2025年中考数学总复习《图形的相似》专项测试卷（附答案）

2025年中考数学总复习《图形的相似》专项测试卷（附答案）

学校:姓名：班级：考号：

1.如图，刃＞是正方形ABC。的对角线，点石、尸分别在边AD、AB上，EF//BD,延

长CB到G,且3G=3C,连接GFCE.

(1)求证：GF=CE.

⑵延长G产交CE于点H,连接3”,求证：2BH2=GHGF.

2.如图1,在RCABC中，ABAC=90°,ZACB=60。，AC=4,点A,4为边AC,BC的

中点,连接4片，将抽。绕点C逆时针旋转成0。＜0＜360。）.

M所在直线相交所成的较小夹角的度

数为

（2）将,ABC绕点。逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若

成立，请给出证明；若不成立，请说明理由;

（3）在ABC绕点。逆时针旋转过程中，①请直接写出5网的最大值;

②当A,九5三点共线时，请直接写出线段期的长.

3.如图9,在梯形A28中，AD//BC,连接94DC=90。，点召在BC上，连接。E,

使得/EDC=NECD,点尸在边A3上，连接CT,分别交80、”于点G、H,且切=8,

连接。尸.

D

F)

(1)求证：四边形ABED为菱形;

(2)如果/BOE=ZD",求证：4EHBE=BGBD.

4.已知：如图，在VABC中，AB=AC,晶和CD是中线.

(1)求证：BE=CD.

s

(2)VADE、VABC的面积分别表示为s的、sABC,则说三___________.

°ABC

5.如图，直角三角形MC中，以直角边48为直径作圆交AC于点。，过点。作

£河2筋于点V,E为的中点，连接AE并延长交BC于点尸，BF=EF.

⑴求证：CF=BF；

⑵求tan"E尸.

6.【问题背景】如图，等腰VA5c中，A2=AC，41=%,点。为AC的中点，过点。作

DE//AB,交BC于E,将CDE绕点C顺时针旋转a,连结BEAD,如图①.

AAA

D

【基本感受】

(l)当左=1时，判断A。与BE的数量关系，并说明理由；

【深入研究】

(2)当&=#时，如图②，AD与班满足怎样的数量关系？请给出证明；

(3)在(2)的条件下，若A5=6,在旋转过程中，当4D、E三点共线时，求‘何

的面积.

7.如图，在MCD中，AC1AB,AB=6,BC=1O,点Q是边上的动点，以点。为圆

心，。。为半径的圆交边AC于点E.设

(1)当点E是边AC的中点时，求「的值；

(2)已知点Q是线段AE的中点(规定：当点E与点A重合时，点a也与点A重合)，

以点。2为圆心、。■为半径作。2

①当。2与边AD有公共点时，求『的取值范围；

②如果。2经过边的的中点，求此时。2与。的公共弦长.

8.(1)【提出问题】如图1,在VASC中，。为3C边上一点，E为边上一点，且

NDEB=ZACB.求证：AABC^ADBE；

(2)【探究问题】如图2,在VABC中，ZACB=90°,。是BC的中点，DE上AB于点、E,

连接CE,AD.若CE=AC,求彳的值；

(3)【拓展问题】如图3,在VABC中，ZACB=120°,。是3C的中点，E是边上

9.在VABC中，AB=AC=5,BC=6.将VA2C绕点A逆时针旋转，得到VADE(点。，召

分别是点反C的对应点)，旋转角为次0。<&</明C),线段AD与相交于点M,线

段社分别交BC,AC于点尸,N.

(1)如图1,连接MN,在VA5C绕点A逆时针旋转的过程中，AMN始终为等腰三角

形，请你证明这一结论；

(2)如图2,当ADI5c时，求召c的长；

(3)如图3,当AE〃区时，求CN的长.

10.如图，在VABC中，D,E分别是边AB,AC上的点.对“中位线定理，逆向思考，

可得以下3则命题：

A

A

BC

①若。是48的中点，DE//BC,则E是AC的中点;

②若DE〃BC,DE=：BC,则D,E分别是AB,AC的中点；

③若。是A3的中点，DE=^BC,则E是AC的中点.

⑴其中真命题的是；(填序号)

⑵请选出一个真命题进行证明.

11.VABC是边长为5的等边三角形，点。在AC边上，点E在3C边的延长线上，且

DE=DB,延长ED交A3于点厂.

⑴将问题特殊化：如图1，当。为AC的中点时，求■的长.

(2)将问题一般化：如图2,当相＞=3时，求转的长.

(3)将问题再拓展：如图3,点G在2C边上，且黑=：,若此时满足爪—G,连接即

并延长交AB于点尸，当S℃E=，SW•时，求CG的长.

12.如图，在VA5c中，AB=AC,以AB边为直径作。交3c于点，过点。作OE1AC

于点E,ED,A3的延长线交于点歹.

(1)求证：EF是。的切线；

⑵若斯=4,且向尸〈，求。的半径与线段AE的长.

13.如图，四边形"CD的对角线AC,BD交于点E,NBAD=NBCD=90°.

(D如图1，若NCBD=ZEAD,求证：AECE=BEDE.

(2)如图2,过点A作"LCD于点P,作AT/LBC,交CB的延长线于点若AC垂直

平分时，AC与BF交于点G.

①求证：AB=AD.

②若BC=1,tanZBAC=1,求AC+BD的值.

14.综合与探究

【初步感知】如图1,2瓦尸是VABC三边的中点，则DEF叫作VA5C的内中点三角

形，VABC叫作DEF的外中点三角形.

D

BEC、

图I

(l)直接写出VA5C面积H与。郎面积$2的数量关系;

(2)在图2的网格中画出VABC的外中点/aW.

【类比探究】如图3,E，£G,H是四边形ABCZ)各边的中点，则四边形叫作四

边形ABCD的内中点四边形，四边形ABCD叫作四边形EFGH的外中点四边形.

(3)求证：四边形石人汨是平行四边形；

(4)若四边形的面积为邑，四边形由汨面积为5“求证：邑=2邑；

(5)在图4的网格中画出ABCD的一个外中点四边形PQMN.(要求：P,Q,M,N都

在网格线的交点上)

15.如图，在等边VABC中，D、E分别为AC、BC上动点，满足AD=CE.

⑴如图1,连接DE,过8作瓦=AC于点f，交DE于点G,若tan/EQC=/，8=6,

求BG的长；

(2)如图2,连接痰，尸为BC中点，连接AP,G为边的上一点，连接DG交AP于点

F,尸恰为DG中点，将PG绕点G逆时针旋转60。到HG,连接HE,HD.求证：HD=也HE；

⑶如图3,点M是平面内直线BC上方一点，/RWC=30。，。为直线8M右方一动点，

满足NMBQ=NMCB+3。。，BQ=BC,连接MQ,N为MQ上一点，连接AN、4。，当MQ

取得最大值时，请直接写出当为直角三角形时事的值.

£)C

参考答案

1.(1)证明见解析

⑵证明见解析

【分析】(1)先由正方形的性质结合平行线分线段成比例得到防=上，然后证明

FBG空£DC(SAS)即可；

(2)由△EBG丝△即C,得到/1=N2,证明NG〃C=90。，由直角三角形斜边上中线的

性质得至U初=BG=；GC,证明4G班”△GHC,贝1］罟=笠，那么怒=篇，再交叉

Z(jrrzCrCLriiZDrL

相乘即可.

【详解】(1)证明：•••四边形"8是正方形，

/.AB=AD=BC=CD,ZABC=ADC=ZBCD=90°,

EF//BD,

•BFDE

••加一而，

/.BF=DE,

*/ZABC=90°,

/.ZFBG=180°-ZABC=90°,

/.NFBG=NEDC,

*/BG=BC,BC=CD,

BG=CD,

:.FBG空EDC(SAS),

/.GF=CE-

(2)证明：如图:

*.*AFBG”AEDC,

Z1=Z2,

*/ZfiCD=90°

••/+N3=90。,

N2+N3=90。，

/.NGHC=90。，

*/BG=BC,

：.BH=BG=-GC,

2

NFBG=9。。,

ZFBG=ZCHG=90°

N2=N2,

AGBF^AGHC,

.GBGF

•・GH-GCJ

.BHGF

''GH~2BH，

2BH2=GH-GF.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判

定与性质，直角三角形的性质等知识点，找出相似三角形是解题的关键.

2.(1)2,60°

(2)(1)中结论仍然成立，证明见解析

⑶①12有；②2厉+2省或2&?-2百

【分析】(1)先解直角三角形可得3C=8,再根据线段中点的定义可得必=2,即=4,

由此即可得翳=2,然后根据股，明所在直线相交所成的较小夹角为即可

得；

△

(2)结论仍然成立，证明：延长他，BBt,交于点，先证出AC4,s^jBcq,根

据相似三角形的性质可得需=与=2,ZCM=ZCBB,,再根据三角形的内角和定理

2T.V-

可得"=60。，由此即可得证；

(3)①先确定点A在以点c为圆心、*长为半径的圆上，从而可得当点人在AC的

延长线上时，△△班的"边上的高最大，则AABA的面积最大，利用三角形的面积

公式计算即可得；

②分两种情况：当点用在配的延长线上时和当点耳在线段配上时，先利用勾股定

理求出网的长，再根据线段的和差求解即可得.

【详解】(1)解：,在RtZXABC中，ABAC=90°,ZACB=60°,AC=4,

BC=———=8,

cosZACB

丁点A,耳为边AC,BC的中点，

AAi=CAl=^AC=2,BBl=CBi=^BC=4,

•殁l，=2

**A4j2,

•IZACB=60°,

BBlfAA所在直线相交所成的较小夹角的度数为ZACB=60。,

故答案为：2,60°.

(2)解：(1)中结论仍然成立，证明如下:

如图，延长AA,BBl,交于点D,

由（1）已得：*=2,C4=4,AC=4,BC=8,

.ACCA,_1

**拓一函—Q，

在AACA和ABCBl中,

ACC\

<~BC~~CBX,

ZAC^=ZBCBl

；.AAG41s△5C4,

.BB.BC8

..----=-----=—=2NCAA=/CBB.

AAAC4'色'

/.ZO=180°-(Z.BAD+NCBB、+ZABC)

=180。-(ABAD+ZC44+ZABC)

=180°-(ZBAC+ZABC)

=ZACB

=60°,

即即，AA所在直线相交所成的较小夹角的度数为60。.

(3)解：①:在RtZiABC中，ZBAC=90°,ZACB=6O°,AC=4,

AB=AC-tanZACB=4宕,

由(1)可得：CA=2,

••・如图，点4在以点C为圆心、C4长为半径的圆上，

••・当点4在AC的延长线上时，△小洱的A3边上的高最大，最大值为

AA.=AC+CAl=4+2=6,

/.S馋的最大值为卜4Gx6=126.

②由①知：CA=2,BC=8,AB=4曲,

在题干的图1中，丁点A,为边AC,BC的中点,

A瓦是VA5C的中位线,

A耳==2若，A.B.//AB,

：.ZB^C=ABAC=90°.

如图，当点用在网的延长线上时,

/./网c=/4AC=90。，

网=dBC?_AC。=2>/15,

I.BB}=网+A4=2715+2>/3；

如图，当点用在线段网上时,

JB\=^BC"-\C-=2>/15,

：.BB\=3-44=2店-2档；

综上，当A,耳，8三点共线时，线段阳的长为2历+26或2岳-2g.

【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾

股定理、圆的性质等知识，较难的是题(3),正确分两种情况讨论是解题关键.

3.⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了菱形的判定，相似三角形的性质与判定，三角形中位线的性

质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键；

（1）根据题意得出4=N3,N2=NECD进而得出3E=CE,根据中位线的性质可得出

EH//BF,结合已知可得四边形ABE。是平行四边形，根据血=止，即可得证；

（2）证明FGDsBGC,得出黑=会进而证明FGBsDGC得出N5=NBDC,证明

£）CJCTC

Z6=Z3,即可证明BFGs&BDC得出BF-BC=BG-BD,进而根据H/=2£W,BC=2BE,

即可得证.

【详解】（1）证明：如图，

NBDC=90。,即Nl+N2=90。

Z3+Z£CD=90°

,/NEDC=ZECD,即N2=ZECD

：.Z1=Z3

BE=DE

又•:N2=NECD

DE=CE

：.BE=CE,即E是BC的中点,

又,：FH=CH,

.二H是w的中点，

EH//BF

又「AD//BC

•0•四边形AB£D是平行四边形,

•BE=DE

J四边形股£。为菱形；

(2)证明：・：/BDE=/DFC,即N4=N1

又4=N3

/.Z4=Z3

ZFGD=ZBGC

：.FGD^BGC

•FGDB

**BG-GC

又「ZFGB=ZDGC

/.FGBsDGC

：.Z5=ZBDC

*.*AB//DE

：.Z1=Z6

又4=N3

Z6=Z3

/.BFGsBDC

•BFBG

••BD~~BC

：.BFBC=BGBD

又EH是ABFC的中位线，

FH=2EH

又BC=2BE

BF•BC=4EH•BE=BG-BD即4EHBE=BGBD

4.(1)见解析

⑵：

【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，相似三角

形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、相

似三角形的判定与性质是解题的关键.

(1)由等腰三角形的性质得出=由已知条件得出3D=CE,证明

ABCD^ACBE,得出对应边相等，即可得出结论；

(2)根据三角形中位线判定与性质得出DE〃台C,器=1,即可判定△ADESA4BC,

根据相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可.

【详解】(1)证明：AB=AC,

:.ZABC=ZACB,

BE、8是中线，

:.BD=-AB,CE=-AC,

22，

BD=CE,

在ABCD和ACBE中,

BD=CE

<ZABC=ZACB,

BC=CB

BCD咨CBE(SAS),

:.BE=CD-

(2)解：:BE和C。是中线,

•••点£、。是AC、A5的中点,

DE

:.DE//BC,

BC-2

:△ADEsAABC,

S.cVBC)I2J4

故答案为：:.

5.⑴见解析

(2)tan/DEF=20

［分析］(1)根据题意可得次1〃%,可证.AEMs,诋,ADEs,ACF，得到黑=隼,

BFAF

筹=隼，由E为加的中点，即田得到CF=3/即可求解；

CFAF

(2)连接加，设BF=CF=EF=x,AB=2R,可证明AABDsAgcD,贝lj

hSABDA。1”,n,AEADr-t.r

22而不F，由™，得到而=五，ZDEF=ZAFB,则

SBCD\BC)4xx

AE=4在RtA族中，由勾股定理得4炉+/=4+力，解得X,那么由

tanZDEF=tanNAFB="即可求解.

BF

【详解】(1)证明：•••根据题意，VA2C是直角三角形，ZABC=90%以直角边钻为

直径作圆，DMJ.AB,

DM//BC,

AEM^AFB,ADEjACF,

.EMAEDE_AE

**BF~AF，CF一AF'

.EMDE

••BF~CF，

•1E为DM的中点，即小=加,

CF=BF；

(2)解：连接

设BF=CF=EF=x,AB=2R

丁A5为直径，

ZADB=90。=NBDC,

•.・ZABC=90°9

：.ZABD+NC&)=NCBD+NC=90。,

I.ZABD=ZC,

，AABD^^BCD,

—AZ),BD4n2

sABD=2JD=AD

22CD

"sBCD[BC)~4x~xSBCDLCDBDX~

2

DM//BC,

ZDEF=ZAFB,

在Rt_AB/中，由勾股定理得：AB2^BF2=AF\

4/?2+X2

p4

4/?2+x2=—+X2+2R2,

2小£,

X

解得：X由哈

.tanNDEF=tanNAFB="=二=2应

..BF旦；

亚

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，直角

三角形的性质，难度较大，正确合理转化是解题的关键.

6.（1）BE=TW.理由见解析；（2）8E=0AD;理由见解析；（3）ABE的面积为:（27-9右）

或;（27+9石）.

【分析】（1）证明VABC,ADCE均为等边三角形，证明%ACD（SAS）,即可得

BE=AD；

（2）证明VA5C,ADCE均是等腰直角三角形，证明△BCESA4CD,即可得=

（3）分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质结合解直角三角形，求解即

可.

【详解】解：（1）BE=AD.理由如下：

*.•k=1,

1

—BC=,即AB=BC,

AB=AC,

・・・V"C为等边三角形，

/.ZA=ZB=ZC=6Q0；

丁点。为AC的中点，过点。作。石〃股，交于E,

AZDEC=ZB=60°,ZEDC=ZA=60°,

•••ADCE为等边三角形，

ZECD=6Q°；

NABC,△£>(%均为等边三角形,

/.BC=AC,CE=DC,ZBCA=ZECD=60°,

：./BCE=ZACD,

；.BCgACD(SAS),

BE=AD；

(2)BE=42AD;理由如下:

作AF13C于点尸，

•.・AB=AC,

/.BF=-BC,

2

••7_V2

•K—,

2

•ABV2

••—―a

BC2

设=则5c=2X,BF=^BC=x,

.•.3*变=♦=变

AB4ix2

，4=45。，

，NC=N5=45。，ABAC=90°,

•••VABC是等腰直角三角形，

同理，石是等腰直角三角形,

.AC_y/2CDyfl

••-----=-----,-----=-----,

BC2CE2

•・•-A-C--C-D=-叵-,

BCCE2

•.・ZBCE=45。一ZACE=ZACD,

/.△BCEs^ACD,

•••A-D--A-C=_-4-2,

BEBC2

•・BE=yflAD;

(3)••"ABC和△DCE都是等腰直角三角形，AB=6,

/.BC=yf2AB=6y/2,

AC=AB=6.CD=DE=—AC=3.CE=—BC=3A/2.

22

如图，当4区。三点共线时，作5G,AD交DA的延长于点G,

由旋转的性质知？。90?,

在RtZVlCD中，AC=6fCD=3,

•.CD31

..smADAC==—=一,

AC62

，ZZMC=30°,

AD=6CD=3A/3,

AE=AD-DE=343-3,

ABAC=90°,

..ZBAG=180°-30°-90°=60°,

BG=ABsin6Q°=3y/3,

AABE=1XAEX56=1(373-3)x373=1(27-973)；

如图，当A、。、E三点共线时，作BGLAD于点G,

A

同理，BG=3后AD=6CD=36,

•・AE=AD+DE=3^3+3,

/.S3=|XAEXBG=1(3^+3)X3A/3=1(27+9A/3)；

综上，灰的面积为:(27-9⑹或;(27+9⑹.

【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与

性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、

二次根式的混合运算等，熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键.

7.(1)^|

(2)①065；②5币

【分析】(1)过巨作。产，AC于点”，由垂径定理可得C〃=E"=；AC=2,再利用三

角函数求解即可；

(2)①当点E与4重合时可知r=5,过Q作于点V,求出。2/=丁/,

可知在点a运动过程中，。2与边AD始终有公共点，进而即可得出厂的范围；

②利用。产=。。2建立方程求解，得到［5,即此时。2与4重合，进而即可得解.

【详解】(1)如图，过a作O#，AC于点则E”=s,

•/AC±AB,AB=6,BC=10,

AC=8,

•••£为AC中点,

/.CE=-AC=4,

2

/.CH=-CE=2,

2

/.COSZACB=—=—gn_=A

OXCBC'即r10

解得rg

(2)①当点£与点A重合时,

-AC,

2

•//O[CH=ZBCA,/CHO】=ZCAB=90°,

0©HsBCA,

•QC_CH_1

**BC-AC-2，

/.。。=5,即此时r=5,

过。2作于点”,

•O2M_AB_3

-

••O2A-BC5

3

02M=—O2A,

，在点。I运动过程中，Q与边AD始终有公共点,

0<r<5；

②如图，记AD中点为尸，过尸作FNLAC,过。作。用，AC于点”,

/ZANF=ZACD=90°,ZNAF=ZCAD,

NAFsCAD,

•FNAN_AF_1

*CD-AC-AD-2

；FN=-CD=3,AN=-AC=4,

22，

ATCH

cosZACB=——

BC淳,

•8cH

910~r

43

\CH=-r,O,H=-r

515

2

在Rt,Q/N中，O2F=9+

•♦sinZACB=^=—|HQH=_6_

*0]CBC'卬r10

a

解得。口=丁；

•/QH=；AC=4,

在RtAOQH中，0,01=16+

解得，=5(负值舍去)，

，此时E和A重合，即。2与A重合，如图所示，尸。为公共弦,

：.PL生,

2

：.PQ=5C,即J与。的公共弦长为5G.

【点睛】本题主要考查了勾股定理、解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判

定与性质、等边三角形的判定与性质、圆的性质等内容，熟练掌握相关知识是解

题的关键.

8.(1)见解析；⑵冬(3)察

【分析】本题主要考查了相似三角形判定与性质、四点公圆、圆周角定理、解直

角三角形等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键.

(1)直接根据两组对应角相等的三角形相似即可证明结论；

(2)根据已知条件以及等腰三角形的性质说明A、E、D、。四点共圆，再根据

同弧所对的圆周角相等可得AACD-ABCA,进而得到AC'BCC，再结合已知条件

可得CE=AC=0再根据勾股定理可得的=屁，然后代入*化简即可解答;

(3)如图：过A作延长线于点过。作CN〃DE交于点M易得

BOEsBCN可得器=*,再结合。是8c的中点可得BE=EN,设BE=EN=2x,则

nCn/V

ANAC

AE=3x,AB=5x,AN=x-再证明川上出口?可得右=弁，进而得到AC=&,再

ACAD

解直角三角形可得AM=孚4BM=^X,最后根据正切的定义即可解答.

【详解】解：（1）证明：•；ZDEB=ZACB,ZB=ZB,

AABCs/\DBE；

(2)VCE=AC9

/CEA=/CAE,

'/DEJ.AB,

/.ZAED=ZACD=90°,

•••4、E、D、。四点共圆，且圆心即为A。的中点,

'：ZAEC=ZADC（同弧所对的圆周角相等）

，ZADC=ZBAC,

VZACD=ZBCA=9Q09

：./\ACD^ABCA,

.ACCDRn9

，•击AC2^BCCD,

£>CACw

•••。是BC中点,

/.BC=2CD,

把BC=2CD代入AC2=BCCD,得至lj:AC2=2CDCD=2CD2,

••AC=yflCD.

在RtAACD中，根据勾股定理4斤=AC?+CD2,

将AC=42CD代入可得：AD=J(0C可+CD。J2c犷+5=®JD,

CE=AC=42CD,

.ADytiCD_V6

'CE~版CD-2'

(3)如图：过A作AMUC延长线于点“，过。作CN〃DE交AB于点N,

/.BDEs,BCN,NBNC=/BED=60°,

.BDBE

・'~BC~~BN，

•••。是BC的中点,

.BDBE1

••BC=2BD,--=--=一,

BCBN2

：.BN=2BE,^}BE=EN,

..BE_2

•AE-3?

:.设BE=EN=2x,贝|AE=3x,AB=5x,AN=x,

丁ZBNC=/BED=60。，

/.ZANC=120°,

•.・ZAC6=120°,

/.ZACB=ZANC,

又ZA=ZA,

:「ANCsACB,

•*-=?即AC?=ATV.A5=5%2,解得：AC=45x,

ACAn

•/ZACM=180°-ZACB=60°,

.,.在RtZvVWC中，AM=AC-sinZACM=^-x,

在RtAAMB中，BM=y]AB2-AM2=半x,

gx

.**.AM^r回

••在RtAAAffi中,tanZABC=而y=忌=.

---X

2

9.⑴见解析

(2)亚

⑶|

【分析】(1)根据题意证明一"四经AEN,得至=即可求解；

(2)根据题意得至Ij/C4M=NE4V,可证ACLDE,EN=；DE,NE=^DE=^BC=3,则

AN=4,则OV=AC-M=5-4=1,在RtaCNE中由勾股定理即可求解；

(3)根据题意可证四边形AB正是平行四边形，得到即=AE=5,CF=1,再证

△ANEsMNF,得至|]第=*，即:=浅匕由此即可求解.

【详解】(1)证明：・・・AB=AC,将VABC绕点A逆时针旋转，得到VADE(点3石分

别是点优。的对应点)，

/.ZB=NC,AB=AD=AC=AE,

：.ZB=ZC=ZD=ZE,

NBAC=/DAE,

:.ZBAM=ZEAN,

在ABM和△A£7V中,

ZBAM=ZEAN

<AB=AE,

/B=/E

ABMqA£N（ASA）,

:.AM=AN,

■­■丽是等腰三角形.

(2)解：AB=AC,AD±BC,

：.ZBAM=ZCAM,

由(1)知/瓦UW=N及W,

ZCAM=/EAN,

^AD=AE,

ACIDE,EN=-DE,

2

在ANE^,AE=5,NE=；DE=；BC=3,

:.AN=4,贝！jC7V=AC_㈤V=5-4=l,

22

EC=\INE+NC=A/32+12=Vio；

(3)解：AE//BC,

.\ZB+ZBAE=1SO°,

又ZB=/E,

/.ZE+ZBAE=180°,

..EF//AB,

・二四边形AB正是平行四边形，

..BF=AE=5,

,\CF=1,

又AECF,

:AANEsACNF,

AEAN口口55-CN

CFCN11CN

【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性

质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，等

腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是关键.

10.(1)①②

(2)证明见详解

【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质和判定，以及三角形中位线定理的

逆应用，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质.

(1)利用三角形中位线的性质和判定，以及三角形中位线定理的逆应用逐项进

行判断即可；

(2)①利用两条直线被一组旁平行线所截对应线段成比例即可证明；

②利用相似三角形的性质即可证明.

【详解】(1)解：①若。是的中点，DE//BC,则E是AC的中点，是真命题，

故该选项符合题意；

②若DE//BC,DE=；BC,则D,E分别是AB,AC的中点，是真命题，故该选项符合题

思；

③若。是A8的中点，DE=^BC,则E不一定是AC的中点，

如图，。是的中点，分别以民C为圆心，大于的长为半径画弧，交AC于点E,

则。E=；BC,但E显然不是AC的中点，所以该选项是假命题，故该选项不符合题

思；

真命题为：①②，

故答案为：①②；

(2)证明：①•.•点。是AS的中点，

.AD

••DB—1«

DE//BC,

.ADAE1

••D-B--=--E--C-=1,

:.AE=CE,

即E是AC的中点；

②DE二BC,

DE_1

*BC-2

DE//BC,

ZADE=NB,ZAED=ZC,

,\AADE^AABC,

ADAEDE

"AB-AC_BC-2?

:.AD=BD,AE=CE,

即点DE分别是AB,AC的中点.

H.(D^=|；

⑵*9；

⑶CG=g.

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与

性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键.

（1）由等边三角形的性质可得钻=AC=BC,ZA=ZABC^ZACB=60°,则有

ZDBC=^ZABC=30°,AD=^AC=~,然后根据30。角所对直角边是斜边的一半即可求

解；

（2）过点。作加〃羽，交BC于点H,证明OHC是等边三角形，通过性质证明

r）u莉口o<

DBH^DEC（ASA）,又DH〃AB,则△£：!）"△£；%故有铉=6，即右.，最后由

FBEBFB8

线段和差即可求解；

（3）过点。作交8C于点与（2）同理可得必先是等边三角形，

DGM会DEC,再证明EDMjEFB，则黑=黑，即*=P，然后通过S皿=?四

FBEBFBj+a3

求出”的值即可.

【详解】（1）解：:丫小C是边长为5的等边三角形，

/.AB=AC=BC,ZA=ZABC=ZACB=60°,

•.•。是AC的中点，

/.ZDBC=-ZABC=30°,AD=-AC=-,

222

DE=DB,

ZE=ZDBC=3O°,

/.ZAFD=ZE+ZABC=90°,

/.ZAZ*=90。-ZA=30。，

/.AF=-AD=~.

24'

（2）解：如图1,过点。作加〃四，交BC于点H,

A

F,

图1

\ZDHC=ZABC=60°,

.*ZAC®=60。，

•・O"C是等边三角形，

\DH=CH=CD=AC-AD=29

\BH=BC—CH=5—2=3,

.*DE=DB,

\ZDEC=ZDBH,

.*ZDHC=ZDCH,

\ZBDH=ZEDC,

*.DBH^DEC(ASA),

\BH=EC=3,

\EH=EC+CH=5,EB=BC+EC=8,

：DH//AB,

\/\EDHS^EFB,

.DHEH0n2_5

・屈一百，।FB-8?

』B=m，

169

\AF=AB-FB=5——=--

559

(3)解：如图2,过点。作交3C于点M,

A

D

图2

与(2)同理可得是等边三角形，DGM”DEC,

：.GM=CE,

由券=T，设5=3*BG=2a,

.CD=DM=CM=5—3a,

・BM=3a,

・GM=CE=a,

.EM=5-2a,EB=5+a,

・DM//AB,

・EDMs^EFB,

DMEM口口5—3。5-2a

FBEB1FB5+a

FB_（5-3a）（5+a）_25-10a-3a?

5—2〃5—2〃

._25—10。—3/3/

・AF=5------------------=--------

5—2。5—2a

q

"、DCE=7SADF,

413a2

—X-------------------巫

325-2a'V

整理，得64+25a-25=0,

解得生=巳…（不符合题意，舍去）

6

CG=BC-BG=5-2a=—.

3

12.(1)见解析

(2)，。的半径为6,AE=£

【分析】(1)连接“，利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判

定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；

(2)利用直角三角形的边角关系定理列出比例式即可求得圆的半径，利用相似

三角形的判定和性质列出比例式即可求得入£的长.

【详解】(1)证明：连接“，如图，

/.ZABC=ZC.

OB=OD,

,\ZOBD=ZODB.

:.ZODB=ZC.

：.OD//AC,

DE±AC,

:.OD.LDE.

OD是。的半径，

・•.EF是)。的切线;

(2)解：在R3OD尸中,

sin尸=,OB=OD,

OF5

.OD3

OD+4~59

:.OD=6.

即。的半径为6.

OB=OA=OD=6,

:.AF=FB+OB+OA=^+6+6=16,

FO=BF+OB=10.

OD1EF,AEA.EF,

/.OD//AE,

/\FOD^/\FAE,

.OD_F0

AE-FA

•6JO

,,AE-16?

“史

5

【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，同

圆的半径相等，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形

的判定和性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线.

13.(1)证明见解析；

(2)①证明见解析；②AC+BD=2亚+M

【分析】(1)由两角对应相等推得BEC^AED,由相似三角形的性质即可得证；

(2)①由垂直平分线性质得BC=Cb,BG=FG,通过“边边边”证明aCGB均CGb,由

全等三角形的性质推得4CG=/FCG,结合角平分线性质证明四边形是正方

形，推得44H=ZZMP,由“角边角”证明乌AD尸即可证A5=AD；②延长CD到M,

使血=如，连接AM,由等腰直角三角形的判定与性质推得ZABE=/ECD,结合三

角形内角和定理可得4DC=/&LC,结合解直角三角形、勾股定理可得B。；通过“边

角边”证明ADM^ABC,由全等三角形的性质得/M4D=NG4B,AM=AC,结合等腰

直角三角形的判定与性质、解直角三角形计算可得AC.

【详解】(1)证明：NCBD=NEAD,NBEC=ZAED,

BECs-AED,

BECE

:.AECE=BEDE.

(2)①证明：AC垂直平分研，

:.BC=CF,BG=FG,

在CG3和CG/中，

BC=CF

<BG=FG,

CG=CG

CGB沿CGF(SSS),

,\ZBCG=ZFCG,

AP1CD,AHIBC,

,\AH=AP,ZH=ZAPC=90°,

又ZBCD=90°,

.•・四边形APC"是正方形，

ZHAP=9Q0,

ZBAH-^ZBAP=90°,

ZBAD=90°,

:.ZDAP+ZBAP=90°,

:.ZBAH=ZDAP,

在ABH和ZW)尸中,

"/H=ZAPD=90°

<AH=AP,

/BAH=ZDAP

ABgADP(ASA),

:.AB=AD.

②（解法不唯一）如图，延长到加，使=连接AM,

Z.BCG=ZFCG,/BCE+/FCE=/BCD=90°,

/.ZECD=45°,

AB=AD,ZBAD=90°,

:.ZABE=45°,

:.ZABE=ZECD,

.ZAEB=/CED,

XZBDC=180°-ZECD-ZCED,

ABAC=1^0°-ZABE-ZAEB,

:.ZBDC=ZBAC,

tanZBDC=tanABAC=-

3

Z-,1

在RtABCD中,BC=1,tanZBDC=-

,\CD=———=3,

tanZBDC

：.BD=YIBC2+CD2=VI2+32=Vio，

ZBAD+ZBCD=180°,四边形ABC。内角和为360。,

.-.ZABC+ZA£>C=180°,

ZADC+ZADM=1SO0,

:.ZADM=ZABC9

在AADM和NABC中，

AD=AB

<ZADM=ZABC,

DM=BC

ADM^ABC(SAS),

:.ZMAD=ZCAB,AM=AC,

ZDAC+ABAC=9Q°,

.\ZDAC+ZMAD=90°,即ZMAC=90°,

/.ZAGW=45°,

CD=3,MD=BC=l,

:.MC=49

/.AC=MC-COSZACM=4XCOS45°=4X—=2A/2,

2

/.AC+BD=2母+M.

【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、全

等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、

解直角三角形、勾股定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.

14.（1）d=4S2

（2）见解析

（3）见解析

（4）见解析

(5)见解析

【分析】(1)证明△。跖即可由相似三角形的性质求解；

(2)取格点P、M、N,连接PM,MN,PN,使5、。、4分别是PMMMPN的中点即

可；

(3)连接肛根据三角形中位线的性质得出切〃肛EH=^BD,FG//BD,

FG=gBD.则硝〃尸G,EH=FG.即可由平行四边形的判定定理得出结论；

(4)方法一：连接AC,证明△相1/8△9，得同理ZBFE=；S△BC4，$ACGF=S^cDB，

S4DHG=Z^ADAC9贝！J邑=S3--S^CGF-S^OHG=S3-]S&ABD-工^ABCA~~^ADAC

11111

=SS+S+S=

3~~{ABDCDB)~~(SBCADAc)^3~~^3~~^39即邑=2邑.

方法二：连接瓦)分别交MG”于点MN；过A作AP，皮)于点P,交E"于点。.证

明△AEHSA4B。，四边形成WH为平行四边形.则S四边形M”=EHXPQ.所以

=万B。xAP=万x2石7/x2QP=2石HxQP=2S四边形EMNH.SMBO=2S四边形班你.贝!J

S3=SAAB。+^ACBD=2s四边形EMNH+2s四边形MFGN=2s4.

(5)取格点P、0、M、N,连接PQ,QM,MN,PN,使5、。、。、A分别是PQ，QMMN,PN

的中点即可.

【详解】解：(1)..•9瓦厂是VMC三边的中点，

.DE_EF_DF_1

•*AC-AB-BC-2，

I.AD£F^AC4B,

.••邑=(三]2=曾」，

4UcJ04

is?；

(2)如图所示，丽即为所求；

同理：FG//BD,FG=^BD.

：.EH//FG,EH=FG.

二四边形EFGH是平行四边形.

(4)方法一：连接:AC,

A

f)EH//BD,

FX>^G

C

:.AAEHSAABD.

又E为中点，

.AE-1

<AB-2*

qi

-.-S

・宝的=4，即S.=4ABD.

<=J_qq_XQ

同理S4BFE=~S^BCA，:'△CGF—彳Q^CDB，U^DHG—4°ADAC，

q-q

..S4=S3-S^AEH_S^BFE~◎△CGF°ADHG

=s-1c_le

卜川―卜.厂工°ACDB彳°ADAC

=，3-Z(SAfi。+SCDB)-；(sBCA+SDAC)

=S3153Ts3="，即邑=2S4.

方法二：连接8。分别交跖,G”于点M,N；过A作皮）于点P,交EH于点Q.

EH//BD,

:△AEHS/\ABD.

又E为中点,

AEEH_AQ1

7JB~^D~^P~2

:.BD=2EH,AP=2AQ=2QP,

又EF//GH,EH//BD,

二四边形EMNH为平行四边形.

'''S四边形EMNH=EHxPQ.

*,,$4ABD~；BDxAP=；x2EHx2QP=2EHxQP=2S四边形EMN