2025年中考数学总复习《因式分解》专项测试卷（附答案）

2025年中考数学总复习《因式分解》专项测试卷（附答案）

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一、单选题

1.下列对多项式的因式分解正确的是（）

A.尤2—4x+4=(无+2)B.三一1=%

C.9-6y-/=(3-y)2D.尤2—2肛+,2=(彳_

2.将多项式+16/+12々分解因式，应提取的公因式是（)

A.4/B.41C.4?D.4a

若A(/_2*q5

3.-2/6,则代数式人为（）

A.aB..2C.ab2D.a2b

317

4.已知M=—Q+1,N=7a-/则知与N的大小关系为（)

7

A.M>NB.M<NC.M>ND.M<N

5.下列因式分解中正确的是（）

A.4—8/+16=(Q—4)2B.-a2+4。-4=一(。-2)2

C.x(a—b)—y(b—a)=(a—b\x—y)D.a4-b4=(a2+b2)(a2-b2)

6.设〃为某一自然数，代入代数式"计算其值时，四个学生算出了下列四个结果。其中

正确的结果是（）

A.121B.210C.335D.505

7.将多项式炉x+ay-/%',因式分解时，应提取的公因式是（）

A.aB.a2C.crxD.a2x2

8.通过计算比较图1,图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（）

图I图2

A.ab-ax-a(Jj-x)

B.ab-bx=b[a-x)

C.ab-ax-bx=(<a-x)(b-x)

D.ab-ax-bx-^-x2=(a-x)[b—x)

二、填空题

9.分解因式：w—y=.

10.甲、乙两个同学分解因式/+⑪+匕时，甲看错了或分解结果为(x+2)(x+4)；乙看

错了分解结果为(1+1)(1+9),则Q+b=—.

11.若刘〃为常数，多项式/+如+〃可因式分解为(％-1)。+2),贝心机+〃产25的值为_

12.若a-b=2,则式子/一〃一4〃的值等于.

41

13.若x+y=§,孙=耳，则兀2丁+孙2的值为.

%

14.已知/―丁=]2,x-y=-3,贝Ij—=.

y

15.若a,b,c均为非零实数，且Q+0+C="C=",贝!J"+我?+。々的最小值为.

16.已知工为整数，若炉―2x-16是某个整数的平方，贝Ijx为.

三、解答题

17.分解因式：

⑴〃2(1-y)+/(y-%)；Q)(〃2+J_4〃2)2.

18.已知a=2+"b=2-若，求下列各式的值

Wa2-b2

(2)a2b-b2a

19.在某次拼图游戏中，欣欣发现利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释

某些等式，如图2可以解释完全平方公式(a+b)2=/+2必+62.

(2)现有如图1所示的边长为。的正方形纸片2张，边长为6的正方形3张，宽为。长为6的

长方形纸片机(加为正整数)张，这些纸片可以正好拼出一些长方形，请通过图形、式子

或者文字列出所有可能性并说明机的最大值.

20.先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：(x+yf+2(x+y)+1

解：将“x+y”看成整体，令x+y=A,贝!|

原式=A~+2A+1=(A+1)-

再将“A”还原,得：原式=(x+y+l)~

上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问

题：

(1)类比应用，求9+6(x—y)+(x—y)2=.

(2)求多项式(。+力(。+6-8)+17的最小值.

(3)若"为正整数，判断式子(〃+1)(〃+2)(〃+3)(〃+4)+1的值是否是某一个整数的平方，并说

明理由.

21.上数学课时，王老师在讲完乘法公式(。±6)2="±2必+6?的多种运用后，要求同学们

运用所学知识解答：求代数式f+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如

下解答方法：

解：X?+4x+5=%2+4x+4+l=(x+2)2+1.

(x+2)>0,

・・・当x=—2时，(x+2)2的值最小，最小值是0.

.-.(X+2)2+1>1.

，当x=-2时，/+4x+5的最小值是1.

请你根据上述方法，解答下列各题：

(1)知识再现：当》=时，代数式V-6x+13的最小值是.

⑵知识运用：^y=-x2+2x-3,当苫=时，y有最___________值(填“大”或

“小”)，这个值是.

(3)知识拓展：若-f+i0x+y+6=0,求2x+y的最小值.

参考答案

1.D

【分析】此题主要考查了因式分解的方法.因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，

完全平方公式法，十字相乘法等.根据分解因式的方法求解即可.

【详解】解：A、X2-4X+4=(%-2)2,选项分解错误，不符合题意；

B、%3-x=x(x2-l)=x(x+l)(x-l),选项分解不彻底，不符合题意；

C、9-6y-y2^(3-y)\选项分解错误，不符合题意；

D、X2-2xy+y~=(x-y)2,选项分解正确，符合题意.

故选：D.

2.D

【分析】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键.

根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幕，进行求解即可.

【详解】解：T/+16/+12“=4a(-/+4a+3),

应提取的公因式是4%

故选：D.

3.B

【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得A=Q苫2,再把分子分解因式并把分

a3-2b

子与分母约分即可得到答案.

LWJA(a3-2b)=as-2a2b,

../—2crb

••A=—：-----

a3—2b

a3-2b

故选：B.

4.C

【分析】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质，利用配方法把M-N的代数式变形,

根据偶次方的非负性判断即可.

【详解】解：

故选：C.

5.B

【分析】本题考查了公式法、提公因式法分解因式，运用提公因式法时，注意各项符号的变

化，运用公式法的时候，注意公式的结构特征.根据完全平方公式和平方差公式，对各选项

分析判断后利用排除法求解.

【详解】解：A、a4-8a2+16=(a2-4)2=(a+2)2(A-2)2,原写法错误，不符合题意；

B、—a2+4a-4=—(a—2)2,原写法正确，符合题意；

C、x(a-b)-y(b-a)=(a-bXx+y),原写法错误，不符合题意；

D、6Z4-b4=(a2+Z>2)(672-Z>2)=(«2+b2)(a+b)(a-b),原写法错误，不符合题意；

故选：B.

6.B

【分析】本题综合考查因式分解的应用，三个连续自然数的积为偶数等相关知识点，重点掌

握因式分解的应用.代数式〃3一〃因式分解可得〃5-1乂〃+1),则代数式表示三个连续正整

数的积.据此分析即可.

【详解】解：由题意可知:原式-1)(〃+1),

疗一"为三个连续的正整数的积，

.•.〃3一”可写成三个连续自然数的积，其中有因数必为偶数，也有因数必为3的倍数，

/.n3-n是一个偶数.而且是3的倍数，

选项只有B,符合条件，

X'."210=5X6X7=63-6.

故选：B.

7.A

【分析】此题考查了公因式，根据公因式的定义进行解答即可.

【详解】解：将多项式a3+ay-/Yy,因式分解时，应提取的公因式是a.

故选：A.

8.D

【分析】本题考查了因式分解的应用，图1中，阴影部分的面积=大长方形的面积一长是。

宽是x的长方形的面积一长是匕宽是x的长方形的面积+边长是x的正方形的面积，图2中，

阴影部分的长为(a-x),宽为(6T),分别表示出阴影部分的面积，即可得解.

【详解】解：图1中，阴影部分的面积=大长方形的面积一长是。宽是x的长方形的面积一长

是b宽是x的长方形的面积+边长是x的正方形的面积,

••.图1中阴影部分的面积=ab-ox-Zzx+尤2,

图2中，阴影部分的长为(a-尤)，宽为3-力，

图2中阴影部分的面积=(a-x)(br),

/.ab-ax-bx+x2=(a-x)(b-尤),

故选：D.

9.y(xT)

【分析】本题考查提公因式法因式分解.根据题意可得孙-y=y(x-i),继而得到本题答案.

【详解】解：：孙-y=y(尤T),

故答案为：y(x-i).

10.15

【分析】本题考查了因式分解，解决本题的关键是看错了一个系数，但是另一个没看错.学

生做这类题时往往不能理解.根据题意：分解因式d+ox+6时，甲看错了6,但是。正确，

分解结果为(x+2)(x+4),0为6；乙看错了a,但是b正确，分解结果为(x+l)(x+9),b

为9.代入a+b即可.

【详解】解：：分解因式V+办+6时，甲看错了6,分解结果为(X+2)(X+4)=£+6X+8,

••。=6,

乙看错了〃，分解结果为(％+1)(工+9)=%2+10%+9,

：.b=9,

a+b=6+9=15.

故答案为：15.

11.-1

【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值，有理数的乘方.熟练掌握多项式乘以

多项式，代数式求值，有理数的乘方运算是解题的关键.

由题意知，x2+twc+n=(x-I)(x+2)=x2+x-2,则根=1,〃=一2,然后代入求解即可.

【详解】解：由题意知,X2+mx+n=(x-l)(x+2)=x2+x-2,

m=l,n=—2,

/.(m+n)2025=(l-2)2025=-l,

故答案为：-1.

12.-4

【分析】本题考查因式分解，代数式求值，根据8=2,得到8=2+a,利用整体代入法

进行求值即可.

【详解】解:•:a-b=2,

b=a-2,

a2—b2—4a

=(〃+/?)(〃一〃)一4〃

=2(a—2+—4〃

=4a-4-4a

=-4;

故答案为：—4.

13.-

3

41

【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先提取公因式分解因式，在把x+y=葭孙=于

代入原式计算即可.

【详解】解：^y+xy1=xy{x+y},

41

把％+y=§,xy=-,代入，

原式=g1x4：=彳2，

233

2

故答案为：—.

14.7

【分析】本题考查分式的求值，根据/_>2=12,%-尸-3,得到x+y=—4,进而求出羽y

X

的值，进而求出一的值即可.

y

【详解】解：：/一y2=(x+y)(x-y)=12,x-y=-3,

x+y=-4,

7

x—y=-3

联立x+y—解得：

y

故答案为：7.

15.9

【分析】本题考查因式分解和一元二次方程的判别式.解题的关键是将待求代数式，用一个

字母进行表示，构造出一元二次方程.

根据a+6+c=%=",得到6+c=q3_a,6°=",将仍+庆+9转化为用。表示的式子，

构造一个以6,c为两个根的一元二次方程，再转化为含字母。的一元二次方程，根据方程有

两个根，得到+0,求出。的取值范围，即可得解.

【详解】解：b,。均为非零实数，且4+6+C="C="3,

••Z?+c=〃3—a，he—片，

ab+bc-\-ca=bc+a(b+c)=a2+a(6?-0)=(/,

■:b,c是方程尤2—S+c)%+:c=0的两根,

方程V-何―“卜+/=0有两个实数根，

贝I]A=(a3-a)2-4a2>0,即a6-2o4-3a2>0

,/4NO,

o'-2<72—320,即(a~—3)(iz-+1)>0,

V（a2+l）>0,

a2-3>0,BPa2>3,

ab+bc+ca=a4>32=9>

即ab+bc+ca的最小值为9,

故答案为：9.

16.10或-8

【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，设/一2彳-16=田（根为整数），则

（x-l）2-m2=17,然后运用完全平方公式变形整理得到（x-l+M（x-1-加）=17,再得出二

元一次方程组，解之可得.

【详解】解：设尤2一2彳-16=/(加为整数),

贝I](1)2-疗=17,

V17=lxl7=(-l)x(-17),

+fx—l+m=17fx-l+m=—1[x-l+m=-17

：.\或1或<或<

[x—1—m=17[x—l—m=l[x—1—m=—17—m=

故答案为：10或-8.

17.(1)(x-y){a+b\a-b)

(2)(。+b)~(a-b)2

【分析】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题关键.

(1)先提取公因式(x-y),再利用平方差公式分解因式即可得答案；

(2)先利用完全平方公式展开，合并，再利用完全平方公式及平方差公式分解因式即可得

答案.

2

【详解】(1)解：a\x-y)+b(y-x)

={x-y){cr-Z?2)

=(x—y)(a+b)(a—b).

(2)解：(a2+b2)2-4a2b2

=(a2)2+201bl+(廿>一4a2〃

=(a2)2-2aV+(Z>2)2

=(a2-b2f

=(a+b)2(a-b)2.

18.(1)8A/3

(2)2A/3

【分析】本题主要考查二次根式的运算、平方差公式、因式分解，掌握运算法则是解题的关

键.

(1)原式化为(。+"(。_6),将a=2+g*=2-6代入，运算即可求得答案;

(2)原式化为必(。-与，将a=2+6/=2-g代入，运算即可求得答案.

【详解】⑴解：原式=(a+6)(a-6).

将a=2+>/=2-A/^代入，得

原式=(2+A/^+2-(2+5^-2+

=4x2卡>=8^/3

(2)解:原式=成(。-6).

=(2+础2-@(2+若_2+@

=(22-3)X2A/3

=2A/3.

19.(l)(a+2Z?)(a+Z?)=a2+2Z?2+3ab

(2)机的最大值为7.

【分析】本题考查多项式和多项式的乘法，因式分解.

(1)看图从总体和部分，分析即可得出所求的式子；

(2)根据代数式分解因式即可分析解答.

【详解】(1)解：从总体的看，长方形的长为(a+2b),宽为(a+b),面积为(4+2与(。+为，

从部分看边长为。的正方形纸片1张，边长为b的正方形2张，宽为。长为6的长方形纸片

3张,面积为/+2〃+3〃万，

图3可以解释的等式为(a+2Z?)(a+b)=a2+处2+3M,

故答案为：(a+»)(a+b)=/+0+3"；

(2)解：由题意得,面积为2a2+”/>+3。2,

可得至!](a+3b)(2a+/?)=2a?+r7ab+3b,止匕时〃?=7；

也可得至U(a+b)(2a+3b)=2/+5ab+3b~,止匕时m=5；

m的最大值为7.

20.(l)(x-y+3)2

(2)1

(3)式子("+1)5+2)("+3)(〃+4)+1的值是某一个整数的平方，理由见详解

【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想.

(1)利用整体思想和完全平方公式进行化简即可；

(2)利用整体思想和完全平方公式进行化简确定取值即可；

(3)利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全

平方公式进行整理即可.

【详解】(1)解：将“x-V”看成整体，令x-y=A,则

原式=9+6A+A2=(A+3)2

再将“A”还原,得：原式=(x-y+3)2

故答案为：(x-y+3)?；

(2)解：令a+b=A,则原式=A(A—8)+17=A2—8A+17=(A—4)2+121

所以多项式的最小值为1;

(3)证明：式子(〃+1)(〃+2)("+3)(〃+4)+1的值是某一个整数的平方，理由如下

(〃+1)(H+2)(〃+3)(〃+4)+1

二(〃+1)(〃+4)・5+3)(〃+2)+1

二(*+5〃+4)(〃2+5〃+6)+1

令“2+5”=A,则原式