2025年中考数学总复习《有关待定系数法求二次函数解析式存在性问题》专项测试卷及答案

2025年中考数学总复习《有关待定系数法求二次函数解析式

存在性问题》专项测试卷及答案

学校:姓名：班级：考号：

1.已知抛物线旷=/+—+。的对称轴为％=5点（3,10）在抛物线上.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点尸（背,粉，。（*加（勿，A是实数，谬加在抛物线上，且（加1）（A-1）

-/=1,当点P、。使AN有最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点E,使得以点E、

A。为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点£所有的坐标；若不存在，请说明

理由.

2.如图，在直角坐标系中有一Rt△力仍，。为坐标原点，OA=\,tanN掰。=3,将此三角形

绕原点。逆时针旋转90°,得到△〃%,抛物线尸aV+bx+c经过点4B,C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点夕是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t,是否存在一点R使的

面积最大？若存在，求出△阅9面积的最大值；若不存在，请说明理由.

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3.如图，在平面直角坐标系中，绕原点。逆时针旋转90。得到△〃仍，其中OA=1,

OC=3.

（1）若二次函数经过4B、。三点，求该二次函数的解析式；

（2）在（1）条件下，在二次函数的对称轴/上是否存在一点已使得为+/T最小？若点

月存在，求出点刀坐标；若点尸不存在，请说明理由.

4.如图，已知二次函数y=—|/+5久+c的图象经过N（1,0）、8（0,-3）两点.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△为8的周长最小？若存在，请求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

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5.如图，已知抛物线y=x?+加+c经过/(-1,0)、6(3,0)两点.与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点刀为抛物线上一点，若见腌=10,求出此时点月的坐标；

(3)在对称轴上是否存在点0,使△力0c周长最小，若存在，求出点0坐标和△N0C周长,

若不存在，请说明理由.

6.如图，抛物线y=ax^bx+c(a,b为常数，aWO)经过点J(-1,0),B(5,-6),C

(6,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，在直线N8下方的抛物线上是否存在点尸使四边形为"的面积最大？若存在,

请求出点月的坐标；若不存在，请说明理由.

J'A

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7.已知抛物线y=+b%+c的顶点坐标为（0,1）.

（1）抛物线的解析式为;

（2）已知点［（0,2）,点8（1,3）,点夕在抛物线上，设点刀的横坐标为出求线段必

的长（用含有字母力的式子表示）；

（3）抛物线上是否存在点R使得⑸+用的值最小，若存在，直接写出点夕的坐标，若

不存在，说明理由.

8.已知抛物线与x轴交于48两点（点/在点8的左边），与y轴交于点C.

（1）若点46的坐标分别为（-2,0）和（2,0）,且。（0,4）,请直接写出该抛物线

的解析式及开口方向、顶点坐标.

（2）将（1）中的抛物线沿水平方向平移，设平移后的抛物线与y轴交于点£,而移动前

的点8,却落在点尸上，问：是否存在。£=a七0的情形？若存在，请求出点尸的坐标;

若不存在，请说明理由.

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9.已知二次函数y=-1%2+b%+c的图象经过力（2,0）,B（0,-6）两点.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若。点坐标为（6,0）,抛物线上是否存在点〃使△力切的面积为4?若存在，求

出。点坐标；若不存在，请说明理由.

10.如图，抛物线y=af+力x+c过点［（0,3）,B（1,0）,。（-1,8）,顶点为四

（1）求该二次函数的解析式；

（2）求顶点〃的坐标；

（3）x轴上是否存在一点R使得以+7W的值最小？若点尸存在，求出点。的坐标.

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11.如图，在RtAABC,ZABC=9Q°,该三角形的三个顶点均在坐标轴上.二次函数y=

ax+bx+citA（-1,0）,B（0,2）,C（4,0）.

（1）求二次函数的解析式；

（2）点月为该二次函数第一象限上一点，是否存在点R使△比？的面积为4,若存在,

求出月点的坐标；若不存在，说明理由.

12.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3与抛物线/=系+及+。交于点N,8,点/在y

轴上，抛物线的对称轴是直线x=2.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得y?若存在，请直接写出点刀的

坐标；若不存在，请说明理由.

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13.如图，抛物线y=f+9+c经过点J(-1,0),点B(2,-3),与y轴交于点C,抛物

线的顶点为〃

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在点R使5k.=4邑颔，若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存

在，请说明理由.

14.在平面直角坐标系中，已知二次函数、=一1%2+6%+。的图象经过坐标原点。和点/

(4+a,0),其中心0.

(1)当a=0时，求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值

是多少？

(2)当a>0时，在0Wx<4范围内，y是否存在最大值10?若存在，求出相应的a和x

的值；若不存在，请说明理由.

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15.如图，二次函数y=ax2+力x+c(aWO)的图象过力(-1,0),B(3,0),C(0,-3)

三点，点。是二次函数图象上一点，点。的横坐标是R,直线久=jni与x轴交于点£,且

0V7V3.

(1)求二次函数的表达式；

(2)过点〃作。G_L直线％=于点G,作以_Lx轴于点式，并交8C于点〃.

①当7H=|时，求出的长；

②是否存在点〃使。G+如最大？若存在，求出。点坐标，若不存在，请说明理由.

参考答案

1.解：(1)由题意得，一3=也

/.b=-1.

y=x-x+c.

又点(3,10)在抛物线上

.*.9-3+c=10.

c=4.

・••所求抛物线的解析式为：y=/-^+4.

(2)(TT+1)(77-I)-m=\

：.n-1-m=\.

：.n=2+/n.

又M=nt-nf+4,N=n-n+4

:.M-N=m-/+4-n+T?2-4=序-n-(/-T?2)=(/-T?2)(in+n-1)=-2(2序+1)

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=-4石-2.

■:希

・，・-4/W0.

/.一4/一2W一2.

・・・当力2=0时，〃-N的最大值为-2,止匕时^=2+勿2=2

/.J/=49N=6.

・•・点尸为(0,4),点。为(2,6).

:.PQ=*+(4-6)2=8.

设£弓，力，则以点£、P、0为顶点的直角三角形，共有三种情形.

①若/以。=90。，则£。+加=闻.

+(6-t)2+(|-0)2+(t-4)2=8.

t=5±—.

2

：.E(士5+—)或£己，5--).

2222

②若/"0=90。，贝U四+切=£仇

(0--)2+(t-4)2+8=(2--)2+(6-t)2.

22

.*.4^=14.

③若N£4W=90。，贝I］威+%=》.

二(2—工)2+(6-t)2+8=(i-0)2+(t-4)2

22

/.-4方=-30.

综上所述，E为(工，5+包)或(工，5-亘)或(工，-)或(工，

22222222

2.解：(1)在Rt△力如中，OA=\

：.A(1,0)

tanN掰0=3

：.OB=3.

：.B(0,3)

是由△力仍绕点。逆时针旋转90°而得到的

:.△D0MXA0B.

OC=OB=3,OD=(24=1.

C(-3,0)D(0,1)；

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(a+b+c=OCL=-1

把/、B、。的坐标代入解析式得19。—3b+c=0,解得：b=—2.

(c=3(c=3

・•・抛物线的解析式为y=-/-2x+3；

(3)如图

设直线5的解析式为尸由题意，得『3”"二°

3=1

解得：卜书.

也=1

...直线切的解析式为：尸打+1.

设冏/与切的交点为“则点N的坐标为(焉|t+l)

1

：.NM=-t+1.

3

：.PN=PM-NM=-1？-21+3-dt+l)=-1?--t+2.

33

•S/\PCD=SAPC点SRPDN

2

：.S^pc^-PN*CM+-PN*OM^-PN{CM^OAf)=-PN'OC^-x3C-干_乙+2)=--(t+-)+—.

2222232624

・,•当Z=—1时，Wvr〃的最大值为唱1.

624

3.解：(1)由题意得，点从。的坐标分别为：(-1,0)、(0,-3)

•；△4%绕原点。逆时针旋转90°得到△。仍

：.OC=OB=3,即点8(3,0)

设抛物线的解析式为：y=a(x-3)(x+1)—a(f-2x-3)

把。点坐标代入解析式，则-3a=-3

解得：a=l

故抛物线的解析式为：y=/-2x-3；

(2)由抛物线的对称性可以得出点48关于抛物线的对称轴对称

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...连接BC交对称轴于点R则点夕是所求的点.

y=x-2x-3=（x-1）二4

，对称轴为直线x=l

•••夕点的横坐标为1.

设直线的解析式为丁=磔+〃（"WO）

将8（3,0）、。（0,-3）代入尸必x+〃，得：户m+[=°

tn=—3

・•・直线欧的解析式为尸才-3

・\当x=l时，y=x-3=-2

・•・点尸的坐标为（1,-2）.

4.解：（1）・••二次函数y=—6比+。的图象经过/（1,。）、夕（0,-两点.

f—|+b+c=O

Ic=一3

解得：1二5

L=-3

・•.二次函数的解析式为：y=—3久2+（%—3；

（2）存在，理由如下：

由条件可知点6关于对称轴的对称点W的坐标为（7,-3）

连接W力交对称轴于点R连接即，此时△为8的周长最小.

设直线W/的解析式为把W（7,-3）和/（1,0）代入得:

k+b=0

7k+b=-3

k=L

解得『21

2

夕点的横坐标为（

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.•，点的坐标为|).

5.解：(1)由题意得：y=(x+1)(x-3)=/-2x-3；

(2)•.•抛物线y=x2-2x-3经过/(-1,0)、B(3,0)两点

：.AB=^

设点刀的纵坐标为m

,**S&PAB=10

•\m\—10,Bp|x4x\m\—10,解得：m=±5；

当R=5,有5=f-2x-3,解得：x=-2或4

•••点0的坐标为(-2,5)或(4,5)；

当-5,有-5=系-2^-3,即系-2x+2=0

A=(-2)2-4X2=-4<0

...方程x-2x+2=0无解.

综上，点夕的坐标为(-2,5)或(4,5).

(3)•抛物线y=x-2x-3

对称轴为x=l,C(0,-3)

如图：作点。关于对称轴为x=l的对称点Q,则Q(2,-3),连接力G

QC=QCi

...阳=//阳

周长为AC+AQ^QC=AC+AQ^QCl=AC+ACi,此时△4%的周长最小

'：A(-1,0),C(0,-3),Q(2,-3)

2222

.".AC-Vl+3——V10,AC1-y/(—1—2)+3——3A/2

.•.△4%的周长最小为V1U+3V2；

由点/、C的坐标得，直线NG的解析式为y=-x-1

令x=l,可得y=-2,即点0(1,-2)；

综上，△4%的周长最小为m+3企，点0的坐标为(1,-2).

6.解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-6)(aWO)

把8(5,-6)代入：a(5+1)(5-6)=-6

a=l

...抛物线的解析式为尸(x+1)(x-6)=x-5x-6；

(2)存在

如图，分别过只8向x轴作垂线9和陇垂足分别为孤N

设尸(加，ffl-5ffl-6),四边形为⑵的面积为S

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则-石+5加6,AM=研1,MN=3-m,CN=6-5=1,BN=3

••S——Sx4旃+S梯形PMNB^S/\BNC

=-(-nf+596)(加1)+-(6-TZ^+5加6)(5-加+-xlX6

222

=-3/+12加36

=-3(%-2)2+48

当勿=2时，S有最大值为48,这时序-5/-6=2?-5X2-6=-12

：.P(2,-12).

7,解：(1)由条件可知，抛物线的对称轴为p轴，则6=0；

把点(0,1)代入y=]/++。中得：c=i

・・・y=-1x2+।q1；

4

故答案为：y=\x2+1；

4

(2)•••点P的横坐标为〃且在抛物线上

.'.P(m,^m2+1)；

由勾股定理得P&-Jm2+(^m2+1—2)2=^m2+1；

(3)存在点R使得为+期的值最小，理由如下：

如图，过点R8分别作x轴的垂线，垂足分别为£,D；

'：PA+PB=PE+PB^BD

当月在劭上时，为+所取得最小值，此时点尸的横坐标为1

・••点户的纵坐标为工x/+i=g

44

...点0的坐标为(1,|).

8.解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-2)

将C(0,4)代入y=a(x+2)(x-2),得4=-4a

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解得a=-1

y=-(x+2)(x-2)=-x+4

开口向下，顶点坐标为(0,4)；

(2)存在，理由如下：

设平移后二次函数的解析式为y=(x-力)2+4

当x=Q时，y=-力2+4

/.OE=\-斤+41

由平移可得：点尸的坐标为(2+h,0)

：.OF=\2+h\

：.|-方+4|=|2+引

解得力=1或3

：.F(5,0)或(3,0).

9.解：(1)•.•抛物线产一/+力x+c经过/(2,0),B(0,-6)两点

.(—2+2b+c=0

**tc=—6

这个二次函数的解析式为尸-#+4x-6.

(2)存在

设。点的坐标为(力，〃)

,：A(2,0),C(6,0)

：.AC=&-2=4

,*,SAAC产-x4I7?|=4

:.n=2或n=-2

点的坐标为Qm,2)或(加，-2)

若点。(勿，2)在抛物线尸-|岁+4"6上，则-/?+4/-6=2

解得©=磔=4

：.D(4,2)；

若点。(加，-2)在抛物线尸-]+4x-6上，则-/+4勿-6=-2

解得血=4+2或，ffi2=4-2V2

：.D(4+2V2,-2)或。(4-2或，-2)

综上所述，。点坐标为(4,2)或(4+2V2,-2)或(4-242,-2).

10.解：(1)..•抛物线y=a/+5x+c过点力(0,3),B(1,0),。(-1,8)

=3

•**ja+b+c=0

(。一b+c=8

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fa—1

解得(b——4

(c=3

•••抛物线的解析式为y=/-4x+3；

(2)(2)由(1)得y=*-4x+3=(x-2)2-1

，顶点〃的坐标为(2,-1).；

(3)存在.理由如下：

如图，连接力必与x轴交于点R即以+用的值最小.

设直线的解析式为尸kx+b

3

把/(0,3)和点〃(2,-1)代入解析式得《J4b=_i

解得｛忆了

・•・直线的解析式为y=-2x+3.

当y=0时，由-2x+3=0得％=|

・•・吟0).

11.解：(1)•.•二次函数y=ax2+/?x+c过/(-1,0),B(0,C(4,0)

a—b+c=0

•**c=2

16a+4b+c=0

(a—

解得2

d3

・••抛物线的解析式为y=—3/+1%+2；

(2)设直线的解析式为尸Ax+2

：Ak+2=0,解得上=一］

直线BC的解析式为y=-3%+2

过夕点作阀〃y轴交布于点Q

设P(t，—|t2+|t+2),则Q(t,—|t+2)

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.♦.PQ=++|t+2+/-2=-衿+2亡

.，.S=|x4x(-|t2+2t)=-t2+4t=4

当右=七=2时，△阅的面积为4

此时尸(2,3).

12.解：(1)当x=0时，y=x+3=3

：.A(0,3)

把力(0,3)代入y=f+6x+c得c=3

•.•抛物线的对称轴是直线x=2

一毫二2

解得力=-4

•••抛物线解析式为尸系-4x+3；

(2)存在.

48与直线x=2相交于点Q,如图

当x=2时，y=x+3=5

：.Q(2,5)

解方程组y=x+3

(y=%2—4%+3

：.B(5,8)

设P(2,t)

・・q_15

•，丛AB产~

.\-x|t-5|X5=—

22

解得t=2或t=8

.••夕点坐标为(2,2)或(2,8).

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13.解：(1)•・•抛物线p=f+於+c过点4(-1,0),点8(2,-3)

.(1—b+c=0

••(4+2力+c=-3

解得仁二

•••抛物线的解析式为：y=/-2^-3.

(2)存在，理由如下：

''y=x-2^-3=(x-1)2-4

.•"点坐标为(1,-4)

令x=0,则尸系-2x-3=-3

点坐标为(0,-3)

又点坐标为(2,-3)

.,.8C〃x轴

S&BC尸X2X1=1

设抛物线上的点尸坐标为(〃ri-2m-3)

=

S^PBCX2X|ffl-2ffl-3-(-3)|=|-2m\

当|石-2m\=4X1时

解得7Z7=1±V5

当加=1+武时，a-2TZZ-3=0

当R=1—隗时，in-2m-3=0

综上，夕点坐标为(1+V5,1)或(1-V5,1).

14.解：(1)当a=0时，A(4,0)

把0(0,0),A(4,0)代入尸一|*+力x+c得：

(c=0

1—8+4b+c=0

邛二3

1c=0

“关于x的函数表达式为y=+2x.