2025年中考数学二轮复习：二次函数与线段周长综合压轴题 提分练习题（含答案解析）

2025年中考数学二轮复习：二次函数与线段周长综合压轴题提分刷题练习题

1.如图，已知抛物线与X轴交于A(L0)和8(-5,0)两点，与y轴交于点C直线y=-3x+3过抛物

线的顶点P.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)若直线X=皿-5<m<0)与抛物线交于点E,与直线BC交于点F.

①当所取得最大值时，求m的值和EF的最大值；

②当△历C是等腰三角形时，求点E的坐标.

2.如图，在平面直角坐标系中，经过点4(4,0)的直线与丁轴交于点3(0,4).经过原点。的

抛物线>=-/+法+c交直线AS于点A,C,抛物线的顶点为D

备用图

(1)求抛物线的表达式；

(2)”是线段AB上一点,双是抛物线上一点，MN平行于y轴且交x轴于点E,当:EN=1:2时，

求点M的坐标；

(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点.是否存在以点A,C,P,Q为顶点的四

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边形是矩形？若存在，直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图.抛物线丁=加+法+3(。彳0)与x轴交于A(3,0),D两点，与，轴交于点8,抛物线的对

称轴：直线x=l与x轴交于点C.

⑴求该抛物线的解析式；

PF

⑵若点P是直线上方的抛物线上的动点，连接上交A3于点E,如图1,当差的值最大时，

DE

求点尸的坐标及的P矍F最大值；

DE

(3)若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且“在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点

P，M,N,使得以ARM,N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不

存在，请说明理由.

4.如图，已知抛物线y=/+bx+c与x轴相交于A(-1,0),3(m,0)两点，与＞轴相交于点C(0,-3),

抛物线的顶点为。.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若尸是直线BC下方抛物线上任意一点，过点尸作轴于点打，与3c交于点M,求线段

长度的最大值.

⑶若点E在x轴上，且NECB=NCBD,直接写出点E的坐标.

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5.已知抛物线y=-2f+4x+6与x轴相交于a、B两点，与>轴相交于点C,点。为顶点.

⑵如图1,点尸为抛物线对称轴(直线/)上的动点，求当点尸在什么位置时，|PB-PC|取得最

值？最值是多少？

(3)如图2,在第一象限内，抛物线上有一动点河交3c于点E,求黑的最大值.

OE

6.如图，已知抛物线丁=加+版_4与％轴分别交于点24(2,0),3(-4,0),与y轴交于点C,点。

是抛物线上一点.

(1)求抛物线的解析式：

(2)若点Q在直线BC下方的抛物线上，过点。作“，x轴于点D,交直线BC于点E,作QF±BC

于点当座=2跖时，求点。的坐标.

7.如图，在平面直角坐标系中，△AOC绕原点。逆时针旋转90。得到WOB,其中OA=1,OC=3.

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⑴若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式;

(2)在(1)条件下，在二次函数的对称轴/上是否存在一点P,使得P4+PC最小？若点P存在,

求出点尸坐标；若点P不存在，请说明理由.

8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=与X轴交于A,8两点，与y轴交于点C,

连接AC,BC,且8（-2,0）,AB=6.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)如图1,点尸为直线AC下方抛物线上一动点，过尸作如LAC交AC于点O,过户作PGLx轴

交x轴于点G、交AC于点E,点M为直线PG上一动点，当△由周长最大时，求。M+冬M

的最小值及此时点”的坐标;

(3)如图2,将抛物线y=/2-X-4沿射线BC方向平移26个单位，得到新抛物线口点/是新

抛物线y'上一点，点。为点8关于y轴的对称点，当//℃=45。时，请直接写出所有符合条件

的尸点的坐标.

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9.在平面直角坐标系中，已知抛物线》=加+法+3与x轴交于点A(-3,0),川1,0)两点，与y轴

交于点C,点尸是抛物线上的一个动点.

图1备用图

(1)求抛物线的解析式；

⑵当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接取交AC于点。，如图1,当黑的值最大时，求

Do

点P的坐标及黑的最大值；

L)D

⑶过点P作x轴的垂线交直线AC于点连结PC,将△尸CAf沿直线PC翻折，当点M的对应

点M'恰好落在y轴上时，求点〃的坐标.

10.在平面直角坐标系内，抛物线y=-Y+bx+c与X轴的交点分别为A(TO)、3(3,0),如图.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当自变量x满足p-34xWp+2时，对应的函数值y的最大值为-5,求p的值.

⑶动点。在第一象限的抛物线上.动点E在第四象限的抛物线上，如图，连结AD、AE,分

别与丁轴交于点只G点.且点。、E在运动过程中。尸、OG总是满足。/=白，探究直线DE

17Gr

能否经过某个定点，若能，请求出该定点的坐标；若不能，请说明理由.

11.如图，二次函数丫=加+版+4的图象过点A(3,0)和3(-1,0),与y轴交于点C.

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(1)求该二次函数的解析式；

(2)若在该二次函数的对称轴上有一点使"W+CM的长度最短，求出”的坐标.

12.如图，已知抛物线y=-/+6x+c与一直线相交于A。，。)、C(-2,3)两点，与1轴交于点N,其

顶点为。.

(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；

(2)在对称轴上是否存在一点使AAW的周长最小.若存在，请求出“点的坐标和"WM周

长的最小值；若不存在，请说明理由.

13.如图，抛物线『-f+bx+c与无轴交于点4(-1,0),3(5,0)两点，直线>=-片+3与丁轴交于

点C,与x轴交于点D点尸是第一象限内抛物线上一动点，过点P作P/Fx轴于点孔交直

线CD于点E.设点P的横坐标为

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⑴求抛物线的解析式；

⑵写出线段CE的长（用含有机的代数式表示）；

（3）若PE=5E尸,求机的值；

（4）在y轴正半轴上是否存在点G,使C、E、P、G为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出相

应的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

14.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线丫=办2+法+3（0片0）交》轴于点4、3,交y轴于点C.其

中，OA=6抛物线的对称轴是直线X=6.

图1图2

（1）求抛物线的表达式；

（2）8平分NOC3交x轴于D点P是直线2C上方抛物线上的一动点，过点P作尸交直

线C3于点E,交直线8于点H点V、N是x轴上两个动点，MN=2^3（般在N的左侧），连

接CM、PN,当线段PF取最大值时，求尸N+M2V+CM的最小值；

⑶如图2,连接AC,将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点C,且与直线BC相

交于另一点H.点。为新抛物线上的一个动点.当/QCW=ZACO,直接写出所有符合条件的

点Q的坐标.

15.如图，已知抛物线［=-/+法+c与x轴交于A（-LO）,3（5,0）两点（点A在点6的左侧），与

y轴交于点c.

（1）求抛物线的解析式;

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⑵点。是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点8、C重合），过点。作小轴于点P,

交直线BC于点E.

①求线段DE的最大值；

②连接直线3c把VB/m的面积分成两部分，若，皿：“诙=3:2,请求出点。的坐标.

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参考答案

1.⑴>=一%2-4x+5

⑵①当，〃=-|时，所取最大值微，②(-4,5)或(&-5,-2+6⑹或(-3,8)

【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形，勾股定理等知识，解题

的关键是分类讨论思想的应用.

(1)由抛物线与x轴交于41,0)和8(-5,0)两点，得抛物线对称轴为直线X=F=-2,即可得抛

物线顶点为(-2,9),设抛物线函数解析式为y=a(x+2＞+9,将A(l,0)代入可得q=T,故抛物线

函数解析式为＞=-(*+2)2+9=-/-以+5；

(2)①求出C(0,5),得直线3c解析式为y=x+5,故E(m,-/-4机+5),F(m,m+5),得

525

EF=-m2-4m+5-(m+5)=-(m+—)2+—；

②根据二次函数性质可得答案；

③由机+5),F(m,m+5),C(0,5),得石尸=(机？+5根)2,EC2=m2+(m2+4m)2,FC2=2m1;分

三种情况列方程可解得答案.

【详解】(1)解：•.,抛物线与x轴交于41.0)和2(-5,0)两点，

二抛物线对称轴为直线x=—=-2,

在y=-3x+3中，令》=—2得＞=9,

二抛物线顶点为(-2,9),

设抛物线函数解析式为y=a(x+2)z+9,

将A(l,0)代入得:

0=9々+9,

解得。=-1,

二抛物线函数解析式为y=-(x+2)2+9=-x2-4x+5；

(2)解：①如图：

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在y=-Y-4x+5中，令x=0得y=5,

C(0,5),

设直线2C解析式为>=履+6,

0=-5k+b

将8(-5,0),CQ5)代入得

5=b

k=l

解得

b=59

二.直线5c解析式为y=尤+5,

设旦孙->-4加+5),则F(m,m+5),

525

/.EF=-m2-4m+5—(m+5)=-m2—5m=-(m+—)2+—,

595

二当m=-|时，M取最大值?，

②设£(九-/-4加+5),则尸(见加+5),C(0,5),

/.EF2=(m2+5m)2,EC2=m2+(m2+4m)2,FC2=2m2;

若EF=EC,贝！J(m2+5m)2=m2+(m2+4m)2,

解得根=0(E与。重合，舍去)或加=-4,

•・E(T,5)；

若EF-FC,贝!](m2+5m)2=2m2,

解得加=。(舍去)或加=0-5或加=-四-5(不符合题意，舍去),

.•.£(行-5,-2+6夜),；

若EC=FC,贝(J苏+(根2+4相>=2fH2,

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解得机=0(舍去)或加=-3或M=-5(不符合题意，舍去),

，E(-3,8)；

综上所述，E的坐标为(-4,5)或(0-5,-2+60)或(-3,8).

2.(l)y=-x2+4x

⑶(5,1)或(+2)或或七旦W'

\7\7

【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式；

(2)求出直线A3的表达式为y=f+4,设+4)(04机工4),则+.),E(〃z,0),

分情况表示出MN,EN,结合MN:EN=1:2,列方程求出％,即可求解；

(3)画出图形，分AC是四边形的边和AC是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理，相

似三角形的判定与性质，函数图像的交点，平移等知识点进行解答即可得出答案.

【详解】(1)解：,抛物线、=-1+6尤+(:过原点。，

二.c=0,

将A(4,0)代入抛物线y=-x2+笈中，得一4?+46=0,

解得：6=4,

•••抛物线的表达式为y=-丁+©；

(2)解：设直线A3的解析式为>=区+。，

将A(4,0),B(0,4)代入得:

[4k+a=0

\0+a=49

直线AB的解析式为y=T+4,

设—+4),其中0W/W4.

当“在"点上方时，MN=t2-5t+4,EN=-r+4t.

'：MN:EN=1:2,

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EN=2MN.

**•+41=2(/—5/+4),

解得：4=；/=4(不合题意，舍去);

当〃在N点下方时，MN=-t2+5t-4.

**•—产+4%=2(—/+5/—4),

解得：，3=2/4=4(不合题意，舍去).

•••满足条件的点M的坐标有两个(耳,5),(2,2).

(3)解：存在，满足条件的点Q的坐标有4个.

如图，若AC是四边形的边，

当x=2时，y=-2+4=2,

•••抛物线y=-炉+4x的对称轴与直线AB相交于点次(2,2),£>(2,4),

y=-x+4

联立

y——x2+4x

—/r(x=l,、fx=4&,

解得：\2或(n(舍去)，

[y=3[y=0

.-.C(l,3),

过点C,A分别作直线AB的垂线交抛物线于点儿2,

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QC(1,3),O(2,4),R(2,2),

:.CD=s/2,CR=y/2,RD=2,

Q(四)?+(五下=22,

:.CD2+CR2=DR2,

:.ZDCR=90°,

•••点片与点。重合.

当*〃AQt,CPX=AQ,时，四边形ACqQ是矩形.

•.•C(l,3)向右平移1个单位，向上平移1个单位得到片(2,4).

A(4,0)向右平移1个单位，向上平移1个单位得到。(5,1),

此时直线CPX的解析式为y=尤+2.

,/直线6A与2平行且过点44,0),

，直线6A的解析式为N=x-4.

,点p2是直线y=X-4与抛物线y=-x2+4x的交点,

•9AA

••一厂+4x=x-4,

解得：X]=-1,X2=4(舍去).

•■■^(-1,-5),

当AC〃鸟&，AC=£2时，四边形ACQ?鸟是矩形，

•.•4(4,0)向左平移3个单位，向上平移3个单位得到C(L3).

鸟(-1,-5)向左平移3个单位，向上平移3个单位得到。2(-4,-2).

如图，若AC是四边形的对角线，

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当乙4月。=90。时.过点鸟作学/，犬轴，垂足为〃，过点C作垂足为K.

可得NRKC=AAHP3/P3CK=NA8H,

:NP3CK^NAP3H,

P3KAH

…薮一丽’

设Pg,-/+4。，

.一〃+4%-3_4-t

-t-1-〃+4]'

・・•点尸不与点AC重合，

「./w1和，w4,

—3%+1=0,

_3+岔_3-A/5

也=二一，

••.如图，满足条件的点P有两个.

当C乙〃A03，CA=AQ3时，四边形A4C03是矩形.

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...月三萼,与5向左平移泊个单位，向下平移上5个单位得到Qi,3).

I22J22

.•.A(4,0)向向平移个单位，向下平移士更个单位得到。/上婆,不

22I22J

当C1〃AQ,CA=AQ4时，四边形A《CQ是矩形.

...R［三5三勺向右平移士抬个单位，向上平移1±占个单位得到.

I22J22

.•.44,0)向右平移三立个单位，向上平移二6个单位得到。(呼.

综上，满足条件的点。的坐标为(5」)或(T-)2或［上空,=5］或［¥，叶普.

【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式,

勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件

的图形，进行分类讨论是解题的关键.

3.(1)y=—九?+2x+3

⑵当的值最大时，点P的坐标为信孝，黑最大值为最

DE<24)DE16

(3)不存在，理由见解析

【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，正方

形的性质等知识点；

(1)根据抛物线广加+区+3(叱0)与x轴交于A(3,0),对称轴：直线尤=1,列方程组求解即

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可；

(2)先求出直线A3解析式为产-尤+3,过。作DGLx轴交直线A3于G,过P作轴交直

PFPH/、

线AB于H,贝得至UAPEHSADEG,贝1］赤=而，再求出DG=4,设P®,一-+2加+3),

PFPH

则8(7”,-加+3),PH=f?+3相，代入定=后计算求最大值即可；

(3)过A作APJLx轴，由0A=03=3得到？R4O?BAF45?,根据给定的条件发现NB4M在

NB4F=45。内部，即？45?,但是由以ARM,N为顶点的四边形为正方形，得到必

定是等腰直角三角形，/尸&〃=45。或90。，与？PAM45?矛盾，据此得到不存在以ARM,N为

顶点的四边形为正方形.

【详解】(1)解：,••抛物线产加+乐+3(”0)与x轴交于4(3,0),对称轴：直线x=l,

0=9。+3b+3

-A=1

、2a

CI=-1

解得

b=2

•••该抛物线的解析式为y=T，2x+3；

(2)解：令尤=0,则y=—X?+2x+3=3,令y=。，贝|y=—尤~+2x+3=0,解得占=3,%=—1,

.•.8(0,3),£>(-1,0),

设直线AB解析式为》=履+3,

把A(3,0)代入得0=3左+3,解得左=-1,

直线解析式为y=-x+3,

过。作。G_Lx轴交直线A8于G,过P作尸"，龙轴交直线AB于"，则DG〃尸”,

APEHSIJJEG,

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.PEPH

**DE-DG?

当％=_1时，y=r+3=4,

DG=4,

设尸（见一疗+2根+3）,则H（m,-m+3）,

/.PH=m2+2m+3）—（—m+3）=—m2+3m,

・PEPH一/+3机\(3丫9

••==----=—m—H,

DEDG4412)16

二当时，装=3最大，此时尸后力

•••当4I的值最大时，点p的坐标为佶马，最大值为2;

DE124JDE16

(3)解：不存在，理由如下：

过A作AFLx轴,

V5(0,3),4(3,0),

OA=OB=3,

・•・NBAO=45。，

NBA尸=45。，

•••点P是直线A3上方的抛物线上的动点，点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方,

ZPAM^EZBAF^45°内部，

:PAM45?,

假设存在以AP，/，N为顶点的四边形为正方形，

•••△弘〃必定是等腰直角三角形，

/PAM=45。或90。，与？R4"45?矛盾，

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•••假设不成立，

.•.不存在以A,P,/,N为顶点的四边形为正方形.

4.(1)J=X2-2X-3

⑵：

(3)[|，。]或(6,0)

【分析】(1)将分TO),C(0,-3)代入厂/+法+。求解即可；

(2)根据BC的解析式和抛物线的解析式，设网用无2—3),则”(x,x-3),表示P"的长，根

据二次函数的最值可得的最大值即可；

(3)如图1,连接CE',CE交BD于■点、T.然后分点£在点8的左侧和右侧两种情况解答

即可.

【详解】(1)解：把洋TO),C(0,-3)代入抛物线y=d+O+c中

l—b+c=0

得:

c=-3

b=-2

解得:

c=-3

・•・抛物线的解析式为：y=x2-2x-3.

(2)解：VJ=X2-2X-3,

2

当y=0时，x-2x-3=0>

解得：x=3或-I,

3(3,0)；

设的解析式为：y^kx+t,

,.•3(3,0),C(0,-3),

J3左+/=0

•(=—3，

解得:[:二3，

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・・・3C的解析式为：y=x-3,

设P^x,x2—2x—3),

则〃(工1-3),

...PM=

3Q

当x=7时，PM有最大值为了.

24

（3）解：如图1,连接82CE,CE，交BD于点、T.

=(X-1)2-4,

・・•顶点。(LT),

设瓦）所在直线的解析式为：y=k（x-3）,

将。（1,T）代入函数解析式得一2左=T,

解得k=2,

故8。所在直线的解析式为：y=2x-6,

NECB=NCBD,

：.CE//BD,

设CE所在直线的解析式为：y=2x+p,

将C点坐标代入函数解析式，得。=-3,

故CE所在直线的解析式为：y=2x-3,

3

当y=0时，x=~,

即点E的坐标为1（，。），

当点E在点B的右侧时，

VB（3,0）,C（0,-3）,。（1）,

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.-.CB2=32+32=18,CD2=l2+（4-3）2=2,BD2=（3-l）2+42=20,

:.CB-+CD1=BD2,

...ABCD是直角三角形，

8。是斜边，

,?NECB=NCBD,

：.ZTCD=ZTDC,

：.CT=BT=DT,

.•.T为的中点，

I.CE经过3。的中点7(2,-2),

直线CT的解析式为k;x-3,

，点E'的坐标是(6,。).

•••综上所述，点E的坐标是||,。］或(6,0).

【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的性质、勾

股定理等知识点，掌握分类讨论和数形结合的思想是解题的关键.

5.(1)A(-l,0),B(3,0),C(0,6),Z)(l,8)

⑵点尸的坐标为卜寸，|PB-PC|取得最小值0;点尸的坐标为。，12)时，|PB-PC|取得最大值

国

(3)1

【分析】(1)用配方法求顶点坐标，用交点法求交点坐标即可；

(2)根据题意，当PB=PC时，阿-PC|的值最小，且为0；根据PA-PCWAC,得当P,A,C三

点共线时，必-尸。取得最大值，最大值为AC的长，解答即可.

(3)不妨设M(m,-2m2+4〃?+6),过点〃作MG〃交x轴于点G,设直线BC的解析式为y=px+6,

确定直线2C的解析式为y=-2x+6,用机表示直线MG的解析式，利用平行线分线段成比例定

理，构造二次函数，利用二次函数的最值解答即可.

【详解】(1)解：Vy=-2x2+4x+6=-2(x-l)2+8,

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•••顶点坐标为。（1,8）；

•.•当X=O时，y=6,

C（o,6）,

*.*当y=。时，y=-2x2+4x+6=-2（x-l）2+8=0,

解得玉=3,x2=-1,

A（-LO）,3（3,0）；

故答案为：A（-l,0）,B（3,0）,C（0,6）,D（l,8）.

（2）解：根据题意，得当依=PC时，的值最小，且为0,

设P（Lm），

故（I-。）?+（7/2—6）2=（1-3）2+（m—0）-,

解得加=?，

故点时，的值最小，且为0;

：产在对称轴上，且点A,点3是对称点，

/.PA=PB,

：.\PB-PC\=\PA-PC\,

PA-PC<AC,

・••当P,A,C三点共线时，尸A-尸C取得最大值，最大值为AC的长,

••AC-V12+62=^37，

设直线AC的解析式为y=丘+6,

故-左+6=0,

解得k=6,

・•・直线AC的解析式为y=6尤+6,

二.x=l时，>=6x1+6=12,

故点尸（U2）时，-3-尸。的值最大，且为亚.

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丁八

(3)解：•抛物线的解析式为y=-2/+4x+6,不妨设M(兀-2疗+4加+6),

过点M作MG〃BC交无轴于点G,

设直线2C的解析式为y=px+6,

故3〃+6=0,

解得。=-2,

直线BC的解析式为y=-2x+6,

设直线MG的解析式为V=-2x+q,

-2m2+4m+6=-2m+q,

解得q=_2m2+6m+6,

・•・直线加6的解析式为,=_21+（_2疗+6瓶+6）,

当y=。时，-2%+（-2/+6机+6）=0,

解得％=-“+3加+3,

/.G（—根?+3根+3,0）,

/.GB=（—机2+3m+3）-3=—m2+3m,

•/MG//BC,

.MEGB

・・丽—茄'

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抛物线开口向下，函数有最大值，

且当小时，篝有最大值，且为I

【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，待定系数法求解析式，平行线

分线段成比例定理，勾股定理，三角形三边关系定理的应用，构造二次函数求最值，熟练掌握

性质和定理是解题的关键.

6.⑴y=；无2+x-4

⑵。(-2T)

【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式，线段问题等

知识.

(1)利用待定系数法求二次函数解析式即可.

(2)先求出C(O,T),再得出OB=OC,结合已知条件分别得出△瓦汨AQKE为等腰直角三角形，

利用待定系数法求出直线的解析式，设点E(x,r-4),则点。(X,；X2+X_4),进而由等腰直

角三角形的性质可得出EQ=-g尤2-2彳=应跖，==应(x+4),根据5E=2EF得出关于x

的一元二次方程，求解即可得出答案，并选择点Q在直线下方的抛物线上的点即可.

【详解】(1)解：由已知可设:y=a(x+4)(x-2)=a(f+2x-8),

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则-8a=-4,得：a=1

进而有》=2a=l

所以抛物线的解析式为：y=-4

(2)解：由(1)知：y=^x2+x-4,

当％=0时，y=-4,

・・・C(0T),

OB=OC,

.\ZBCO=ZOBC=45°,

.,./BED=/QEF=45。,

•：QFLBC,

・・.NQFE=90。，

.-.ZEQF=ZQEF=45°,

,-.EF=QF,

设直线BC的解析式为：y=ax+b,

r」-4a+b=0

则，

的/=-4

解得:m

・••3C的解析式为：y=-x-4,

设点E(x，-x-4),则点Q[X,；/+X-4],

贝[jEQ=—x—[l/+x—4)=——%2—2尤=\[^EF,

而成=同。=&(x+4),

-：BE=2EF,

即A/2(x+4)=A/2^——x2—2x],

解得：x=-4(舍去)或-2,

即点。(-2,Y)；

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7.（1）y=%2-2x-3

（2）存在，P（l,-2）

【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求

解，是解题的关键：

（1）根据旋转的性质，得到OB=OC=3,进而求出AB,C的坐标，两点式设出函数解析式，待

定系数法求出函数解析式即可；

（2）根据对称性得到=进而得到当点尸在线段上时，P4+PC最小，进行求解即可.

【详解】（1）解：：△AOC绕原点0逆时针旋转90°得至I」ADOB,OA=1,OC=3

OB=OC=3,

：.A（-l,0）,B（3,0）,C（0,-3）,

设二次函数的解析式为：y=a（x+D（x-3）,把C（0,-3）代入解析式，得：

-3=«（0+1）（0-3）,解得：«=1,

y=（x+1）（x_3）=Y_2x_3；

（2）,:y=x2-2x-3,

对称轴为直线x=-*l,

二•A,2关于对称轴对称，点尸在对称轴上，

/.PA=PB,

：.PA+PC=PB+PC2BC,

•••当点尸在线段BC上时，PA+PC最小，

B（3,O）,C（O,-3）,

•••设直线2C的解析式为y=履-3,把3（3,0）代入解析式，得：k=l,

，y=x-3,

・•・当％=1时，y=l-3=-2,

：.P（l,-2）.

1

8.(l)y=-x92-x-4

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（2）372,M（2,-2）

⑶尸］比智，上譬］或P（26-6有+6）

【分析】（1）根据巩一2,0）,AB=6,得4（4,0）,代入y=g/+bx+c,解方程组得即得y=一牝

（2）证明ADPE是等腰直角三角形,设尸「,：/-X-j,求出直线AC表达式y=X-4,得E（x,x-4）,

PE=-g（x-2）2+2当x=2时，尸£最大时，ADE尸周长最大，此时P（2,T）,E（2,-2）,得PE=2,

DE=叵,连接并延长OE到H,使EH=OE=夜，连接/JM,得OE=20,OH=3y/2,根据

MO+MH>OH,得OM+*PM最小值为3及，M（2,-2）；

（3）由轴对称知，Q（2,0）,结合C（0,-4）得BC=Jo^+oc?=2右，由y=-x-4=g（尤-1）2-4.5

平移，得y'=g（x-3）2-8.5,过点C作CPLCQ,交直线尸。于点P,过尸作PN,y轴于点N,则

ZPCQ=90°,证明"=CQ,ZPNC=ZCOQ=90°,ZCPN=ZQCO,得&CPN冬AQCO（AAS）,可

得P（Y,-2）,求出直线P2解析式y=$_g,联立得g（x-3）2-8.5=+-|解得：1-卅,

得彳9|叵，上普）；当R在C。右下侧时同理得尸（4,-6）,直线PQ解析式为y=-3x+6,联

立得：（X-3）2-8.5=-3彳+6。解得尤=2有，得P（2布「6布+6）.

【详解】（1）解：,••抛物线+c与x轴交于A,8两点，B（-2,0）,AB=6,

A（4,0）,

,J8+4Z?+c=0

\2-2b+c=Q，

b=—l

解得

c二一4'

/.y=—x2-x-4;

2，

（2）解：由（1）可知，A（4,0）,C（0,T）,

Q4=OC=4,

ZOAC=ZOCA=45°f

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VPDLAC,PG_Lx轴，

：.PG//y^

：.ZPEC=ZOCA=45°,

•••△DPE是等腰直角三角形，

设尸卜;—-x-j,直线AC表达式为丫=依+”,

解味二，

y=x-4,

.,.当x=2时，PE最大时，ADEP周长最大，

此时尸（2,Y）,£（2,-2）,

/.PE=2,

DE=—PE=^1,

2

连接并延长OE到H,

使EH=DE=近,连接

则点H与点。关于直线PE对称，

OE=6+2<=2夜,

.*•OH=3五,

"：MO+MH>OH,

I.当点M与点E重合时，OM+昱PM=OE+EH=OH=3近,值最小,

2

OM+孝最小值为3五，

.\M（2,-2）；

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OQ=OB=2,,

'：0C=4,

•*-BC=y/OB2+OC2=2A/5，

•••抛物线y=-4沿射线BC方向平移26个单位，

，抛物线y=r一4是向右平移2个单位，再向下平移4个单位,

11

29

•.・y=—x-x-4=—^x-iy-4.59

2

y=l（x-3）-8.5,

过点。作C尸，Q2,交直线尸。于点P,过尸作轴于点N,

贝（JN尸CQ=90。，

・.•ZC0F=45°,

ZCPQ=90°-ZCQF=45°,

.・.CP=CQ9

/PNC=ZCOQ=90°,

ZPCN+ZCPN=/PCN+ZQCO=90°,

ZCPN=ZQCO,

△CPN%QCO（AAS）,

：.PN=CO=4,CN=QO=29

当尸在直线CQ左上侧时，

・•・ON=OC-CN=2,

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/.P（-4,-2）,

设直线尸。解析式为^=如+”,

,12m+n=0

则M々上

[-4m+n=—2

1

m=—

3

解得2,

n=—

[3

._12

••y=~x—,

33

联立得g（x-3）2—8.5=

解得：QI屈或一1。+4师（舍去），

33

.（10-4V104-4质）

当R在直线CQ右下侧时，

同理得「（4,-6）,直线尸。解析式为丁=-3尤+6,

19

联立得-（x-3）-8.5=-3x+6o

解得了=2百或X=-2A/?（舍去），

【点睛】本题考查了二次函数综合.熟练掌握待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次

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函数与一次函数图象和性质，三角形周长产生的二次函数的最值问题，轴对称性质，二次函数

的平移性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键.

9.⑴该抛物线的解析式为y=r2-2x+3；

(2)点p的坐标为卜;写，兼的最大值为3

I/UD10

(3)点”的坐标为(&-3,后)或卜夜-3,-0)

【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式,

利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：

(1)待定系数法求出函数解析式；

(2)过点P作PEIIx轴交直线AC于点E,设产伍,-产-2f+3),进而表示出点E的坐标，证明

△EPI3AABD,列出比例式，将胃PD转化为二次函数求最值即可；

(3)设尸(”-/_2加+3),则/(祖,祖+3),根据折叠的性质，平行线的性质，推出=

进行求解即可.

【详解】(1)解：：抛物线>=加+云+3与x轴交于点A(TO),3(1,0)两点

俨-36+3=0

[々+6+3=0

Cl=-1

解得:

6=-2'

该抛物线的解析式为y=-f-2x+3；

(2)当尤=0时，y=3

/.C(0,3)

设直线AC的解析式为>=丘+〃，把A,C两点代入解析式得:

[-3k+n=0k=\

，解得:

[n=3n-3

*,•直线AC的解析式为y=x+3,

过点尸作轴交直线AC于点E,如图，设尸产-2f+3),

•.”可回轴，

•••点E的纵坐标为_产->+3

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则-/-2/+3=%+3

••x=—/—2t,

E—2t,—产—2二+3),

••PE=—t2—2t—t=—t2—3t9

VA(-3,0),3(1,0),

/.AB=1-(-3)=4

轴，

/.AEPD^AABD

.PDPE

・•丽―IP

・••当仁-1■时，鬟的值最大，最大值为白,

2D610

此时点尸的坐标为

(3)如图,设尸(八->-2加+3),则Af(m,斐+3)

/.PM=|m+3—^-m2—2m+3)|=|m2+3m|,CM={m2+/=^2|m|,

・二△尸。/沿直线PC翻折，M的对应点为点“，落在y轴上，而加〃丁轴

,PMPCM',PM=PMr,CM=CM',ZPCM=ZPCMr

：.ZPCMr=ZMPC

：.ZPCM=ZMPC,

：.PM=CM9

/.|m2+3m|=帆

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当/+3m=V5m时，解得：叫=。(舍去)，m2=72-3,

此时点

当/+3%=-五加时，解得：叫=。(舍去)，e=-血-3,

综上，点”的坐标为(3-3,0)或「五-3,

10.(1)y=—炉+2x+3

⑵7或T

⑶经过定点(3,-2)

【分析】本题考查了二次函数综合应用、二次函数的图象与性质、函数解析式，熟练掌握一次

函数和二次函数的图象与性质，学会数形结合的思想方法解决函数问题是解题的关键.

(1)代入点A(TO),矶3,0)到抛物线>=一/+法+°,再利用待定系数法求解即可；

(2)根据二次函数的性质可得图象开口方向向下，对称轴为直线x=l,顶点为。,4),再分3

种情况①l<P-3VxVp+2；②p-3VxVp+2<l；③p_3W”p+2讨论，结合对应的函数值y的

最大值为-5,分别求出p的值即可；

(3)设点。(孤-川+2祖+3)、E(n,-??2+2n+3),利用一次函数的解析式求出。尸=3-%同理可

得OG-3,由。尸=”可得加-3(m+〃)=-ll,再设直线DE的解析式为了=依+。，联立抛物

(JCJ

线表达式可得Y+(k-2)x+a-3=0,利用根与系数的关系可得〃?+九=2-左，代入机、

〃的关系式可得。=-3左-2,即可求出定点的坐标.

【详解】(1)解：•••抛物线>=-/+法+c经过点A(T,O),8(3,0),

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—1—b+c=0

一9+3b+c=0

，抛物线的函数表达式为y=-£+2x+3；

（2）解：*.*y=-x2+2x+3=-（x-l）2+4,

函数图象开口方向向下，对称轴为直线x=l,顶点为（L4）,

.,.当x<l时，y随x增大而增大，当x>l时，y随x增大而减小，

①若x>l时，即l<p-3WxVp+2,即p>4,

当x=p-3时，y取最大值-5,

可得：—5=—（/?—3—1）+4,即=9,

解得：P=7或。=1（舍去）；

②若x<l,BPp-3<x<p+2<l,即〃<一1

当了=”+2时，y取最大值-5,

可得：-5=-（p+2-l）-+4,即（0+1）-=9,

解得。=-4或p=3（舍去）；

③若x=l时，则2-3WlWp+2,BP-1<^<4,此时y的最大值为4,

・••不符合题意，舍去；

综上，p的值为7或T.

（3）解：设点。（加,-m+2加+3）、?+2〃+3）,

设直线AD的表达式为>=匕尤+4,

—k[+%=0

代入点A（T。）、+2加+3）得:

k1m+%=—m2+2m+3

a=-（777-3）

解得:

...直线AD的表达式为：y=-（rn-3）x+（3-m）,

•,・代入尤=0得,y=3—根,gpF（0,3-m）,

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OF=3—m,

同理可得：OG=n-3,

0F=——2,

OG

：.OFOG=-（m-3）（n-3）=2,

/.-zm+3（m+M）-9=2,

整理得：加i-3（m+几）=-11①，

设直线DE的解析式为y=kx+a9

当日+。=一炉+2x+3时，

BPf+（左—2）%+a—3=0,

・・,交点横坐标用、〃为方程的两个实数根，

：・m+n=2—k,m-n=a—3,

代入①得：—3）-3（2—左）二一11,

整理得：a=-3k-2,

y=kx+a=kx—3k—2=k（^x—3^—2,

・••当x=3时，>=-2,

・•・直线DE过定点（3,-2）.

IL⑴二次函数的关系式为y=-不2+|工+4

⑵小I]

【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、“将军饮马”模型.

48

（1）用待定系数法即得二次函数的关系式为y=\f+|x+4；

（2）由y=-gx2+|x+4=_*xT）2+g,得抛物线的对称轴是直线x=l,与y轴交点C（0,4）,

根据点3关于直线x=l的对称点是A,可知AC与对称轴的交点即为点使"W+CM的长度

最短,用待定系数法得直线AC的解析式为y