2025年中考数学总复习《全等三角形之一线三等角模型》专项测试卷（带答案）

2025年中考数学总复习《全等三角形之一线三等角模型》专项测试卷(带答案)

学校:班级：姓名：考号：

1.如图，点C在线段8。上，ZABD=ZBDE=ZACE=90°,BC=DE.

(1)如图1,求证：AB+DE=BD；

(2)如图2,连接AE,点M为AE中点.连DM,分别交AC,CE于G.H,猜想浏■/与DM关系，并加以

证明;

(3)如图3,在(2)的条件下，连接G"；求证：GH//BD.

2.如图，等边VABC的边长为2,过点A作直线MN〃3C,点P在直线MN上，连接将3P绕点B顺时针旋

转90。得到8。，连接CQ,PQ.

备用图

(1)如图1,当点。在边上时，求C0的长.

⑵将线段沿着射线3C方向平移，使点3与点C重合，点。的对应点为点H,得到线段CH,连接PH,QH.

①如图2,当AAB尸是等边三角形时，求证：四边形8CHQ是菱形；

②当点尸在射线AN上时，若人尸。〃的面积为26，求AP的长；

③当点P在射线AM上时，是否存在点P,使得APQH的面积为26？若存在，请直接写出AP的长；若不存在,

请说明理由.

3.综合与实践：

(1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图1.已知：在VA8C中.ABAC=90°,

AB=AC,直线/经过点A,BD/直线/,CEL直线/,垂足分别为点。、E.证明：DE=BD+CE.

(2)组员小刘对图2(N54C=90。，AB=AC,直线/经过点A,比>1直线/,CEL直线/,垂足分别为点。、E.)

进行了探究，他发现线段DE、BD、CE之间也存在着类似的数量关系，请你自谈写出这个发现.

数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：

(3)如图3,已知VABC,四是BC边上的高，=1.过VABC的边43、AC向外作正方形A5DE和正方形AC尸G,

延长物交EG于点/,若4=2,请序撰写出△AEG的面积.

(4)如图4,在VABC中，Z54C是钝角，AB=AC,ZBAD>ZCAE,ZBDA=ZAEC=ABAC,直线机与BC的

延长线交于点R若BC=2CF,VA3C的面积是12,请申毯写出△板)与△口方的面积之和.

DAEEADm

Si图2图3图4

4.(1)【问题提出】如图1,在RtZ\ASC和RIACED中，ZACD=ZB=ZE=90°,AC=CD,B,C,E三点在一

条直线上，AB=3,DE=4,则AC的长度为；

BCEBCBA

图1图2图3

(2)【问题探究】如图2,在中，ZABC=90°,BC=3,AC±CD,且AC=CD,求点。到3C的距离;

(3)【问题解决】如图3,在四边形ABCD中，/ABC=NC4B=NADC=45。，AC=2A/10,AD=6①,求△BCD

的周长.

5.已知一次函数y=-§x+2的图象与X轴、y轴分别交于点A、B.

⑴求VA03的面积及点。到直线的距离；

⑵若第三象限存在一点C,如图2所示，使得BC=fi4,且/AfiC=90。，求点C的坐标；

⑶在(2)的条件下，双曲线》图像上有一点M,满足工ABM=S,ABC，直接写出所有满足条件的点河坐标.

X

6.如图，在VABC中，AB=AC=2,N3=NC=40。，点O在线段上运动(。不与8、C重合)，连接AD,

作ZAZ®=40。，DE交线段AC于E.

⑴当N8D4=115。时，NEDC=°,ZDEC=°;点。从8向C运动时，/3ZM逐渐变(填“大”或“小”)；

(2)当。C等于多少时，LABD必DCE,请说明理由；

(3)在点Z)的运动过程中，VADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数.若不可以，请说

明理由.

7.某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型.

【模型初识】如图1,已知：在VA2C中，NB4c=90。，AB=AC,直线/经过点A,加工直线/于点CEL直

线I于点、E.易证："BD冬ACAE.

(1)如图1,若BD=3,CE=5,则OE=；

【模型应用】

(2)如图2,平面直角坐标系中，ZAOB=90°,04=03,点B的坐标为(1,2),则点A的坐标为；

【模型拓展】

（3）如图3,以VABC的边AB,AC向外分别作正方形AB£>E和正方形ACFG,则44E=NC4G=90。，AE=AB,

AG=AC,4/是3c边上的高，延长HA交EG于点/.

①过点E作仞0，印于点M,过点G作GNL小于点N,试说明EAf=GN；

②若BH=4,CH=6,请求出4/的长.

8.如图1,等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,CB=CA.过A作AO，£D于点D,过8作于点E.可

证得ABEC丝AQM.我们将这个模型称为“一线三等角”或者叫“K形图”.

【问题初探】如图2,已知直线y=2x+2与y轴，x轴分别交于A,3两点，以3为直角顶点在第二象限作等腰

RtAABC,求点C的坐标及直线AC的表达式；

【应用探究】如图3,在平面直角坐标系内，已知直线，=-4尤+4与y轴交于点尸，与X轴交于点Q,将直线P。绕

尸点沿顺时针方向旋转45。后，所得的直线交X轴于点R.求APQR的面积.

【拓展延伸】

随着城市建设的发展，街心花园越来越多地出现在人们的生活中，其功能也由最初的美化市容、改善环境，渐渐发

展为休闲、娱乐、运动、餐饮一体化的市民游息场所，为居民幸福生活提供越来越丰富的作用.为了提升居住环境

水平，高新区准备对区内一个街心花园进行改造，如图4,设计师标记公园原址为长方形A08C,并以点0为原点

建立平面直角坐标系，已知A、8的坐标分别是（0,30）,（20,0）.设计师准备在原花园的两边和OB上分别选取

点。和点E,以。E为斜边在。E的左下侧（包括左侧和下侧）修建一个等腰直角三角形DEE区域作为餐饮角，由

于点C处是地铁站，为方便市民出行，设计师想确定点歹的位置，使得点尸到点C的距离最小，请你利用所学知识

帮助设计师找到点F的位置，并求出C/的最小值.

9.如图，VABC中，ZB=ZC=30°,ZDEF=30°,且点E为边BC的中点.将NDEF绕点E旋转，在旋转过程

中，射线。E与线段4?相交于点尸，射线族与射线C4相交于点Q,连结P。.

(1)如图1,当点。在线段C4上时

①求证：ABPES《EQ；

②线段BE,BP,CQ之间存在怎样的数量关系？请说明理由;

(2)当△AP。为等腰三角形时，求坐的值.

10.在VABC中，ZACB=90°,AC^BC,直线MN经过点C,且AD_LMN于。，BE_LMN于E.

①AADC会ACEB；

②DE=AD+BE；

⑵当直线跖V绕点C旋转到图(2)的位置时，求证:DE=AD-BE；

⑶当直线"N绕点C旋转到图(3)的位置时，请直接写出。E,AD,8E之间的等量关系.

11.(1)问题发现：如图1,在VA2C中，ZABC=a,将边AC绕点C顺时针旋转a得到线段CE,在射线上

取点。，使得NCDE=a,线段8C与。E的数量关系是；

(2)类比探究：如图2,若(z=9O。，作NACE=90。，且CE=；AC,其他条件不变，写出变化后线段2c与DE的

数量关系，并给出证明；

(3)拓展延伸：如图3,正方形A3。的边长为6,点E是边AD上一点，且AE=2,把线段CE逆时针旋转90。得

到线段跖，连接所，直接写出线段所的长.

12.在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E,在直线m上方有AB=AC,且满足ZBDA=ZAEC=ABAC=a.

AEmAEmF

⑴如图1,当<z=90。时，猜想线段DE,BD,CE1之间的数量关系是_；

(2)如图2,当0<a<180。时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)应用：如图3,在VABC中，是钝角，AB=AC,NBADcNCAE,ABDA=ZAEC=ABAC,直线机与CB

的延长线交于点R若BC=3FB,VABC的面积是12,求与"久的面积之和.

13.如图，在平面直角坐标系中，点以4力)是第二象限内一点.

⑴若a、6满足等式(a+3)2+|6-2|=0,求点B的坐标;

⑵如图1,在(1)的条件下，动点C以每秒2个单位长度的速度从。点出发，沿无轴的负半轴方向运动，同时动

点A以每秒1个单位长度的速度从。点出发,沿y轴的正半轴方向运动，设运动的时间为f秒，当f为何值时，NABC

是43为斜边的等腰直角三角形；

(3)如图2,CA分别是x轴负半轴和y轴上正半轴上一点，且VA5C是以A8为斜边的等腰直角三角形，若E是线

段OC上一点，连接BE交AC于点。，连接AE,当AE=CE,NOAE=45。，①求证：BE平分/ABC；②设

的长为a,AADB的面积为S.请用含a的式子表示S.

14.(1)如图①.已知：在VA3C中，ABAC=90°,AB=AC,直线机经过点A,应＞1直线加，CE_L直线,

垂足分别为点。、E.则线段DE、80与CE之间的数量关系是

C

图1图2图3

(2)如图②，将(1)中的条件改为：在VABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线机上，并且有

ZBDA=ZAEC=ZBAC=a,其中。为任意锐角或钝角.请问：(1)中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明；

若不成立，请说明理由.

(3)拓展与应用：如图③，D,E是D,A,E三点所在直线机上的两动点(DA,E三点互不重合)，点、F为/BAC

平分线上的一点，且A4B尸和均为等边三角形，连接2。、CE.若NBDA=ZAEC=NBAC,试判断ADEF的

形状，并说明理由.

15.如图，ZABC=90°,于点A,点。在直线43上，AD=BC,AF=BD.

(1)如图1,若点。在线段A3上，判断与0c的数量关系和位置关系，并说明理由；

(2)如图2,若点。在线段43的延长线上，其他条件不变，试判断(1)中结论是否成立，并说明理由.

16.综合与实践

数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究.

(1)操作发现：如图甲，在RtAABC中，ABAC=90°,S.AB=AC,直线/经过点A.小华分别过8、C两点作直线

/的垂线，垂足分别为点E.易证△MD—CAE,此时，线段。E、BD、CE的数量关系为：；

(2)拓展应用：

如图乙，VABC为等腰直角三角形，ZACB=90°,已知点C的坐标为(-2,0),点8的坐标为(1,2).请利用小华的

发现直接写出点A的坐标：―；

⑶迁移探究：

①如图丙，小华又作了一个等腰VABC,AB=AC,且N54CW90。，她在直线/上取两点D、E,使得

NBAC=NBDA=ZAEC,请你帮助小华判断(1)中线段OE、BD、CE的数量关系是否变化，若不变，请证明;

若变化，写出它们的关系式并说明理由；

②如图丁，VABC中，AB=2AC,ZBACV90。，点。、E在直线/上，1.ABAC=ABDA=ZAEC,请直接写出线

段DE、BD、CE的数量关系.

图丙图丁

17.在平面直角坐标系中A、3两点的坐标分别为A(a,O)、B(O,b),且a、6满足/一12。+Jb-8+36=0,点C为

x轴负半轴上一点，AB=AC.

(1)求点C的坐标；

⑵动点尸从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，同时动点。从点8出发，以每秒2个单位的速度

沿y轴向下运动，设运动的时间为f秒，连接AQ、PQ,△APQ的面积为S,请用含f的式子表示S,并直接写出f

的取值范围；

(3)在(2)的条件下，当f=3时，在坐标平面内以线段尸。为斜边作等腰直角APQM,求点M的坐标.

18.(1)如图1,在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线机经过点A,8。，直线机，CE_L直线相，垂足分别为

点、D、E.求证：AABD义/XCAE；

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB^AC,D、A、£三点都在直线机上，并且有NAEC

=ZBAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论△A3。之△C4E是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，

请说明理由.

(3)拓展应用：如图3,D,E是D,A,E三点所在直线机上的两动点(D,A,E三点互不重合)，点、F为/BAC

平分线上的一点，且AABF和△AC尸均为等边三角形，连接CE,若N2D4=NAEC=NBAC,求证：&DEF

是等边三角形.

19.已知△ABC中，ZACB=90°,AC=BC.BE、A。分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为£>,E.

学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1，若AO=2.5C7〃，DE=1.7cm,求BE的长；然后，张老

师又提出问题2：将图1中的直线CE绕点C旋转到△ABC的外部，BE、与直线CE的垂直关系不变，如图2,

猜想A。、DE、BE三者的数量关系，并给予证明.

图1图2

20.感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型:

如图1,ZBAD=ZACB=ZAED=90°,由N1+N2+NK4D=180。，Z2+Z£>+ZA£D=180°,可得N7=ZD；又

因为ACB=NA£D=90。，可得△ABCsaDAE,进而得到丝=.我们把这个模型称为“一线三等角"模型.

应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2,在VABC中，AB=AC=1O,BC=12,点尸

是3c边上的一个动点（不与2、C重合），点。是AC边上的一个动点，且NAPD=NB.

①求证：AABPs^pcD；

②当点P为2C中点时，求CD的长；

拓展：（3）在（2）的条件下如图2,当为等腰三角形时，请直接写出8尸的长.

21.（1）如图（1）,已知：在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线机经过点A,直线加，CE,直线相，

垂足分别为点。、E.证明：DE=BD+CE.

（2）如图（2）,将（1）中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,Z）、A、E三点都在直线机上，并且有NBD4=NAEC=NB4C=

a，其中a为任意锐角或钝角.请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

（3）拓展与应用：如图（3）,是D、A、£三点所在直线加上的两动点（D、A、E三点互不重合），点、F为/BAC

平分线上的一点，且和△ACF均为等边三角形，连接跳）、CE,若/BDA=/AEC=/BAC,试判断△DEF的

形状.

cc

DA

（图1）（图2）（图3）

22.问题背景：(1)如图①，已知VABC中，N54c=90。，AB=AC,直线机经过点A,直线机，CEL直

线加，垂足分别为点。，E,易证：DE=+.

(2)拓展延伸：如图②，将(1)中的条件改为：在VABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线机上，并且有

ZBDA=ZAEC=ZBAC,请求出。E,BD,CE三条线段的数量关系，并证明.

(3)实际应用：如图③，在△AC3中，ZACB=90°,AC^BC,点C的坐标为(-2,0),点A的坐标为(-6,3),请

直接写出8点的坐标.

参考答案

1.（1）证明：•••ZABD=ZBDE=ZACE=90°

.-.ZBCA+ZECD=90°=ZBCA+ZBAC

:.ZBAC=ZECD

又•:BC=DE

:AACB%CED(AAS)

:.AB=CD

/.AB+DE—BC+CD=BD；

(2)解：BM=DM,BM±DM,理由:

如图，连接MC

,/^ACB=^CED

:.AC=CE,/BAC=/DCE.

・・・/AC石=90。，点M是A石的中点

：.AM=CM=ME,ZCAE=ZACM=ZECM=45°CMLAE

:.ZBAM=ZMCD

又♦:AB=CD

\&ABM沿&DM母AS)

,\ZAMB=ZCMD,BM=DM

ZAMB+ZBMC=ZBMC+ZDMC=90°

.\ZBMD=9Q°

:.BM.LDM；

(3)证明：略

2.(1)解：如图

由旋转得，BP=BQ,/PBQ=9。。

•・•等边VA3C边长为2

.・.AB=BC=29Z.l=60°

,:MN〃BC

：.N1=N2=60°,ZAPB=180。—ZPBQ=90°

・••在RtaARB中，BP=A5xsin/2=2x3=百

2

/.CQ=BC-BQ=2-6；

(2)①证明：•；AABP是等边三角形

，BP=BA

由(1)得3A=BC,BP=BQ

：.BQ=BC

由平移得：BQ//HC,BQ=HC

四边形BCHQ是平行四边形

,/BQ=BC

二平行四边形BCHQ是菱形；

②解：过点P作PG1.Q”于点“，过点B作血，AM于点/,交H。延长线于点T

•.•四边形BC//Q是平行四边形

Z.QH=BC=2,QH//BC

,:MN〃BC

MN//BQ

：.ZT=180°-ZPZB=90°

VBIA.AM,PG1QH

：.IT=PG

VSAPQH=^QHxPG

：.2石」x2xPG

2

PG=IT=273

由(1)得BI=Q

BT=IT-BI=6

・.,ZPBQ=ZAIB=ZT=90°

：.Z3=Z4=900-ZPBI

：.△必BBQT(AAS)

PI=BT=y/3

'：AI=ABxcosZMAB=2x-=l

2

AP=PI-AI=y/3-l;

③解：存在，理由见解析：

过点。作。于点K,交跖V于点X,过点8作于点/,过点尸作尸R，3c交CB延长线于点R

同理可得MN//BC//QH,QH=BC=2

•：S«PQH=；QHXQX

：.2A/3=1x2xQX

QX=2A/3

VBIYAM,PRLBC

：.PR//BI

；•四边形PR"为平行四边形

/•PR=BI=由,PI=BR

同理可证明：凶口为平行四边形

/.IB=XK=s/3

同理可得：APRBmABKQ(AAS)

：.QK=BR=QX+KX=2.y/3+y/3=3y/3

PI=BR=3A/3

/.AP=AI+PI=3y/3+l.

3.(1)证明：直线/,CEL直线/

ZBDA=ZCEA=90°

,：ABAC=90°

・・・ZBAD^-ZCAE=90°

u：ZBAD+ZABD=90°

：.ZCAE=ZABD

在“IDB和△CE4中

ZABD=ZCAE

<NBDA=/CEA

AB=AC

：.△ADB^ACE4(AAS)

:.BD=AE,AD=CE

：.DE=AE+AD=BD+CE.

(2)解：DE=BD—CE,理由如下:

直线/,CE,直线/

・・・ZBDA=ZCEA=90°

ABAC=90°

：.ZBAD+ZCAE=90°

9：ZBAD^rZABD=90°

：.ZCAE=ZABD

在△ADB和△CE4中

ZABD=ZCAE

<NBDA=ACEA

AB=AC

：.AADB^ACE4(AAS)

・・.BD=AE,AD=CE

：.DE=AE-AD=BD-CE.

(3)解：如图3,过E作石MLm于M,GN,小的延长线于N

图3

・・・ZEMI=AGNI=90°

由(1)和(2)的结论可知£M=AW=GN=1,AM=BH,AN=HC

在AEA〃和△GNZ中

ZEIM=AGIN

</EMI=AGNI=90°

EM=GN

：.△EMZ也△GAY(AAS)

•**IM=IN,S®M=S

：.BC=BH+HC=AM+AN=AI-IM+A1+1N=2AI=^

则NAEG=S^AE/+SAAGI

~S“£；M+S^EIM+S&AGN_SANGI

=^/XAEM+SAAGN

二S/\ABH+S/^ACH

=5AABC=|XBC-AH=1X4X1=2.

(4)•:NBDA=ZAEC=NBAC,ZCAD=ZAECZACE=ZCABZBAD

：.ZACE=ZDAB

又；AB=AC

：.^BDA^^AEC

•q=q

一*BDA_*AEC•

1

=-BC-AM=n,SB•AM.

2AACr2

•*S^ACf=S.CEF+S&CEA~SACEF+^ABD=6

:AABD与LCEF的面积之和为6.

4.解：(1)VZACD=ZE=9Q°

・・・ZACB=90°-ZDCE=ZD

在VA5C和△(7石D中

ZB=ZE=90°

</ACB=/CDE

AC=CD

：.△ABC/△CED(AAS)

:・AB=CE=3,BC=ED=4

47=)32+42=5；

故答案为：5；

(2)过。作交BC延长线于E,如图:

VDE1BGCD±AC

：.ZE=ZACD=90°

：.ZACB=90。—ZDCE=ZCDE

在VA5C和△CED中

ZABC=ZCED=90°

<ZACB=ZCDE

AC=CD

：.△ABC^ACED(AAS)

BC=ED=3

・,•点。到5c的距离为3；

(3)过A作AELCD于E,过8作57」CD交OC延长线于尸，如图:

・・・VADE是等腰直角三角形

'/AD=672

・・・DE=AE=6,

;AC=2M

-CE=YJAC2-AE2=2

ZABC=ZCAB=45°

・・・ZACS=90。，AC=BC

：.ZACE=90°-NBCF=ZCBF

在ZkACE和VCB尸中

ZAEC=ZCFB=90°

<ZACE=ZCBF

AC=CB

：.△ACE^ACBF(AAS)

/.BF=CE=2,CF=AE=6

・・BC-V22+62=2-\/10，BD=小2。+(6+2+6)=10A/2

・・・△5CD的周长为3C+CO+3O=2M+8+10后.

5.(1)解：*.*y=——x+2

J当兀=0时，y=2,当y二°时，一;犬+2=0,解得：x=6

：.A(6,0),B(0,2)

OA=6,OB=2

•**AB=V62+22=2^/10

•••5AOB=|OA.OB=1X2X6=6

设点。到直线A5的距离为九

则：S^AOB=^AB-h=6

.,3^/10

••n=---；

5

点。到直线AB的距离为皿.

5

(2)过点B作x轴的平行线OE,作

则：AE=OB=2,BE=OA=6,/D=/E=90°

ZABC=90°

：.ZDCB=ZABE=90。—NCBD

9：AB=BC

^CDB=^BEA

：.CD=BE=6,BD=AE=2

：.C（-2,2-6）,即：C（-2,-4）；

（3）①过点C作48的平行线，设解析式为＞=-；x+b

把C（-2,T）代入，得：-4=j+/7

,，―114

「・当点M在直线y=上时，^^ABM=SXABC

114

y二——x---

33

联立16.,解得:

y二一

IX

.•.”（一8,-2）或加［一6,-||；

②将直线48向上平移2+0=三个单位，得到直线尸_3+2+/=-++当

则：当点A/在直线y=-丁+9上时,S&ABM=S&ABC

126

y=——x-\---x=24

33"；或,

联立,解得:2

16y=8y=—

>=一

x3

••.河（2,8）或〃（24,£|；

(2)当DC=2时，△ABD^ADCE

(3)可以；的度数为110°或80°

【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键.

(1)由已知平角的性质可得N£»C=180。-NAD3-NADE,再利用三角形内角和定理进而求得NDEC,即可判断

点。从8向C运动过程中，/BD4逐渐变小；

(2)当£»C=2时，由已知和三角形内角和定理可得NZ)£C+/EDC=140。，ZADB+ZEDC=140°,等量代换得

ZADB=NDEC,又由AB=AC=2,可得△ABD丝△£>€£(AAS)；

(3)根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可.

【详解】(1)解：ZEDC=1800-ZADB-ZADE=180°-U5°-40°=25°

/DEC=180。—ZEDC-ZC=180°-25°-40°=115°

点。从8向C运动时，ABDA逐渐变小

故答案为：25；115；小；

(2)解：当。C=2时，△ASD^ADCE

理由：•.•"=40°

.-.ZDEC+ZEDC=140°

又•.,ZADE=4O。

：.ZADB+Z£DC=140°

:.ZADB=ZDEC

又NB=NC,AB=DC=2

△ABZ泾△DCE(AAS)；

(3)解：当/8D4的度数为110°或80。时，VADE的形状是等腰三角形;

理由：・・・NBD1=11O。时

/.ZADC=70°,ZEDC=70°-40°=30°

•・•ZC=40°

/.ADAC=70°,ZAED=ZC+ZEDC=30°+40°=70°

:.ZDAC=ZAED

二•VADE是等腰三角形；

・・・NBD4=80。时

.\ZADC=100°

•・•ZC=40°

.\ZDAC=40°

:.ZDAC=ZADE

VADE的形状是等腰三角形.

7.(1)8；(2)A(-2,l)；(3)①证明见解析，②5

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与平面，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

(1)根据垂直的定义得到NBZM=NCE4=90。，根据余角的性质得到NC4E=NABD,根据全等三角形的性质得

到=AD=CE,于是得到结论；

(2)如图2,过A作AC，1轴于C,过5作轴于。，根据垂直的定义得到NACO=NB0O=9O。，根据余角

的性质得到NC4O=NBOD,根据全等三角形的性质即可得到结论；

(3)①如图3,过后作£M_Lm于"，GV_L印的延长线于N.根据正方形的性质得到AE=AB,ZBAE=90°f根

据全等三角形的性质得到AM==4,EM=AH,同理，AN=CH=6,GN=AH,即可证明；根据全等三角形

的性质得到MI=NI=~MN=g(A7V-AM),再由4=+M求解.

【详解】(1)解：直线/,直线/

JZBDA=ZCEA=90°

*.•ABAC=90°

：.ZBAD+ZCAE=90°

9：ZBAD^ZABD=90°

：.ZCAE=ZABD

在△ADB和△CE4中

ZABD=ZCAE

</BAD=ZCEA

AB=AC

・・・AADB^ACEA(AAS)

：.AE=BD,AD=CE

：.DE=AE+AD=BD+CE

•；BD=3,CE=5

：.DE=8

故答案为：8；

(2)解：如图2

过A作AC_Lx轴于C,过8作轴于。

ZACO=ZBDO=90°

ZAOB=90°

・・・ZCAO+ZAOC=ZAOC+ZBOD=90°

:.ZCAO=ZBOD

在△ACO与△Q05中

ZCAO=/DOB

<ZACO=ZODB

AO=BO

：.AACO^AODB(AAS)

AAC=OD,OC=BD

•・•点5的坐标为(1,2)

OD=1,BD=2

：.AC=l,OC=2

・・・A(-2,l)；

(3)①证明：如图3,・・,过后作石以，印于GV,印的延长线于N.

图3

ZEMI=AGNI=90°

丁四边形ABDE是正方形

AAE=AB,ZBAE=90°

9：AHIBC

：.AHB=ZAHC=90°

：.ZEAM+ZMEA=AEAM+ZBAH=90°

ZAEM=ZBAH

：.△A£M^ABAH(AAS)

***AM=BH=4,EM=AH

同理，AN=CH=6fGN=AH

：.EM=GN；

②解：在八FMT和AGN/中

ZGIN=ZEIH

<EM=GN

AGNI=/EMI

：.△£MT^GA7(AAS)

A

MI=NI=^MN=^(AN-AM)=i

：.AI=AM+MI=4+1=5,

134

8.【问题初探】：y=§x+2；【应用探究工景；【拓展延伸】25近

【分析】(1)过点C作CHJ_x轴于点由AAS可证△CHB/△3Q4,可得3H=。4=2,CH=OB,可求点C坐

标，由待定系数法可求直线AC的表达式；

(2)过Q作瓶〃》轴，过。作QWL尸。交PR于W,作P作PT_LKT于T,过W作WK_LKT于K,由待定系数法

可求CB解析式，可求点E坐标，由等腰三角形的性质可求CB=9,可求点。坐标，即可求解；

(3)过产作G"〃丁轴交x轴于“，过。作。G_LGH于G,由SG尸丝AFHE^AAS),知DG=FH,^DG=FH=x,

则尸(-x,x),可得C「=J(20+X)2+(30-X)2=J2(X-5)2+1250,即可得到答案.

【详解】（1）解：令x=0,则＞=2,令y=0,贝ljx=—1,则点A、8的坐标分别为：（0,2）、（-1,0）

过点。作CH_L%轴于点H,如图所示:

♦•・NHCB+NCBH=90。,ZCBH-hZABO=90°

X•/ZCHB=ZBOA=90°,BC=BA

△CHB/BQ4(AAS)

.\BH=OA=2,CH=OB=1

：.。//=l+2=3

则点C（-3,1）

直线AC的的解析式为＞=如+",将点A、。的坐标代入一次函数表达式：＞=如+匕得：

Jb=2

[1=—3m+b

|1

L,m=—

解得：3

b=2

故直线AC的表达式为：y=；x+2；

（2）过Q作轴，过。作QW_LPQ交网于W,作P作PT_LAT于T,过W作WKJ_KT于K,如图:

把y=0代入V=-4x+4得：0=-4x+4,解得：x=l

把y=0代入丁=-4%+4得：y=4

•••p(o,4),2(1,0)

:OP=TQ=4,PT=OQ=}

•・•直线P。绕尸点沿顺时针方向旋转45。后，所得的直线交x轴于点H

，APQW是等腰直角三角形

由阅读材料：“K形图”可知：APT维AQAW(AAS)

：.WK=TQ=4,QK=PT=\

：.WK=A-\=3

设直线PW的解析式为：y=kx+4

把W(-3,-l)代入得：-l=-3k+4

解得：^=|

直线尸W的解析式为y=gx+4

512

在y=1%+4中，令y=0得x=-■—

11744

・•.APQR的面积为；乂,小黄

(3)过下作G//〃y轴交x轴于H,过。作DGLG"于G,如图:

△DEF是等腰直角三角形

HOEBx

同理可得：AOGF四△EHE(AAS)

:.DG=FH

设DG=FH=x,则尸（_x,x）

•.•A（0,30）,8（20,0）

.'.C（20,30）

:.CF=J（20+xy+（30-x）2=J2（x-5）2+1250

，当尤=5时，CP取最小值也而=25夜

.■.F(-5,5),CT的最小值为25啦.

【点睛】本题考查一次函数的综合应用，三角形全等的判定和性质，两点间距离公式，旋转的性质，涉及“K形图”，

解题的关键是读懂题意，能灵活应用“K形图”证明三角形全等.

9.(1)①见解析；@BE2=BPCQ

(2)1或3

【分析】(1)①推导角度关系可得NCEQ=N8PE,结合/B=NC即可得出结论.

②由①中相似可得会=警，结合3石=上即可得出结论.

(2)。点可能在线段C4上或者线段C4的延长线上，分两种情况讨论，结合(1)中的相似三角形即可得出结果.

【详解】(1)解：①；NDEF=30°,ZB=30°

/BED+ZCEQ=150°,ZBED+ZBPE=150°

NCEQ=NBPE

'：/B=NC

：.ABPES^CEQ■

@BE2=BPCQ,理由如下：

*.*△BPE^^CEQ

•_B_E___B__P

^~CQ~~CE

：.BECE=BPCQ

•・•点E为边5。的中点

:.BE=CE

：.BE2=BPCQ；

(2)解：①当点。在线段AC上时

VZA=180°-ZB-ZC=120°,为钝角

・・・AAP。为等腰三角形时有AP=AQ

,/Zfi=ZC

・・・AB=AC

：.BP=CQ

・••丝=1;

BP

②当点。在线段C4的延长线上时，如图：连接尸。，AE

F

BEC

NBA。=120。

：.ZBAQ=60°

当△AP。为等腰三角形时，有△APQ为等边三角形

・・・NB=NC=30。，点石是5C的中点

AE±BC

^AB=AC=2a

在Rt/XABE中，AE=—AB=—x2cl=a,BE=y[3AE=y/3a

:・BC=2岛,BE=CE=6a

AQ=AP=x,则C。=2a+x,3P=2a—%

由（1）得：BE2=BPCQ

:・（6。）=（2〃+x）（2〃-x）

解得：x=a

BP=a,CQ=3a

q=3

BP

综上，器的值为1或3.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，含30。角的直角

三角形的性质，掌握等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键.

10.（1）①见解析；②见解析

⑵见解析

@DE=BE—AD,理由见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解此题的关

键.

（1）①根据ADJLMN,BE得出ZADC=NACB=90。=/CEB,从而得出NC4D=/BCE,再利用AAS即可

证明△ADC四△CEB；②由全等三角形的性质可得CE=AT>,CD=BE,即可得证；

（2）根据AD_LMV,3£'1.肱7得出加9=/曲=/4。5=90。，从而得出NCAD=NBCE,再利用AAS证明

△ADC沿ACEB,得出CE=A£）,CD=BE,即可得证；

(3)根据得出/4DC=NC®=ZACB=90。，从而得出NC4D=NBC£,再利用AAS证明

△ADC%MEB,得出CE=AD,CE=AD,即可得解.

【详解】(1)解：①・・・AT>_L肱V,BE±MN

：.ZADC=ZACB=90°=ZCEB

・•・NC4D+ZACD=90。，/BCE+ZACD=90。

：./CAD=/BCE

•・•在人位元和中

ZCAD=ZBCE

</ADC=NCEB

AC=BC

：.△AZX运△CEB(AAS)；

②•：AADC沿MEB

；・CE=AD,CD=BE

：.DE=CE+CD=AD+BE；

(2)证明：*:ADLMN,BE上MN

：.ZADC=NCEB=ZACB=90。

・・・NG4D+ZACD=90。，/BCE+ZACD=9。。

：./CAD=/BCE

•・•在八包丸;和△CEB中

/CAD=/BCE

</ADC=NCEB

AC=BC

：.△ADC^AC£B(AAS)；

：.CE=AD,CD=BE

：.DE=CE-CD=AD-BE；

(3)解：当肱V旋转到题图(3)的位置时，AD,DE,班所满足的等量关系是：DE=BE-AD.

理由如下：VADLMN,BELMN

：.ZADC=NCEB=ZACB=90。

：.ZCAD+ZACD=90°,/BCE+ZACD=90。

：./CAD=/BCE

•・•在和△CEB中

ACAD=ZBCE

<NADC=NCEB

AC=BC

：.△ADC均CEB(AAS)

/.CE=AD,CE=AD

：.DE=CD—CE=BE—AD.

11.(1)BC=DE；(2)BC=2DE,证明见解析；(3)2国

【分析】(1)结合“一线三等角”推出AABC之△CDE,从而证得结论即可；

(2)利用条件证明△ABCs△CDE,然后根据相似三角形的性质证明即可；

(3)作FHL班延长线于H点，过E点作GTL切，交BC于G点、,交FH于T点、,结合“一线三垂直”证明

△FTE沿AEGC,从而利用全等三角形的性质求出出/和EH,最后利用勾股定理计算即可.

【详解】(1)解：•••将边AC绕点C顺时针旋转a得到线段CE

AC=CE,ZACE=a

VZABC=ZCDE=ZACE=afZACD=ZACE+ZECD=ZABC+ZBAC

：.ZA=ZECD.

在VA5C和△CD七中

NABC=NCDE

<ZA=ZDCE

AC=CE

：.AABC均CDE(AAS)

:.BC=DE.

故答案为：BC=DE

(2)BC=2DE.

证明：同(1)可得，ZA=ZECD,ZABC=ZCDE

：.AABC^ACDE

.BCAC

"'~DE^~CE

•：CE=-AC

2

.SCAC.

・・-----------2

DECE

：.BC=2DE.

(3)如图所示，作延长线于H点，过£点作GT,切，交BC于G点，交FH于T点、

则m=3G=AE=2,EG=AB=6,AH=TE

由(1)同理可证，力丝A£GC(AAS)

；.FT=EG=6,AH=TE=GC=6—2=4

：.FH=FT+TH=6+2=8,BH=BA+AH=6+4=10

BF=ylFH2+BH2=782+102=2万•

【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一

线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键.

12.(1)DE=BD+CE

(2)仍然成立，理由见解析

(3)4

【分析】本题考查了图形变换问题，全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算，正确理解图形变换问题中各小

题间的内在联系是解题的关键.

(1)先证明"54=NE4C,再根据全等三角形的判定证明△■DA4=△E4C,得到AD=CE,BD=AE,由此即得

答案；

(2)同(1)的思路证明"54=NE4C,同样得到得到AD=CE,BD=AE,由此即得答案；

(3)根据(1)(2)的解题思路，同样可证明/AC4E,所以S.ABD=SqE，根据3c=38/，可知S.那下=4,

由此即可进一步求得答案.

【详解】(1)DE=BD+CE,理由如下

ZBDA=ABAC=ZAEC=90°

ZBAD+ZEAC=NBAD+NDBA=90°

ZDBA=ZEAC

AB=AC

.•.△。区4/4c(AAS)

:.AD=CE,BD=AE

DE=AD+AE=BD+CE；

故答案为：DE=BD+CE.

(2)DE=BD+CE仍然成立,理由如下

­.•ZBDA=ZBAC=ZAEC=a

ZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA=1800-a

:.ZDBA=ZEAC

AB=AC

/.△Z)BA^AE