2025年中考数学二轮复习：图形的相似 提分练习题（含答案解析）

2025年中考数学二轮复习：图形的相似提分刷题练习题

一、相似型

1.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）.

A.平移变换B.相似变换C.旋转变换D.对称变换

2.将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图

形，变化前后的两个多边形一定相似的有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

3.一块矩形绸布的长AB=a米，宽AD=1米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形

彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值为（）

A.3B.V3C.3V3D.学

二'平行线平分线段成比例

4.下列四组线段中，不成比例的是（）

A.3,9,2,6B.1,V3,VLV6C.1,2,4,8D.1,2,3,9

5.点把AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的

是（）

APB_V5+1B4P_店TcPB_商TDAP-

'AP~'PB~'AB~'AB~^T~

6.如图，在△ABC中，D、E分另lj是ZB、4C上的点，DE||BC,BE与CO相交于F,则下列结论一定

正确的是（)

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A

AD_AEDF^_AE_nDF_EF

B.c

AB~ACCF-CEBF~CF

7.如图，hII%II，3，直线a,b与d%，b分别交于点4B,C和点D,E,F,若AB：BC=

2：3,EF=15,则DE的长是（）

C.4D.10

8.如图，E是△ABC的中线AD上一点，CE的延长线交AB于点F,若AF=2,ED=3AE,则AB

的长为_________

9.如图，正方形ABC。的对角线交于点O,乙B4C的平分线交于G,交BC于F,求证：0G=

抑.

BFC

三、相似三角形判定

10.如图，在△ABC中，ZA=78°,AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三

角形与原三角形不相似的是（）

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A

78°

C

R

11.如图，已知Z1=Z2,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC〜AZDE的是（）

nABAC

A.Z.C=Z..EB.zB=Z.ADED=

AD~DE-ADAE

12.已知：D、E是△力BC的边48、力。上的点，AB=8,AD=3,AC=6,AE=4,求证：△

ABC-△AED.

13.以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，4、B、C、。均在格点上.

（1）在图①中，器的值为

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(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.

①如图②，在上找一点P,使ZP=3；

②如图③，在BD上找一点P,使/APBs/CPD.

14.下列图形中，与如图所示的△ABC相似的是()

15.如图，等边三角形AACB的边长为3,点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、

PD,ZAPD=60°.

(1)求证：△ABP^APCD；

(2)若PC=2,求CD的长.

16.如图，△ABC中，ZBAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交C4的延长线于E,交

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AB于D,连接4M.

(1)AABC~AMEC；

(2)AM2=MD-ME.

四、相似三角形的相关证明计算

17.已知，如图，镭==第，那么△ABD与ABCE相似吗？为什么？

18.如图，△ABC是等边三角形，D、E在BC所在的直线上，且AB•AC=BD•CE.求证：△

ABDECA.

19.在△ABC中.NC=90。，点D,E分别在BC边和AC边上，AD,BE相交于点F.

(1)图1,若NAEF=NBDF,求证：黑=整

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(2)如图2.若D为BC的中点，AE=EF.求证：AC=BF；

(3)如图3.若AE=CD,BD=AC.求/AFE的度数.

20.如图，四边形ABCD内接于。O,对角线AC,BD交于点E.

(2)若BD平分/ABC,求证：CD2=DE«DB；

(3)在(2)小题的条件下，若DE=4,BE=2,过圆心。点，作OFLCD于点F,OF=2,求该

圆的半径长.

21.已知：如图，在4/吕。中，BD平分乙4BC交4c于D.

A

(2)延长BC至点E,联结CE、AE,如果ZACE=NEBC,求证：AE=CE.

22.如图，已知AABC中，乙4cB=90。，AC=BC,点D、E在边ZB上，CE2=BE-DE.

(1)求证：乙DCE=45°；

(2)当4c=3,4D=2BD时，求DE的长.

五、相似三角形实际应用

23.数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度(如图)，

点。为沙坑底面所在圆的圆心，S为其顶点，甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，当他位于

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B时，其视线恰好经过沙坑坑沿圆周上一点a看到坑底S（甲同学的视线起点C与点A,点s三点共

线），为了求得圆锥形坑的深度（圆锥的高），该同学列出了如下表达式，其中错误的是（）

AOA_OS_ROA_AB_「AC__BC_nOA_AB_

AB~BCOS~JCAS~OS~BC~~0S

24.雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场上E处有一处积水，如图，若小李站在D处

距积水2米，他正好从水面上看到距他约10米的前方一棵树的顶端A的影子.已知点D、E、B在

同一直线上，ABXBD,CDXBD,小李的眼睛到地面的距离CD为1.6米，求树AB的高.（NCED

=ZAEB,积水水面大小忽略不计）

25.如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，

GP是杠杆，弹袋挂在点G,重锤挂在点P,点A为支点，点D是水平底板BC上的一点，AD=AC

=3米，CD=3.6米.

（1）投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时AG和AC垂直，则AG=米.

（2）投石车投石瞬间，AP的延长线交线段DC于点E,若DE；CE=5：1,则点G的上升高

度为米.

26.矩形ABCD中，点P在对角线BD上（点P不与点B重合），连接AP,过点P作PELAP交直

线BC于点E.

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DAD

图1图2备用图

(1)如图1,当AB=BC时，猜想线段PA和PE的数量关系：；

(2)如图2,当ABWBC时.求证：盖=器

(3)若AB=8,BC=10,以AP,PE为边作矩形APEF,连接BF,当PE=1V41时，直接写

出线段BF的长.

27.如图，在AABC中，AACB=90°,AB=10,AC=6,正方形DEFG的顶点D、G分别在

边AC、BC上，EF在边AB上.

(1)点C到AB的距离为.

(2)求DE的长.

28.如图，在AABC中，ADLBC于点。，正方形MG"的四个顶点都在△ABC的边上，若

BC=6cm,AZ)=4c/“，贝U正方形EPG/f的边长是cm.

29.小明家的客厅有一张直径BC为1.2米，高0.8米的圆桌，在距地面2米的A处有一盏灯，BC

的影子为DE,依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为(2,0),则点E的坐标

是O

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30.已知：如图，在AABC中，4B=4C,点。、E是边BC上的两个点，且BD=DE=EC,过点C作

CFIIAB交TIE延长线于点F,连接尸。并延长与力B交于点G.

(1)求证：AB=4BG；

(2)连接4。，如果NZDG=NB,求证：AC2=2CD2.

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答案解析部分

L【答案】B

【知识点】轴对称的性质；平移的性质；图形的相似；旋转的性质

【解析】【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不

相同，所以属于相似变换。

故答案为：Bo

【分析】平移变换只会改变图形的位置，方向、大小、形状都不变改变；相似变换不会改变图形的

形状、但大小、会发生改变；旋转变换会改变图形的位置、方向，但不会改变图形的大小与形状；

对称变换会改变图形的方向及位置，但不会改变图形的形状、大小；用放大镜将图形放大，属于图

形的形状相同，大小不相同，从而即可做出判断得出答案。

2.【答案】C

【知识点】图形的相似

【解析】【解答】解：•••等边三角形，正方形，菱形的边长都相等，

经过平移后，等边三角形，正方形，菱形的对应边成比例，对应角相等，

等边三角形，正方形，菱形变化前后的两个多边形一定相似，

矩形变化前后虽然对应角相等，但是对应边不一定成比例，即矩形变化前后两个多边形不一定相

似，

.•.变化前后的两个多边形一定相似的有3组，

故答案为：C.

【分析】对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.

3.【答案】B

【知识点】图形的相似

【解析】【解答】解：如图所示，

11

由题后得AB-a,AE—

♦.•使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,

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.AD_AE

^AB=AD

;.l_3，

a-T

解得a=或-百（舍去），

a=V3，

故答案为：B.

【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可。

4.【答案】D

【知识点】比例线段

【解析】【解答】解：A.2X9=3X6,不符合题意；

B.lxV6=V3xV2;不符合题意；

C.lx8=2x4,不符合题意；

D.lX9H2X3,符合题意；

故答案为：D.

【分析】利用四条线段成比例，用各选项中最长的线段和最短的线段之积等于另两条线段的乘积，

可得到不成比例的选项.

5.【答案】D

【知识点】比例线段

【解析】【解答】解：•..点P把线段AB分割成AP和PB两段，AP是PB和AB的比例中

项，

・••根据线段黄金分割的定义得：第=也

ADL

故答案为：D.

【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段

分割叫做黄金分割，它们的比值与1叫做黄金比.

6.【答案】B

【知识点】平行线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性

质

【解析】【解答】解：「OE||BC,

・••Z-ADE=Z.ABC,

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•・•Z.A=Z.A,

・•.△ADEABC,

...瑞啜,故A错误；

・・・DE||BC,

••・瑞噎，故B正确;

•・•DE||BC,

・•・Z.EDF=Z-BCF,

•・•Z-DFE=Z-CFB,

・•.△DEFCBF,

,DF_DE

'~CF=BC9

由4ADE八ABC知第=瞪,

.•.器=桨，故C错误；

CFAC

由ADEFCBF知黑=器，故D错误；

故答案为：B.

【分析】由平行线的性质可得NADE=NABC,证明△ADEs^ABC,根据相似三角形的性质可判断

A；根据平行线分线段成比例的性质可判断B；由平行线的性质可得NEDF=/BCF,证明

△DEF-ACBF,根据相似三角形的性质可判断C、D.

7.【答案】D

【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

【解析】【解答】解：口21“3,AB-.BC=2：3,EF=15,

•AB_DEanDE_2

••阮=而'即宣=?

：.DE=10,

故答案为：D.

【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得差=普，代入数据计算即可.

8.【答案】14

【知识点】三角形的角平分线、中线和高；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

【解析】【解答】解：如图所示，过D点作DH〃CF交AB于点H,

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AAF：FH=AE：ED=1：3,

・・・FH=3AF=3x2=6,

[AD为中线,

ABD=CD,

,.・DH〃CF,

・・・BH=HF,

・・・BH=FH=6,

・・・AB=AF+FH+HB=2+6+6=14.

故答案为：14

【分析】过D点作DH〃CF交AB于点H,利用平行线分线段成比例定理得AF：FH=AE：ED=

1：3,从而求得FH=6,再利用AD为中线及DH〃CF推出BH=HF,从而得出BH=6,再通过AB

=AF+FH+HB代入数据计算即可求解.

9.【答案】证明：过O作0PlicF交融于点P,

•・,正方形力BCD的对角线交于点O,且。P||CF,

：.^ABC=90°,力。=CO,乙OBC=(POB=^BAC=45°,

・・・BD是4B4C的平分线，

：.Z.BAF=22.5°,

：.Z.BFA=67.5°,

TOP||CF,

：.^BFA=乙OPF=67.5°,

在^OGP中，

乙OGP=180°-45°-67.5°=67.5°

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:.乙OGP=乙OPF,

：.0P=OG,

'：AO=CO,OP||CF,

•AP_AO

"PF~CO~1'

：.AP=PF,

：.0P=|CF,

，0G=!(?F,

【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；角

平分线的概念

【解析】【分析】过点。作OP〃CF,交AF于点P,利用正方形的性质可证得NABC=90。，

AO=CO,ZOBC=ZPOB=ZBAC=45°,利用角平分线的定义可求出NBAF及/BFA的度数，利用

平行线的性质可求出/OPF的度数；再利用三角形的内角和定理求出/OGP的度数，可证得

ZOGP=ZOPF,利用等角对等边可得到OP=OG；利用平行线分线段成比例定理，可证得PA=PF,

从而可证得结论.

10.【答案】C

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项

错误；

B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确.

D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

故选C.

【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.

".【答案】C

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：：/仁/2,

.\ZBAC=ZDAE,

A、VZC=ZE,ZBAC=ZDAE,

.*.△ABCADE,故A不符合题意；

B、VZBAC=ZDAE,ZB=ZADE,

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.*.△ABC^AADE,故B不符合题意；

C、VZBAC=ZDAE,瑞=器

.•.△ABC与△ADE不相似，故C符合题意；

D、VZBAC=ZDAE,瑞=%，

ABC^AADE,故D不符合题意；

故答案为：C

【分析】由Nl=/2可证得/BAC=NDAE,要使△ABCs^ADE,可以添加另外两组对应角中的

一组对应角相等，可对A,B作出判断；利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C,

D作出判断.

12.【答案】证明：在XABC和AAED中，

'：AB=8,AC=6,AE=4,AD=3

._4_„XD_3_„

,•近=8=2'AC=6=Z'

.AE_AD

"'AB~~AC'

"J^LBAC=LEAD,J.hABC-SAED.

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【分析】利用已知边的长，可知亲=器，再利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相

似，可证得△ABCS^AED.

13.【答案】(1)|

(2)解：①如图2所示，

点P即为所要找的点；

②如图3所示，点P即为所要找的点,

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【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定

【解析】【解答】解：（1）图1中，

VAB//CD,

.PD_CD_1

--PA=AB=3,

故答案为京

（2）在网格图中，AB=V32+42=5

①如图2所示，连接CD,交AB于点P,

VBC/7AD,

.AP_AD_3AP_3

,,BP=CB=2'5^AP=2

解得：AP=3

.•.点P即为所要找的点；

②如图3所示，作点A的对称点A，，

连接AC,交BD于点P,

：AB〃CD,

.*.△APB^ACPD.

.•.点P即为所要找的点.

【分析】（1）根据平行线分线段成比例的性质可得第=黑，据此计算；

（2）①利用勾股定理可得AB,根据平行线分线段成比例的性质可得第=综=票%=今求出

DrC.D/iU-C.rL

AP,据此解答；

②作点A的对称点A，，连接A，C,交BD于点P,则AAPBs^CPD.

14.【答案】C

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定

【解析】【解答】解：：AB=AC=6,

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AZB=ZC=75°,

・・・ZA=180°-ZB-ZC=30°,

A、如图所示，DE=DF=5,

i

・&E=Z.F=1(180°-(EDF)=52.5°,

.DE_DF_5

UUAB=AC=6'

■:乙A丰乙D,

・・.△ABC与ADEF不相似，故A选项不符合题意;

B、如图所示，DE=DF=EF=5,

Z-E=Z-F=Z-D=60°,

.DE_DF_5

tuAB=AC=69

■:jA中乙D,

・•・△ABC与ADEF不相似，故B选项不符合题意;

C、如图所示，DE=DF=5,

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.DE_DF_5

''AB=AC=e>'

♦.Z=AD=30°,

ABC^ADEF,故C选项符合题意;

D、如图所示，DE=DF=5,

i

."E=乙F=^(180°-乙EDF)=70°，

.DE_DF_5

''AB^AC^6'

"：/_A丰Z£>,

.♦.△ABC与△DEF不相似，故D选项不符合题意;

故答案为：C.

【分析】根据等腰三角形的性质可得/B=NC=75。，利用内角和定理可得NA=30。，根据等腰三角形

的性质求出各个选项中三角形的顶角、底角，然后利用相似三角形的判定定理进行判断.

15.【答案】（1）证明：•.•等边三角形ABC,

.\ZB=ZC=60°,

•/ZAPD=60°,

.,.ZAPB+ZCPD=120°,

在小APB中，ZAPB+ZBAP=120°,

.\ZBAP=ZCPD,

?.△ABP^APCD；

（2）解：等边三角形边长为3,PC=2,

由（1）得AABPs/^pcD,

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BP_AB

CO-PC'

.1_3

.,.CD=j.

答：CD的长为|.

【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】(1)利用“一线三等角”证明三角形相似即可；

(2)利用相似三角形的性质可得黑=罂，再将数据代入求出CD的长即可。

16.【答案】(1)证明：•.•ZBAC是直角，ME1BC,

：.^BAC=4EMC=90°,

WC=ZC,

△ABCMEC；

(2)证明：V△ABC〜△MEC,

/.Z-E=4B,

•.•点M为直角△ABC斜边的中点，

：.MA=MB,

'•/.MAD=乙B,

:.乙E=^MAD,

"：^AMD=^EMA,

：.△MADMEA.

.AM_MD

••砥一加

：.AM2=MD-ME.

【知识点】相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】(1)利用两组角相等的三角形相似的判定方法求解即可；

(2)先证明△MADSAMEA,可得黑=需，再化解可得AM?=MD

MEAM

17.【答案】解：•••错=嘉=第，

DUDD匕U

?.△ABC^ADBE,

・・・NABC=NDBE,

・・・ZABC-NDBC=NDBE-ZDBC,

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即/ABD=NCBE,

..AB_BC

'BD~BE'

.AB_BD

''BC-BE'

.*.△ABD^ACBE

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【分析】先根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判断△ABCs^DBE,得到

ZABC=ZDBE,则NABD=/CBE,再利用比例性质由镭=器得到需=器，于是根据两组

对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ABDSACBE.

18.【答案】证明：:•△ABC是等边三角形，

.\ZABC=ZACB=60°,

A180°-ZABC=180°-ZACB,

ZABD=ZECA,

5L'：AB-AC=BD.CE,

.AB_BD

''EC"CA，

；.△ABD^AECA.

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【分析】先求出ZABC=ZACB=60°,再求出NABD=NECA,最后证明求解即可。

19.【答案】（1）证明：连接DE,

VZAEF=ZBDF,即NAEB=NBDA,

；.A、E、D、B四点共圆，

.,.ZABD+ZAED=180°,

VZCED+ZAED=180°,

；.NCED=NABD,

又/C公共，

?.△CED^ACBA,

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.CD_AC

"CF-BC;

(2)证明：延长AD到G,使DG=AD,

为BC的中点，

；.BD=CD,

XZBDG=ZCDA,

BDG^ACDA,

；.NG=NCAD,BG=CA,

：AE=EF,

.\ZAFE=ZCAD,

VZAFE=ZBFG,

ZG=ZBFG,

；.BF=BG=AC,即AC=BF；

(3)解：过点A作AM〃:BC,在AM上截取点M,使AM=AC,再过点M作MNLBC于点N,连

接出BM,ME,如图：

VAM/7BC,ZC=90°,MNXBC,

四边形AMNC是矩形，

又AM=AC,

二四边形AMNC是正方形，

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；.AM=MN=AC=CN,

VBD=AC,则BD=CN,

；.BN=CD,

VAE=CD,

；.AE=BN=CD,

：AM=MN=AC,ZMAE=ZMNB=ZACD=90°,

△MAE/AMNB/AACD,

；.EM=MB=AD,ZAME=ZBMN,

ZNME+ZAME=90°,

.,.ZNME+ZBMN=90°,即/BME=90。，

AAMEB是等腰直角三角形，

；.NMBE=45°,

：AM〃BD,AM=CN=BD,

四边形AMBD是平行四边形，

；.NAFE=/MBE=45°,

.•.NAFE的度数为45°.

【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合

【解析】【分析】(1)连接DE,证明A、E、D、B四点共圆，推出NCED=NABD,证明

△CED^ACBA,即可得出结论；

(2)延长AD到G,使DG=AD,证明ABDG/Z\CDA,再利用等角对等边即可得出结论；

(3)过点A作AM〃BC,在AM上截取点M,使AM=AC,再过点M作MNLBC于点N,连接出

BM,ME,证明四边形AMNC是正方形，推出△MAE/^MNB/^ACD,再证明AMEB是等腰直

角三角形，四边形AMBD是平行四边形，即可得出/AFE的度数。

20.【答案】(1)证明：\•元=DC,

；.NDAE=NCBE,

VZAED=ZBEC,

AED^ABEC；

(2)证明：YBD平分NABC,

；.NABD=NCBD,

"：AD=AD,

；.NABD=NACD,

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AZCBD=ZACD,

VZEDC=ZCDB,

.*.△DEC^ADCB,

.CD_DE

^DB~CD'

.\CD2=DB*DE；

(3)解：连接OD,如图:

,.・DE=4,BE=2,

・・・BD=6,

由(2)知CD2=DB・DE,

ACD2=6X4=24,

：.CD=2V6,

VOFXCD,

・・・F是CD的中点，

DF=iCD=V6,

VOF=2,

；.OD=JoF2+DF2=J22+（V6）2=Vio，

即。o的半径是V10.

【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得NDAE=NCBE,根据对顶角的性质可得NAED=NBEC,

然后根据相似三角形的判定定理进行证明；

（2）根据角平分线的概念可得/ABD=NCBD,由圆周角定理得/ABD=NACD,贝|

ZCBD=ZACD,证明ADECs^DCB,然后根据相似三角形的性质进行证明；

（3）连接OD,则BD=6,由（2）知CD2=DB«DE,代入求出CD的值，根据垂径定理可得DF,然

后利用勾股定理进行计算.

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21.【答案】(1)证明：过点C作CH||AB交BD的延长线于点H.

•:BD平分乙ABC，Z-ABD=Z.DBC.

■:CHIIAB,:•乙ABD=CH,：.^DBC=zH,：.BC=HC.

,ADAB,ADAB

•:CH

IIAB'U，CD=CH*^~CD='BC*

(2)证明:■:乙ABD=^DBC,乙ACE=LEBC,

：.^ABD=LACE.

■:乙ADB=LEDC,/.△ABDsApcD.

,ADBD

99ED=~CD•

■:乙ADE=Z^BDC,/.△ADEs2BDC.

：./LEAD=(DBC,：./_ACE=^EAD,：.AE=CE.

【知识点】平行线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性

质；角平分线的概念

【解析】【分析】(1)过点C作CH〃AB交BD的延长线于点H,根据平行线的性质和角平分线的定

义得出/DBC=NH,从而得出BC=HC,根据平行线分线段成比例定理得出器=罂，即可得出

AD_AB

~CD~BC;

(2)先证出△ABDs^ECD,得出爵=罂，从而证出△ADES/XBDC,得出NEAD=NDBC,从

而得出NACE=NEAD,即可证出AE=CE.

22.【答案】(1)证明：力CB=90。，AC=BC,

：.AABC=ABAC=45°

VCE2=BE-DE

•丝_竺

••丽一西

又,：乙DEC=乙CEB,

第24页共35页

△DEC〜XCEB,

"DCE=乙CBE=4ABC=45°,

BPZDCE=45°；

(2)解：如图，过点D作。N14C于点N,

：.^AND=90°,

"：^DAN=45°,

...△ADN是等腰直角三角形，

•：DN||BC,AD=2BD,

.AD_AN_2

"'AB~~AC~3

"：AC=3,

:.BC=AC=3,AB=3V2,AN=DN=2,CN=1.

'：AD=2BD,

:.BD=y/2,

在RtACCN中，DC=>JDN2+CN2=V5,

由（1）可知△DECCEB

■DEDC75

"'CE=BC=^

设OE=y[Sx,CE=3%,

.3x_V5

解得：久=磔，

4

,nz7rp5鱼

【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质;

等腰直角三角形

【解析】【分析】（1）由题意可得△ABC为等腰直角三角形，ZABC=ZBAC=45°,由已知条件可得

第25页共35页

CE2=BEDE,变形可得嘉=空，证明ADECs/MZEB,然后根据相似三角形的性质进行证明；

DDLC

(2)过点D作DNLAC于点N,则AADN是等腰直角三角形，根据平行线分线段成比例的性质可

得

器=给=1结合AC的值可得BC、AB、AN、DN、CN的值，由AD=2BD可得BD,根据

勾股定理可得DC,设DE=V5X,CE=3X,然后根据相似三角形的性质进行计算.

23.【答案】D

【知识点】相似三角形的应用

【解析】【解答】解：•.•点O为沙坑底面所在圆的圆心，S为其顶点，

：.S010A,

♦.•甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，

ACB1AB,

：.^SOA=AABC=90°,

•••视线起点C与点A,点S三点共线，

：.AOAS=ABAC,

：.AABC，AAOS,

.OA_OS^_AS

••丽—阮一宿

即理=零，黑=错，黑=黑，故ABC不符合题意；

ZiDDL.UJDL.AdC/D

无法判断箓=弟，故D符合题意.

DC.L/D

故答案为：D.

【分析】证明/ABCs/AOS,利用相似三角形的对应边成比例逐一判断即可.

24.【答案】解：VABXBD,CDXBD,

，CDE=NABE,

又：/CED=/AEB,

CDE^AABE,

.AB_BE

''CD^DE'

日口

忆48F10

解得AB=8米，

故树AB的高为8米.

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【知识点】相似三角形的应用

【解析】【分析】根据垂直的概念可得NCDE=NABE=90。，由已知条件可知NCED=NAEB,证明

ACDE-AABE,然后根据相似三角形的性质进行计算.

25.【答案】(1)4

(2)12+8^/5

【知识点】勾股定理；相似三角形的应用；解直角三角形的其他实际应用

【解析】【解答】解：(1)如图，连接AB,过A点作AFLBC于F,

G

图2

：AD=AC=3米，CD=3.6米，CF=DF=1.8米，

-"-AF=VXC2-CF2=2.4，

,:乙B+乙4cB=90°,^CAF+^ACB=90°,

:.乙B=^CAF,

'：AAFB=AAFC=90°,

：.^AFB-ACFA,

.AF_BF

••不F'

：.BF=2.42+1.8=3.2,

'-AB=yjAF2+BF2=4，

.♦.AG的长为4米.

故答案为：4.

(2),：DE：CE=5/1,

A(3.6-CE)；CE=5：1,

CE=0.6,

：.EF=FC—CE=1.8-0.6=1.2,

在RtAAEF中，AE=y/AF2+EF2=，

.AF2V5

smAAEF=AE=-'

第27页共35页

,*EM=4H—g-，

,...Ar•厂z6V^、2,y/S12+8\/^

・・MNR=ME•smZ-AEF=(A4+-g-)x—g—=，

故点G上升的高度为12+8^.

故答案为：12+8^.

图2

【分析】(1)连接AB,过A点作AFLBC于F,根据等腰三角形的性质可得CF=DF=L8米，利用

勾股定理求出AF,根据同角的余角相等可得NB=NCAF,证明△AFBs^CFA,根据相似三角形的

性质可得BF,然后利用勾股定理进行计算；

(2)根据DE：CE=5：1可得CE=0.6,则EF=FC-CE=1.2,利用勾股定理求出AE,根据三角函数的

概念可得MN,据此解答.

26.【答案】(1)PA=PE

(2)解：过点P作PMJ_AB于M,PN_LBC于N,如图2所示：

图2

.四边形ABCD是矩形,

；.AD=BC,CD=AB,AD±AB,CD±BC,ZABC=90°,

二四边形MBNP是矩形，

；.NMPN=90°,

VPEXAP,

AZAPE=90°,

第28页共35页

ZAPM+ZMPE=90°,ZEPN+ZMPE=90°,

；.NAPM=NEPN,

ZAMP=ZENP=90°,

；.△APMS/XEPN,

.PA_PM

""PE='PN

VPM±AB,PN±BC,AD±AB,CD±BC,

；.PM〃AD,PN〃CD,

.*.△BPM^ABDA,△BPN^ABDC,

.PM_BPPN_BP

"AD~BD'CD~BD'

.PM_PN

''AD=CD'

.PM_AD_BC

-'PN=CD=AB

.PA_BC

''PE=AB

（3）线段BF的长为警或焉等

【知识点】全等三角形的判定与性质；全等三角形的应用；勾股定理的应用；正方形的判定与性质；相似

三角形的应用

【解析】【解答】（1）线段PA和PE的数量关系为：PA=PE,理由如下：

过点P作PM_LAB于M,PN_LBC于N,如图1所示：

•四边形ABCD是矩形，AB=BC,

四边形ABCD是正方形，

.•.ZABC=90°,BD平分NABC,

；.PM=PN,

二四边形MBNP是正方形,

；.NMPN=90°,

VPEXAP,

第29页共35页

・・・NAPE=90。，

・・・NAPM+NMPE=90。，ZEPN+ZMPE=90°,

・・・NAPM=NEPN,

(^APM=乙EPN

在^APM和^EPN中，［PM=PN,

LAMP=乙ENP=90°

.*.△APM^AEPN(ASA),

・・・PA=PE,

故答案为：PA=PE；(3)连接AE、PF交于Q,连接QB,过点A作AOLBD于O,

①当P在O的右上方时，如图3所示：

图3

由(2)得,P"-BC_10-5

田母・PE~AB-~8-4

；.PA=jPE=^x^V41=V41

♦.•四边形ABCD是矩形，

；.AD=BC=10,/BAD=90°,

；.BD=yjAB2+AD2=782+102=2V41

VAOXBD,

「△ABD的面积=^BDxAO=^ABxAD

ABxAD_8x10_40V41

BD-2闻—41

,**tanNABD=AO_AD

JO=AB

40V41“

_10

解得：BO=32产

由勾股定理得：OP=北42—协="—岬：=察

；.BP=BO+OP=V41

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•.•四边形APEF是矩形，

；.NAEP=90°,AE=PE,QA=QE=QP=QF,

2

2_41

；.PF=AE=Jp/2+PE2=(V41)+

VZABE=90°,

；.QB=1AE=QE,

；.QA=QE=QP=QF=QB,

.•.点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径,

.,.ZPBF=90°,

；.BF=JPF2_BP?=J借「一(同『

②当P在O的左下方时，如图4所示：

则BP=BO-OP=23同,

41

同理可得：点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径,

・・・NPBF=90。，

；.BF=JPF?—BP?=’(蜀2_(今箸)=缓箸

综上所述，当PE=^V41时，线段BF的长为空或空牺.

故答案为：生箸或卷答

【分析】(1)过点P作PMLAB于M,PNLBC于，根据正方形的性质，可证得PM=PN,ZAPM

=ZEPN,即可证得△APM/△EPN,得到PA=PE(2)过点P作PM_LAB于M,PN_LBC于N,

根据矩形的性质可证得/APM=/EPN,再证明△APMsAEPN,得到矍=器再证明

ABPM-ABDA,△BPN-ABDC,得到相似比黑=磊，器=需，即可得出篇=器

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(3)①当P在O的右上方时，由