2025年中考数学专项集训：中点问题的模型

中考数学自主专题集训

专题七中点问题的模型

一、选择题

1.如图所示，A,3两点被池塘隔开，A,B,C三点不共线,设AC,3C的中点分别为

点、M,N,测得MN=16米，可求出A,3两点之间的距离为（）

A.32米B.24米

C.20米D.18米

N第1题图

2.如图，在△ABC中，ADL3C于点。，E是AC的中点，且交AD于点E

已知AD=8,EF=3,连结DE,则DE的长为（）

A.4B.5

C.273D.3小

A

BD,第2题图

3.如图，一根竹竿A3斜靠在竖直的墙上，P是A3的中点,在竹竿的顶端沿墙面下滑

的过程中，。尸长度的变化情况是（）

A.不断增大B.不断减小

C.先减小后增大D.不变

R'BO第3题图

4.如图，尸是线段A3边上的一动点，CALAB,DBLAB,AB=4,AC=3,DB=2,M,

N分别是PC,PD的中点，随着点P的运动，线段的长（)

A.随着点P的位置变化而变化

B.保持不变，长为|

C.保持不变，长为小

D.保持不变，长为卑

5.如图，在△ABC中，ZC=90°,AB=10,AC=8,BC=6,线段DE的两个端点。，

E分别在边AC,3C上滑动，且DE=4,若M,N分别是DE,A3的中点，则MN的最小值

为（）

A.2B.3

C.3.5D.4

6.2024.西安模拟如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,。为边的延长线上一点，

连结AD,E为AD的中点，连结CE,若3c=2CD=4,CE=^,则△ABC的面积为（B）

A.2小B.4^3

C.8D.8小

二、填空题

7.如图，在直角三角形A3C中，ZACB=90°,D,E分别为A3,边中点，若CD

=5,DE=3,贝l]3C=

8.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线且分别交3C,AC于点。和E,/B=

60°,NC=25°,则NB4D的度数为.

9.如图，在RtA^AC和中，ZBAC=ZBDC=9Q°,。是5c的中点，连结

AO,DO.若AO=3,则。。的长为.

10.如图，△ABC的周长为。，以它的各边的中点为顶点作△ALBCI,再以△AB1C1各边

的中点为顶点作AA232c2,再以AAB2c2各边的中点为顶点作△4333c3,……，如此下去，则

△A02024c2024的周长为.

三'解答题

11.如图，在△ABC中，ZABC=90°,在边AC上截取AD=AB,连结3D,过点A作

AEL3。于点E已知A3=6,BC=8,如果R是边3c的中点，连结EE

⑴求CD的长.

(2)求ER的长.

12.如图，BD,CE分别为△ABC的中线，BD,CE交于点、G,M,N分别是3G,CG

的中点.求证:

(1)EM〃DN.

Q)CG=2EG.

13.(1)用数学的眼光观察

如图1,在四边形ABCD中，AD=BC,尸是对角线3。的中点，〃是A3的中点，N是

DC的中点.求证：ZPMN=ZPNM.

(2)用数学的思维思考

如图2,延长图1中的线段AD交的延长线于点E,延长线段交的延长线于

点求证：ZAEM=ZF.

(3)用数学的语言表达

如图3,在△ABC中，ACVA3,点。在AC上，AD=BC,"是A3的中点，N是DC的

中点，连结并延长，与的延长线交于点G,连结GD若NANM=60°,试判断△CGD

的形状，并进行证明.

【参考答案】

一'选择题

1.如图所示，A,3两点被池塘隔开，A,B,C三点不共线,设AC,的中点分别为

点、M,N,测得MN=16米，可求出A,3两点之间的距离为（Z1）

A.32米B.24米

C.20米D.18米

N第1题图

2.如图，在△ABC中，于点D,E是AC的中点，且ER〃3C交AD于点E

已知AD=8,EF=3,连结DE,则DE的长为（B）

B.4B.5

C.2^3D.372

A

BD,第2题图

3.如图，一根竹竿A3斜靠在竖直的墙上，P是A3的中点,在竹竿的顶端沿墙面下滑

的过程中，OP长度的变化情况是（D）

A.不断增大B.不断减小

C.先减小后增大D.不变

B。第3题图

4.如图，尸是线段A3边上的一动点,CA±AB,DB±AB,A5=4,AC=3,DB=2,M,

N分别是尸C,PD的中点，随着点P的运动，线段MN的长（D）

A.随着点P的位置变化而变化

保持不变，长为|

B.

C.保持不变，长为十

保持不变，长为手

D.

【解析】如图，连结CD,

\'CA±AB,DBLAB,

•••四边形A3DH是矩形,

：.DH=AB=4,AH=BD=2.

VAC=3,

：.CH=AC-AH=1,

ACD=^DH2+CH2=V17.

'：M,N分别是PC,尸。的中点,

:.MN是丛PCD的中位线,

：.MN=^8=乎

5.如图，在△ABC中，ZC=90°,AB=1Q,AC=8,BC=6,线段DE的两个端点D,

E分别在边AC,3c上滑动，且DE=4,若M,N分别是DE,A3的中点，则MN的最小值

为（B）

A.2B.3

C.3.5D.4

A

【解析】如图，连结CM,CN,

在△ABC中，ZACB=9Q°,AB=10,AC=8,BC=6.

•；DE=4,M,N分别是DE,A3的中点，

：・CN=3AB=5,CM=^DE=2.

当C,M,N在同一直线上时，MN取最小值，

.•.MN的最小值为5—2=3.

6.2024.西安模拟如图，在等腰三角形A3C中，AB=AC,。为边的延长线上一点,

连结AD,E为AD的中点，连结CE,若3c=2CD=4,CE=y)3,则△ABC的面积为(B：

A.2^3B.4^3

C.8D.85

【解析】过点A作AfU3c于点R

"：AB=AC,/.BF=CF=4x|=2.

V2CD=4,：.CD=2,.♦.C为DR的中点.

•；E为AD的中点，

:.EC为AAFD的中位线.

：.EC//AF,EC=|AF,

：.AF=2CE=2y[3,

/.5AABC=|BCXAF=1X4X25=473.

二、填空题

7.如图，在直角三角形ABC中，ZACB=90°,D,E分别为A3,3C边中点，若CD

=5,DE=3,则BC=8.

8.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线且分别交BC,AC于点。和E,ZB=

60°,ZC=25°,则NA4D的度数为-70°..

9.如图，在Rt^B4c和RtZXBDC中，ZBAC=ZBDC=90°,。是3c的中点，连结

AO,DO.若AO=3,则。。的长为3.

10.如图，△ABC的周长为a,以它的各边的中点为顶点作△ALBICI,再以△ABICI各边

的中点为顶点作AA252c2,再以AAB2c2各边的中点为顶点作AA333c3,……，如此下去，则

△AB2024c2024的周长为(2.

【解析】根据题意可知，△A151G的周长=Z\A3iCi的周长=3a,

1

△A252c2的周长△AiBiCi的周长ct—~^2a，

所以△AB2024C2024的周长=/△A2023B2023C2023的周长=5而a.

三、解答题

11.如图，在△ABC中，ZABC=90°,在边AC上截取AD=A3,连结3D,过点A作

AEL3。于点E已知A3=6,BC=8,如果R是边BC的中点，连结EE

⑴求CD的长.

解：在△ABC中，ZABC=9Q°,AB=6,BC=8,

由勾股定理得AC=y]AB2+BC2=A/62+82=10.

'：AD=AB=6,

：.CD=AC-AD=10-6=4.

(2)求ER的长.

角星："：AB=AD,AE±BD,

：.BE=ED.

,:BF=FC,

.,.ER是△3DC的中位线,

.*.EF=1CD=2.

12.如图，BD,CE分别为△ABC的中线，BCDE,交于点G,M,N分别是3G,CG

的中点.求证:

(1)EM〃DN.

证明：连结AG,

,:BD,CE分别为△ABC的中线，M,N分别是3G,CG的中点，

：.AE=BE,BM=GM,AD=CD,CN=GN,

J.EM//AG,DN//AG,

：.EM//DN.

Q)CG=2EG.

解：由(1)知AE=BE,BM=GM,AD=CD,CN=GN,

EM=^AG,DN=；AG,

：.EM=DN.

'：EM//DN,

：.ZMEG=ZDNG,ZEMG=/NDG,

：.AEMGQ△NDG(ASA),

：.EG=GN,：.CG=2EG.

13.(1)用数学的眼光观察

如图1,在四边形ABCD中，AD=BC,P是对角线3。的中点，〃是A3的中点，N是

DC的中点.求证：/PMN=/PNM.

证明：•••「是3。的中点，N是DC的中点，

I.PN是△BCD的中位线，PM是△A3。的中位线，

:.PN*BC,PM=|AD.

'：AD=BC,

：.PM=PN,

：.ZPMN=ZPNM.

(2)用数学的思维思考

如图2,延长图1中的线段AD交MN的延长线于点E,延长线段交MN的延长线于

点R求证：ZAEM=ZF.

证明：由(1)知，PN是△3DC的中位线，尸般是△A3。的中位线,