2025年中考数学专项突破练：解一元二次方程

2025年中考数学专项突破练：解一元二次方程

1.解方程

(1)2%2-4X=7

(2)4x(2x-1)=6x-3

2.解方程.

(l)x2-6x-4=0;

⑵4(x-2)2=(3x-1),.

3.解方程：

(1)X2-4X=2X-8；

(2)7/-湿-5=0.

4.解下列方程：

(1)X2-3X+2=0;

⑵2尤2+无一2=0.

5.用恰当的方法解下列方程:

⑴丁-4尤+1=0

⑵尤2+5=6%

6.解方程：

⑴尤2-4尤-12=0

(2)x(尤—2)+x—2=0

试卷第2页，共8页

7.解下列方程

⑴尤2-4x+l=0;

(2)x(x-2)=3x-6.

8.解下列方程：

(1)2-一8%-3=0;

(2)3x(x-l)=2-2x.

9.解方程：(用适当的方法解方程)

(1)X2-4X-5=0；

(2)44后+4=0；

(3)2x2—x—1=0;

(4)x(2x-3)=5(2x-3).

10.解方程.

(1)(2X+3)2=81.

⑵£-4元+1=0.

11.解下列方程；

(1)9元2+6X+1=0；

(2)x2+12x+27=0.

12.用公式法解方程:

(1)—3x=l—x2;

⑵2--4X-3=0.

试卷第4页，共8页

13.解方程：

(1)X2+4X-1=0;

⑵3尤2-12X=-12.

14.解方程：

(1)2Y-7X+3=0

(2)x(x-2)=x.

15.解方程：

⑴尤2-以一5=0；

⑵2(1)2-18=0.

16.解一元二次方程.

⑴(2x-l『=4；

⑵/一元—3=0.

17.解方程：

(1)2X2-7X+6=0;

(2)(x-2)(3x—5)=1.

18.解下列方程:

⑴3x(2x+l)=2(2x+l)；

(2)5/—4元一1=0.

试卷第6页，共8页

19.解方程：

(1)X2-4X-7=0(配方法)

(2)5X2-1=2X(公式法)

⑶(％-2丫=(4尤+3)2

(4)%2-4%=12-8%

20.解方程

(1)X2-4X+2=0;

(2)(x+8)(x+l)=—12.

21.解方程:

⑴(X+2)2=5；

⑵(x-2y+3(尤-2)=0.

22.解方程

(l)16x2+8x=3(公式法)；

⑵2尤2-4X-5=0(配方法);

(3)3(x-l)2=x2-l；

(4)7尤2一6-5=0.

23.解下列方程：

(1)X2+2X-1=0；

(2)(x+2)(x+3)=x+3

24.按要求解下列方程：

⑴/-4》-5=0（公式法）

（2）（X+2）2=3（X+2）（因式分解法）

试卷第8页，共8页

《2025年中考数学专项突破练：解一元二次方程》参考答案

）小一一3应3近

I•（1）%—1H-------,X）=1---------

22

31

（2）再=a,x2--.

【分析】本题考查了用公式法和因式分解法解一元二次方程，解题关键是牢记公式和找公因

式.

（1）先将方程化为一般形式，再利用公式求解；

（2）先将右边提出3,得到（2x-l）,再移项后提出（2彳-1）即可用因式分解法进行求解.

【详解】（1）解:2X2-4X=7,

2Y_4X—7=0,

a=2,b=—4,c=—7,

A=（-4）2-4X2X（-7）=72>0,

2x22

,_372_1372

222

（2）解：4x（2x-l）=6x-3,

4x（2x-l）=3（2x-l）,

4x（2x—l）-3（2x-l）=0,

（4x-3）（2x-l）=0,

4尤一3=0或2%-1=0,

31

占="

2.（1）^=3+A/13,X2=3-A/13

（2）XJ=l,x2=-3

【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方

法是解题的关键.

（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答；

（2）利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答.

【详解】（1）解：X2-6X-4=0,

答案第1页，共17页

移项得：x2-6x=4f

酉己方得：f_6%+9=4+9,

即(X-3)2=13,

开平方得：x-3=±yJ13,

；•%=3+-\/13,x2=3—y/V3；

(2)解：4(%-2)2=(3%-l)2,

移项得：4(X-2)2-(3X-1)2=0,

因式分解得：(2x-4+3x-l)(2x-4-3^+l)=0,

IP(5x-5)(-x-3)=0,

5%-5=0或-x-3=0,

解得：再=1,%=-3.

3.(1)%=4,X[=2

76+V146A/6-A/146

(2)占=

1414

【分析】（1）利用因式分解法求解即可.

（2）利用公式法求解即可.

本题考查了公式法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键.

【详解】（1）解：整理得：d—6x+8=0,

（x—4）（x—2）=0,

%—4=0或%—2=0,

..再—4,x?-2.

(2)解：:a=7,b=—A/69c=—5

：.b2-4ac=(-A/6)2-4X7X(-5)=146>0

该方程有两个不相等的实数根

.-(-^6)±V146V6±V146

..X—--------------------=---------------

答案第2页，共17页

・^6+A/146A/6-J146

・・X]=,Xr.=•

114214

4.(1)=1,x2=2

C、-1+V17-1-V17

⑵%

【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解

法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键.

(1)用因式分解法求解即可；

(2)用公式法求解即可.

【详解】(1)解：:f.3%+2=0,

・，・

x—1=0x—2=0,

・・X]=1,%2=2;

(2)解：V2X2+X-2=0,

A=12-4X2X(-2)=17>0,

-i±VF7

x=

4

,-1+#7-1-V17

・・王二一--"2二-4—

5.(1)%=2+6,x2=2-6

(2)匕=5,々=1

【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

(1)根据配方法解一元二次方程，即可求解；

(2)先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解；

【详解】(1)解：/一4工+1=0,

x21—4x+4=—1+4,

即(x-2)2=3,

x—2=±^3，

解得：％=2+E,x,=2—6；

(2)解：x2+5=6x>

答案第3页，共17页

即f—6X+5=0,

/.(x-5)(x-l)=0,

x—5=0,%—1=0,

解得：Xj=5,x2=1.

6.(1)芯=6,%——2

(2)占=2,%=—1

【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程.

(1)利用因式分解法即可求解；

(2)利用因式分解法即可求解.

【详解】(1)解:尤2一412=0,

(x-6)(x+2)=0,

x—6=0或x+2=0,

解得：玉=6,%2=-2；

(2)解：x(x-2)+x-2=0,

-2)+(x-2)=0r

(x-2)(x+l)=0,

x—2=0或x+l=0,

解得：％=2,x2=-1.

7.⑴玉=2+6,々=2_&

(2)占—3,x2—2

【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键:

(1)将常数项移到等式的右边，利用配方法进行求解即可；

(2)利用提公因式法因式分解，进行求解即可.

【详解】(1)解:%2-4X+1=0

X2-4x=-l

x2-4x+4=-l+4

答案第4页，共17页

(x—2)2=3

x—2=+^39

・，・％=2+^/3,x2=2—\/3；

(2)x(x-2)=3x-6

x(x-2)-3(x-2)=0

(x-3)(x-2)=0,

.•石=3,x1=2.

8.⑴寸上叵，x2=W

22

_2

(2)x1=l,x2=--

【分析】(1)利用公式法解答即可；

(2)把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可；

本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

【详解】(1)解:a=2,£>=-8,c=-3,

VA=(-8)2-4X2X(-3)=88>0,

.8±V884±V22

••x=------=-------，

(2)解：*.*1)=2—2x,

3x(x-l)+2(x-l)=0,

・，.(x-l)(3x+2)=0,

%—1=0或3x+2=0,

■2

l.占=1,=—.

3

9.(1)%=5,%=—1

(2)占=4-2括，X2=Y-2#

答案第5页，共17页

(4)玉=5,x2=1.5

【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，正确的计算，是解题

的关键：

(1)利用因式分解法解方程即可；

(2)利用配方法解方程即可；

(3)利用因式分解法解方程即可；

(4)利用因式分解法解方程即可.

【详解】(1)解：x2-4.r-5=0,即：(x-5)(x+l)=0,

%-5=0或x+l=O,

..飞=5,x,=-1•

(2)解：x2+4^5%+4=0,

则无?+4氐+(2国2=仅⑹2_4

(x+2同2=16,

••x+2^/^—士4，

・・石-4_2a\/5,w——4-；

(3)解：2X2-X-1=0,即：(2x+l)(x-l)=0

・・・2%+1=0或尤—1=0,

玉———，=1；

(4)解：x(2x-3)=5(2%-3),即(1—5)(2%—3)=0,

X—5=0或2x—3=0,

・・%=5,x?—1.5.

10.(1)玉=3,%2=-6

(2)A；=2+^,x2=2-73

【分析】本题主要考查解一元二次方程：

答案第6页，共17页

(1)方程用直接开平方法求解即可;

(2)方程用配方法求解即可.

【详解】(1)解：(2%+3)2=81

2x+3=±9

解得：玉=3,9=-6；

(2)解:x2-4x+1=0

x2-4x=-l

x2-4%+4=—1+4

(X-2)2=3

x—2=+>/3.

解得：％=2+E,X,=2-邪).

H.(1)X[-X2---

(2)%=—9,x2=—3.

【分析】本题考查了一元二次方程的解法，理解因式分解法是解答关键.

利用因式分解法将方程变形为两个因式的积的形式，再根据这两个因式分别等于0求解.

【详解】(1)解：将9尤2+6》+1=0变形为

(3x+l)(3.r+l)=0,

.•.3x+l=0或3x+l=0

解得%—x2---,

(2)解:将V+12x+27=0变形为

(x+9)(x+3)=0,

x+9=0或x+3=0,

解得玉二-9,x2=-3.

3+年3-而

12.⑴玉=

~2--2~

2+V102-710

()石=---，工2

2-2~

答案第7页，共17页

【分析】(1)先算出A=k—4ac=13,再代入公式进行计算，即可得到答案；

(2)先算出△=62-4四=40,再代入公式进行计算，即可得到答案；

本题考查了公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

【详解】(1)解：：-3x=l-元2，

尤2—3无一1=0,

.-.A=&2-4flc=9-4xlx(-l)=13,

.3土如3±A/13

••X=----------=----------，

2x12

.3+旧3-A/13

••士；

(2)解：V2X2-4.V-3=0,

A=Z?2-4ac=16-4x2x(-3)=40,

.4士闻2士而

**X——,

2x22

・2+Vio2-V10

**x,—,XQ—»

1222

13.(1)%=-2+百，X2=-2-45

(2)%]=x?~2

【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法解一元二次方程”是解本题的

关键.

(1)利用配方法解方程即可；

(2)利用配方法解方程即可.

【详解】(1)解：尤2+4X-1=0,

整理得x2+4x=l,

酉己方得x?+4x+4=l+4,即(X+2)2=5；

x+2=i,\/5，

Xy——x?——2-；

(2)解：3X2-12X=-12,

整理得3尤2-12X+12=0,

二.x?-4尤+4=0

答案第8页，共17页

.•.("2)2=0,

.*占-x?=2.

14.(l)xl=—,X2=3

(2)X]=0,x2=3

【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程.

⑴用十字相乘法分解因式可得(2x-D(x-3)=0,把一元二次方程转化为两个一元一次方程,

解一元一次方程求出一元二次方程的两个根；

(2)用提公因式法分解因式可得x(x-2-l)=0,把一元二次方程转化为两个一元一次方程，

解一元一次方程求出一元二次方程的两个根.

【详解】(1)解:2--7彳+3=0,

分解因式得：(2x—l)(x—3)=0,

2x—1=0或x—3=0,

解得：%=：，%=3；

(2)解：x(x-2)=x,

移项得：x(^x—2^—x—0,

提公因式得：x(x-2—1)=0,

x=0或x—2—1=0,

解得：%=。，々=3.

15.(1)玉=-1,X[=5

(2)&=4,无2=-2

【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，直接开平方法解一元二次方程等知识

点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.

(1)将方程左边进行因式分解，然后解方程即可得出答案；

(2)将方程略作整理，然后用直接开平方法解方程即可得出答案.

【详解】(1)解：/-4犬一5=0,

答案第9页，共17页

(x+l)(x-5)=0,

兀+1=0或ix—5—0,

Xx=-1,%2=5；

(2)解：2(无—1)2—18=0,

整理，得：(%—1)"=9,

直接开平方，得：x-l=±3,

..石=4,%2=—2.

31

16.(1)^=-,x2=--

力l+y/13l-y/13

(2)Xi-,x?一

22

【分析】本题考查了一元二次方程得解法，能够根据方程的特点选择合适的方法解方程是本

题的关键.

(1)方程左边是完全平方的形式，右边亦可进行开方运算，故选择直接开平方法进行解方

程即可.

(2)一次项系数为-1,若使用配方法则需配1-g),分数运算并不简单；再观察各项系数,

因式分解法亦不能使用；由于各项系数数值不大，便于计算，故选择公式法解方程即可.

【详解】(1)解：(2尤-1)2=4.

直接开平方，得：2%-1=±2,

1，31

解得：％=5，x2=~~-

(2)解：x2—x—3=0.

a=l,b——1jc——3.

•.­A=/?2-4ac=(-l)2-4xlx(-3)=13>0,

•••方程有两个不相等的实数根.

_-b+-4ac_1)土A/13_1±-J13

X———

2a2x12

即.X.出叵，一匕巫

•人］一，42—2,

答案第10页，共17页

3

17.(1)石=5，马=2

0、H+V1311_布

()，

2%=--—%~6-「

【分析】本题考查的是解一元二次方程.

(1)直接利用因式分解法解答即可；

(2)先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用公式法解答即可.

【详解】(1)解：2d-7x+6=0,

(2x-3)(x-2)=0,

二2x-3=0或x-2=0,

3

解得％=：,%=2；

(2)解：(x-2)(3x-5)=l,

3X2-11A：+9=O,

a=3,b=—11,c—9,

；.△=/—4ac=(-ll)2-4x3x9=13>0,

•••方程有两个不相等的实数根，

11±V13

x=----------,

6

11+A/1311-713

•.Xi-9X。—•

1626

18.⑴%=-g,％=g

(2)玉=1,x?=--

【分析】本题主要考查了解一元二次方程：

(1)先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可;

(2)把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可.

【详解】⑴解：,••3x(2x+l)=2(2x+l),

3x(2x+l)-2(2x+l)=0,

(2x+l)(3x-2)=0,

：.2x+l=0或3x—2=0,

答案第11页，共17页

解得%=-；，42

3

（2）解：：5炉一4工一1=0,

（x-1乂5%+1）=0,

彳-1=0或5x+l=0,

解得%=1,无2=_g.

19.⑴芯=2+&1,x2=2-711

（、、1+^6I-A/6

⑵%=^—，

2

5

3

（4）再=-6,x2=2

【分析】本题考查解一元二次方程，

（1）将常数项移至方程右边，然后在方程加上4,方程左边配成完全平方，然后利用直接

开平方法求解即可；

（2）将方程化为一般形式，然后确定。、b、c,求出A=^-4改的值，再代入

彳=一"扬一4改即可;

2a

（3）将方程化为（X-2）2-（4X+3）2=0,方程左边利用平方差分解因式，将原方程化为两个

一元一次方程进行求解即可；

（4）将原方程化为（尤2+6尤）—（2尤+12）=0,方程左边分解因式，将原方程化为两个一元一

次方程进行求解即可；

解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法：直接开平方法，配方法，公式法以及因

式分解法.

【详解】（1）解:X2-4X-7=0,

x2—4x=7，

d—4光+4=7+4,

（%-2>=n,

*,«%-2=?\/n,

解得：%=2+&1,%2=2—JIT；

答案第12页，共17页

(2)5尤2—1=2无，

5x2-2x-l=0,

止匕时。=5、〃=—2、c=—lf

AA=Z?2-4«c=(-2)2-4x5x(-1)=24>0,

・—2)±\/242±2y/61±^6

••x=-------=-------=-----，

10105

.1+761一瓜

••士=二一，尤2=1—；

(3)(%-2丫=(4元+3))

(x-2)2-(4元+3)2=0,

(x-2+4x+3)(x—2—4x-3)=0,IP(5x+l)(-3x-5)=0,

5x+l=0或—3x-5=0,

,_15

・・%=_y,X2=--;

(4)x2—4x=12-8x,

——4x—12+8%=0,

x2+4x—12=0f

d+6x—2x-12=0,

(d+6%)一(2x+12)=0,

x(x+6)—2(x+6)=0,

(x+6乂x-2)=0,

x+6=0或x-2=0,

••X]—■—6,x?=2.

20.⑴%=2+\/2,9=2-

(2)M——4,9=-5

【分析】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、公式法、

配方法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.

(1)利用公式法解方程即可；

答案第13页，共17页

（2）先整理成一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程即可.

【详解】（1）解：：X2_4X+2=0

.*.(2=1,b=—4,c=2f

・•・A=b2-4ac=(M)2-4xlx2=8>0,

,-b±y/b2-4ac4土血,,nr

,•x=-------------------—---------=2±72,

2a2

•<%]=2+A/2,/=2—.

(2)解：:(x+8)(x+l)=-12,

・・・％2+9X+8+12=0,即％2+9%+20=0,

(x+4)(x+5)=0,

解得：%=-4,X2=—5.

21.(1)^=-2+45,x2=-2-75

（2）X]=2,x2=—1

【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式

法是解题的关键.

（1）利用直接开平方法求解；

（2）利用因式分解法求解.

【详解】（1）解：（X+2）2=5,

x+2=5/5或x+2=—A/5，

.,.玉=-2+V^,=—2—；

(2)解：(X-2)2+3(X-2)=0,

(x-2)(x-2+3)=0,

.,.x-2=0或x+l=0,

..%—2,%2=-1.

22")%=；,3

4

1714

(2)占=1+——%二:

答案第14页，共17页

（3）再=1,%2=2；

/八^/6+^/I46A/6-V146

（4）x,=-----------，=--------------•

11414

【分析】（1）利用公式法求解即可；

（2）利用配方法求解即可；

（3）利用因式分解法求解即可；

（4）利用公式法求解即可；

本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式

法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法.

【详解】（1）解：16x?+8x=3,

16x2+8x—3=0,

A=82-4X16X(-3)=256>0,

A方程有两个不相等的实数根，

.-8±A/256-8±16

••x=---------=------，

2x1632

.-8+161-8-163

・・人Y]—______——,人Y。——______——

13242324

(2)解：2X2-4X-5=0

2X2-4X=5

2

x2-2x+l=—+1

2

1+而

X-L=±-----

2

1=色或1.反

22

・714_1J

,•X]-1H---——,%—1-----

(3)解：3(X-1)2=