2025年中考数学总复习《四边形综合解答题》专项测试卷（附答案）

2025年中考数学总复习《四边形综合解答题》专项测试卷(附答案)

学校:姓名：班级：考号：

1.给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.

⑴在你学过的四边形中，写出一种勾股四边形的名称

(2)如图，将△力8C绕顶点B按顺时针方向旋转60。得到ADBE,连接4D,DC,CE,已知NDC8=30。.

①直接写出NBCE的度数是.

②判断四边形BDCE是否为勾股四边形，并说明理由.

2.如图，在边长为6的正方形力BCD中，点尸在力B上从A向B运动，连接DP交AC于点Q.

(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△力DQ三AaBQ；

(2)当A2BQ的面积是正方形A8CD面积的;时，求。Q的长；

6

⑶若点尸从点A运动到点8,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时,

△4DQ恰为等腰三角形.

3.如图，在△ABC中，AB=5,BC=11,A4BC的面积为22,AE_LBC于点E,动点P从点4出发，沿折

线2B-BC向终点C运动，在4B上的速度为每秒5个单位长度，在BC上的速度为每秒2个单位长度，当点P

出发后，且不与点E重合时，将点E绕弘的中点旋转180。得到点F,连结2F、PF、PE.设点P的运动时间为

t(秒)(t>0).

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(2)用含t的代数式表示四边形4FPE的面积S.

⑶当四边形力FPE被直线"分得的两部分面积之比为1:3时，求t的值.

⑷当直线CF垂直于△4BC的一边所在的直线时，直接写出t的值.

4.如图1,在团4BCD中，。是对角线AC的中点，过点。的直线EF分别与AD,BC交于点E,F,将四边形4BFE

图1图2

(1)求证：EM=FC；

⑵求证：OH1EF；

(3)如图2,若MN1CD,Z.ABC=60°,BF=4+2\/3,FC=2,求0H的长.

5.如图，在四边形48中，点M、N分别在边CD、BC上.连接力M、AN.

图1图2

⑴如图1,四边形4BCD为正方形时，连结MN,且NAMN=45。，

①已知CM=6,CN=8,求MN的长；

②己知DM:CM=3:2,求4B:BN的值；

(2)如图2,四边形A8CD为矩形，4AMD=2乙BAN,点N为BC的中点，AN=6,AM=8,求4D的长..

6.在团力BCD中，M,N分别是AD,BC的中点，连接AN,CM.

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图①图②图③

⑴如图①，求证：四边形4VCM是平行四边形；

(2)如图②，连接MN,DN,若4AND=9。。,求证：MN=NC；

(3)如图③，在(2)的条件下，过点C作CE1MN于点E,交DN于点P,EP=1,且Nl=Z2,求AN的长.

7.已知：如图，在四边形4BCD中，ADWBC,ZD=90°,AD=9cm,BC=25cm,CD=12cm,连接AC,

点E从点B出发沿BC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时，点F从点C出发沿C4方向匀速运动，速度为3cm/s；

过点E作EG14B交力B于点G,连接EF,当一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t(s)(0<t<4).

(1)当点F在线段EC的垂直平分线上时，求t的值；

⑵当四边形力GEF是矩形时，求t的值；

⑶设四边形力GEF的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式；

⑷取CD的中点Q,是否存在某一时刻3使得点E、尸、Q在同一条直线上？若存在，请求出t的值；若不存

在，请说明理由.

8.如图，在正方形2BCD中，AB=4cm,点。是对角线4C的中点，动点P、Q分别从点力、B同时出发，点

P以lcm/s的速度沿边4B向终点8匀速运动，点Q以2cm/s的速度沿边BC向终点C匀速运动，当一点到达

终点时另一点也停止运动，连接P。并延长交边CD于点M,连接Q。并延长交边小4于点N,连接PQ、QM、MN、

NP,得到四边形PQMN,设点尸的运动时间为x(s)(x>0),四边形PQMN的面积为y(cm2).

(1)BP的长为cm,CM的长为cm；(用含尤的代数式表示)

⑵求y关于尤的函数解析式，并写出自变量尤的取值范围；

⑶当四边形PQMN是轴对称图形时，求出尤的值.

9.已知：如图1,矩形4BCD中4B=6,AD=12,。为边4D上的一点，以。为顶点作NEOF=45。，点E在

折线段A-B—C上，点尸在折线段B—C-D上，点E、F之间的距离称为NEOF的"截线长”.

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(1)如图2,若点。与点2重合，点E与点8重合时，求NE。尸的"截线长”；

(2)若点。与点2重合，点尸与点C重合时，求此时NEOF的"截线长”；

(3)若点。为2D的中点，点E在线段4B上，当NEOF的"截线长”为5时，求力E的长度.

10.(1)问题发现.

如图1,在菱形48CD中，^ABC=120°,点E是对角线BD上一动点，连接4E,将E4绕点E顺时针旋转60。得

至连接ZF,DF.求x2DF的度数.

(2)问题探究.

如图2,在正方形4BCD中，45=6,点E是对角线BD上一动点，连接4E,将瓦4绕点E逆时针旋转90。得到EF,

连接4F,当BE=2ED时，求BF的长度；

(3)问题解决，

某科技公司现有一块形如矩形力BCD的研发基地，如图3,已知28=200米，力。=200百米，为了响应国

家"科教兴国"战略，现需要扩大基地面积.扩建方案如下：点E是对角线BD上一动点，以4E为边在4E右侧

作直角三角形4EF,满足N4EF=90°,4FAE=60°,其中将△EDF修建成新能源研发区，AdEF为试验区，

为保证研发效果，要使研发区(即AEDF)的面积最大，求此时试验区(即ANEF)的面积.

11.【问题探究】

课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：

如图1,在矩形ZBCD中，点E,F分别是边DC,BC上的点，连接力E,DF,且4E1DF于点G,若4B=6,

BC=8,求？的值.

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A

（1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由.

【初步运用】

（2）如图2,在△ABC中，ABAC=90°,,=点。为AC的中点，连接BD,过点4作4E1BD于点E,交

AC4

BC于点F,求黑的值.

BD

【灵活运用】

（3）如图3,在四边形4BCD中，4BAD=90°,—=AB=BC,4D=CD,点E,F分另!j在边4B,AD上，

AD4

且OE1CF,垂足为G,则竺=.

DE-

12.定义图形

如图1,在四边形ABC。中，M、N分别是边AD、BC的中点，连接MN.若MN两侧的图形面积相等，则称MN

为四边形A8CD的"对中平分线”

有对中平分线的四边形具有怎样的性质呢？

分析问题

（1）如图2,MN为四边形ABC。的“对中平分线”，连接2N,DN,由M为4。的

中点，知AAMN与ADMN的面积相等，贝必。，BC有怎样的位置关系呢?请说明理由.

（2）在（1）的基础上，小明提出了下列三个命题，其中假命题的是（请把你认为假命题的序号都填

上）

①若MNIIAB,则四边形4BCD是平行四边形；

②若MN=AB,则四边形4BCD是菱形；

③若MN1BC,则四边形4BCD是矩形.

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深入探究

如图3,四边形4BCD有两条对中平分线，分别是MN,EF,且相交于点。，若MN=EF.请探索四边形ABCD

的形状并说明理由.

13.综合与实践课上，同学们以“折纸中的角"为主题开展数学活动.

【操作判断】

（1）如图1，将边长为8cm的正方形ABCD对折，使点D与点B重合，得到折痕AC.打开后，再将正方

形4BCD折叠，使得点D落在BC边上的点P处，得到折痕GH,折痕G”与折痕AC交于点Q.打开铺

平，连接PQ、PD、PH.若点P的位置恰好使得PH12C.

①乙PDH=；

②求CQ的长；

【探究提炼】

（2）如图2,若（1）中的点P是BC上任意一点，求ADPQ的度数.

【理解应用】

（3）如图3,某广场上有一块边长为40m的菱形草坪48CD,其中乙BCD=60。.现打算在草坪中修建步道

AC和MN—ND-DM,使得点M在BC上，点N在4C上，且MN=ND.请问步道MN-MD-DM所围成的

△MND（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由.

14.某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运

用由“特殊到一般”的思想进行了探究：

如图1,正方形ZBCD中，点E为边上一点，连接DE,过点E作EF1DE交BC边于点F,将△4DE沿直线

DE折叠后，点力落在点4处，当N8EF=25。，则NFE4=

如图2,连接。尸，当点&恰好落在DF上时，求证：AE=2A'F.

如图3,若把正方形2BCD改成矩形4BCD,且其他条件不变，他们发现4E与力？之间也存在着

一定的数量关系，请直接写出4E与4F之间的数量关系式.

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图1图2图3

15.（1）【问题情景】：如图1,正方形4BCD中，点E是BC边上一点（不与点B,C重合），连接EA.将比4绕点

E顺时针旋转90。得到EF,连接CF,求NFCD的度数.以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解

决问题的思路：

①小聪：过点F作BC的延长线的垂线；

②小明：在48上截取8M,使得=

请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程.

（2）【类比探究】如图2,点E是菱形2BCD的边BC上一点（不与点B,C重合），乙48c=a（a>90°）,连接R4.将

E4绕点E顺时针旋转a得到EF,连接CF,则NFCD的度数为（用含a的代数式表示）；

（3）【学以致用】：如图3,在（2）的条件下，连接力F,与CD相交于点G,当a=120。时，若鬻=%求詈的

值.

16.综合与实践

【提出问题】

由课本一道复习题，小明进行改编探究：如图，正方形28CD中，点E是边BC上的一个动点（不与点3,C

重合），过点E作EF1AE交正方形的外角NDCL的平分线于点F.求证：AE=EF.

（1）如图1,当点£在边BC上时，小明的证明思路如下:

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在BA上截取BP=BE,连接EP.

贝！J易得在△APE^WLECF^P

AP=EC

/-APE=Z.ECF=135°

0AAPE=△ECF

BAE=EF

请补全小明的证明思路，横线处应填.

【深入探究】

（2）如图2,在（1）的基础上，过点P作FGII4E交直线CD于点G.以CG为斜边向右作等腰直角三角形HCG,

点打在射线CF上.

①求证：FG=EF；

②当4B=5,CE=2时，请求出线段DG的长.

17.已知，回2BCD中，一动点尸在边力。上，以每秒1cm的速度从点A向点。运动.

图①图②图③

⑴如图①，运动过程中，若CP平分NBCD,且满足CD=CP,求NABC的度数；

⑵如图②，在（1）间的条件下，连接BP并延长，与CD的延长线交于点尸，连接4F,若ZB=2cm,求△4PF

的面积；

⑶如图③，另一动点。在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，

当点尸到达点。时停止运动（同时Q点也停止），若4。=12cm,则时间为何值时，以尸，D,Q,B四点

组成的四边形是平行四边形.

18.【提出问题】

如图，在人教版八年级下册数学教材第18章平行四边形的复习题中有这样一道题：

求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的一（此空不填）

小红在探究该问题时从特殊的平行四边形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题：

【探究问题】（1）①在正方形48CD中，设其边长为°,则对角线北,BD和。的数量关系有："2+皿2=_；

②在菱形4BCD中，设其边长为a,则对角线AC,BD和。的数量关系有：AC2+BD2=_；

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③在矩形48CD中，设4B=a,BC=b,则对角线2&8D和a,b的数量关系有：AC2+BD2=_；

【解决问题】(2)如图1,在团4BCD中，设力B=a,BC=6,猜想对角线AC,BD和a,6的数量关系有：AC2+

BD2=_并证明你的结论；

【知识应用】(3)如图2,在四边形4BCD中，4B=5,BC=9,CD=8,4。=6/力DC=90。，点M为BC的

中点，求力M的长.

图1图2

19.综合与实践

(1)【知识感知】如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形

②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是(只填序号)；

(2)【概念理解】如图2,在四边形4BCD中，AB^AD,CB=C。，问四边形4BCD是垂美四边形吗？请说

明理由；

⑶【性质探究】如图1,垂美四边形A8CD的两对角线交于点O,试探究4B,CD,BC,之间有怎样的数

量关系？写出你的猜想」

⑷【性质应用】如图3,分别以RtA4BC的直角边AC和斜边4B为边向外作正方形力CFG和正方形2BDE,连

接CE,BG,GE已知2C=4,AB=5,贝！］GE长为

20.在平面直角坐标系中，。为原点，平行四边形力BCD的顶点4(6,0),5(10,0),£>(0,6),矩形。BEF的顶

点F(0,2®.

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图1图2图3

(1)如图1,EF与AD,BC交于点G,H.

①直接写出直线BC的解析式和点H的坐标；

②求证：四边形2B//G为菱形；

(2)如图2,将矩形OBEF沿水平方向向右平移，得到矩形。'夕点0,B,E,F的对应点分别为O',B',

E',F'.设。O=t(t>0),矩形。'夕与平行四边形4BCD重合部分图形的周长为L.

①在平移过程中，当矩形。'夕与平行四边形4BCD重合部分为四边形时，直接用含有t的式子表示3并

直接写出t的取值范围；

②如图3,若尸'。'的中点为M,矩形。'9对角线的交点为N,连接AM,NB.在平移过程中，当MA+NB

最小时，直接写出此时L的值.

参考答案

1.(1)解：正方形、矩形、直角梯形均可，

故答案为：正方形、矩形、直角梯形均可；

(2)解：①由旋转的性质得，4ABC三ADBE,

0BC=BE,

BZ.CBE=60°,

0ABCE是等边三角形，

^\Z-BCE=60°,

故答案为:60°；

②回△BCE是等边三角形，

^\BC=CE,/-BCE=60°,

^DCB=30°,

^DCE=90°,

在RtaDCE中，DC2+CE2=DE2,

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即四边形BDCE是勾股四边形.

2.解：(1)

证明：在正方形ABCD中，AB=AD,ADAC=ABAC,

在AADQ和△ABQ中，

-AB=AD

Z.DAC=Z-BAC,

AQ=AQ

・•.△ADQ三△ABQ(SAS)；

(2)

解：如图，过点Q作QEIHD于E,

・・•△ADQ的面积与正方形4BCD面积之比为1:6,

11

S—DQ=-X6QE=-x6o,

解得QE=2,

ADAC=-ABAD=45°,

2

・•.△HEQ是等腰直角三角形，

AE=EQ=2,

DE=AD-AE=6-2=4,

在Rt△DEQ中，DQ=y/DE2+QE2=V42+22=2通;

(3)当AADQ为等腰三角形时.

①如图,QA=QD时，此时。为正方形4BCD的中心，

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此时点尸与点B重合.

②如图,4Q=2。时，由等边对等角得:N2DQ=乙AQD.

：.CQAC-AQ=6V2-6

SAD||BC

0ZCPQ=AADQ

回/CQP=乙AQD

S/.CQP=Z.CPQ

•••CP=CQ=6V2-6.

③如图,=DQ时，

此时C、P、。三点重合.

综上所述：当尸运动到P,B重合处，或在BC上，且CP=6近-6处，或C,P重合处时，AADQ为等腰三角

形

-1

3.(1)解：EIBC=11,△48C的面积为22,AE1BC,S^ABC^BC-AE

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^\AE=（22X2）+11=4,

故答案为4；

（2）^AE1BC,AB=5,AE=4,

团BE=3,

0CE=BC-BE=11-3=8,

回"=y/AE2+EC2=V42+82=4V5,

ii

回S—BE=-BE•AE=-x3x4=6,

回点P到达2点时间=|=1（秒），

点P到达E点时间=1+|=|（秒）

点P到达C点时间=1+3=£（秒）

①当P在2B上（不含点A、B）运动时，此时0<t<l,如图1一1,

图1-1

团将点E绕P力的中点旋转180。得到点尸，

回。4=OP,OF=OE,

回四边形2EP尸是平行四边形，

0FP=AE=4,FP||AE,

团NFPA=乙BAE,

RJ7Q

0sinzFPi4=sin^BAE=-=

AB5

Q

回/G=AP-sinZ.FPA=5tx-=3t,

团S|24EPF=FP•AG=12t,

②当P在BE上（含点B）运动时，此时如图1一2,

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F

/M、

BPEC

图1-2

同理可得：四边形AEPF是平行四边形，

又EL4E1BE,

回回4EPF是矩形，

SPE=3-2(t—1)=5—23

^BAEPF=PE-AE=4(5—2t)=-8t+20,

③当P在EC上(含点C)运动时，此时如图1-3,

图1-3

同理可得：四边形2EPF是平行四边形，

又EL4E1BE,

laiaaEPF1是矩形，

0PF=2(t-l)-3=2t-5,

回S图幺EPF=PE,AE=4(2t-5)=8t—20,

12t(0<t<1)

-8t+20(1<t<|)

(8t-20((<t<y)

(3)①当P在ZB上(不含点A、8)运动时，此时0<t<1,如图2-1,延长C4交FP于点。，过点A作G41FP,

垂足为G,

F

图2-1

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由(2)可得：AG=3t,

团PFIIAE,AE1BC,G41FP,

比4G||BC,

团48=Z.GAP,Z.QAG=乙C,

ApA.AF41

团团tanZ_GAP=tanZ-B=——=tanZ-QAG=tanzC=—=-=

BE3yEC82

四边形AEPF是平行四边形，

413

团GP=AGtanZ.PAG=3tx-=43QG=AG•tanZ-QAG=3t--=-1,

团FQ=FP-QG-PG=4-4t-|t=4-yt,

回SUFQ=](?•4G=/(4—争>3t=|(4一骨)t

当四边形4FPE被直线4C分得的两部分面积之比为1:3时，

即SAAFQ=]S®AEPF或SAAFQ=J>

0—(4——t)t=—•12t或5(4——t)t=—,12t

解得：1=春(负值舍去)，

②当P在BE上(含点8)运动时，直线AC不分割四边形4FPE；

③当P在EC上(含点C)运动时，此时|<tW学如图2-2,

图2-2

回回4EPF是矩形,

EL4F=EP=2t-5,CP=11-2(t-1)=13-2t,

"Q=PCtanzC=(13-2t)-|=告'

13—2t2t—5

^\FQ=FP-PQ=4-,

xx22

国SAAFQ=[FQSF=之•等-(2t—5)=[(2t—5)2

当四边形4FPE被直线4C分得的两部分面积之比为1:3时,

=4LAFQ=J^^AEPFf

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回：(2t—5)2=*81-20)或3(2匕-5)2=|(8t-20),

解得：t]=(t2=](不合题意舍去)，「3=£(不合题意舍去)

综上所述：t=g或t=£四边形4FPE被直线AC分得的两部分面积之比为1:3.

(4)①当P在4B上运动时，当时，垂足为K,如图4—1所示，过点A作G21FP,垂足为G,

团AG=33GP=4t,

回KC=BC•sinzB=llx-4=—44,

55

FK=PF•sin乙FPK=4x-=—,PK=PF•3s乙FPK=4x-=—

5555

0FG=4-4t,AK=PK-AP=^-5t,

在RtAAKC中，AK2+KC2=AC2,

回(£)2+谭-5t)2=(4佝2

解得：s=£,巧=募(4K小于。，不合题意舍去)，

②当P在BE上运动时，如图4一2,直线CF与4B、BC、AC所在直线的夹角不能为直角;

图4-1

③当P在EC上运动时,此时如图4-3,

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图4-3

当CF14B时，设4B与CF交于点M,ZM=90°,

团=BCcos乙B=11x-=—,

55

AM=BM-AB=^--5=

回图/EPF是矩形，

团4FIIBC,AF=EP,

^\Z-MAF=Z-B,

LLC4LAM838

^\EP=AF=------=-4--=-,

COSZ.MAF553

o17

团BP=BE+EP=3+3=上，

33

配=1+上17+2=2二3，

36

当CF1BC时，P点与。点重合，如图所示：此时t=T，

综上所述：当直线CF垂直于的一边所在的直线时，"5或t=g或t=f.

2562

4.(1)证明：・・・。是对角线AC的中点，

OA=OC,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

•••ADWBC,乙BAD=LBCD,

•1.Z.EAO=Z.FCO,

在C。尸中，

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ZEAO=乙FCO

OA=OC,

A.AOE=ACOF

・•.△ZOE=△COF(ASA),

・•.AE=FC,

・・,将四边形ZBFE沿EF折叠得到四边形MNFE,

・•.EM=AE,

・•.EM=FC；

(2)证明：延长交尸E的延长线于K,延长”。交EF的延长线于3如图1,

图1•••四边形ABC。是平行四边形,

/.ADWBC,乙BAD=LBCD,

•••Z-AEF=Z.CFE,

•・•将四边形A8FE沿EF折叠得到四边形MMFE,

・•.EM=AE,/.FEM=乙4EF,4BAD=乙EMN,

・•・乙FEM=乙CFE,乙EMN=乙BCD,

・•・180°-Z,FEM=180°-乙CFE,BPzMEK=乙CFL,

同理4EMK=乙FCL,

•・•EM=FC,

・•.△EMKFCL(ASA),

・•.EK=FL,乙K=乙L,

・•.HK=HL,

由(1)知：LAOECOF,

・•.OE=OF,

OE+EK=OF+FL,即。K=03

・•・OH1EF；

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(3)解：如图2,过点“作"Q1BC,交的延长线于Q,过点。作。T1BC于T,连接

图2v乙ABC=60°,

・•・乙N=60°,乙HCQ=60°,

•••MN1CD,

・•.Z.CPF=乙NPH=30°,

・•・乙PFC=乙HCQ-Z.CPF=30°,

•・,FC=2,

・•.FP=2V3,CP=2,

vNF=BF=4+2V3,

・•.PN=NF-FP=4,

在Rt^PN”中，

•・•乙NPH=30°,

NH=-PN=2,

2

•••PH=<PN2-NH2=V42-22=2V3,

•••CH=CP+PH=2+2V3,

"HQ=90°-60°=30°,“=90°,

CQ=\CH=1+V3,

HQ=y/CH2-CQ2=J(2+2V3)2-(1+V3)2=V3+3,

■：FQ=FC+CQ=2+1+y/3=y/3+3,

:.FQ=HQ,

・•.△FHQ是等腰直角三角形，

•••乙HFQ=45°,FH=42HQ=V6+3&,

•••乙BFN=180°-乙PFC=150°,

•••乙EFN=乙EFB="FN=75°,

2

第19页共52页

・•・乙HFO=乙EFC-(HFQ=180°-75°-45°=60°,

•・•OH1EF,

・•・乙FOH=90°,乙FHO=30°,

/.OF=-FH=

22

•••OH=VFW2-OF2=J(乃+3鱼)2—(亚磐)2=3笥3〉,

.­.OH的长为越产I

5.(1)解：(1)①在正方力BCD中，ZC=90°,

在RtACMN中，ZC=90°,CM=6,CN=8,

MN=y/CN2+CM2=V82+62=10,

即MN的长为10.

②如图，延长CB至点E,使BE=DM,连接4E,

在正方形力BCD中，^ABC==/.BAD=90°,AB=AD,

在△ABE和ATlDM中，

-AB=AD

Z.ABE=乙D,

、BE=DM

/.△ABE三△ADM(SAS),

・•.AE=AM,乙BAE=/-DAM,

•・•乙MAN=45°,

・•・乙BAN+^DAM=45°,

・•.LEAN=乙BAE+乙BAN=45°,即NEAN=乙MAN,

在A/EN和aaMN中，

AE=AM

乙EAN=乙MAN,

AN=AN

/.△AEN三△AMN(SAS),

・•.EN=MN,

第20页共52页

•••DM-.CM=3:2,

设。M=3a,BN=b,贝|CM=2a,AB=BC=5a,MN=EN=3a+b.

CN=BC-BN=5a-b,

在RtzkCMN中，CN2+CM2=MN2,

••・(5a—b}2+(2a)2=(3a+h)2,

・•・4a(5a—4b)=0,

aH0,

•••5a-4b=0,即也=4,

b

・•・48:BN的值为4.

•••Z-E=乙BAN,

在△CEN和△BAN中,

Z.E=ABAN

乙CNE=乙BNA,

CN=BN

CEN三△BZN(AAS),

・•.EN=AN,

•••/-AMD=2乙BAN=2zE,

Z-AMD=ZE+Z-MAE,

••・乙E=Z-MAE,

・•.AM=EM,

•••AN=6,AM=8,

EN=AN=6,EM=AM=8,

设DM=x,则心=AM2-DM2=AE2_DE2,

第21页共52页

即82-x2=122-0+8)2,

解得：X=1,

AD=y]AM2-DM2=V82-l2=3所.

6.(1)证明：回四边形ABCD是平行四边形，

SAD=BC,AD\\BC,

0M,N分别是4D,BC的中点，

0XM=CN,AM\\CN,

.•.四边形4NCM是平行四边形；

(2)证明：^AND=90°,M,N分别是AD,8C的中点，

SMN=-AD=MD,CN=-BC=-AD,MD=-AD=-BC

22222

团MD=CN,

团MN=NC；

(3)解：HMD=|X£>=|BC=CN,MD\\CN

回四边形MNCD是平行四边形，

由(2)知MN=NC

回四边形MNCD是菱形，

0Z/VMC=乙DMC,DN1MC/DNM=乙DNC,

0Z1+乙DMC=Z1+4NMC=N2+乙ENC=90°,

0ZAZMC=乙MNC,

SMN=CN=MC,

回aMCN是等边三角形，

回NMND=Z2=Z1=30°,

在RtANEP中，

SEP=1,

•••NP=2EP=2,

SNE='NP2-EP2=V3,

•••MN=MC=2V3,

回四边形AMCN是平行四边形，

EL4N=MC=2V3.

第22页共52页

7.(1)解：过点F作FH1BC于点H,如图,

BEHC-,乙D=90°,AD=9cm,CD=12cm,

•••AC=15cm,

VAD\\BCf

匕CAD=乙FCH,

•••乙D=(CHF=90°,

ACD^△CFH,

AD_ACop.9_15

CHCFCH3t

9

・•・CH=：3

当点F在线段EC的垂直平分线上时，贝IJCE=2C”，

即25-41=2x/,

解得"?；

3o

(2)解：当四边形4GEF是矩形时，则EFII4B,

•••△CEF~△CBA,

.CF_CE日口3七_25-4t

CACB1525

解得t=

(3)解：:AD=9cm,AC—15cm,BC=25cm,

AD_CA_3

••AC―CB-5’

•••Z.CAD=乙BCA,

••.△ZCD〜△CBA,

・•.ZD=^LBAC=90°,

・•・AB=y/BC2-AC2=V252-152=20(cm),

EG1AB,

・•.EG||AC,

第23页共52页

BGE~△BAC,

BG_EG_BE日"G_EG_4t

BA~CA~BC'20—15—25

BG=yt(cm),EG=yt(cm),

VFH=yJCF2-CH2=J(3t)2-(|t)2=yt,

S=S-BC-S„BEG-SACEF=|/1B-71C--FG-1CF-FW=IX20X15-IXyt-t-1(25-

4t)--t=--t2-30t+150,

525

即s=一1|t2一30t+150(0<t<4).

(4)解：过Q点作PQII4D,与力C交于点尸，如图,则PQIIBC,

回生=丝=1,

PAQD

「八AC

・•.PC=PA=——15cm,PQ=1-AD=9-cm,

2x22

・•・PF=CP-CF=--3t,

2

当E、F、Q三点共线时，

vPQWBC,

PQF~△CEF,

915_3t

PQPFnn5v

CECF25-4t3t

整理得，8t2-79t+125=0,

解得t=/叵>4舍或t=以空，

1616

故存在某一时刻亡=生警”s时，使得点E、F、Q在同一条直线上.

16

8.(1)解：(1)由题意得，AP=xcm,BQ=2%cm,

^AB—4cm,

团BP=AB-AP=(4—x)cm,

第24页共52页

团四边形ZBCD是正方形,

固48||CD,

团乙MC。=Z-PAO,Z.CMO=Z.APO,

团点。是对角线AC的中点，

团C。=A0,

在△MC。和△PZ。中，

2MC0=^PAO

乙CMO=乙4P。，

CO=AO

0AMCO三△PZO（AAS）,

团CM=AP=%cm,

故答案为：（4—%）,%；

（2）根据题意，得：0<%<2,

团四边形Z8CD是正方形，

国4。IIBC,

团NQC。=乙NAO,Z.CQO=乙ANO,

团点。是对角线4C的中点，

团C。=Z。，

在aQC。和△M4。中，

2QCO=乙NAO

乙CQO=AANO，

CO=AO

QCO三△NAO(AAS),

团CQ=AN,

回四边形是正方形，

团BC=AB=CD=AD=4cm,

第25页共52页

团BQ=2%cm,

团CQ=BC-BQ=(4—2%)cm,

团AN=(4—2%)cm,

团DM=CD-CM=(4—x)cm,DN=AD-AN=2xcm,

团S—PN=gA尸,AN=|x(4—2%)=2x—x2；

22

S^CMQ=3cM-CQ=1x(4-2%)=2x-%；S^BPQ=-BQ=|(4-%)-2%=4%-x；SADMN=,

DN=1(4—x)-2%=4%—x2,

2222

团y=s正方物18co一APN-S△CMQ-SABPQ—S>DMN=4-2(2x-%)-2(4%-%)=4x-

12x+16,

综上，y=4x2-12%+16(0<x<2)；

(3)0AMCO=APA0,

团M。=P0,

0AQCO"NAO,

团Q。=NO,

团四边形PQMN是平行四边形，

团四边形PQMN是轴对称图形，

①当四边形PQMN是矩形时，如图，

只需P。=Q。即可,

则此时只需尸8=QB即可,

回4—%=2%,

解得X=%

②当四边形PQMN是菱形时，PQ=MQ,

第26页共52页

0(4—%)2+(2%)2=%2+(4—2%)2,

解得久=0(舍去)；

综上，当四边形PQMN是轴对称图形时，久的值是土

9.解：(1)由题意可知，ZFOF=45°,0O£F=9O°,

瓯0E尸为等腰直角三角形，

即NEOF的"截线长”为6；

瓯EM。为等腰直角三角形，

HEM=OM,

在R/0O8尸中，AB=6,AD=12,

0OF=y/OB2+BF2=V62+122=6V5,

H3EMF=EIOB尸=90°,0OFB为公共角，

「FMEM

回--=---，

BFOB

设EM=OM=x,则MF=6有一x,

<6\[S-xX

团----=一,

126

解得，x=2V5,

0£M=OAf=2V5,MF=4后

在Rt^\EMF中，EM=2V5,MF=4西，

0FF=VEM2+MF2=J(2遮/+(44)2=10,

即NEOF的"截线长”为10；

(3)如图，过点。作0G1BC于点G,

第27页共52页

回四边形A2G。是矩形，

囿4B=6,AD=12,点。为的中点,

^\OA=AB=6,

团四边形ABGO是正方形，

^AO=GO=BG,MOG二团3G690°

在GC上截取GH=AE,

在团O4E和团OGH中,

OA=OG

=乙OGH=90°,

AE=GH

团回。4石团回OGH,

团N/OE=乙GOH,OE=OH,

00AOG=9O°,乙EOF=45°,

^AOE+Z.FOG=45°,

团NG。"+乙FOG=45°,

回匕FOH=45°；

团NF。”=4EOF=45°

在团。跖和团0Hb中，

0E=OH

乙EQF=乙HOF=45°,

、OF=OF

^\OE]WOHF,

^\EF=FH=5,

国FH=FG+GH=FG+AE=5；

设贝lj3E=6-x,FG=5-x,BF=BG-FG=6-(5-x)=x+l,

在R位山所中，由勾股定理可得，EF2=BE2+BF2,

团52=(6-%)2+(%+I)2,

第28页共52页

解得x=2,

朋E=2.

10.解：(1)•.•四边形ABC。是菱形，^ABC=120°,

乙

AB=ADfZ-BAD=ABD=60°,

由旋转可知：AE=AF,LEAF=60°,

•••Z-BAD=EAF,

ABE三△ADF(SAS),

・•・^ADF=乙ABD=60°；

(2)如图2,过点E作EG14。于G,

图2•••四边形4BCD是正方形，AB=6,BD是对角线,

BD=6V2,AADB=45°,AD=6,

又•••乙DGE=90°,

.•.△DGE是等腰直角三角形，

•••BD=6V2,BE=2ED,

•1.DE=2V2,

DG=EG=2,

AG=6—2=4,

在RtAAGE中，AE=VXG2+EG2=V42+22=2近，

••・E4绕点E逆时针旋转90。得到EF,

二△瓦4F是等腰直角三角形，

AF=42AE=2V10,

在RtAABF中，AB=6,AF=2V10,

BF=7AF?—AB?=(2V10)2-62=2；

第29页共52页

(3)如图3,过4作4M1BE于M,过点尸作FNIB。，交8。延长线于N,

图3AAME=乙FNE=90°,

•••四边形4BCD是矩形，48=200米，40=200百米,

•••ABAD=90°,

BD=2002+（200百/=400（米）,

.AM—ABxAD_200X200V3

/11*7=-=100V3（米），BM=100米,

BD400

BM=100（米）,

RtAAEF^p,/LAEF=90°,^FAE=60°,

pp

•••tan/FAE=—=tan60°=遮，乙FAN+Z.AEM=90°,

AE

又•••AEAM+^AEM=90°,

・•・/,EAM=乙FEN,

又・・•LAME=乙FNE=90°,

AMEENF,

ENFNEFB

,,==-V3,

AMEMAE

设EM=久米，贝!JFN=百x米，

VBD=400米，BM=100米，

ED=400-100-x=（300-久）米，

•••S^EDF=XFN=|（300-x）V3x=-y（x-150）2+1125073,

.•.当x=150时,AEOF面积最大,

此时EM=150米，AM=100百米，

AE=1502+（100旧尸=50V21（米），

•••EF=y[3AE=150A/7（米）,

第30页共52页

•••SAAEF=\AExEF=IX50VnX150V7=26250百(平方米),

即研发区的面积最大时试验区的面积为26250g平方米.

11.(1)解：EL4E1DF,

回/EDG+乙DEG=90°,

回四边形4BCD为矩形，

比48=CD=6,BC=AD=8,ZC=/.ADE=90°,

0