2025年中考数学总复习《图形的变换》专项检测卷（带答案）

2025年中考数学总复习《图形的变换》专项检测卷带有答案

学校:姓名：班级：考号：

1.如图①，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，

ZA=100°,ZACB=60°,AC=4cm,BC=10cm.如图②，将ADBC沿着3C的方向以每秒2cm的速度

平移得到△£(尸石；设运动时间为1秒，连接ARDC.

图①图②

(1)四边形的形状为「

⑵当才为何值时，四边形AFDC是菱形？请说明你的理由；

⑶四边形能是矩形吗？若能，求出力的值及此时矩形的面积；若不能，说明理由.

2.如图，在平面直角坐标三角形系中，三角形A3C的顶点在网格点上，点A的坐标为

(-2,5).若把三角形MC先向下平移3个单位长度，再右平移2个单位长度，得到三角

⑴写出点5的坐标并求出三角形A5C的面积；

(2)在图中画出三角形A瓦G并写出A出C三点的坐标；

⑶若三角形ABC上有一点/(s〃)，求”点的对应点监的坐标.

3.如图，将VABC延射线A8的方向平移2个单位到山砂的位置，点A,BC的对应点分

别为点DE,F.

⑴直接写出图中与AB相等的线段.

(2)若M=3,则AE等于.

⑶若-4BC等于75。，求/CFE的度数.

4.如图，VABC是等腰三角形，AB=AC,ZA=36。.以点5为圆心，任意长为半径作弧，

交A5于点尸，交8C于点G分别以点尸和点G为圆心，大于;尸G的长为半径作弧，两弧

相交于点”，作射线9/交AC于点。；分别以点5和点。为圆心，大于:物的长为半径

作弧，两弧相交于"、N两点，作直线MN交于点E,连接£>E.

(2)若AC=2,求BC的长.

5.如图，VABC和ADCE都是等腰直角三角形，其中N3G4=NDCE=90。.

(2汝口图2,将△DCE绕着。点顺时针旋转一定度数，则(1)中结论还成立吗？请说明

理由.

6.在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点。为直线AC上一点，连接

⑴如图1,点。在线段AC上，点E在线段加上，若BC=6,AD=BE=26,分别过点B作出)

的垂线、点E作的垂线交于点歹，连接加，求DF的长；

(2)如图2,点。在AC延长线上，G为AC边上一点，连接8G,作的，3G交班延长线于

点、H,作GU即于点/.若8C平分ZD8G,BG=AD,猜想线段以与AH之间的数量关系，

并证明你的猜想；

(3)如图3,在(1)的条件下，点M为直线A3下方一点，连接收，8M，点尸在线段.

上，且AP=〉M,连接加，将线段加绕点3顺时针旋转90。得到线段叱，连接DP,

4MB=90。，直接写出线段DP的长度的最小值.

7.四月阳光明媚，正是草莓成熟时.人们走进草莓园；采摘鲜红欲滴的草莓，品尝春

天的甜蜜滋味，乐趣无穷.清明假期小依一家去某草莓采摘基地游玩，该基地里，同

一平面内五处景点的道路分布如图所示.经测量，景点2在景点A的正南方向，且位于

景点c的北偏西60。方向，％=1000米；景点。在景点c的正东方向500米处，且在景点A

的东南方向；景点E在景点。的正北方向，且在景点A的北偏东75。方向.(参考数据：

y/2«1.419\/3®1.73)

⑴求景点A、。之间的距离（结果保留根号）；

（2）爸爸和小依同时从景点A出发，爸爸沿A-B-C-D路线步行到景点。处，小依沿

A-E-D路线步行到景点。处.已知爸爸的步行速度为60米/分，小依的步行速度为90

米/分，请通过计算说明小依和爸爸谁先到达景点。？（结果精确到01分）.

8.如图，VABC内接于。。，作AO于D,与0。交于点E,点尸在04的延长线上，使

^ZFCA=ZABC=a.

⑴求证：W是0。的切线；

⑵若tana="BE=8,求°。的半径长.

9.【问题背景】如图1,正方形钻8的边长为8,E是正方形内一点，△母是直角三角

形，ZAEB=90°,把绕点A逆时针旋转90。到A4DE,连接跖交AD于点。，连接DE.

（图1）（图2）

【初步感知】（1）求证：AE||DF；

【研究感悟】（2）求线段在长度的最小值；

【深度探索】（3）在线段上截取AG=OD,连接OG,如图2所示，若ZABE=30。，求线

段OG的长.

10.如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,若sinB=芈，BC=45.

⑴求AB的长.

（2）若C。是斜边上的中线，求tan/CDB的值.

H.如图1,已知正方形"8边长为4,点E、点厂分别是边AB,BC上的动点，且AE=3尸,

连接用，过点尸作FGL防交。边于点G,连接EG,设EG=m.

（1）①猜想AEPG的形状并证明；

②取EG中点0,连接OA,则OA=_;AFGC的面积=_;（用含机的代数式表示）

（2）如图2,在EG上方作等边AEMG,ME,MG分别交AD边于点尸，Q,且点M始终处在

两平行直线8之间的区域内，

①直接写出机的范围」

②计算士+与的值•（结果用含机的代数式表示）

12.阅读材料，并解决问题:

A

【思维指引】（1）如图1等边VA2C内有一点P,若点尸到顶点4、B、。的距离分别为

3,4,5,求上4尸3的度数.

解决此题，我们可以将AMP绕顶点A旋转到△ACP处，此时AACP丝AABP,连接PP,借

助旋转的性质可以推导出人巴/炉是_____三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段

PA、PRPC转化到一个三角形中，从而求出皿8=。；

【知识迁移】（2）如图2,在VA5C中，ZCAB=90°,AB=AC,E、尸为BC上的点且ZE4F=45。，

请判断防，BE,用的数量关系，并证明你的结论.

【方法推广】（3）如图3,在VABC中，ZABC=30。，AB=2,BC=3,点尸为VA2C内一点，

连接尸A、PB、PC,直接写出PA+0PB+PC的最小值.

13.【问题情境】如图1,点E为正方形内一点，AE=2,BE=4,ZAEB=90°,将直

角三角形叱绕点A逆时针方向旋转a度（0<«<180°）,点B,E的对应点分别为点9，

E,.

【问题解决】

（1）如图2,在旋转的过程中，点9落在了AC上，此时CE的长为；

（2）若戊=90。，如图3,得到“DE（此时9与。重合），延长晶交DE于点尸.

①试判断四边形但右的形状，并说明理由；

②连接CE,求CE的长；

(3)在直角三角形ME绕点A逆时针方向旋转过程中，线段匿，长度的最小值为,

最大值为.

14.综合与探究

问题情境：

矩形小8中，AB=3IC=4,N3AC的平分线交BC于点爪将AABE绕点E顺时针旋转，得

到△FGE点A,5的对应点分别为点尸，G(点G与点5不重合).

(1)如图1,当点尸在边上时，求证：ZAEF=2ZBAE-

⑵如图2,当点G在线段AE上时，连接"，CF,求四边形的面积;

(3)当点G在矩形钻8的对角线上时，连接枕，直接写出“'的长.

15.如图1,A3是。。的直径，弦CDLAB于点反尸是AO上的一个动点，连接AC、AF、CF.

图1图2

(1)求证：ZACD=ZAFC.

(2汝口图2,若CT与的交点G为线段OE的中点，DG//CB,CD=4非，求线段AC的长.

(3)如图3,a的延长线交AB的延长线于点H.求证：OB-=OGOH.

参考答案

L(1)平行四边形

(2)r=3,见解析

(3)能，f=l,面积为16病n?

【分析】(I)根据平移和平行四边形ABAC的性质证明AC=Z)尸，AC//DF,即可求证；

(2)当"3秒时，根据等边三角形的性质和判定，即可得出四边形A阳C是菱形；

(3)根据矩形的性质可得NG4F=900<NG4B=100。，ZAFC=30°,在根据含30。的直角三角形

可得FC=8cm,再根据勾股定理可得■=而=1/=4百，BF=BC-FC=2cm,从而得出

S矩形AFDC=AC,A尸.

【详解】(1)证明：:平行四边形的C,

AB=CD,DB=AC,AC//BD,

ZACB=ZDBC,

根据平移的性质得到：BD=DF,ZDFE=ZDBC,

/.AC=DF9ZACB=ZDFE9

AC//DF9

四边形人尸。。是平行四边形；

(2)解：当"3秒时，四边形”是菱形.

t=3,

BF=3x2=6cm,

/.CF=BC-BF=10-6=4cm,

VAC=4cm,ZACB=60°

••AAC尸是等边二角形,

/.AC=AF,

丁四边形AFDC是平行四边形，

四边形4阳。是菱形.

(3)解：能.,.ZAFDC是矩形，ZACB=60°,

ZCAF=900<ZCAB=100°,ZAFC=30°,

*.*AC=4cm,

•1FC=8cm,

AF=力FC，-AC，=4A/3,

I.BF=BC-FC=2cm,

即当年1四边形"DC是矩形，

2

^AFDC=AC-AF=4x4A/3=16V3cm.

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定，平移和全等三角形的性质，勾股定

理，含30。的直角三角形，平行四边形，矩形和菱形的性质和判定，熟练掌握以上知识

是解题的关键.

2.⑴(TO);13

(2)图见解析,4(0,2),男(-2,-3),6(4,—1)

(3)(m+2,«-3)

【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化一平移，正确根据平移方式得

到A，昂C三点的坐标是解题的关键.

(1)根据坐标系中点的位置，可得点5坐标，再利用割补法求出对应三角形面积计算；

(2)根据平移方式得到三点的坐标，描出4耳6,并顺次连接A，昂G即可；

(3)根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可.

【详解】(1)解：由题意得，点5的坐标为(TO),

S=6x5—x2x5—x3x4—x2x6=13•

△ABC222，

（2）解：,把三角形ABC先向下平移3个单位长度，再右平移2个单位长度，得到三

角形A与G,A（-2,5）,3（Y,0）,C（2,2）,

（0,2）,4（-2,-3）,Q（4,-l）,

如图所示，三角形A4G即为所求；

（3）解：解：•..把三角形ABC先向下平移3个单位长度，再右平移2个单位长度，得

到三角形A4G,"（〃▽）为三角形ABC上一点，

•••加点的对应点叫的坐标为（〃?+2,”-3）.

3.⑴OE

（2）5

（3）ZCFE=105°

【分析】此题主要考查了平移变换，平行线的性质，正确应用平移的性质是解题关键.

（1）直接利用平移的性质得出相等线段；

（2）直接平移的性质得出班的长，进而得出答案；

（3）由平移变换的性质得：BC//EF,AE//CF,再根据平行线的性质即可得到NCFE

的度数.

【详解】（1）解：与血相等的线段有：DE；

(2)-.-AB=3,将AABC沿射线A3的方向平移2个单位到户的位置，

/.BE=2,

贝ljAE=3E+AB=5.

故答案为：5；

(3),由平移变换的性质得：BC//EF,AE//CF,

:.ZE=ZABC=15°,

.•.NCFE+/E=180。，

ZCFE=105°.

4.⑴见解析

(2)石-1

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，尺规作图，

三角形内角和等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键.

(1)由作图知，8。平分/ABC,MN垂直平分根据角平分线和等边对等角，进一步

证明。石〃BC,即可；

(2)证明AD=8D=3C,再由△CBD26B,列出比例式解方程即可.

【详解】(1)证明：:VABC中，AB=AC,ZA=36。，

/.ZABC=ZC=1(180°-ZA)=72°,

由作图知，此平分/ABC,MN垂直平分BD,

/.ZABD=ZCBD=-ZABC=36°,EB=ED,

2

ZEBD=ZEDB,

I.ZEDB=ZCBD,

DE//BC,

..ZAED=ZABC；

（2）解：由（1）得ZABD=ZA=36。，

/.BD=AD，

ZBDC=ZA+ZABD=72°,

由（1）得NC=72。,

ZBDC=ZC9

/.BD=BC,

/.AD=BD=BC,

•/ZC=ZC,ZCBD=ZA=36°,

/.ZSCBD^公CAB,

•CBCD

**CA-cF?

•CB2-BC

•*~2~CB'

解得：8C=世-1或3C=-石-1（舍）.

5.（1）BE=AD,BELAD

（2）仍然成立，见解析

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定定理证明

RbBCE丝RQACD（SAS）,根据全等三角形的性质解答；

（2）证明RtABCE丝Rt"CD（SAS）根据全等三角形的性质证明即可.

【详解】（1）证明：BE=AD,BE,AD.证明如下：

***AE_LBC,AC=BC,CD=CE,

ZBCE=ZACD=90°,

CE=CD

\9lZBCE=ZACD=90°

BC=AC

RtABCE^RtAACD（SAS）,

A

BE=AD,/CBE=/CAD,

延长篦交AD于点M,

/BCE=90。,

/.ZCBE+ZBEC=90°,

/.ZCBE+ZAEM=90°,

/.AEAM+AAEM=90°,

/.Z£M4=90°,

/.AD.LBE,

^CAD=BE,ADLBE.

(2)证明：仍然成立.证明如下:

*.*AE_LBC,AC=BC,CD=CE,

/.ZBCA=ZDCE=90°,

/.ZBCN+ZACE=NDCE+ZACE,

ZBCE=ZACD,

BC=AC

[/BCE=NACD

CE=CD

：.Rt^BCE咨RQACD(SAS),

BE=AD,Z.CBE=ACAD,

设房交AC于点M交于点尸,

,/N3c4=90。,

ZCBE+ZBNC=90°,

NCBE+ZANF=90。，

'：NCBE=NCAD,

ZCAD+ZANF=90°,

：.ZAFN=90°,

BEVAD,

故3E=A£＞,BE工AD.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，对等角相等，

垂直的定义，等量代换思想，熟练掌握性质是解题的关键.

6.⑴。尸=2万；

⑵BI=2AH；证明见解析

(3)线段的长度的最小值为用-行.

【分析】⑴证明△FBEdBZM(ASA),再利用勾股定理求解即可；

(2)作于点E,连接A/,l^ZGBC=ZDBC=x,求得ZD=ZACB-4«。=45。-%,证明

△BAG丝AD£A(AAS),得至l」AE=AG,再证明ZABE=ZW=45。+%,证得AAEB-G4H(AAS),推出

BE=AH,证得四边形AB/G内接于圆，求得BE=EI,即可得到由=24/；

(3)连接分，取A£＞的中点。，连接。尸，BO,利用两边对应成比例且夹角相等，证明

△ABNsAIMP,推出ZAPD=ZM=90。，得到点尸在以A£＞为直径的圆。上，将线段8。绕点3顺

时针旋转90。得到线段BT,连接T。，得到APB。四推出TP=OP=V?，点P在以T为

圆心，血为半径的圆T上，当。、P、T共线时，线段。尸，的长度取最小值，最小值为

证明点。、B、八C四点共圆，求得NTCO=180'NOBT=90。，据此计算即可求解.

【详解】(1)解：vZBAC=90°,AB=AC,BC=6,

AB=AC^BC-sin45°=3A/2,

AD=BE=2V2,

.*•BD=A/AB2+AD2=V26，

,:EFLAB,BFYBD,

NFBD=/FEB=ZA=9O。,

Z.FBE=90°-ZABD=ABDA,

/.AFBE^ABZM(ASA),

/.BF=BD=y/26,

DF=®BD=2V13;

(2)解：B/=2AH；理由如下,

作AELBD于点E,连接卸，

,/BC平分ZDBG,

设ZGBC=ZDBC=x,

VZBAC=90°,AB=AC,

ZABC=ZACB=45°,

ZABG=45°-x,ND=ZACB—NDBC=45°-x,

贝IZABG=ND,

.ZBAG=ZDEA=90°,BG=AD,

.ABAG^AT>E4（AAS）,

・・AE=AG,

GH±BG,ZABG=45°-x9

/.”=90。-（45。-％）=45。+%,

*/ZABE=ZABC-^ZDBC=45o+x,

:・ZABE=ZH=45°-^x,

*/ZAEB=ZGAH=90°,AE=AG,

/.AAEB^AG4H（AAS）,

1・BE=AH,

*/ZBAG=ZBIG=90°,

•••四边形AB/G内接于圆，

ZAffi=ZAGS=45°+x,

1・ZAIB=ZABI=45o-^x,

/.AB=AI

*/AE±BI,

BE=EI,

1・BI=2AH；

（3）解：连接。P,取AD的中点。，连接OP,BO,

VAD=242,AB=3V2,

.AD_2

**U-3?

•/AP=-BM,

3

・A—/

**3,

•APAD_2

••加—AB-3'

「ZBAD=ZM=90°,

..ZABM=90°-ZBAM=ZDAP,

・・AABMsADAP,

，ZAPD=ZM=90°9

•••点尸在以AO为直径的圆。上，止匕时，OA=OD=OP=①，

将线段8。绕点B顺时针旋转90。得到线段BT,连接T。，则△。酎是等腰直角三角形,

•••线段旅绕点3顺时针旋转9。。得到线段叱,

/.BP=BP',BO=BT,NPBO=ZP'BT=90°一NOBP',

：.^PBO^^P'BT,

TF=OP=近,

J点户在以T为圆心，及为半径的圆T上，

当“P、T共线时，线段DP的长度取最小值，最小值为。7-血,

•••△。川是等腰直角三角形，

ZBTO=Z.BCO=45°,Z.OBT=90°,

.,.点。、B、T、C四点共圆，

I.ZTCO=180°-ZOBT=90°,

•AB=3\/2，AO=-s/2,

•*-BO=^IAB^AO1=275，

•••△。/是等腰直角三角形，

OT=同。=2M,

OC=3A/2-A/2=2N^,

.*•CT=^OT--OC~=4A/2,

DT=y/cD2+CT2=A/34，

J线段。尸’的长度的最小值为庖-8.

【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性

质，勾股定理，二次根式的混合运算，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，

解直角三角形.正确引出辅助线解决问题是解题的关键.

7.(1)(500^+50072)^

(2)小依先到达景点D

【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形是解答的关键.

(1)延长AB、OC交于点O,在RCOBC和Rt-OD中，解直角三角形求解即可；

(2)过石作跖工于尸，设AF=x,在Rtz\£AF中，AE=2AF=2x,EF=6AF=&,在RtAEFD

中，DF=EF=y(3x,DE=6EF=&,由U>=AF+D/列方程求得x=5OO0,进而可求得两人

的路程和，求出两人所用时间即可求解.

【详解】(1)解：延长AB、DC交于点O,

由题意，/。=90。，ZOAD=45°,ZBCO=3Q°,3c=1000米，CD=500米

在RCO3C中，08=；8C=500米，OC=3BC=5006米，

22

/.OD=OC+CD=^500y/3+500)米，

在RtAAOD中，AD=-J2OD=(500A/6+50072),

答:景点A、。之间的距离为(500#+500忘)米；

西旺》东

(2)解：过石作跖工也于尸，

由题意，ZE4F=180°-45°-75°=60°,ZEDF=ZOAD=45°,

设AE=x,

在Rt^E4F中，AE=2AF=2x,EF=y/3AF=y/3x,

在RtAEFD中,DF=EF=y/3x,DE=6EF=&,

AD=AF+DF=x+y/3x=500^+500y/2解■得x=500亚，

AE=1000应米，DE=1000相米,

'：0A=OD=(5006+500)米，03=500米，

/.AB=OA-OB=500y/3^：,

：.爸爸所用时间为(500g+1000+500)^60«39.4(分)，

小依所用时间为(100。直+1。004b90x34.9(分)，

,/39.4>34.9,

；•小依先到达景点D.

8.⑴见详解

（2）5

【分析】（1）根据圆周角定理得ZAOC=2/ABC=2o,结合三角形内角和性质得

ZACO=ZCAO=90°-a,因为NFOl=ZABC=a,ZFCO=ZFCA+ZACO=90°,进行作答即可.

（2）先整理得tanZABC=^=:,再根据垂径定理以及圆周角定理得4。。=乙瓯=°,则

UD4

tanZCED=^1=1,证明AWCs△如石，得会=累，代入数值得AC=6,AG=|AC=3,最后

Ukj4nrSUDZ

在RtAAGO中，AO=A/G42+OG2=5.

【详解】（1）解：连接COM。，如图所示:

•AC=AC

：.ZAOC=2ZABC=2a,

,/CO=AO,

二•ZACO=ZCAO=|x(180°-2cr)=90°-«,

ZFCA=ZABC=a,

ZFCO=ZFCA+ZACO=a^-90o-a=90°,

:。。是半径，

厂是。。的切线；

3

(2)解：VAD±CB,tana=-,ZABC=a,

.•.在中，tanZABC=^=』，

DB4

连接CO,AO,取AC的中点Q,连接。。交AC于一点G,如图所示:

1

E

:点。是AC的中点,

OQLAC,AQ=QC,AG=^AC,ZAOQ=^ZAOC

,**AC=ACJ

二・ZABC=^ZAOC9

/.ZAOQ=ZABC=a,

•AB=AB，

ZACB=ZAEB,

*/AD±CB,

/.ZADC=ZBDE,

/.AADCs^BDE,

.ACAD

••BE-DB'

・・AD_3

•~DB~\，

.AC_3

••前一"

•AJ3

AC=69

则AG=；AC=3,

*/ZAOQ=a

Arz3

贝ljtanNA0Q=3^=z

OG=4

在RtAAGO中，AO=A/G42+OG2=5.

【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，圆周

角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相

关性质内容是解题的关键.

9.（1）见解析；（2）4^5-4；（3）8A/3-8

【分析】本题考查了旋转的性质，圆周角定理，点到圆的距离，相似三角形的判定和

性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键.

（1）根据旋转的性质可得ZAFD+NEAF=180。，即可解答；

（2）利用定弦定角可得E在以秒为直径的圆"上运动，圆心河为48的中点，利用颠

倒圆的距离即可解答；

（3）证明AAOESAOQP,求得40=46-4,AG=12-4A/3,再利用勾股定理即可解答.

【详解】解：（1）ZAEB=9G°,由AABE逆时针旋转90。知，

ZAFD=ZAEB=90°,NEAF=90°,

ZAFD+ZEAF=90°+90°=180°,

AE||DF；

（2）VZAEB=90°

在以A8为直径的圆M上运动，圆心加为A3的中点，如图，

:.AB=8,AM=BM^EM=4,

在正方形A5CZ）中，AD=8,ZDAB=90°,连接DM

根据勾股定理可得DM=^Alf+AM2=A/82+42=4后,

・・・当点E在线段DM上时（即。、E、V三点共线），DE取得最小值.

止匕时DE最小=DM-EM=4乒4；

DC

(3)由题意知，在RtA4BE中，ZABE=30°,AB=8,

:.AE=4,BE=4y/3,

由旋转知，AF=AE=4,DF=BE=46,

由(1)知尸,

:.AAOESADOF,

.A0_AE_4_1

-'DO-DF-473'

设AO=x,则。。=AG=后,

AD=8=AO+OD,

x+y/3x-8,

x=4\/3—4,

"。=46-4,AG=12-4A/3,

在RtAAOG中，

OG=ylAO2+AG2=716(>/3-l)2+48(^-l)2=764(73-1)2=8舁8.

10.(1)5

【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握

解直角三角形的应用是解题的关键.

(1)由ZACB=90。，sin8=¥，得出248=百4C,再结合勾股定理及BC=行即可求解;

(2)过点C作CE1AB于点E,利用中线得")=m=8=；42=|,设DE=b,则

BE=BD-DE=^-b,利用成2=82_渍2=g2一版2,列式求解6,再求CE,即可求解.

【详解】(1)解：:ZACB=90。，5示8=半，

..2A/5AC

••sin/D>=---=,

5AB

2AB=亚AC,

设AB=,则AC=2a,

•,BC=VAB2—AC2=a=>/5,

•.AB=#>a=5;

(2)解：如图，过点C作CE1AB于点召,

/.AD=BD=CD=-AB=-,

22

设DE=b,则2"=2£>-£)£=.-6,

CE2=CD2-DE2=BC2-BE1,

即0"=(遥)，

解得：b=[,

CE=y/CD2-DE2=2,

CE24

•tanZCDB=——=-=-

・・DE)3.

2

2

11.(1)①AEFG为等腰直角三角形，证明见解析；②2及，4-g

O

11百+3

；---1---=---

(2)®4<m<~~~MPMQm

【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三

角形，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键.

（1）①由四边形A2CZ）是正方形，得钠=BC,ZABC=ZC=90°,然后证明△砌名△FCG（ASA）,

故有跖=GF,从而求证；

②连接OC,由AEBF^AFCG，贝lj防=CG,再证明△AEC>^ACGO（SAS），故有04=0C,ZAOE=ZCOG,

OA=OC,从而可得40、C三点共线，贝lj有OA=《AC=2应，设/=CG=x,则CF=4-x,由

2

勾股定理得FG=CF2+CG2=（4-X）2+X2=2X2-8X+16,再根据%GC=；BxCG即可求解；

（2）①当EG//AD时，EG有最小值，当。与。重合时，EG有最大值，又点”始终处在

两平行直线A5,8之间的区域内，从而求出机的范围；

②过M作肱V1AD于点N,通过相似三角形的判定可得AAPESJVPM,^MNQ^^GDQ,所以

含=装，器=黑，由题意可知”在平行也得直线上运动，且跖V=2g一2,设AE=CG=6,

则DG=44,然后代入即可求解.

【详解】（1）解：①AEFG是等腰直角三角形，理由，

如图,

,/四边形是正方形,

1・AB=BC9ZABC=ZC=90°,

*/FG±EF,

ZEFG=ZABC=90°,

/.Zl+Z2=90°,N2+N3=9。。，

，N1=N3,

*/AE=BF,

AB-AE=BC-BF,

「・BE=CF,

在AEBF和AFCG中,

21=Z3

<BE=CF,

ZEBF=ZC

/.A£BF^AFCG（ASA）,

/.EF=GF,

.•.△£FG是等腰直角三角形;

②连接oc,

-----------------------1。

\

gl2VrT\|c

△EBF/AFCG,

：.BF=CG,

：.AE=CG,

四边形ABC。是正方形,

/.AB//CD,

：.ZAEO=ZCGO,

•.•。为EG中点，

..OE=OC,

，AAEO^CGO（SAS）,

AOA=OC,ZAOE=ZCOG,OA=OC,

*/ZAOE+ZAOG=180°,

NCOG+ZAOG=180。，

。、C三点共线，

AC=y/AB2+BC2=742+42=4>/2，

OA=-AC=2y/2,

2

设3E=CG=x,贝!jb=4-x,

/.FG2=CF2+CG2=（4-x）2+x2=2%2-8x+16,

2FG2=EG2,

2

222

EG=2（2x-8%+16）=m,gpx^-4x=^--S,

x

SPrr=—2CFCG

=；（4-元）尤

=1（4x-x2）

2

故答案为：2a,4一9；

o

(2)解：①当EG〃仞时，EG有最小值,

，ZE4£)+ZAEG=180°,

，ZEAD=ZAEG=ZADG=90°,

，四边形AEG。是矩形，

•**EG=AD=AB=4,即旭的最小值为4,

当。与。重合时，匹有最大值，如图,

ZBAD=ZADC=9Q0,

•二△M£G是等边三角形，

，EM=EG=m,ZM=60°,

/.ZMPD=ZAPE=30。，

设AE*=Q,贝|£?=2〃,

PM=m-2a,AP=6a,

PD=4—AP=4—W,

•QAO_PD_y/3

••cos30-------——,

PM2

即土县=立，解得：m卫

m-2a23

丁点M始终处在两平行直线A5,。之间的区域内,

「・加的范围是4W机<当，；

故答案为：4<m<^y^；

②如图，过“作肱于点N,

^APE^ANPM,4MNQS4GDQ,

.PE_AEGQDG

''~PM"~MN,蔽一诉’

由题意可知〃在平行A。得直线上运动，且肱V=2百一2,

设AE=CG=b,贝ljDG=4_,

.PEbGQ4-6

''PM~273-2JMQ~273-2J

.PE+PM_6+2占-2GQ+MQ_4-b+2K-2

,•PM2石-2'MQ~273-2'

.ME__6+2君-2MG_4-6+2舁2

''PM~26-2'MQ~273-2'

.mb+2A/3—2m4-6+26-2

''PM~2^-2，MQ~2A/3-2，

.J_1b+2-^3-24-6+2拓-2_4百一百+3

,,MPMQZH（2A/3-2）"2百-2）m（2^-2）加.

222

12.（1）等边；150；（2）EF=BE+FC,理由见解析过程；（3）则

【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三

角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；

（2）根据旋转的性质可得CE'=BE,ZCAE'=ZBAE,ZACE'=ZB,ZEAE'=90°,再

求出/E，AF=45。，从而得到ZE4^=ZEQ,然后利用“边角边”证明八£4尸和A〃AF全等，根

据全等三角形对应边相等可得后尸=印，再利用勾股定理列式即可得证；

(3)由旋转的性质可得尸B=P3,PC=PC,由等腰直角三角形的性质可得尸尸，=匹尸3,即

PA+V2PB+PC=PA+PP'+P'C,则当A,P,P',C四点共线时，PA+&P8+PC取到最小值,

最小值为AC长，由勾股定理可求解.

【详解】W：(1)•••△ACP^AABP,

,-.AP=AP'=3,CP=BP=4,ZAP'C=ZAPB,

依题意得旋转角NB4P=/BAC=60。，

..△尸/W为等边三角形，

.-.PP'=AP=3,ZAPrP=60°,

PP'2+P'C2=32+42=25=52=PC2,

.•△PPC为直角三角形，且NPPC=90。，

ZAPB=ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；

故答案为：等边；150；

(2)EF-=BE-+FC1,理由如下：

如图2,把AABE绕点A逆时针旋转90。得到"CE,

图2

由旋转的性质得，AE'=AE,CE'=BE,ZCAEr=ZBAE,ZACE'=ZB,ZEAEf=ZBAC=90°,

;/EAF=45°,

.\ZEfAF=ZCAEf+ZCAF=ZBAE-i-ZCAF=ZBAC-ZEAF=90o-45o=45o,

:.ZEAF=ZE,AF,

在△区方和中，

AE=AEr

<ZEAF=/E，AF,

AF=AF

:^EAF^EfAF(SAS),

:.ErF=EF,

ZCAB=9Q°,AB=AC,

:.ZB=ZACB=45°,

二.NEC尸=45。+45。=90。，

由勾股定理得，EfF2=CE,2+FC2,

BPEF2=BE2+FC2;

(3)如图，在VABC内部任取一点尸，连接AP,BP,CP,

将ABPC绕点B顺时针旋转90。得到ABPC,

由旋转的性质得：PB=P'B,PC=P'C',

QNPBP=90°,

PP'=亚PB,

:.PA+-j2PB+PC=PA+PP'+P'C,

二当A,P,P',C'四点共线时，PA+0P8+PC取到最小值，最小值为AC长,

如图，过点A作台C垂线交C3延长线于点。，

•/ZABC=30°,

:.ZBAD=30°,

:.BD=~AB=1,AD=JAB。-BD。=6

又QBC=BC=3,

:.C'D=BC'+BD=3+1=4,

AC'=y/AD2+C'D2=73+16=屈.

【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，

等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形

和等边三角形以及直角三角形是解题的关键.

13.(1)2A/10-2>/5

⑵①正方形，理由见解析；②2行

(3)275,2师+2

【分析】(1)由勾股定理得A8=26,再由正方形的性质得AC=04B=2而，然后由旋转

的性质得AB=AB=26，即可求解；

(2)①由旋转的性质得松=A£,ZEAE'=a=90°,ZAE'D=ZAEB=90°,再证四边形AEFE是

矩形，即可得出结论；

②过点。作CG_LBE于点G,证ABCG丝AABE(AAS),得CG=BE=4,3G=AE=2,则田二血-皮"？,

再由勾股定理求解即可；

(3)CE的最小值就是初始位置时的长度26；当E落在C4的延长线上时，AE'=AE=2,

CE最长=AC+AE=2&5+2,即可得出答案.

【详解】(1)解：:,=2,BE=4,ZAEB=90°,

AB=ylAE2+BE2=V22+42=2#>,

丁四边形ABC。是正方形，

:.BC=AB=2如，ZABC=90°,

AC=丘AB=2而,

由旋转的性质得：AB，=AB=2后,

CB，=AC-AB，=2回-2百,

故答案为：2Ms

(2)解：①四边形AEFE是正方形，理由如下：

由旋转的性质得：AE'^AE,ZEAE'=a=9Q°,ZAE'D=ZAEB=90°,

ZAEF=180°-90°=90°,

•••四边形是矩形，

又丁AE，=AE,

；•四边形ASE是正方形；

②过点。作CG,成于点G,如图3所示：

图3

贝!j4GC=900=ZAE3,

/.ZCBG+NBCG=ZCBG+ZABE=90°,

ZBCG=ZABE,

在ABCG和AABE中，

ZBGC=ZAEB

<ZBCG=NABE,

BC=AB

：.ABCG%ABE（AAS）,

:.CG=BE=4,BG=AE=2,

..EG=BE-BG=4-2=2,

222

.*•CE=yJccf+EG=V4+2=2A/5;

(3)解：•••点E不会在线段AC上，

•••CE，的最小值就是初始位置时的长度26，

当E落在8的延长线上时，AE,=AE=2,CE最长=AC+AE，=2师+2,

故答案为：2百,2M+2.

【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩

形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知

识.

14.(1)证明见解析

(2)7石

(3)^785或1质

【分析】(1)先根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质可得皿=*,

再根据三角形的内角和定理可得ZAEF=180。-2NEW,然后根据矩形的性质可得

NEAF=90。-/BAE,由此即可得证；

(2)设AC交跖于点。，先证出△板会少磨，根据全等三角形的性质可得OE=BE,

ZAOE^ZB=90°,则AC，£F,再证出AEOCSA^C,根据相似三角形的性质可得OE的长，

然后利用勾股定理求出所的长，最后根据四边形AEC厂的面积等于Lo+Sg求解即可得;

(3)分两种情况：①若点G在对角线AC上时，过点。作9_LAC于H,先证出点4,GC产

在同一条直线上，再求出的长，从而可得切的长，然后利用勾股定理求解即

可得；②若点G在对角线M上时，过点下作于"，过点E作硒，于N,先根

据等腰三角形的性质、勾股定理求出8G,GN,EN的长，再证出AFGMSAGEN,根据相似三

角形的性质可得的长，从而可得DM的长，然后利用勾股定理求解即可得.

【详解】⑴证明：••・△年绕点E旋转得到△FGE,

:.^ABE=^FGE,

/.AE=EF,

:.ZEAF=ZAFE.

s.ZAEF=1SQ°-ZEAF-ZAFE=1SO0-2ZEAF.

•・,矩形ABCD中,NBA。=90。,

:.ZBAE+ZEAF=90°,

ZEAF=900-ZBAE,

.•.ZAEF=180°-2ZEAF=180°-2(90°-ZBAE)=2ZBAE.

(2)解：如图，设AC交所于点。.

•••四边形ABC。是矩形，AB=3,3C=4,

.・・々=90。，AC=VAB2+BC2=5,

AABE=^FGE,

AZAEB=ZAEO9EF=AE,

•.•AE平分N5AC,

/.ZBAE=ZOAE,

在△AB石和AAOE中，

ZAEB=ZAEO

<AE=AE,

/BAE=NOAE

/.AABE^AAOE(ASA),

「・OE=BE,ZAOE=ZB=90°,

，AC.LEF9

，^EOC=^B=9Q°,

在AEOC和NABC中,

(ZEOC=ZB=90°

\ZECO=ZACB'

・•&EOCs^ABC,

•OEECBC—BEBC—OE即OE4—OE

**AB~AC~AC-AC'।3-5

3

•••口，

BE=|,

/.EF=AE7AB?+BE?=’旧,

2

•••四边形AECF的面积为S“AEF+S.CEF

=-OAEF+-OCEF

22

=1(OA+OC)-EF

=-ACEF

2

=-x5x-V5

22

=2

（3）解：①如图，若点G在对角线AC上时，过点。作D"_LAC于

...AE平分4AC,

•••点E到AC的距离等于班的长度.

由旋转的性质得：BE=GE,GF=AB=3,ZEGF=ZABC=90°,

/.GEVAC,

..ZAGE=90°,

ZAGE+ZEGF=i80°,

•••点A，GC尸在同一条直线上,

在“BE和AAGE中，

jAE=AE

[BE=GE'

：.AABE丝AAGE(HL),

：.AG=AB=3,

：.AF=AG+GF=6,

,••在矩形A3C。中，AB=3,BC=4,

AD=BC=4,CD=AB=3,ZADC=90°,

AC=打+42=5,

,/SVALC"D=-2ADCD=-2ACDH7,

AC5

/.AH=yjAD2-DH2,

5

HF=AF-AH=6--=—

559

/.DF=^HF2+DH2=IV85；

②如图，若点G在对角线瓦）上时，过点/作于"，过点后作硒,加于N,

/.AD=BC