AG2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形,

菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

6.⑴见详解

答案第20页，共55页

（2）①见详解；②PN==DN,证明见详解

【分析】（1）由已知，根据“两直线平行，同位角相等“得乙M=/8=90。，由已知，根据

直角三角形中的边角关系得：AM=^AF,由折叠可知：AF=AB,从而可得结论；

（2）①由折叠可知：AF=AB,ZAFE=ZB=90°,根据正方形的性质得：AD=AF,

ZPFH=ZAFE=90°=ZPDA,根据“两角对应相等的两个三角形相似”得：NHPF^NAPD,

从而可得=等量代换得出结论；

®^AD=AB=BC=CD=a,则AF=A8=a,BE=CE=（。，从而根据直角三角形中的边

RF111

角关系得tan/BAE=—=-,由折叠可知：FE=BE=—a,ZAEF=ZAEB=-ZBEF,

AB222

从而得到EE=CE,连接PE,由“HL”证明：Rt^PEF^RtUPEC,得到：

NPEF=NPEC=工NCEF,PF=PC,根据平角的定义可得：ZAEB+ZPEC=90°,根据“同

2

1pc1

角的余角相等“得到：=从而得到：tan/PEC=tanNA4E=5,即有益=万，

进而得到：/^=PC=<CE=:a,AP=g。，根据“平行于三角形一边的直线，截其它两边

244

或两边的延长线，所截得的三角形与原三角形相似“证明：VPFNWPAD,得到：

2PN=£PF=：1，即可得出结论.

【详解】（1）证明：•.•四边形ABC。是正方形，

?B90?,

MN//BC,

ZAMF=NB=90°,

若NE4B=60。，

则AM^AF-cosZFAB=AF-cos60°^-AF,

2

由折叠可知：AF=AB,

:.AM=-AB,

2

.•.点M是AB的中点；

（2）①证明：•..四边形AB8是正方形，

：.AD=AB=BC=CD,ZBAD=ZB=ZC=ZADC=90°,

由折叠可知：AF=AB,ZAFE=AB=90°,

答案第21页，共55页

/.AD=AF,ZPFH=ZAFE=90°=ZPDA,

Q/HPF=/APD,

:NHPF^NAPD,

.HPHF

"~AP~~ADf

ADHP=APHF,

AFHP=APHF；

②解：当点E是8C的中点时，PN与DN的数量关系是PN=2DN,

4

证明如下：

设AD=AB=BC=CD=a,

则AF=AB=a,

当点E是3c的中点时，BE=CE=ga,

2

RF1

/.tan/BAE==—,

AB2

由折叠可知：FE=BE=La,ZAEF=ZAEB=-ZBEF,

22

:.FE=CE,

连接PE,如图：

在RQPEF和RtQPEC中

[FE=CE

\PE=PE'

RtQPEF^RtQPEC(HL),

NPEF=APEC=-NCEF,PF=PC,

2

NAEB+APEC=-(NBEF+NCEF)=90°,

2

而NAEB+/BAE=90°,

答案第22页，共55页

/./PEC=/BAE,

tan/PEC=tanNBAE=—,

2

pc1

即有豆=5，

/.PC=-CE=-a,

24

PC=-a,

:PF=4

A尸=A尸+PF=aT—a=—a,

44

QMN〃BC,AD〃BC,

:.MN//AD,

:NPFN^NPAD,

j.

PN_PF_^a_1

,PD-PA-5--5；

-a

4

:.PD=5PNf

：.DN=4PN或PN,DN.

4

【点睛】该题是几何综合题，主要考查了正方形的性质，折叠的性质，解直角三角形，相似

三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，

掌握以上知识点.

7.(1)5,y

⑵①见解析；②见解析

2914

(3)①A：=—；(2)2<x<—

OJ

【分析】(1)利用正弦函数的定义求得BC=5,当时，欧取得最小值，利用等积

法即可求解；

(2)①利用尺规作图的方法作出图形即可；

②先求得BF=BE+EF=5=BC,再利用AAS即可证明△3CE/4BFG；

(3)①分别用x表示出BP,BQ,尸。和的值，证明口硒//6口。氏，利用相似三角形的

性质列式计算即可求解；

②分两种情况讨论，当尸在BE上时，当诩/2小时，点月落在口。£皿的边上，即可求出

答案第23页，共55页

X的范围；当P在BC上时，如图，过尸作PQ工于。，设与直线AB交于，，根据

三角函数，分别用x表示出BQ,BP,QE,证明口尸。4旬以花，求出函，MH,当EH2AE

且时，点N落在DCEMN的边上或内部，进而求出x的范围即可.

4

【详解】（1）解：•.•sinB=g,CELAB,

•CE_4

••一，

BC5

CE=4,

・4_4

••=一，

BC5

BC=5,

•'­BEVBC-CE?=3,

当EP_L3C时，EP取得最小值，

X

,/5△ABDCC£=2-BEXCE^2-BCXPE,即34=5PE，

:.PE=gI?即E尸的最小值为茎I?;

12

故答案为：5,—；

（2）解：①所作图形如图，

②由作图知NFGB=9。。,

9：CE1AB,BPZCEB=90°,

・.,NCBE=/FBG,

9：BE=3,

・・・AE=7—3=4,

•・•点尸是A石的中点，

EF=-AE=2,

2

：.BF=BE+EF=5=BC,

：.JBCE^BFG（AAS）;

答案第24页，共55页

（3）解：①。落在对角线EN上，如图,

.•.COS於贰=3,

BC5

3394412

B2=BPcosB=-(x-3)=-x-1,PQ=BPsmB=-(x-3)=-x--

243

QE=BE-BQ=—--x

・・・四边形口ABC。是平行四边形,

ACD//AB,CD=AB=1,

：./CDE=/DEA,

9：CE1AB,

：.CELCD,

：./EC。=90。，

•:MN，AB,

...ZNHE=ZECD=90°,

:CENH气DEC,

.NHCE_4

•.・NH+MH=MN,

19224824

------x+—x------4,

~353555

解得％=？;

o

②当P在BE上时，如图,

答案第25页，共55页

cND

/:/

/：/•/EM=2PE,

DPEAM

EM=2x,

当时，点Z落在口CEMN的边上，

/.2x>4,

解得：x>2,

:.2<x<3,

当尸在BC上时，如图，过P作尸Q1AB于0,设MN与直线AB交于H,

C_____________________D

PQ-LAB,

50—H

M

/.ZBQP=90°,

43

QsinB=—,cos3=g,BP=t-3,

3394412

/.BQ=BPcosB=—(x-3)=—x--,PQ=BPsinB=—(x-3)=—x--

243

/.QE=BE-BQ=---x,

,/四边形CEMN是平行四边形，

/.MN//CEfMN=CE=4,

vCElAB,

:.MNLAB,

・.・PQLAB,

PQ//MN,

:QPQE^MHE,

.EHMHME

'QE~PQ~PE1

EM=2PE,

答案第26页，共55页

.EHMHME2

'QE~PQ~PE~'

:.EH=2QE=^--^x,MH=2PQ=^x-^~,

当EH2AE■且M/VMN时，点N落在HCEMN的边上或内部，

[486―

--------x>4

.55

824,，

—x-----<4

[55

14

解得：x<y,

:.3<x<—,

3

14

综上所述，当2WxW可时，点/落在DCE跖V的边上或内部.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角函数，勾股定理，相似三角形的性质和判定,

等腰三角形的判定，解题的关键是分类讨论思想的运用，正确的作图.

8.(1)见解析

⑶！

【分析】(1)证明口机M阳得出装=器即可;

(2)设3E=x，则AB=2x,BC=2瓜，求出CE=dBE?+BC?=3x，BN=—CE=^x,

22

证明□EBOSQINBA,得出孚=些，求出08=乳2无，得出ON=BN-OB=^^x,得出

ABBN36

答案即可;

(3)延长AE到点P,使得EP=即,连接灯交CE与点0,连接CP,根据等腰三角形的

BECE

性质得出EOLEP,FO=OP,证明口。5石过总产，得出一=—,再求出结果即可.

AFPF

【详解】⑴解：.••点8关于CE折叠到

BMLCE,

"00=90。，

/.ZOBC+ZOCB=90°,

・・・四边形A5CD是矩形,

...ZABC=ZBAD=90°,

答案第27页，共55页

/.ZOBC^ZOBE=90°,

/.ZOCB=ZOBE,

:.Z\BANs^CBE,

CEBC

BN-AB

CEBC

(2)解：由(1)知:

B2V-AB

BN

设3石=%,贝!|AB=2x,BC=2。，

:.CE=dBE?+BC?=3x，

:.BN=—CE=^^x.

22

・・・BMICE,

\?BOE90?,

又NBW=90。，

...NBOE=/BAD,

・・・ZEBO=ZNBA,

:△EBOs/\NBA,

.OBBE

•乱一赢’

OBx

即2x—372,

-----X

2

；.OB=^^x,

3

:.ON=BN-OB=^^x,

6

5V2

.ON一一5

"OB2V24,

-----X

(3)解：延长AE到点P,使得石P=Eb,连接尸尸交CE与点。，连接CP,如图所示:

答案第28页，共55页

•：EC平分ZBEF,

/./CEF=NCEP,

•・•EF=EP,

EOVFP,FO=OP,

:.ZEOP=ZCOF=90°,

ZBEC+ZEPO=90°,

又・・・四边形ABC。是矩形，

ZA=ZABC=90°f

:.ZAFP+ZEPO=90°,

:./BEC=ZAFP,

.,.△CBE^/\PAF,

BE_CE

,~AF~^Ff

・.,ZCOF=90°,

OF

：.sinZECF=——=k,

CF

：.OF=kCF,

VCE=CF,PF=2OF=2kCF,

.BECECF_1

'~AF~^F~2kCF~2k'

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，勾

股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法.

9.(1)见解析

⑵见解析

⑶EG=2有

【分析】(1)先由=O石得Nl=N2,再结合切线的性质得ZOCF=90°,则即+N3=90°,

则NBO£=90。，故ZAOE=NBOE,所以人后二^石

答案第29页，共55页

(2)根据垂径定理得C〃=G〃，ZCHO=90°,再结合圆周角定理得出NCOB=NCEG,

再证明OE〃CG,进行角的整理得/C£G+/E£)G=90。，即可作答.

(3)先由直角三角形两个锐角互余，以及切线的性质得

ZOCH+ZCOH=90°,ZFCG+ZCOH=90°,结合圆周角定理得ZBCG=ZBCF,得出

HB=BK,因为3":〃尸=4:5,所以BK:8尸=4:5,然后运用解直角三角形的性质得

4OH4

5也尸=二，运用勾股定理表示即=3a,再得出£>P=CF=5a,£>"=2。，结合sin尸=坛=1,

则厂=印即。”=生，因为OD=2.5,代入得出。=；,最后运用勾股定理列式计算，

即可作答.

,?OC,OE是口。的半径，

OC=OE,

：.Zl=Z2

・・・。/是口。的切线，切点为C,

・・・ZOCF=90°,

即/l+N3=90。，

•・・/3=/4,Z4=Z5,

・・・Z2+Z5=90°,

・・・/BOE=9。。,

：.NAOE=90。，

・・・ZAOE=/BOE,

'AE=BE：

(2)解：连接瓦OC,OE,OG

・.・CG1AB,

：.CH=GH,/CHO=90。，

答案第30页，共55页

:.CB=BG，/COB=/GOH

：.2ZCOB=ZCOG

,•*CB二BC，

：.2ZCAG=ZCOG,NCAG=/CEG,

：./COB=/CEG

•・•ZAOE=ZGHO=9Q0,

：.OE//CG,

：.ZOEC=ZGCE(两直线平行，内错角相等),

*/OC=OE,

：.ZOEC=ZOCE,

・・・ZGCE=ZOCE

9：CD=DG

：.ZGCE=ZCGE

：.ZEDG=ZGCE+ZCGE=ZOCH

*.*NCOH+NOCH=90。,

・・・NCEG+NEDG=9U。,

：.ZDGE=90°；

(3)解：连接OG,OC.OE、BC,过B作BK_LA/于K,

过点。作CG，AB于7/,DO的切线CF交直径AB所在的直线于F,

：.ZOCH+ZCOH=90°,ZFCG+ZCOH=ZOCF=90°,

答案第31页，共55页

ZCOH=ZFCG,

・・・由⑵得CB=BG，

・・・ZCOH=ZGOH

'­*BG=BG

：.ZGOH=2ZBCG

：.ZCOH=2ZBCG

^ZBCG=ZBCF,

9：BKLAF,/CHB=90°,

：.HB=BK,

•：BH:HF=4:5,

：.BK:BF=4:5,

••万4

..sinF=—,

设C/=5a,则C〃=4a,

•*-HF=NCF、CH2=3a，

・.・ZOCD+/DCF=90°,ZDCG=ZOEC=/OCD,ZDCG+/CDF=90°

:./CDF=/DCF,

DF=OF=5a,DH=5a—3a=2a,

NF+ZCOF=90°=ZCOF+ZOCH,

・・・NF=/OCH,

4

VsinF=-,且sinb=sinNOCH

OH

在RtQOCH中sinZOCH=—

e4OH

则芬於

设O〃=4r,OC=5r,

CH=^OC2-OH2=3r，

即4a=3r,

4a

答案第32页，共55页

/.OH=4r=4x—tz=—a,

33

DH=2a

：.OD^—a,

3

,/OD=2.5=—a,

3

••Li'—,

4

10343

：.OD=-x-=2.5,OE=OC=5r=5x-x-=5,

3434

DG=CD=yjCH-+DH2=—,DE=^OE2-OD2